单元过关(二)一元二次函数、方程和不等式-【衡水真题密卷】2026年高考数学单元过关检测(A版)

乾神未定，你我皆是黑马 2025一2026学年度单元过关检测（二） 5,若实数x>0,y>0,且x+3y=1,则)十1的最小值为 班级 +y'4y' 数学·一元二次函数、方程和不等式 B.1 姓名 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 D.2 得分 是符合题目要求的。 6若不等式ar2+b十>0的解集是<2，则c+征+a<0的解集是 题号 1 2 3 5 6 8 答案 () 1.已知a<b<0,c∈R,则 ( A<-2或x>引 A.ac2<bc2 B11 B<-2或x>2 C.ab<b2 D.a>b c.-<<2 2.已知a,b∈R,那么“a>b”是“a2>b2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.t-2<< C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1.已知正数红y2满是2+y+:=1,则S-的最小值为 3.下列结论正确的是 () 且若若则a< A.3 B.3,3+1D A.若a>b>0,则ac2>bc 2 C.4 D.2(2+1) c.a+>2 D.a2>2a-3 8.定义区间(m,n(m<n)的长度为n一m.设k>0,若对于ya≠1，不等式，】 大2 x-ax-l 4.一个大于60小于70的两位数，其个位数字比十位数字大2，则这个两位数的两位数字 >的解集所包含区间的长度之和恒为6，则k的值为 () 之和为 () A.12 B.13 A.1 C.14 D.15 C.2 D.3 单元过关检测（二）数学第1页（共8页）】 真题密卷 单元过关检测（二）数学第2页（共8页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 13.若a,b∈R,且满足一3<a+b<2,2<a-b<5,则3a+b的取值范围为 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 14.已知不等式ax+bx+c>0的解集为{x|一1<x<2),若不存在整数x满足不等式 题号 9 10 11 (akx十bk十2c)(2c一bx)<0,则k的取值范围是 答案 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.下列说法正确的有 15.(13分)已知二次函数f(x)的最小值为一9，且关于x的不等式f(x)≤0的解集 A.若a>b>0,c<d<0,则ac<bd 为{x一2≤x≤4}. &若a>6>0c<0则后8 (1)求f(x)的解析式： (2)若函数g(x)的图象与(x)的图象关于y轴对称，且当x>0时，g(x)的图象恒在 C.若1<a<3,-1<b<0,则2<a-b<3 D.若a<0,ab>a2,则b2>a 直线y=kx一9的上方，求k的取值范围. 10.已知p,9∈R,且满足p∈[一2,1]，g∈[3,5]，则下列说法正确的是 () A.p-g∈[-7，-2] B.若p十g=4,则pg的最大值为2 C.对于任意的p,g(p≠0)，总有lnp<lnlg D.存在p,g,使得e-1>e-1 11.已知b>1,若对Hx∈(1，十o∞)，不等式ax+4x2-abx一4b≤0恒成立，则() A.a<0 B.a2b=16 C.a2+16b的最小值为32 D.a十ab十4a十b的最小值为一8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知a>3,6>2,且a-3)6-2)-1,则，3+63的最小值为 3 单元过关检测（二）数学第3页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（二）数学第4页（共8页） 16.(15分)设y=ax2+(1-a)x十a-2. 17.(15分)设函数f(x)=x一2tx+2,其中t∈R (1)若不等式y≥一2对Hx∈R恒成立，求a的取值范雨； (1)若t=1,且对x∈[0，a十2]，f(x)≤5恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式ax十(1-a)x一1<0(a∈R). (2)若对Ht∈[0,2]，f(x)≥7恒成立，求x的取值范围： (3)若对Vx1,x:∈[0,4们，f(x1)一f(x)≤8恒成立，求t的取值范围. 单元过关检测（二）数学第5页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（二）数学第6页（共8页） A 18.(17分)某同学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的 19.(17分)对于四个正数xy,名，w,如果x<y,则称(x,y)是(，和)的“下位序列”. 方式折登后拼接而成.已知矩形ABCD的周长为8cm,设其中较长边AD为xcm,将 (1)对于2,3,7,11，试求(2,7)的“下位序列”： △BCD沿BD向△ABD折叠，折叠后BC'交AD于点E. (2)设ab,c,d均为正数，且ab)是c,d)的“下位序列”，试判断号，号，之间的大 小关系，并证明你的结论： (3)设n∈N·满足条件：对Hm∈{m|0<m<2024,m∈N},总3k∈N·,使得 图 (m,2024)是(k,n)的“下位序列”，且(k,n)是(m十1,2025)的“下位序列”，求n的 (1)用x表示图1中△BAE的面积： 最小值 (2)现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角（图2阴影部分）双面镀金 (厚度忽略不计)，已知镀金的价格是2元/©m2,试求将这枚徽章镀金所需的最大 费用。 单元过关检测（二）数学第7页（共8页） 真题密卷 单元过关检测（二）数学第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 m+1<2m+1, 所以a,b,c,d中至多两个偶数。 (3分) 当B≠☑时，则2m+1≤2， 等号不同时成立， 则对于{1,2,3,4,5,6,7,8}的一种符合要求的划 m+1≥-2， 分为{a1,b1,c1,d1}和{a2,b2,c2,d2}, .1 解得0<m≤2： (14分) 每个四元子集中均有两个偶数. 若两个集合分别为{2,4，c1,d1}和{6,8，c2,d2}, 综上所述，实数m的取值范围是{mm≤ 则c2d2=47或49， 不存在c2,d2使得{6,8，c2,d2}符合要求；(5分) (15分) 若两个集合分别为{2,6，c1,d1}和{4,8，c2,d2, 18.解：(1)若A1∩A2=☑， 则c1d1=11或13， 则t1一t2≠a-b,其中a,b∈A, 不存在c1,d1使得{2,6，c1,d1}符合要求；(7分) 否则t1十b=t2十a,A1∩A2≠0， (2分) 若两个集合分别为{2,8，c1,d1}和{4,6，c2,d2}, 又n=5,A={1,2,5},2-1=1, 则c2d2=23或25， 5一2=3,5-1=4，则t1,t2相差2， (4分) 不存在c2,d2使得(4,6，c2,d2}符合要求.(9分) 所以T={1,3}或T={2,4}或T={3,5} 综上所述，{1,2,3,4,5,6,7,8}不能划分成两个 (6分) 不相交的“有趣的”四元子集. (10分) (2)不一定存在， (7分) (3)证明：假设{1,2，…，4n}可以划分成n个两两 当A={1,2,5,7}时，2-1=1,5-1=4,5-2= 不相交的“有趣的”四元子集S1,S2,…,Sm 3,7-1=6,7-2=5,7-5=2, 因为每个子集中至多两个偶数， 则t1,t2相差不可能为1,2,3,4,5,6， (9分) 又1,2，…，4n中恰有2n个偶数， 这与T={t1,t2}二{1,2,3,4,5,6,7}矛盾， 所以每个子集中均有两个偶数， (12分) 故不都存在T. (10分) 所以对于1≤i≤n,可设S:={a:,b:,c,d:》, (3)因为C=10,故集合A中元素的差的绝对值 其中a:,b:为偶数，c:,d:为奇数， 至多有10种， (11分) 再由奇偶性，只能是a,b:一cd:=士1， 当n≥12时，结论都成立； (13分) 因为ab:=cd:±1≤cd,十1< 当n=11时，不存在A二S,|A|=5, (c:+1)(d:+1), 使得A中任意两个元素差不同，所以当n=11 且{a1,b1,a2,b2,…,am,bn}={2,4,…,4n}, 时，结论成立； (15分) {c1,d1,c2,d2,…,cm,dn}={1,3,…,4n-1}, 当n=10时，若A={1,3,6,9,10}, 所以2·4·…·4n=a1·b1·a2·b2·…·am 则不存在T,所以n的最小值为11. (17分) bn<(c1+1)(d1+1)(c2+1)(d2+1)·…·(cm+ 19.(1)解：{1,2,3,5}（符合要求即可）. (2分) 1)(dn十1)=2·4·…·4n,矛盾. (16分) (2)证明：假设可以划分，因为ab一cd=1, 所以{1,2，…，4n}不能划分成n个两两不相交的 所以ab和cd一定是一个奇数一个偶数， “有趣的”四元子集. (17分) 2025一2026学年度单元过关检测（二） 数学·一元二次函数、方程和不等式 一、选择题 2.D【解析】由a>b,可取a=1,b=-2,此时a2= 1.D【解析】当c=0时，ac2=bc2,故A错误；由a 1,b2=4,所以由a>b推不出a2>b2,即充分性不 成立；又由a2>b2,可取a2=4,b2=1,满足a2> <b<0,不妨取a=-2,b=-1,此时1=-号> b2,但当a=-2,b=1时，推不出a>b,即必要性 -1=方b=2>1=6,故B,C错误：国为a<6 不成立，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不 必要条件. <0,所以a-b<0a+b<0,a2-b2=(a-b)(a 3.D【解析】对于A,取c2=0,此时ac2=bc2,故A 十b)>0,即a2>b2,故D正确. 错送对千B,取a=1,6=-1,满足后>行但比 ·3· A 真题密卷 单元过关检测 时a>b,故B错误；对于C,取a=-l,此时a十 1 1十之的最小值为4. 2xyz =一2，故C错误；对于D,因为a2一 8.B【解析】不妨设a>1,原不等式等价于 (2a-3)=(a-1)2+2>0,故a2>2a-3,故D x-1+2(x-a)-(xa)(x-1)≥0，整理得 正确 (x-a)(x-1) 4.C【解析】设十位数字为a,个位数字为b,由题 kx2-(ka+k+3)z+(2a十1+ha）≤0，因为k>0, 60<10a+b<70, (x-a)(x-1) b-a=2, 可设方程kx2-(ka+k十3)x十(2a十1十ka)=0 2 意知 0<a≤9， 部得5品<a<6 又 的两根为x1,x2(x1<x2),令y=f(x)=kx2 0≤b≤9， (ka十k+3)x+(2a+1十ka),则f(x)的零点为 a∈N*,所以a=6,b=8,所以所求的两位数为 f(x) x1,原不等式即红-a)2-≤0. 68,两位数字之和为14. 因为f(a)=ka2-(ka十k+3)a+(2a+1+ka)= 5.C【解析】因为实数x>0,y>0,x十3y=1, 1-a<0,f(1)=k-(ka+k+3)+(2a+1+ka)= 所以，十+”- 4y x+y 2(a-1)>0,结合二次函数图象，可知1<x1<a< y.x++ f(x) x+y+2y=y+x十y+1 x1,则不等式a-a)2-D≤0的解集为 (1,x1]U(a,x2],此解集所包含区间的长度之和为 (x2一a)十(x1-1),由韦达定理可得x1十x2= y=青时取学号，所以) 1的最小值为 3 如场+3-a十1+，所以原不等式的解集所包 6.D【解标】由不等式ar+6x十c>0的解为-号 含区间的长度之和为c,一a)十(x1-1)。 <<2,得a<0,且-号2是ar+6r+c=0的 1 6,解得k=2: 两个派，别布-言+2合，号×2-日，即6 二、选择题 9.ABD【解析】对于A,因为a>b>0,c<d<0,则 3 2a,c=一a,则不等式cx2十bx十Q<0可转化 一c>一d>0,由不等式的基本性质，可得-ac> 一bd,则ac<bd,故A正确；对于B,因为a>b> 为-az2-3 -2a.x十a<0,即2x2+3x-2<0,解得 0,不半式的两边同时除以6，可得<石，因为 -2<x<分不等或ex十b缸十a<0的解条是 <0,由不等式的基本性质，可得后>分，故B正 e-2<}: 确；对于C,因为1<a<3,-1<b<0,则0<-b <1,由不等式的基本性质，可得1<a-b<4,故C 7.C【解析】由题意可得，0<之<1,0<1-之<1， 错误；对于D,因为a<0,ab>a2,可得b<a<0, 则1-(})-当收多=1 则-b>-a>0,可得a2<b2,故D正确. 10.AC【解析】由q∈[3,5]，得-q∈[-5，-3]， 1 之，即之=2时等号成立， 所以p-q=p十(-q)∈[-7，-2]，故A正确； 又因为x2+y2+之2=1，则1-之2=x2+y2≥ 若p十q=4,则p十q=4≥2√pg,故√pg≤2， 2xy,当且仅当x=y时等号成立， 当且仅当p=q=2时等号成立，但p∈[一2， 可得e2 ≥1，即1-)1+)≥1，又因为1-之 1],9∈[3,5]，故等号无法成立，故B错误；对 2xy 2xy 于任意的p,q(p≠o),p<|ql,则lnp|<lnq 1 恒成立，故C正确；因为p∈[-2,1]，故 2x2(1-)≥4，当 |e-1的最大值在p=1时取到，最大值为e一 √6 1,因为q∈[3,5]，所以e9-1的最小值在q= 且仅当x=y= 4之=2时等号成立，所以S= 3时取到，最小值为e3-1,即e一1|的最大值 A ·数学· 参考答案及解析 小于e一1的最小值，故不存在p,q,使得 {x一1<x<2},则a<0,且一1,2分别为方程 |e-1>e-1,故D错误. a.x2+bx十c=0的两根， 11.ABD【解析】对于A,B,因为ax3十4x2-abx -1+2=-2 -4b≤0恒成立，即(ax十4)(x2一b)≤0恒成 a 由韦达定理得 立，又因为b>1,x>1,所以当1<x<√6时，x -1X2=C 一b<0,则ax十4≥0；当x>√6时，x2-b>0,则 即b=-a,c=-2a. ax十4≤0，所以对于函数y=ax十4，必有函数单 将b=-a,c=-2a代入不等式(akx十bk2+2c)· 调递减，a<0,且零点为x=√B,所以ab十4= (2c一bx)<0, 0,所以a2b=16,故A,B正确； 化简得a2(kx一k2-4)(x一4)<0， 4 对于C,因为aWb+4=0,所以a= 即(kx-k2-4)(x-4)<0. b 容易判断k=0或k<0时，均不符合题意，所以k> 所以a+16-8+165≥2 16 ·16b=32, 0所以愿不等式即（生）6一0<0，候短宠 当且仅当行-160，即6=1时取等号，因为6>1， 有3≤《月4≤5且k>0,解得1<k≤4 不符，故C错误； 四、解答题 对于Da+ab+4a+=-4-6 15.解：(1)因为f(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤4}， √6 放f)图象的对称轴为工=一2十4=1,2分) 2 (小-6+）-(e-6+后) 而f(x)的最小值为一9，故可设f(x)= 6+》-46+后》8 a(x-1)2-9,a>0, 结合不等式的解集可得f(4)=0,解得a=1, 故f(x)=(x-1)2-9=x2-2x-8.(5分) 令m=6+4,则m=6+4≥2A6 .4 (2)因为函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y 4,当且仅当b=4时等号成立， 轴对称，故g(x)=x2+2x一8， 则原式=m2-4m-8=(m-2)2-12(m≥4)， 而当x>0时，g(x)的图象恒在直线y=kx一9 故当m=4时，原式取得最小值，最小值为一8，此 的上方，所以当x>0时，x2十2x一8>kx-9恒 成立， (8分) 时b=4,a=-2,故D正确. 三、填空题 即<工十】+2在x∈(0，十)恒成立，而x十 x 12.2√3【解析】由题可知a-3>0,b一2>0， 故 。+6ggo- 3 1+2≥4，当且仅当x=1时等号成立，故的取 值范围为（一∞，4）. (13分) 当R收当。写62g甲a-8+源6=2+ 16.解：(1)不等式y≥-2，即ax2+(1-a)x+a≥0， 即ax2+(1-a)x十a≥0对Vx∈R恒成立， 时管号成主，所以。3十。产的厦小值为2后 3 当a=0时，可得x≥0，不满足题意；(3分) 当a≠0时，要使ax2+(1-a)x十a≥0对Vx∈ 13.(-4,9)【解析】令3a+b=x(a+b)+y(a-b)= (x+y)a+(x-y)b, R恒成立，则0>0， 4=(1-a)2-4a2≤0， x+y=3, x=2, 所以 解得 a0, x-y=1, y=1, 即 (3a-1)(a+1)≥0， 得a≥ 所以3a+b=2(a+b)+(a-b), 1 又-3<a+b<2,2<a-b<5, 综上，a的取值范围为 3+ (7分) 所以-4<2(a+b)+(a-b)<9,即-4<3a+b<9, (2)当a=0时，可得x-1<0,解得x<1. 所以3a+b的取值范围为(-4,9). 当a≠0时，ax2+(1-a)x-1<0, 14.[1,4幻【解析】不等式a.x2+bx+c>0的解集为 即(ax+1)(x-1)<0. (9分) ·5· A 真题密卷 单元过关检测 ①若a>0,(ax十1)(x-1)<0的解为-1< 由f(4)-f(t)≤8，可得(16-8t+2)- a (t2-2t2十2)≤8，解得4-2√2≤t≤4十2√2，结 x<1; (10分) 合0<t≤2，得4-2√2≤t≤2； (10分) ②若a<0,当a=-1时，- a =1, 当2<t<4时，∫(x)在[0，门上单调递减，在 (ax+1)(x-1)<0,即(x-1)2>0,解得x≠1； ,4幻上单调递增，f(x)的最大值为f(0),最小 (11分) 值为f(t), 当a<-1时，-1<1，ax+1D-1D<0的解 由f(0)-f(t)≤8，可得2-(t2-2t2十2)≤8， 解得-2√2≤t≤2√2，结合2<t<4,得2<t≤2√2； (12分) 为x<-或x>l: (12分) a 当t≥4时，f(x)在[0,4幻上单调递减， 当-1<a<0时，- >1,ax+1)(x-1)<0 由f(0)-f(4)≤8，可得2-(16-8t+2)≤8， a 解得t≤3，结合t≥4，无解， (14分) 的解为x<1或x>- a (13分) 综上，t的取值范围是[4-2√2,2√2].(15分) 18.解：(1)因为AD=x,所以AB=4-x, 综上，当a>0时，不等式的解集为{x 1∠x<1； 又因为AD为较长边，所以4-x<x<4,即2< (14分) x<4. 当a=0时，不等式的解集为{x|x<1}; 设ED=a,则AE=x一a. 因为∠C'ED=∠AEB,∠DC'E-∠BAE,AB 当-1<a<0时，不等式的解集为{x x<1或 =DC', 所以Rt△BAE≌Rt△DC'E,所以BE=ED=a. (4分) 当a=一1时，不等式的解集为{xx≠1}； 在Rt△BAE中，由勾股定理得BA2+AE2= 当a<-1时，不等式的集为女女<或>刘 BE2, (15分) 即(4-x)2+(x-a)2=a2,解得a=-4红+8。 17.解：(1)当t=1时，f(x)=x2-2x+2,由 所以AE=x-a= 48 4x-8 (8分) f(x)≤5，可得x2-2x+2≤5，解得-1≤x≤3， 由题意得[0，a+2]二[-1,3]，所以0<a+2≤ 3,即-2<a≤1， 所以△BAE的面积S号AB,AE 24-x) 所以a的取值范围为（一2,1门. (3分) (4-）=-12-2(x+）2<x<4)(单位：em. (2)对Ht∈[0,2]，x2-2tx十2≥7恒成立， (10分) 即-2tx十x2-5≥0，t∈[0,2]恒成立. 所以/x-5≥0， (2)设一枚徽章的镀金费用为y元，则y=6X x2-4x-5≥0， 解得x≤-√5或x≥5， SABAE X2X2=24X 2-2(e+小， (12分) 故x的取值范围是(-∞，-√5]U[5,十∞). (6分) 由基本不等式可知x+≥48，当且仅当x (3)问题可转化为f(x)=x2一2tx+2,x∈ ,即x=2√2时等号成立 [0,4幻的最大值与最小值的差小于等于8. x 抛物线的对称轴为x=t. 当t≤0时，f(x)在[0,4幻上单调递增， 故y=24×2-2(e+2] ≤24×(12-8√2)= 由f(4)-f(0)≤8，可得(16一8t+2)-2≤8，解 96(3-2√2)， (16分) 得t≥1，结合t≤0，无解； (8分) 所以这枚徽章镀金所需的最大费用为 当0<t≤2时，f(x)在[0，t]上单调递减，在 96(3-2√2)元. (17分) [t,4幻上单调递增，f(x)的最大值为f(4),最小 19.解：(1)由题意可知7x<2y,此时x=3,y=11, 值为f(t), 则(2,7)的“下位序列”为(3,11). (2分) ·6 ·数学· 参考答案及解析 (2)由题意可知ad<c,此时号<台，取a=1,6 此时nn十 2024 ≤k≤mn十n-1 2025 于是mn+1 2024≤ =2w=2d=8,则后=号8后-号<号 mn+n- 4049 2025 ,解得n≥2024一m 3,故猜想只<a十cc (3分) 又对Hm∈{m|0<m<2024,m∈N),上式都成 bb+dd 立，则n≥ 4049 4049 先证左边后一后-a6++0a+0 2024-m/max =2024-2023=4049. b(b+d) (12分) 6十<0则会8+行得证， ad-bc (5分) 下证n=4049满足题意： mn 南证右边后一-61oa 由①可知024<<四 ,代入n=4049可 d(b+d) 0>0则明中音音得证， bc-ad 得4,049nm<k<4049m+4049 2024 2025 (14分) (7分) 综上8+日台 又由(2)可知1208<2x4049m十4049 4049 二2m (8分) (3)由题意可知 mn<2024k, +1<4049m+4049 (16分) ① 2025 2025k<mn+n, 即对Vm∈{m|0<m<2024,m∈N},总存在k |mn+1≤2024k, 又m,n,k∈N*,则 =2m十1满足题意. 2025k≤mn十n-1, 综上所述，n的最小值为4049. (17分) 2025一2026学年度单元过关检测（三） 数学·函数的概念与性质 一、选择题 象沿着y轴对称得到y=f(一|x),然后再沿着 1.B【解析】令t=1一x,则x=1一t,且x≠0，则t≠ x轴翻折得到y=一f(一|x|),即为图②对应的 1,可得f(t)的定义域为{tt≠1}，所以f(x)的 函数 定义域为{xx≠1}. 6.B【解析】因为f(x十2)为偶函数，所以f(x十2)= 2.D【解析】设1=-3x,≥0，则=1 3,所以y f(-x+2,所以f④=f0),f(侵） _2-2t +=-0+号-+ 3 f(-》,调为0>-1>-fx)在(-0,2上 所以当= 时y取最大值，即画教的值践为 为减画数，所以f(0)<f(-1)<f(),即 257 （-∞24 f④<f(-1<f(侵》 3.D【解析】因为∫(x)是定义在R上的奇函数，所 7.A【解析】①若y=f(x)是周期函数，设T是 以f(-x)=-f(x),当x≥0时，f(x)= f(x)的一个正周期，则f(x)=f(x十T),假设y= x(1十x),所以当x<0时，一x>0,则f(x)= f(x)不是常值函数，设x1<x2,且f(x1)卡f(x2), (一x)(1一x)=一f(x),整理得f(x)= 又f(x1)≥f(x2)恒成立，因此f(x1)>f(x2),取n x(1-x)=一x2十x,所以f(x)的解析式为 []+1,其中到是不大于的 f-{ 最大整数，则x1十nT>x2,而f(x1)=f(x1十nT), 4.B【解析】由f(8)=1,可逆推得f(7)=2,从而 所以f(x1十nT)>f(x2),这与f(x)是R上的减 可逆推得f(6)=4. 函数矛盾，所以f(x1)≠f(x2)不成立，所以 5.B【解析】由图②可知，将y=f(x)在x≤0的图f(x1)=f(x2),即f(x)是常值函数，故①是真 ·7 A