精品解析：四川省成都市武侯区玉林中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025—2026学年度（上期）初2024级10月阶段性测评 数学 （时间：120分钟，总分：150分） A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列是无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形底边长，腰长为13，则此三角形的面积为( ) A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 5. 满足下列条件△ABC，不是直角三角形的是(　　) A. ∠A＝∠B+∠C B. ∠A:∠B:∠C＝1：1：2 C. ＝ D. a:b:c＝1:1:2 6. 如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（ ） A. 35 B. 40 C. 50 D. 45 8. 如图，中，，于点，若，，的周长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 实数的相反数是_____． 10. 二次根式中字母x的取值范围是_____． 11. 在中，，周长为60，斜边与一条直角边之比为，则这个三角形的面积是______． 12. 满足的所有整数x的和是__________． 13. 有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______． 三、解答题（共48分） 14. （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：． 15. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的值． 16. 如图，四边形中，，，，，． （1）判断是否是直角，并说明理由； （2）求四边形的面积． 17. 如图甲，笔直的公路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产收购站E． （1）若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ （2）若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，并求出最短距离． 18. 如图所示，在长方形中，，的平分线交边于点E，于点H，连接并延长交边于点F，连接交于点O． （1）求证：； （2）试探究与的数量关系，并说明理由； （3）若，求的面积． B卷（共50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 的整数部分是_______． 20. 如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是______． 21. 已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 22. 如图，每个单位正方形的顶点称为格点，以其中任意3个格点为顶点，构成等腰直角三角形的个数为_____． 23. 如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE，将沿AE翻折，点B的对应点为F．若线段AF的延长线经过矩形一边的中点，，则BE长为_________． 二、解答题（共30分） 24. 观察下列一组等式，解答后面的问题： ， ． （1）化简：_______，______（n为正整数） （2）比较大小：_______（填“”，“”或“”） （3）请根据上面的结论，找规律，计算下列算式的结果：． 25. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点O是AB的中点，点D是射线CA上一点，过点C作CE⊥BD于点E，连接EO． （1）若CD＝1，CB＝3，求CE的长； （2）过点O作OF⊥OE交BD于点F，求证OE＝OF； （3）请直接写出CE，EB，EO三条线段间的关系． 26. 阅读： 材料一：含角的直角三角形，角所对的直角边等于斜边的一半； 材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 完成以下问题：在中，，点是边上的一点． （1）已知． ①如图1，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，求的值； ②如图2，以为边在其右侧作，交边于点，若，，求之长； （2）如图3，点是边的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是边上一点，连接，满足，已知，，求之长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度（上期）初2024级10月阶段性测评 数学 （时间：120分钟，总分：150分） A卷（共100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列是无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键．无限不循环小数叫无理数，常见的无理数有三类：①π这样的数；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0）；根据无理数的定义依次判断即可． 【详解】解：A、3.14是有限小数，属于有理数，则A不符合题意； B、，是整数，属于有理数，则B不符合题意； C、是分数，属于有理数，则C不符合题意； D、，它是无理数，则D符合题意； 故选：D． 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A．被开方数中含有分母，不是最简二次根式，，因此选项A不符合题意； B．是最简二次根式，因此选项B符合题意； C．，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，因此选项C不符合题意； D．，被开方数中含有能开得尽方的因数，因此选项D不符合题意． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据计算法则来进行判断计算的结果．根据运算法则逐一计算进行判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：A ． 4. 等腰三角形底边长，腰长为13，则此三角形的面积为( ) A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的“三线合一”的性质．先作出图形，再根据勾股定理得出三角形的高，即可得到面积． 【详解】解：如图，等边中，，， 作，垂足为D， 则D为中点，， 在中， ， ∴， ∴． 故选C． 5. 满足下列条件△ABC，不是直角三角形的是(　　) A. ∠A＝∠B+∠C B. ∠A:∠B:∠C＝1：1：2 C. ＝ D. a:b:c＝1:1:2 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】A、∠A＝∠B+∠C可得∠A＝90，△ABC是直角三角形； B、∠A:∠B:∠C＝1：1：2，可得∠C＝90，△ABC是直角三角形； C、＝，可得△ABC是直角三角形； D、a:b:c＝1:1:2不能得到△ABC是直角三角形； 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定和勾股定理的逆定理,解题的关键是熟知勾股定理的逆定理的运用． 6. 如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连接，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，坐标与图形的性质，关键是由勾股定理求出的长．根据勾股定理求出的长，即可得答案． 【详解】解：由题意可知，， 由勾股定理得到， ∴， 因为点D在x轴负半轴， 所以点D对应的实数为． 故选：B． 7. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（ ） A. 35 B. 40 C. 50 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，进一步求解即可． 【详解】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即为红莲的长． 设水深，由题意得： 中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：． 即：水深是 故选：D． 8. 如图，中，，于点，若，，的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理和等面积法得出和的值，然后根据得出答案． 【详解】由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴周长， 故选：． 【点睛】此题考查了直角三角形的勾股定理以及等面积法的应用，理解勾股定理的性质及其应用是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 实数的相反数是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：实数的相反数是． 10. 二次根式中字母x的取值范围是_____． 【答案】x≥﹣2． 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解． 【详解】根据题意得，x+2≥0， 解得x≥﹣2． 故答案为：x≥﹣2． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，注意二次根式的双重非负性，①；②． 11. 在中，，周长为60，斜边与一条直角边之比为，则这个三角形的面积是______． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，由斜边与一条直角边比是，设斜边是，直角边是，根据勾股定理，得另一条直角边是，根据周长列方程，求得两直角边的长，进而得出三角形面积即可． 【详解】解：设斜边是，直角边是， 根据勾股定理，得另一条直角边是， ∵周长为60， ∴， 解得：， ∴三角形的直角边边长分别是15，20， ∴三角形的面积， 故答案为：150． 12. 满足的所有整数x的和是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查无理数大小的估算，解题的关键是掌握算术平方根的定义，灵活使用夹逼法进行估算．首先通过对，大小的估算，可得满足的所有整数，进而对其求和． 【详解】解：， ， ， 又， ， 满足的所有整数有，，，， 它们和为， 故答案为：． 13. 有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用、图形类规律探究，解题的关键是探究出规律． 根据直角三角形性质得到“生长”规律，进而求解即可． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为：a、b，斜边为c， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， 由图①可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， ∴所有正方形的面积和为：， 由图②可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为：， ∴“生长”2025次后，所有正方形的面积和为：． 故答案为：2026． 三、解答题（共48分） 14. （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：． 【答案】（1）1；（2）24；（3） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． （1）先计算乘方，算术平方根和立方根，再计算加减； （2）按照二次根式乘除计算法则进行计算； （3）运用平方根知识进行求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）， ， ， ． 15. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了算术平方根和立方根的含义和求法．首先根据的算术平方根是3，可得：，据此求出a的值是多少；然后根据的立方根是2，可得：，据此求出b的值是多少；最后把a、b的值代入计算即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得； ∵的立方根是2， ∴， ∴， 解得， ∴． 16. 如图，四边形中，，，，，． （1）判断是否是直角，并说明理由； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 解：是直角，理由如下： 如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可求出的值，则可证明，据此可得结论； （2）根据列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ． 17. 如图甲，笔直的公路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产收购站E． （1）若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ （2）若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，并求出最短距离． 【答案】（1） （2）点E即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作图-应用设计作图，勾股定理，轴对称-最短路线问题，熟记勾股定理是解题的关键． （1）设，则，在与中，由勾股定理结合得出方程求出x的值即可求解； （2）作点C关于的对称点，连接交于点E，则点E即为所求，长即为距离的和最短值，在中由勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：设，则， 在与中，由勾股定理得， ，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即收购站E应建在离A点处； 【小问2详解】 解：如图，作点C关于的对称点，连接交于点E，则点E即为所求，长即为距离的和最短值， 过点作交的延长线于点F， 则， 即最短距离为． 18. 如图所示，在长方形中，，的平分线交边于点E，于点H，连接并延长交边于点F，连接交于点O． （1）求证：； （2）试探究与的数量关系，并说明理由； （3）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：在矩形中，，，． ∵平分， ∴． ∵， ∴．而 ， ∴， ∴． 又∵， 在和中， ∵，， ∴． ∴． （2） ； 理由是：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由平分知．依据得，据此知．再证即可得． （2）由，知，据此得从而得出答案； （3）先证，从而求得，证知两三角形面积相等，再进一步求的面积即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 ∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴． 如图，过点H作于点G， ∴为等腰直角三角形， 而，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，二次根式的混合运算等知识点，掌握以上知识点是解本题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 的整数部分是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，关键是能准确理解并运用算术平方根知识．运用算术平方根知识进行估算、求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是6． 故答案为：6． 20. 如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，沿将圆柱侧面展开，根据两点之间线段最短可知，线段的长即为蚂蚁爬行的最短路程，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，沿将圆柱侧面展开， 由题意得，，线段的长即为蚂蚁爬行的最短路程， 在中，由勾股定理得， ∴蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为：． 21. 已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，由，且与是同类二次根式，则分时，时，时，时，进行讨论，然后求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同， ∴时，； 时，； 时，； 时，（舍去）； ∴符合条件的正整数的值为，，， ∴的最小值为， 故答案为：． 22. 如图，每个单位正方形的顶点称为格点，以其中任意3个格点为顶点，构成等腰直角三角形的个数为_____． 【答案】50 【解析】 【分析】此题考查了等腰直角三角形的定义，勾股定理，二次根式的运算等知识， 根据题意分4种情况讨论，然后根据等腰直角三角形的定义求解即可． 【详解】解：（1）当斜边长为时，直角边长为1时，这样的等腰直角三角形共有（个）， （2）当斜边长为2时，直角边长为时，这样的等腰直角三角形共有（个）． （3）当斜边长为时，直角边长为2时，这样的等腰直角三角形共有（个）， （4）当斜边长为时，直角边长为时，这样的等腰直角三角形共有4（个）， 综上所述，满足要求的等腰直角三角形共有（个）． 故答案为：50． 23. 如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE，将沿AE翻折，点B的对应点为F．若线段AF的延长线经过矩形一边的中点，，则BE长为_________． 【答案】或或2 【解析】 【分析】主要分三种情况进行讨论：①当线段AF的延长线AG经过BC的中点时，②当线段AF的延长线经过AD的中点时，③当线段AF的延长线AG经过CD的中点时，进行一一求解即可． 【详解】解：分三种情况讨论， ①当线段AF的延长线AG经过BC的中点时，如图1，此时BG=CG=2， 图1 由折叠的性质可得：AF=AB=2，∠AFE=∠B=90°， ∵Rt△ABG中，AB=BG=2， ∴AG=，∠AGB=45°， ∴FG=，EF=FG， ∴BE=EF=FG=； ②当线段AF的延长线经过AD的中点时，如图2，此时BE=CE=2， 图2 由折叠的性质可得：AF=AB=2，∠AFE=∠B=90°， ∴四边形ABEF是正方形， ∴BE=AF=2， ③当线段AF的延长线AG经过CD的中点时，如图3，此时DG=CG=1， 图3 由折叠的性质可得：AF=AB=2，∠AFE=∠B=90°， ∵Rt△ADG中，AD=4，DG=1， ∴， ∴， 设BE=x，则EF=x，CE=4-x， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：或或2． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质是解决本题的关键． 二、解答题（共30分） 24. 观察下列一组等式，解答后面的问题： ， ． （1）化简：_______，______（n为正整数） （2）比较大小：_______（填“”，“”或“”） （3）请根据上面的结论，找规律，计算下列算式的结果：． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算，正确理解题意并掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据（1）所求可得，，再由可得答案； （3）根据（1）所求可得，据此把所求式子裂项分母有理化后计算求解即可． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴ ． 25. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点O是AB的中点，点D是射线CA上一点，过点C作CE⊥BD于点E，连接EO． （1）若CD＝1，CB＝3，求CE的长； （2）过点O作OF⊥OE交BD于点F，求证OE＝OF； （3）请直接写出CE，EB，EO三条线段间的关系． 【答案】（1） （2）证明：连接CO，交BD于H点， ∵点O是AB的中点，AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴CO⊥AB，CO=BO ∴∠BOF+∠FOH=90°， ∵EO⊥FO ∴∠COE+∠FOH=90° ∴∠BOF=∠COE 又CE⊥BD ∴∠CEH=∠BOH=90° 又∠CHE=∠BHO ∴∠FBO=∠ECO ∴△BOF≌△COE（ASA） ∴OE＝OF； （3）BE=CE+EO 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出BD，再利用等积法即可求CE的长； （2）连接CO，交BD于H点，证明△BOF≌△COE，故可求证OE＝OF； （3）由（2）得到△EOF是等腰直角三角形，得到EF=EO，故可得到CE，EB，EO三条线段间的关系． 【详解】（1）∵∠ACB＝90°，CD＝1，CB＝3， ∴BD= ∵S△BCD= ∴CE=； （2）略 （3）BE=CE+EO，理由如下： ∵OE＝OF，EO⊥FO ∴△EOF是等腰直角三角形 ∴EF=EO ∵△BOF≌△COE ∴CE=BF ∴BE=BF+EF=CE+EO． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质． 26. 阅读： 材料一：含角的直角三角形，角所对的直角边等于斜边的一半； 材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 完成以下问题：在中，，点是边上的一点． （1）已知． ①如图1，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，求的值； ②如图2，以为边在其右侧作，交边于点，若，，求之长； （2）如图3，点是边的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是边上一点，连接，满足，已知，，求之长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）①利用旋转的性质得到，，结合，，证明，再根据，得出，进而求出的值；②通过旋转构造全等三角形，将与已知线段建立联系，设，则，，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）先证明（构造辅助线），得到，利用勾股定理求出长度，利用三角形的中位线得到，由线段间的和差倍分关系即可求出的长度． 【小问1详解】 解：①，， ， ，， 即 在，中， ， 在中，，， ， ； ②将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，作如图所示 由①可知， ，， ， 在，中， ， ∴ ，， ， 令，则，， ， 在中，，， ， 在，中 ， 即，解得 ． 【小问2详解】 取中点，连接，作交延长线于点，如图所示， 是边的中点， 是的中位线， ， ， 即 ， ， 在，中， ， 在中 ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等腰三角形（含等边三角形）的性质、图形的旋转、全等三角形与三角形的中位线以及勾股定理，灵活运用“含角的直角三角形，角所对的直角边等于斜边的一半”是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $