第09讲 函数的概念及其表示（十大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第09讲 函数的概念及其表示 【人教A版】 模块一 函数的概念 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 4．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 5．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【题型1 函数关系的判断】 【例1】（25-26高一上·河南郑州·阶段练习）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【变式1.1】（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（25-26高一上·北京·阶段练习）下列图形可以表示函数图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1.3】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）集合，下列不能表示从A到B的函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 具体函数的定义域】 【例2】（25-26高一上·北京·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高三下·云南昭通·期中）函数的定义域为（　　） A．或 B．或 C． D． 【变式2.3】（25-26高一上·全国·课前预习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【题型3 抽象、复合函数的定义域】 【例3】（25-26高一上·四川成都·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高一上·四川南充·阶段练习）已知函数的定义域是，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二下·吉林·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型4 求函数的值域】 【例4】（24-25高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一上·浙江·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高一上·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【题型5 由函数的定义域或值域求参数】 【例5】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【变式5.1】（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一上·江西赣州·期中）已知函数. (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围. 【变式5.3】（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的定义域为，求实数的值； (3)若的定义域为，求实数的取值范围. 【题型6 求函数值或由函数值求参】 【例6】（24-25高二下·河南商丘·期末）已知，则（ ） A．31 B．17 C．15 D．7 【变式6.1】（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数的定义域为R，且，若，则（    ） A．－2024 B．－2023 C．4049 D．4050 【变式6.2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知函数， (1)当时，求的值； (2)当时，求x的值． 【变式6.3】（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知数. (1)求函数的定义域 (2)求； (3)已知，求的值. 模块二 函数的相等 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 【题型7 判断两个函数是否相等】 【例7】（25-26高一上·山东·阶段练习）下列各选项中的两个函数为同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式7.1】（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）下列两个函数是相同函数的有（    ） A．与 B．与 C． D．与 【变式7.2】（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．， 【变式7.3】（25-26高一上·甘肃天水·阶段练习）下面各组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 模块三 函数的表示法 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 【题型8 函数的表示法】 【例8】（24-25高一上·北京·期中）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高一上·内蒙古包头·期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学.下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式8.3】（25-26高一上·全国·课前预习）根据列表中的数据选择合适的模型，则（   ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 【题型9 函数解析式的求解】 【例9】（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【变式9.1】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式9.2】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足． 【变式9.3】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 【题型10 分段函数及其应用】 【例10】（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 【变式10.1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数若，则（    ） A． B． C．1 D．4 【变式10.2】（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 【变式10.3】（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)求函数的定义域及值域； (3)若，求的值； (4)求的值. 一、单选题 1．（25-26高一上·浙江·阶段练习）设集合，则下列图象能表示从集合到集合的函数关系的有（   ） A．   B．   C．   D．   2．（25-26高一上·浙江·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东淄博·阶段练习）设函数，若，则（    ） A．或2 B．或3 C．2 D．或2或3 4．（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，值域是的是（    ） A． B．（） C．（） D． 5．（24-25高一上·四川广安·开学考试）清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·四川成都·阶段练习）下面各组函数中是同一函数的是（    ） A．， B．与 C．， D．与 7．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）若函数，满足，且，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题 9．（24-25高一上·河南郑州·期中）下列图形中是以x为自变量，y为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）下列各组函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 11．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在R上的函数满足，则 三、填空题 12．（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）函数的定义域是 ． 13．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，则函数的值域为 ． 14．（25-26高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为 . 四、解答题 15．（24-25高一上·广西玉林·期中）根据以下要求求取定义域与值域 (1)已知的定义域为，求的定义域. (2)求下列函数的值域 ①； ②； ③； 16．（24-25高一·江苏·课后作业）试判断下列各组函数是否表示同一个函数． （1）与； （2）与； （3）与 ； （4），与，. 17．（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知为二次函数，且，求． 18．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式． 19．（2025高三下·浙江·学业考试）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且. （Ⅰ）若，，求的定义域； （Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值； （Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 函数的概念及其表示 【人教A版】 模块一 函数的概念 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 4．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 5．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【题型1 函数关系的判断】 【例1】（25-26高一上·河南郑州·阶段练习）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（    ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】C 【解题思路】根据函数的定义逐一判断即可. 【解答过程】对于A，因为，但是没有意义，0在中无对应的元素，A不符合题意； 对于B，因为对于任意一个实数，当时，无意义，B不符合题意； 对于C，任意一个实数，，因此同时满足任意性和唯一性，C符合题意； 对于D，当时，，不满足函数值的唯一性，D不符合题意. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】依题意，A中的任意一个数，通过对应关系在B中都有唯一的数与之对应，据此逐项检验即可． 【解答过程】由函数的定义可知，要使应关系能构成从A到B的函数， 须满足：对集合A中的任意一个数，通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应， 对于A选项，当时，，故不能构成函数； 对于B选项，当时，，故不能构成函数； 对于C选项，当时，，故不能构成函数； 对于D选项，集合A中的任意一个数，通过对应关系在集合B中都有唯一的数与之对应，故能构成函数. 故选：D． 【变式1.2】（25-26高一上·北京·阶段练习）下列图形可以表示函数图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解题思路】根据函数概念一个只能对应一个，逐项判断即可. 【解答过程】由图象可知C符合，ABD都出现一个对应多个的情况， 所以C对，ABD错误. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）集合，下列不能表示从A到B的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】ABD选项，求出值域均为集合的子集，且对每一个，有唯一确定的与其对应；C选项，求出值域不是集合的子集，故C不能表示从A到B的函数. 【解答过程】A选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数； B选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数； C选项，，当时，，故C不能表示从A到B的函数； D选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数； 故选：C. 【题型2 具体函数的定义域】 【例2】（25-26高一上·北京·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件列不等式组求函数定义域. 【解答过程】要使函数有意义，则 且. 所以所求函数的定义域为. 故选：C. 【变式2.1】（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用给定函数有意义，列出不等式组求出定义域. 【解答过程】由函数有意义，得，解得或， 所以所求定义域为. 故选：B. 【变式2.2】（24-25高三下·云南昭通·期中）函数的定义域为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据二次根号下非负结合分式不等式的解法可求函数的定义域. 【解答过程】由，可得， 即，解得， 即函数的定义域为， 故选：C． 【变式2.3】（25-26高一上·全国·课前预习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数有意义，列出不等式组即可. 【解答过程】由题可得且，则且， 故函数的定义域为. 故选：B. 【题型3 抽象、复合函数的定义域】 【例3】（25-26高一上·四川成都·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先根据抽象函数定义域问题得的定义域为，再结合，解出即可. 【解答过程】因为，则， 则的定义域为，则，解得， 则函数的定义域为. 故选：B. 【变式3.1】（25-26高一上·四川南充·阶段练习）已知函数的定义域是，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据的定义域，求出的定义域，再据此确定的定义域. 【解答过程】已知函数的定义域为，， 则的取值范围为，即的定义域为. 对于函数，由 ， 因此，函数的定义域为. 故选：D. 【变式3.2】（24-25高二下·吉林·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出的定义域，再结合，从而可求解. 【解答过程】由函数的定义域为， 有意义，则得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 【变式3.3】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得. 【解答过程】由函数的定义域为，得，则， 即的定义域为，在函数中，由，解得， 所以所求函数的定义域为. 故选：A. 【题型4 求函数的值域】 【例4】（24-25高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【解答过程】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C. 【变式4.1】（24-25高一上·浙江·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分离参数后，利用二次函数的性质求解最值，即可结合不等式的性质求解. 【解答过程】由可得， 由于函数，所以， 故， 故选：B. 【变式4.2】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先求出函数的定义域，令，将两边平方，求出取值范围，再由，即可求出的取值范围. 【解答过程】令，则，解得， 所以函数的定义域为， 则，因为，所以， 所以，则，所以， 显然，所以，即该函数的值域为. 故选：D. 【变式4.3】（24-25高一上·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【解答过程】令，则，， 则， 令，， 则，所以函数的值域为. 故选：B. 【题型5 由函数的定义域或值域求参数】 【例5】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【答案】A 【解题思路】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【解答过程】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 【变式5.1】（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，求出相应的的值，即可画出的图象，数形结合求出的最值，即可得解. 【解答过程】由，即，解得或， 所以， 当时，，所以， 当时，令，即，解得，， 则的图象如下所示： 因为函数在上的值域为， 当，（或，）时取得最小值， 即； 当，时取得最大值， 即； 所以的取值范围是. 故选：D. 【变式5.2】（24-25高一上·江西赣州·期中）已知函数. (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）由定义域为即可知不等式对恒成立，对进行分类讨论即可； （2）由的值域为可知函数的值域包括，限定的取值即可求得结果. 【解答过程】（1）因为的定义域为， 所以对恒成立. 当时，不恒成立，不合题意. 当时，由题意可得， 解得. 综上可知的取值范固为. （2）设函数的值域为. 因为的值域为，所以. 当时，的值域为，满足题意. 当时，由题意知，解得. 故的取值范围为. 【变式5.3】（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的定义域为，求实数的值； (3)若的定义域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)2 (3). 【解题思路】（1）配方求解值域； （2）得到-2和1是方程的两个根，由韦达定理求解； （3）考虑，和时，结合开口方向和根的判别式得到不等式，求出实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，， 所以的值域为. （2）因为的定义域为， 所以-2和1是方程的两个根， 故，解得，检验符合，故,. （3）当时，，定义域为，符合题意； 当时，，定义域不为，不符合题意； 当时，由题意，在上恒成立， 令，解得， 综上所述，实数的取值范围. 【题型6 求函数值或由函数值求参】 【例6】（24-25高二下·河南商丘·期末）已知，则（ ） A．31 B．17 C．15 D．7 【答案】A 【解题思路】令，求出，然后代入解析式中即可求出的值. 【解答过程】令，则， 得． 故选：A． 【变式6.1】（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知函数的定义域为R，且，若，则（    ） A．－2024 B．－2023 C．4049 D．4050 【答案】B 【解题思路】令可得，利用即可求解. 【解答过程】令，可得，即， 所以 ． 故选：B． 【变式6.2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知函数， (1)当时，求的值； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2)2 【解题思路】（1）直接代入计算函数值即可； （2）由函数值建立方程计算即可. 【解答过程】（1）将代入解析式有：； （2）由题意可知 即 ． 【变式6.3】（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知数. (1)求函数的定义域 (2)求； (3)已知，求的值. 【答案】(1)或 (2)， (3) 【解题思路】（1）根据函数定义域的求法求得正确答案. （2）根据函数的解析式求得正确答案. （3）根据已知条件解方程来求得. 【解答过程】（1）由解析式知：，可得且， 故定义域为或， （2）， . （3）由，， 所以，显然在定义域内， 所以. 模块二 函数的相等 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 【题型7 判断两个函数是否相等】 【例7】（25-26高一上·山东·阶段练习）下列各选项中的两个函数为同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解题思路】利用函数三要素：定义域，对应关系，值域，可判断. 【解答过程】对于选项 A：的定义域为，而的定义域为 ， 因两函数定义域不同，故不是同一函数，故A错误； 对于选项 B：，由，得 ，故定义域为 则（当 )， 而，显然函数定义域为 ，则， 因两函数的定义域均为 ，且对任意 ，均有 . 故两函数是同一函数，即B正确； 对于选项 C：，由 ，得 或 ，即 定义域为 ， 而，由 且 ，可得 ，即 定义域为 ， 两函数定义域不同，故不是同一函数，即C错误； 对于选项 D：，由 ，得 ，即定义域为 ， 而的定义域为，即两函数的定义域不同，故不是同一函数，即D错误. 故选：B. 【变式7.1】（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）下列两个函数是相同函数的有（    ） A．与 B．与 C． D．与 【答案】D 【解题思路】根据相同函数须定义域、值域、对应关系均相同，逐项判断即可. 【解答过程】对于选项的定义域为的定义域为， 两函数定义域不相同，故不是相同函数，故A错误； 对于选项的定义域是，定义域不R . 两函数定义域不相同，故不是相同函数，故B错误； 对于选项的对应关系不同， 且的值域是由不小于的奇数组成的集合，的值域为不小于1的奇数组成的集合. 故不是相同函数，故C错误； 对于选项，函数的定义域、对应关系均相同， 所以两函数是相同函数，故D正确. 故选：D. 【变式7.2】（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．， 【答案】D 【解题思路】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【解答过程】对于选项A：由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于选项C：函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于选项D：函数、的定义域均为， 且，可知定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 【变式7.3】（25-26高一上·甘肃天水·阶段练习）下面各组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出两个函数定义域以及化简对应关系.若两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断答案. 【解答过程】对于选项A：因为的定义域为R，的定义域为， 即函数定义域不相同，所以函数不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：和的定义域均为R， 且，即函数的对应关系相同， 所以函数是同一个函数，故B正确； 对于选项C：的定义域为，的定义域为R， 即函数定义域不相同，所以函数不是同一个函数，故C错误； 对于选项D：的定义域为，的定义域为R， 所以函数不是同一个函数，故D错误； 故选：B. 模块三 函数的表示法 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 【题型8 函数的表示法】 【例8】（24-25高一上·北京·期中）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】可分余数为和两种情况分别表示出班级人数和代表人数关系式，再推理即可判断得答案. 【解答过程】设各班人数除以10的余数为， 当时，，，， ； 当时，，，， ， 所以所求的函数关系为. 故选：B. 【变式8.1】（24-25高一上·内蒙古包头·期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学.下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，由实际背景出发确定图象的特征即可得解. 【解答过程】中途返回家中，则离开家的距离先增大，后减小至0，到家找作业本，再离开家到学校，选项D吻合最好. 故选：D. 【变式8.2】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据解析式代入验证即可. 【解答过程】因为，而， 所以. 故选：C. 【变式8.3】（25-26高一上·全国·课前预习）根据列表中的数据选择合适的模型，则（   ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】观察表格数据，检验选项中解析式即可得解. 【解答过程】A项：，A错误； B项：，B错误； C项：，C错误； D项： 满足表中的数据，D正确． 故选：D. 【题型9 函数解析式的求解】 【例9】（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【解答过程】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式9.1】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用换元法求出，进而求出. 【解答过程】令，则，， 所以. 故选：C. 【变式9.2】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知是一次函数，且，求的解析式； (2)已知是二次函数，且满足． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果； （2）利用待定系数法，即可求得答案． 【解答过程】（1）设，则， ，解得，或， 或． （2）由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以． 【变式9.3】（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得； （2）利用配凑法，结合已知函数解析式，即可求得； （3）用替换的，得到，与原式组成方程组，解方程组即可得到的解析式. 【解答过程】（1）令，则， 于是有， 所以. （2）函数，又的值域为， . （3）∵， ∴用替换上式中的，得到， 解方程组，得. 【题型10 分段函数及其应用】 【例10】（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【解题思路】将自变量的值代入函数解析式，求值即可得到答案. 【解答过程】，所以， 故选：D. 【变式10.1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数若，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【解题思路】分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的等式，即可解得实数的值 【解答过程】当时，，当时，， 因为，所以，即，所以， 所以，即，解得． 故选：. 【变式10.2】（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 【答案】(1)，， (2)或1或 (3)图象见解析， 【解题思路】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式易求时，的值域. 【解答过程】（1）因为， 所以，， . （2）当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴或（舍）. 综上所述，m的值为或1或. （3）函数的图象，如图所示： 当，， 当，， 综上所述：结合图象可得的值域为. 【变式10.3】（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)求函数的定义域及值域； (3)若，求的值； (4)求的值. 【答案】(1)图象见解析 (2)定义域为，值域为 (3)或 (4) 【解题思路】（1）根据函数解析式画出函数图象； （2）由解析式得到定义域，结合图象求出值域； （3）由解析式分段计算； （4）根据解析式由内到外依次计算即可. 【解答过程】（1）因为，所以函数的图象如下所示： （2）因为，所以的定义域为， 由的图象可知，当时取得最大值，即， 所以的值域为； （3）因为， 令，则或或， 解得或或， 综上可得所对应的的值为或. （4）因为， 所以，则，， 所以. 一、单选题 1．（25-26高一上·浙江·阶段练习）设集合，则下列图象能表示从集合到集合的函数关系的有（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据函数关系的定义逐个判断即可. 【解答过程】A选项，集合P中的这部分在集合Q中没有元素对应，故A选项错误； B选项，，均存在唯一与其对应，故B选项正确； C选项，存在集合P中一个元素对应集合Q中的两个元素，故C选项错误； D选项，集合P中的元素2对应了集合Q中的两个元素，故D选项错误； 故选：B. 2．（25-26高一上·浙江·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数有意义，结合抽象函数的定义列不等式式求出定义域. 【解答过程】由函数的定义域是及有意义， 得，解得，且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 3．（25-26高一上·山东淄博·阶段练习）设函数，若，则（    ） A．或2 B．或3 C．2 D．或2或3 【答案】A 【解题思路】由分段函数列方程直接求解即可. 【解答过程】因为函数，由， 所以或，解得：或. 故选：A. 4．（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，值域是的是（    ） A． B．（） C．（） D． 【答案】D 【解题思路】分别求出各函数的值域即可. 【解答过程】因为，所以函数值域为，故A错误； 因为时，，故B错误； 因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：D． 5．（24-25高一上·四川广安·开学考试）清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件描述得离家距离是先减少后增加，则得到答案. 【解答过程】因为横坐标为时间，纵坐标为离家距离， 条件描述为儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内， 则离家距离是先减少后增加，故C正确. 故选：C. 6．（25-26高一上·四川成都·阶段练习）下面各组函数中是同一函数的是（    ） A．， B．与 C．， D．与 【答案】B 【解题思路】结合同一函数的概念逐项判断即得. 【解答过程】对于A，函数， 所以两函数对应关系不同，故A错误； 对于B，函数和函数的定义域均为，且函数， 两函数定义域和对应法则均相同，故B正确； 对于C，两函数对应关系不同，故C错误； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数定义域不同，故D错误； 故选：B. 7．（25-26高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】换元法求解析式. 【解答过程】设，则，， 所以， 所以， 故选：B. 8．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）若函数，满足，且，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】应用赋值法及方程组法计算求解. 【解答过程】令可得，所以； 令可得； 令可得， 所以， 所以， 令可得，所以， 所以. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一上·河南郑州·期中）下列图形中是以x为自变量，y为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】根据函数定义，结合函数图象的性质逐一判断即可. 【解答过程】由函数的定义可知，只有选项C中，当时，有二个函数值与对应，不符合函数定义， 故选：ABD. 10．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）下列各组函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【解题思路】分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式是否相同即可. 【解答过程】对于A，函数的定义域为，而的定义域为，故A错误； 对于B，函数的定义域为，而的定义域为， 且，故B正确； 对于C，函数的定义域为，而的定义域为，故C错误； 对于D，函数的定义域为，而的定义域为， 且，故D正确. 故选：BD. 11．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在R上的函数满足，则 【答案】AD 【解题思路】对于A，用替换中的 ，求出的解析式，即可判断；对于B，由题意可得，再由，即可得的解析式，即可判断；对于C，设，根据题意求出的值，即可判断；对于D，用替换中的，由两式中消去，可得的解析式，即可判断. 【解答过程】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 因为，所以，故B不正确； 对于C，设，则， 所以，解得或， 所以或，故C不正确； 对于D，因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①+②，得， 所以，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）函数的定义域是 ． 【答案】 【解题思路】根据分母不为，偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为得到不等式组，解得即可. 【解答过程】对于函数，则，解得且， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 13．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，则函数的值域为 ． 【答案】 【解题思路】化简函数解析式为，结合基本不等式可求得函数的值域. 【解答过程】因为，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的值域为. 故答案为：. 14．（25-26高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【解题思路】根据分段函数分类讨论，解不等式即可得解. 【解答过程】当时，，即， 解得， 当时，，即， 解得， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·广西玉林·期中）根据以下要求求取定义域与值域 (1)已知的定义域为，求的定义域. (2)求下列函数的值域 ①； ②； ③； 【答案】(1)； (2)①；②；③. 【解题思路】（1）根据给定条件，利用抽象函数定义域求法求解即可. （1）①②利用配方法，借助二次函数求出值域；③利用分式函数求值域的方法求解即得. 【解答过程】（1）在函数中，，则， 因此在函数中，，解得， 所以函数的定义域为. （2）①函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. ②函数的定义域为， ，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. ③函数的定义域为，， 所以函数的值域为. 16．（24-25高一·江苏·课后作业）试判断下列各组函数是否表示同一个函数． （1）与； （2）与； （3）与 ； （4），与，. 【答案】（1）不是；（2）不是；（3）是；（4）不是. 【解题思路】（1）求两个函数的定义域即可求解； （2）根据两个函数的对应关系即可求解； （3）求两个函数的定义域和对应关系即可求解； （4）根据两个函数的对应关系即可求解； 【解答过程】（1）函数，定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以它们不是同一个函数； （2）因为，，对应关系不同，所以它们不是同一个函数． （3）因为定义域为， ，两个函数的对应关系、定义域均相同，所以它们是同一个函数； （4）因为，，，，两个函数的对应关系不同，所以它们不是同一个函数． 17．（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知为二次函数，且，求． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）令，求出后代入即可得； （2）设，代入已知等式，由恒等式知识求解． 【解答过程】（1）令，则， 于是有，所以； （2）设， ， 所以，解得，所以． 18．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式． 【答案】(1)1 (2)或2 (3) 【解题思路】（1）由分段函数解析式先求，再求， （2）分，两种情况，由结合分段函数解析式列方程求即可， （3）分，两种情况，由结合分段函数解析式列不等式求其解集. 【解答过程】（1）因为，， 所以，因为， 所以， （2）当时，，又，所以， 当时，，又， 所以，故， 综上，的值为或2 （3）当时，，所以， 当时，，所以， 综上，原不等式的解集为. 19．（2025高三下·浙江·学业考试）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且. （Ⅰ）若，，求的定义域； （Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值； （Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解题思路】（Ⅰ）当，时，解出不等式组即可； （Ⅱ）当时，，分、两种情况讨论即可； （Ⅲ）分、且、且三种情况讨论即可. 【解答过程】（Ⅰ）当，时，由题意知：，解得：. ∴的定义域为； （Ⅱ）当时，， （1）当，即时，的定义域为，值域为， ∴时，不是“同域函数”. （2）当，即时，当且仅当时，为“同域函数”. ∴. 综上所述，的值为. （Ⅲ）设的定义域为，值域为. （1）当时，，此时，，，从而， ∴不是“同域函数”. （2）当，即， 设，则的定义域. ①当，即时，的值域. 若为“同域函数”，则， 从而，， 又∵，∴的取值范围为. ②当，即时，的值域. 若为“同域函数”，则， 从而，     此时，由，可知不成立. 综上所述，的取值范围为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $