第11讲 函数的奇偶性及函数性质综合（十大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第11讲 函数的奇偶性及函数性质综合 【人教A版】 模块一 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔∀x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【题型1 函数奇偶性的判断】 【例1】（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据偶函数的定义，逐项分析即可得解. 【解答过程】对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误； 对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数定义域为R，且，所以是偶函数，故C正确； 对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高二下·广东深圳·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据奇函数的定义即可得出判断． 【解答过程】对于A，，设， ，所以为奇函数，故A符合题意； 对于B，，， 定义域关于原点不对称，所以是非奇非偶函数，故B不合题意； 对于C，， 设， 则，不为奇函数，故C不合题意； 对于D，， 定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数，故D不合题意； 故选：A． 【变式1.2】（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数的奇偶性的定义依次判断即可. 【解答过程】对A，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故A不符合题意； 对B，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故B不符合题意； 对C，函数定义域为，关于原点对称，，满足，故C符合题意； 对D，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故D不符合题意. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】D 【解题思路】根据奇偶性的定义判断即可. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，所以； 是定义在上的偶函数，所以， 则，所以为奇函数，故A错误； ，所以为偶函数，故B错误； ，则为非奇非偶函数，故C错误； ，故为偶函数，故D正确. 故选：D. 【题型2 由函数奇偶性求函数值、解析式】 【例2】（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【解答过程】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高二下·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由偶函数的性质即可求解. 【解答过程】当时，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 故选：C. 【变式2.2】（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由奇函数性质可得，再利用计算即可得. 【解答过程】由是定义在上的奇函数，则，则， 则当时，，则. 故选：D. 【变式2.3】（24-25高一上·重庆·期中）已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用奇函数的定义计算即可. 【解答过程】因为为上的奇函数，当时， 因为，所以， 所以. 故选：C. 【题型3 由函数奇偶性求参数】 【例3】（25-26高一上·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】由偶函数定义域关于原点对称求出的值，再由偶函数的定义式求出b即可. 【解答过程】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即，即， 因不恒为0，故，则. 故选：. 【变式3.1】（24-25高一下·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 【答案】A 【解题思路】由奇函数的定义构造等式求解即可； 【解答过程】易知的定义域为， 由奇函数的定义可知，， 则， 整理得恒成立， 所以，解得. 故选：A. 【变式3.2】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，由偶函数的定义可得，可求的值，进而可求得结论. 【解答过程】因为是定义在上的偶函数， 所以，解得，所以定义域为 又，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：D. 【变式3.3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】的对称中心为，根据为奇函数得到关于对称即可得解； 【解答过程】， 因为， 所以的对称中心为， 由题意得函数为奇函数关于对称， 则关于对称， 解得， 故选：A. 【题型4 由函数奇偶性解不等式】 【例4】（25-26高三上·安徽·开学考试）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可. 【解答过程】由题意，函数是定义在上的偶函数， 所以，解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得， 所以原不等式解集为. 故选：B. 【变式4.1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由偶函数知，时；当时，故，结合区间单调性和定义域列不等式求参数范围. 【解答过程】因为是上的偶函数，所以， 又在上单调递增，结合，所以， 解得或， 故实数的取值范围为． 故选：C. 【变式4.2】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的奇函数，对任意，有，的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据已知条件判断函数的单调性，再利用奇函数的性质将不等式进行转化，最后求解不等式. 【解答过程】已知对任意，有，这表明当时，；当时，. 即当时，，所以函数在上是减函数. 因为是定义域为的奇函数，所以，那么. 所以可化为，即. 由于在上是减函数，且，根据减函数的性质可得. 得到.可得. 所以不等式的解集为. 故选：B. 【变式4.3】（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对进行变形，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【解答过程】由可得，设函数，， 则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数，在上单调递减， 而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 故选：B. 模块二 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【题型5 函数图象的识别与判断】 【例5】（2025高一上·广东·专题练习）函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】通过函数定义域及奇偶性和函数值逐个判断即可. 【解答过程】易知，无解，图像不可能和轴有交点，故排除A， 因为，定义域为 所以， 故为偶函数，排除C， 时，，排除D． 故选：B. 【变式5.1】（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断函数的奇偶性即可排除BD，再结合函数值正负判断即可. 【解答过程】由，， 则， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故BD错误； 而， 则时，；时，，故A满足题意，C错误. 故选：A. 【变式5.2】（25-26高一上·全国·单元测试）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由解析式求函数的定义域并判断奇偶性，结合上的单调性，应用排除法即可得. 【解答过程】由得的定义域为，又，故为偶函数，排除B，C； 当时，，则在上单调递增，排除D， 故选：A. 【变式5.3】（25-26高一上·全国·单元测试）函数在上的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的奇偶性和特殊点坐标判断即可. 【解答过程】令，的定义域为， ， 则是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项； 又，则排除选项A. 故选：B. 【题型6 函数图象的应用】 【例6】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知定义域为的奇函数在的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C．在定义域上不存在最小值 D．在的最大值与最小值之和为 【答案】C 【解题思路】利用为定义域在的奇函数，结合图象逐项进行判断即可. 【解答过程】对于A，由为定义域在的奇函数，则图象关于点对称，, 由图知，则，故A正确； 对于B，，为奇函数，则，故B正确； 对于C，由图知在的最大值为，则在的最小值为， 因此可得在定义域上存在最小值为，故C错误； 对于D，由在的最大值为，最小值为，则最大值与最小值之和为，故D正确. 故选：C. 【变式6.1】（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题设，将不等式化为，结合奇函数对称性及图象确定其解集. 【解答过程】由题设，即， 当时，， 由图可知，时，时， 当时，， 根据奇函数的对称性，有时，时， 所以，不等式的解集为. 故选：D. 【变式6.2】（24-25高一上·北京·期中）已知函数、的图象如图，则不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分析与的取值情况，不等式等价于或，解得即可. 【解答过程】由的图象可知当时，当时， 当的图象可知当时，当时， 不等式等价于或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【变式6.3】（24-25高一上·山东聊城·期中）已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】不等式转化为或，再结合函数的性质和图象，即可求解. 【解答过程】由得：或 因为是偶函数，图象关于原点对称； 是奇函数，图象关于轴对称； 所以可得或， 解得或或， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 【题型7 函数的对称性及其应用】 【例7】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分离常数，结合中心对称的定义即可求解. 【解答过程】由题意可得， 注意到， 所以函数的图象关于点对称， 所以. 故选：D. 【变式7.1】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数与具有相同的对称中心，则（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】易知的图象关于点对称，由可知的图象关于点对称，进而求解. 【解答过程】易知的图象关于点对称， 因为， 所以的图象关于点对称， 由题意可得，即. 经检验符合题意． 故选：C． 【变式7.2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）定义在上的函数满足：，且是偶函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于直线对称 C． D． 【答案】A 【解题思路】由条件可得为奇函数，结合奇函数性质及图象变换判断A，结合偶函数性质及图象变换判断B，根据对称性证明结论判断C，根据周期性，并通过求求结论判断D. 【解答过程】 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 所以的图象关于点对称，故A错误； 因为是偶函数， 所以函数的图象关于轴对称， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 因为， 代入中， 得到，进而， 因此，故C正确； 由可得，函数为周期函数，为函数的一个周期， 可得，，， 由可得，， 所以， 所以，故D正确． 故选：A． 【变式7.3】（24-25高一上·北京·期中）已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先利用对称性将不在上的自变量值转化到上对应的自变量值，再根据单调性比较函数值大小. 【解答过程】因为函数的图象关于直线对称，所以有. 那么，. 已知函数在上单调递增. 在上，，根据单调性，当时，，所以. 即，也就是. 故选：A. 【题型8 函数的周期性及其应用】 【例8】（24-25高一上·安徽·阶段练习）函数的定义域为为奇函数，且，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【解题思路】由可判断是周期为6的函数，再结合的性质，计算的值，结合周期性得到. 【解答过程】由可知， 所以， 又有， 故得， 由为奇函数可知关于中心对称， 通过赋值计算知： ， 故． 故选：B. 【变式8.1】（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）已知函数的定义域为R，值域为，若，函数为偶函数，，则（   ） A．4050 B．4552 C．4554 D．4556 【答案】C 【解题思路】由条件证明为周期函数，周期为，再证明函数为偶函数，再结合函数性质求，利用加法的运算律求结论. 【解答过程】由可得，① 对任意的，，所以，，② 由①②可得，所以函数是周期为4的周期函数. 因为为偶函数，则， 因为，由可得， 且，由可得， 因为，所以，，故函数为偶函数， 因为，则，所以，， 由可得，因为，所以， 故选：C. 【变式8.2】（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）设定义在上的函数的图象关于对称，为奇函数，若，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．2025 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，结合奇函数定义及对称性求出函数的周期，进而求出函数值. 【解答过程】在上的函数的图象关于对称，则， 由为奇函数，得，于是， ，因此函数是以4为周期的周期函数， 由，得，由，得， 而，则，所以. 故选：B. 【变式8.3】（24-25高一上·重庆·期中）若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【答案】A 【解题思路】利用赋值法，判断函数的周期，对称性，再利用周期性和对称性求值. 【解答过程】令，，得，得， 令，， 又，故，即， 故得到周期， 令，，即，故是偶函数， 又，，所以得到图象关于对称， 所以，，，， 所以. 故选：A. 【题型9 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 【例9】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为上减函数；④为奇函数；其中正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①④ C．①② D．①②③④ 【答案】A 【解题思路】利用抽象函数的关系式，令判断①的正误；令，判断②的正误；令，可得当时，，再令，结合单调性的定义判断③的正误；令判断④的正误； 【解答过程】因为， 故令，可得， 即，解得，故①正确； 令，，可得， 又， 即，解得， 再令，可得， 即，故②正确； 令，可得， 即 因为，则，可得，所以， 令，不妨设， 可得，即， 因为，则，则， 可得，即， 所以为上增函数，故③错误； 令，可得， 即，整理得， 所以为奇函数，故④正确； 故选：A． 【变式9.1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域均为为奇函数，且，则（    ） A．不为偶函数 B．为奇函数 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知等式关系结合函数的奇偶性与对称性即可求得函数均是周期为4的周期函数，利用周期性与对称性计算，逐项判断即可得答案 【解答过程】因为， 所以，与联立可得， 即的图象关于直线对称， 又为奇函数，则， 所以，即， 所以，所以是周期为4的周期函数， 因为，所以也是周期为4的周期函数， 因为，，所以， 即，从而为偶函数，故A错误． 又为奇函数，则，即， 所以 ， 故 ，故C错误． 由，得，则不可能为奇函数，故B错误． 可求 ， 所以，故D正确． 故选D． 【变式9.2】（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）取计算出，再取即可； （2）取，再取计算出即可； （3）利用定义法证明函数在上的单调性，再结合函数奇偶性得出函数在上的单调性. 【解答过程】（1）取代入，得， 取代入， 得，故. （2）取代入，得， 取代入，所以， 所以，因为当时，，所以为偶函数. （3）设，则，由题设. 所以在上单调递增. 因为为偶函数，所以，而，所以在上单调递减. 【变式9.3】（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1)，函数为偶函数，理由见解析； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3)或 【解题思路】（1）利用赋值法可求解，通过赋值构造和的关系式，结合函数奇偶性的定义可判断奇偶性； （2）利用赋值法构造的表达式，结合题意判断符号，进而判断单调性； （3）利用赋值法得，结合函数的单调性和奇偶性可解不等式. 【解答过程】（1）由题意知，函数满足：， 令，则，解得， 令，则，解得， 函数为偶函数，理由如下： 由题意，函数的定义域为， 令，则，即， 所以函数为偶函数. （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，令，， 则，即， 因为，则，由题意知， 所以，即， 所以函数在上单调递减. （3）由，得； 令，则，所以， 因为函数为偶函数，所以， 当时，因为函数在上单调递减， 所以由，得，即，解得； 因为函数为偶函数，且函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 当时，由，得， 所以，解得； 综上所述，不等式的解集为或. 【题型10 函数性质的综合】 【例10】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对 ，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上为增函数，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据，求出，，再检验即得解； （2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明； （3）分析得到对任意的恒成立，解不等式组即得解. 【解答过程】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 又因为，即，解得， 经检验可得，符合题意． 所以当时，， 令则， 所以， 则当 综上所述，； （2）函数在上是增函数． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为 ， 所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3）由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则 对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是. 【变式10.1】（24-25高一上·辽宁朝阳·期中）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）由奇函数的性质及已知函数值，列方程求参数值即可； （2）应用单调性定义求证函数的区间单调性即可； （3）根据奇偶性和单调性解不等式. 【解答过程】（1）是定义在上的奇函数， ，即， ，则， ， ， 函数解析式为． （2）任取，且， ， ，则，，， ，即， 是上的增函数． （3）， ， 是上的奇函数， ， ， 为上的增函数， ，解得， 不等式的解集为． 【变式10.2】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且 (1)求和的解析式 (2)若对于任意，，都有，求实数的取值范围 (3)在上有两个零点，求实数的取值范围 【答案】(1)， (2) (3) 【解题思路】（1）运用奇偶性得性质，构造方程组，解出解析式即可； （2）对式子变形，构造函数，研究单调性解题即可； （3）根据零点个数，结合二次函数图象，判定零点的位置与对称轴关系，构造不等式组计算. 【解答过程】（1）根据题意，，则， 两式相加可得， 又由是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， 所以，即，. （2）若对于任意，都有，变形可得， 令，则在区间上单调递减， （1）若，则在上单调递减，满足题意； （2）若，则是对称轴为的二次函数， 若在区间上单调递减，或， 综上可得，所以实数的取值范围为. （3）， 函数在上有两个零点，则 ，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式10.3】（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2)在上单调递增，证明见解析 (3)． 【解题思路】（1）令，结合得，利用奇函数定义即可证明； （2）先利用条件证时，，然后利用函数单调性的定义以及已知条件，判断函数单调性即可； （3）先判断在R上的单调递增，求出函数的最值，然后将问题转化为恒成立，即对恒成立，列不等式组求解即可. 【解答过程】（1）函数为R上的奇函数.证明如下： 易知函数的定义域为，令，则， 又，所以，所以函数为奇函数. （2）在上的单调递增，证明如下： 由（1）知，， 当时，，所以， 从而， ，则 ， 因为，所以，又当时，， 所以，所以，所以， 故在上的单调递增. （3）由（1）知，函数为R上的奇函数，所以， 由（2）知，当时，，且在上的单调递增， 所以在上的单调递增， 所以当时，函数的最大值为，最小值为， 又任意，总有恒成立， 所以，即， 由题意，对恒成立，令，则， 所以，解得或， 故实数的取值范围是. 一、单选题 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数为偶函数，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】先由偶函数性质求，再求. 【解答过程】由函数为偶函数， 定义域为关于原点对称，所以， 所以符合题意，所以. 故选：D. 2．（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，写出各项对应函数的解析式，利用函数奇偶性的定义依次判断各项对应函数的奇偶性. 【解答过程】因为， A：，而，显然不是奇函数，不符； B：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； C：，其中且定义域为，易知为奇函数； D：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； 故选：C. 3．（25-26高一上·吉林白城·阶段练习）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据奇偶性，正负情况以及增长趋势判断即可. 【解答过程】函数的定义域为， ，该函数为奇函数，故A错误； 当时，，故D错误； 当时，，且， 当增大时，的值也越来越大，故C错误，故B正确. 故选：B. 4．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数满足，且，则的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解题思路】由题可得函数的周期为4，利用周期求解. 【解答过程】由，得， 两式相减得，即， 所以函数的周期为4，又，，所以， 因为,， ， . 故选：B. 5．（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】利用为偶函数和的图象关于直线对称得依次得到和，进而求出函数是周期为6的周期函数，根据周期性即可分析求解. 【解答过程】因为为偶函数，所以，即， 故的图象关于直线对称， 由的图象关于直线对称得 ， 即对任意恒成立，则， 所以图象关于点对称， 又，所以，即， 所以，所以是周期为6的周期函数， 又当时，的图象关于直线对称， 所以当时，， 所以，， 所以， 所以 ． 故选：C. 6．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，确定函数在上单调性，再利用函数的性质求解不等式. 【解答过程】对于且， 不等式恒成立， 得在上单调递增，又是定义在上的奇函数， 且，则在上单调递增且， 解不等式，得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 7．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数在是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，由函数的单调性以及对称性将不等式化简，然后代入计算，即可得到结果. 【解答过程】因为关于轴对称，则关于对称， 又函数在是增函数，所以在是减函数， 由可得， 由函数的单调性以及对称性可得， 即，化简可得，解得或， 则实数的取值范围是. 故选：D. 8．（24-25高一下·海南海口·期末）已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在区间上单调递减 C．的周期为3 D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法逐项分析判断. 【解答过程】对于A，令，得，则， 令，得，函数是偶函数，A错误； 对于B，令，得，而，则函数在上不是单调递减函数，B错误； 对于C，令，得，则， 令，，得，则，，C错误； 对于D，由为偶函数，得，D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一上·广东江门·期中）下列函数是偶函数且在上是增函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】利用函数奇偶性定义，结合单调性逐项判断. 【解答过程】对于AC，函数，定义域均为R，都是偶函数，在上都是增函数，AC正确； 对于B，函数是R上的奇函数，不是偶函数，B错误； 对于C，函数的定义域为， 且，故是偶函数， 且在上是增函数，D正确. 故选：ACD. 10．（25-26高一上·全国·期中）已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（ ） A． B． C．在区间上单调递减 D． 【答案】ABD 【解题思路】由题意可得，，进而求解判断AB；结合周期和对称性可判断出单调区间，即可判断CD. 【解答过程】由知是定义在上的奇函数，则，且， 又的图象关于对称，则， 令，则，故A正确； 由，得， 则，故B正确； 由为奇函数，且时，单调递减，则其在单调递减， 又图象关于对称，则在区间上的单调性与在区间的单调性相反，即在区间上单调递增，故C错误； 由，则， 故的周期为4，则在上的单调性与在上的单调性相同， 即在的单调递减，而，且， 则，故D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数是偶函数 C．函数是周期为4的周期函数 D． 【答案】ABD 【解题思路】对A，令结合条件可得解；对B，令结合偶函数定义可判断；对C，令，可得，，联立并化简可得即可推出周期判断；对D，令，得，用代替，得，相加运算得解. 【解答过程】对于A，由，令，可得， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，可得，即，所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，得， ，从而得，即， 所以，所以是周期为6的周期函数，故C错误； 对于D，令，得， 用代替，得， ，由可得， ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 【答案】2 【解题思路】由奇函数定义及性质求解. 【解答过程】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得． 因为是奇函数，所以，所以， 即，解得，所以． 故答案为：2. 13．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数．若，则的值为 ． 【答案】4046 【解题思路】根据为奇函数推出，得出的图象关于点（2，2）对称；根据为偶函数，推出，得出的图象关于直线对称，综合推出为周期是4的周期函数.根据周期函数的性质，计算一个周期的函数值，从而得出结论. 【解答过程】由为奇函数，得， 即， 所以，即的图象关于点（2，2）对称． 由为偶函数，得， 即， 所以，所以的图象关于直线对称． 综上，， 所以为周期是4的周期函数. 因此对于,， ， ， . 所以 ． 故答案为：4046. 14．（25-26高一上·全国·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解题思路】构造函数判断奇偶性及单调性，利用其单调性解不等式即可. 【解答过程】对任意的，且，都有不等式， 不妨设，则， 令，则，即函数在上为增函数， 因为函数为R上的奇函数，即， 则，所以函数为偶函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，则， 当时，即当时， 由可得， 则，解得； 当时，即当时， 由可得， 则，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课堂例题）根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)奇函数； (2)偶函数； (3)偶函数； (4)偶函数； (5)非奇非偶函数 【解题思路】（1）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （2）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （3）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （4）判断函数的定义域为，再说明总有,由函数奇偶性的定义即可得解. （5）判断函数的定义域为，由函数奇偶性的定义即可得解. 【解答过程】（1）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有, 所以函数是奇函数； （2）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （3）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （4）依题意知函数的定义域为， 当时，，所以，，则， 当时，，所以，，则 所以为偶函数. （5）函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数. 16．（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)求满足不等式的的取值范围. 【答案】(1)， (2)函数在上的单调递增.证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由函数是定义在上的奇函数，则，结合，求出，，即可得到函数的解析式； （2）任取且，化简，然后判断的符号，即可判断函数的单调性； （3）由题可得，再根据函数在上的单调递增，列不等式，求解即可. 【解答过程】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以函数的解析式为，； （2）函数在上的单调递增. 任取，且， 则 因为，则，，，， 所以，所以， 所以函数在上的单调递增； （3）因为是定义在上的奇函数，所以， 由可得， 因为函数在上的单调递增， 则，解得. 17．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数. (1)求曲线的对称中心； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 【解题思路】（1）首先设函数，判断函数是奇函数，即可判断函数的对称中心； （2）根据函数单调性的定义，结合作差法，即可证明. 【解答过程】（1）设， 则函数的定义域为，其定义域关于原点对称， 且， 所以为奇函数， 所以函数的对称中心为. （2）函数在上单调递减. 证明：，且， 则 ， 因为，所以， 又，所以，所以，即， 所以函数在上单调递减. 18．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，解不等式 【答案】(1)为奇函数，证明见解析； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3). 【解题思路】（1）令，求出，然后令，即可得到的关系，即可得到函数的奇偶性； （2）令，即可得到，结合题意得到的正负，即可得到函数的单调性； （3）由题意求得，再由题中关系式得到不等式，结合（2）中结论得到二次不等式，即可解得的范围. 【解答过程】（1）令，则，解得， 令，即，则， 所以为奇函数. （2）令，则 ∵， ∴， ∵当时，， 即， ∴函数在上单调递减. （3）由， 由题设，即， 由（2）可知，即，得， ∴. 19．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析； (3). 【解题思路】（1）利用与求出的值并验证即可. （2）判断函数单调性，再利用定义法证明函数的单调性. （3）求出函数在指定区间上的最大值，再结合已知列出不等式，求出实数k的范围. 【解答过程】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 则，又，于是，解得， ，，即是奇函数， 所以. （2）函数在上的单调递减，理由如下： 任意，且， 则 ， 由，得， 则，即，因此 所以函数在上的单调递减. （3）由对任意的，总存在，使得成立， 得在上的最大值不大于在上的最大值， 由函数在上的单调递减，得， 当时，，恒成立，因此； 当时，在上单调递增，， 则，解得，因此； 当时，在上单调递减，， 则，解得，因此， 所以实数k的取值范围是. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 函数的奇偶性及函数性质综合 【人教A版】 模块一 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔∀x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【题型1 函数奇偶性的判断】 【例1】（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二下·广东深圳·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【题型2 由函数奇偶性求函数值、解析式】 【例2】（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二下·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一上·重庆·期中）已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【题型3 由函数奇偶性求参数】 【例3】（25-26高一上·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3.1】（24-25高一下·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 【变式3.2】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【题型4 由函数奇偶性解不等式】 【例4】（25-26高三上·安徽·开学考试）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的奇函数，对任意，有，的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 模块二 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【题型5 函数图象的识别与判断】 【例5】（2025高一上·广东·专题练习）函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【变式5.1】（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（25-26高一上·全国·单元测试）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式5.3】（25-26高一上·全国·单元测试）函数在上的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【题型6 函数图象的应用】 【例6】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知定义域为的奇函数在的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C．在定义域上不存在最小值 D．在的最大值与最小值之和为 【变式6.1】（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一上·北京·期中）已知函数、的图象如图，则不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高一上·山东聊城·期中）已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【题型7 函数的对称性及其应用】 【例7】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数与具有相同的对称中心，则（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【变式7.2】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）定义在上的函数满足：，且是偶函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于直线对称 C． D． 【变式7.3】（24-25高一上·北京·期中）已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型8 函数的周期性及其应用】 【例8】（24-25高一上·安徽·阶段练习）函数的定义域为为奇函数，且，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式8.1】（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）已知函数的定义域为R，值域为，若，函数为偶函数，，则（   ） A．4050 B．4552 C．4554 D．4556 【变式8.2】（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）设定义在上的函数的图象关于对称，为奇函数，若，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．2025 【变式8.3】（24-25高一上·重庆·期中）若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【题型9 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 【例9】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为上减函数；④为奇函数；其中正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①④ C．①② D．①②③④ 【变式9.1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域均为为奇函数，且，则（    ） A．不为偶函数 B．为奇函数 C． D． 【变式9.2】（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【变式9.3】（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 【题型10 函数性质的综合】 【例10】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对 ，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【变式10.1】（24-25高一上·辽宁朝阳·期中）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 【变式10.2】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且 (1)求和的解析式 (2)若对于任意，，都有，求实数的取值范围 (3)在上有两个零点，求实数的取值范围 【变式10.3】（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围． 一、单选题 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数为偶函数，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·吉林白城·阶段练习）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数满足，且，则的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 6．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数在是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·海南海口·期末）已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在区间上单调递减 C．的周期为3 D． 二、多选题 9．（24-25高一上·广东江门·期中）下列函数是偶函数且在上是增函数的是（　　） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·全国·期中）已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的有（ ） A． B． C．在区间上单调递减 D． 11．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数是偶函数 C．函数是周期为4的周期函数 D． 三、填空题 12．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 13．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数．若，则的值为 ． 14．（25-26高一上·全国·期中）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是 ． 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课堂例题）根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 16．（25-26高一上·广东东莞·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)求满足不等式的的取值范围. 17．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数. (1)求曲线的对称中心； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明. 18．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，解不等式 19．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $