24.2直角三角形的性质（题型专练）数学华东师大版九年级上册

24.2直角三角形的性质 题型一 斜边的中线等于斜边的一半 1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山西太原·阶段练习）如图，在矩形中，，，点是线段上一个动点，连接并延长，交 延长线于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，当点为的中点时，的长度为（    ） A． B． C． D． 3．（19-20八年级上·广西柳州·期中）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，在中，，点D为边的中点，若，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 5．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，过点A作于点D，点为的中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，点是的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的中线长为 ，斜边上的高为 ． 8．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知一直角三角形斜边上的中线是3.5，斜边上的高是2，则这个直角三角形的面积是 ． 9．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）直角三角形斜边上的高和中线分别为2和4，则该直角三角形的面积为 ． 10．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，为中点，则的度数为 ．    11．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）如图所示，公路，互相垂直，点为公路的中点，为测量湖泊两侧、两点间的距离，若测得的长为，则，两点间的距离为 ． 12．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，则它的面积是 ． 题型二 含30度角的直角三角形 1．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）2022年北京冬奥会的成功举办点燃了国人对冬季滑雪项目的热爱．如图，灌云伊芦山霞波滑雪场有一坡角为30°的滑雪道，滑雪道长240米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（   ） A．100米 B．120米 C．240米 D．480米 3．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在 中，于D，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，AB=AC， ，点D为的中点，，垂足为E，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 5．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，2.5，则的度数为 ． 6．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在等边三角形中，．D是的中点，过点D作，垂足为E，则的长是 ． 7．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段练习）菱形的边长为，，则菱形的面积为 8．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则 ． 9．（20-21八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，的垂直平分线交边于点E．若，，则 ． 10．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，，若点Q在直线上，，则的长为 ． 11．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知为的中点，，点为垂足，且，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 题型一 利用直角三角形的性质求线段最值 1．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，边长为8的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26九年级上·广东茂名·阶段练习）如图，矩形的对角线交于点，，为等边三角形，是直线上一点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 3．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，正方形边长为2，E、F分别是边上的点，交于点P，当时，的最小值为 ． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点M，N分别是，的中点，则的最小值为 ． 5．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在菱形中，，P是菱形内部一点，且满足，若，则的最小值为 ． 6．（2020九年级上·浙江台州·竞赛）如图，在中，，点，，点在轴正半轴上，点为内部一点，使得之和最小，则这个和的最小值为 ． 7．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长是方程的解，则线段长的最大值是 ． 8．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，若为的中点，连接，则线段长度的最大值为 ． 题型二 直角三角形性质的实际应用 1．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选取一点，利用仪器测得，，．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距离点．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）秒． A．8 B．12 C．16 D．20 3．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）2025年4月24日神舟二十号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他在距离教学楼的点A处（即）竖立一根高为的标杆（即），此时地面上的点C、标杆顶点B和条幅顶点G在一条直线上，然后小亮从点A处向教学楼条幅方向移动到达点D处（即），在点D的正上方点E处用测角仪测得，用皮尺测得，．已知，，，，点C、A、D、H在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请根据以上数据帮助小亮计算条幅的长度．（结果保留根号） 4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）小礼同学计划国庆节去影院（记为点D）观看电影《731》，该影院位于家B的东北方向，已知从家B出发有两条不同路线可选：路线①：先步行至位于家B正北方向800米处的图书馆A，再沿图书馆A的北偏东方向步行至影院D；路线②：先步行至位于家B南偏东，且位于影院D南偏西方向处的智慧公园C，再从智慧公园C步行至影院D．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)由于时间原因，小礼决定选择一条较短路线去电影院D，请通过计算说明他应该选择路线①还是路线②？ 5．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距离点．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，求火车在铁路上沿由到的方向以的速度行驶时，处受噪音影响的时间． 6．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）湿地是重要的自然生态系统，被誉为“地球之肾”．如图是某地两块湿地，正方形的平面示意图（是水平线段），点在上，点在上．为了积极保护湿地，当地政府决定对湿地围上护栏． 已知：点在点西北方向上，点在点北偏东方向上，且千米． (1)请计算湿地所需的护栏长度（即的周长，结果保留根号） (2)根据实际需要，在湿地正方形中建立动物栖息地，建造价格为20万元/平方千米；于点且，．请通过计算求出建造费用为多少万元？ 7．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，A城气象台测得台风中心在城正西的B处，并以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围是受台风影响的区域． (1)A城是否会受到这次台风影响？为什么？ (2)若A城受到这次台风影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长？ 8．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以18海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 9．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 题型三 直角三角形性质的综合应用 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）已知四边形中，，，连接对角线，，若，且平分，则的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 3．（25-26九年级上·甘肃白银·阶段练习）如图，菱形的边长为2，，对角线、相交于点O，点E为中点，点F为中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，平分，为中点，连接，若，，则 ， ． 5．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，为的中点，连接，若，则的度数为 ． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，对角线交于点O，过点O作，交于点E，过点E作于点F，点G在边上，连接，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 7．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】 （1）命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在中，，延长到E，使得，D是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】 （3）如图3，在中，，，延长到D，使得，连接，求的度数． 8．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接交于点F，连接、． (1)求证：是的平分线； (2)若平分，求证：四边形是平行四边形； (3)若，，，求平行四边形的面积． 9．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是的中线，点是的中点，连接并延长到，使，连接、 (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的面积． 10．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在四边形中，，O为的中点，证明： 11．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． (3)若，，求四边形的面积． 12．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，则求的长． 13．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，是矩形的对角线，过的中点作，交于点，连接、． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，若，直接写出所有长度等于的线段． 题型一 函数与几何综合 1．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、C，作矩形，将沿直线平移，当A、B的对应点、与点C构成直角三角形时，x轴上存在一点P，使得的值最大时P的横坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）李华在数学学习中遇到了如下问题：求函数的最小值．李华的思路如下：将函数改写为，根据两点间距离公式，可将问题转化为在轴上找一点使得到点、距离之和最小．显然在线段上时，最小，此时，即为函数的最小值．根据李华的思路，求解以下问题： 函数的最大值为 ； 函数的最小值为 ． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，在y轴的正半轴上，满足，点B、点C在x轴上且关于y轴对称，． (1)求点A的坐标； (2)如图2，点D为边上一动点（不包含端点），点D的纵坐标为t，过点D作交y轴于点E，线段长为d，用含t的式子表示d； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，线段的垂直平分线交y轴于点F，当时，求d的值． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2直角三角形的性质 题型一 斜边的中线等于斜边的一半 1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 求出，，根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：，， 在中，，是的中线， ， 故选：B． 2．（25-26九年级上·山西太原·阶段练习）如图，在矩形中，，，点是线段上一个动点，连接并延长，交 延长线于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，当点为的中点时，的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由直角三角形的性质可求，再由作图得，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵以点为圆心，长为半径作弧，交于点， ∴， 在中，，，， ∴， 故选：B． 3．（19-20八年级上·广西柳州·期中）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形中角所对直角边等于斜边一半的性质，熟练运用该性质是解题关键．先求出，再在中，结合是中点及该性质求出． 【详解】解：， 是的中点， ． 又，， ． 故选：B． 4．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，在中，，点D为边的中点，若，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，由直角三角形斜边中线的性质即可求出． 【详解】解：∵在中，，点D为边的中点，， ∴． 故选：A． 5．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，过点A作于点D，点为的中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．先求出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，点为的中点， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 6．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，点是的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，由平行线的性质可得，则，通过直角三角形性质可得，所以，通过等腰三角形性质和三角形内角和定理可得，，从而得，再由等腰三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的中线长为 ，斜边上的高为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查勾股定理，斜边上的中线，等积法求线段长，勾股定理求出斜边的长，根据斜边上的中线等于斜边的一半，求出斜边上的中线长，等积法求出斜边上的高即可． 【详解】解：由题意和勾股定理，得直角三角形的斜边长为， ∴斜边上的中线长为； 设斜边上的高为，则：，解得； 故答案为：5， 8．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知一直角三角形斜边上的中线是3.5，斜边上的高是2，则这个直角三角形的面积是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到斜边的长，再根据三角形面积公式计算即可解答． 【详解】解：根据题意可得：直角三角形的斜边长为， ∴其面积为：． 故答案为：7． 9．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）直角三角形斜边上的高和中线分别为2和4，则该直角三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，三角形面积，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵直角三角形斜边上中线为， ∴该直角三角形的斜边长为， 又∵直角三角形斜边上的高为， ∴该直角三角形的面积为， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，为中点，则的度数为 ．    【答案】/58度 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质是解决本题的关键； 根据直角三角形的性质可求的度数，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知，再根据等边对等角即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵在中，为中点， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）如图所示，公路，互相垂直，点为公路的中点，为测量湖泊两侧、两点间的距离，若测得的长为，则，两点间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵公路，互相垂直，点为公路的中点， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，则它的面积是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了直角三角形的性质和面积求法，解题关键是根据斜边中线求出斜边长． 根据斜边中线等于斜边一半求出斜边长，再利用面积公式求解即可． 【详解】解：直角三角形斜边上的中线是， 直角三角形斜边长是， 直角三角形斜边上的高是， 三角形的面积为． 故答案为：30． 题型二 含30度角的直角三角形 1．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余的性质、等角对等边的性质，根据直角三角形两锐角互余可知，根据直角三角形的性质可得，根据、可以求出，根据三角形外角的性质可得，根据等角对等边可得：． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）2022年北京冬奥会的成功举办点燃了国人对冬季滑雪项目的热爱．如图，灌云伊芦山霞波滑雪场有一坡角为30°的滑雪道，滑雪道长240米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（   ） A．100米 B．120米 C．240米 D．480米 【答案】B 【分析】本题考查的是角的直角三角形的性质，根据含角的直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：在中，米， 则米， 故选：B． 3．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在 中，于D，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：在中，， ∴． 在中，， ∴，即． 故选：B. 4．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，AB=AC， ，点D为的中点，，垂足为E，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一和含的特殊直角三角形的性质，熟练运用三线合一的性质是解题关键． 连接，利用等边对等角得，在中，得，在中，得，即可求出的长. 【详解】解：如图：连接， ，， 为的中点， ，平分，， ， 于， ， ， 在中，，， ， 在 中，，， ， 则． 故选：C． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，2.5，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 根据在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，则该边所对的锐角为，可得，根据三角形内角和为即可求出的度数． 【详解】解：在中，，已知，则； 是所对的直角边，为斜边，且， ， 三角形内角和为，， ． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在等边三角形中，．D是的中点，过点D作，垂足为E，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，由等边三角形的性质可得到，由线段中点的定义得到的长，求出的度数，即可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段练习）菱形的边长为，，则菱形的面积为 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，过点作于，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，由勾股定理得，进而根据菱形的面积公式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形以及等边三角形的性质，解答本题的关键是掌握直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半．设，则，利用等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 设，则， ∵，． ∴， ∴，， ∴． 故答案为：5． 9．（20-21八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，的垂直平分线交边于点E．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含的直角三角形的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得，则可求得的度数，然后由含的直角三角形的性质，求得答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，，若点Q在直线上，，则的长为 ． 【答案】2或4/4或2 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，等角对等边．分为点Q在线段上和Q在线段的延长线上两种情况，利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可求得的长度． 【详解】解：∵，， ∴，， ①点Q在线段上， ∵，， ∴， ∴； ②点在线段的延长线上， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为2或4． 故答案为：2或4． 11．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知为的中点，，点为垂足，且，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，证明是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，证明可得，据此可证明是等边三角形； （2）根据含30度角的直角三角形的性质可求出的长，再由线段中点的定义可得的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵， ∴； ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：在中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 题型一 利用直角三角形的性质求线段最值 1．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，边长为8的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段长度的最小值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用“边角边”证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，则， 由旋转性质得，， ， ∵三角形是等边三角形，是等边的高线， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 根据垂线段最短，当时，最短，此时最短， ，， ∴在中，， ∴线段长度的最小值是2， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 2．（25-26九年级上·广东茂名·阶段练习）如图，矩形的对角线交于点，，为等边三角形，是直线上一点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】连接交于M，由矩形的性质和勾股定理可求出；由等边三角形的性质得到，则可证明垂直平分，得到，，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，由垂线段最短，可知当时，有最小值，则此时． 【详解】解：如图所示，连接交于M， \ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴； ∵垂线段最短， ∴当时，有最小值， ∴此时为直角三角形，其中，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握以上性质是解题的关键． 3．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，正方形边长为2，E、F分别是边上的点，交于点P，当时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，由正方形的性质可得 ，证明可推出，取的中点O，连接，则，利用勾股定理可求出的长，再根据，可知当O、P、B三点共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，取的中点O，连接，则， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴当O、P、B三点共线时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点M，N分别是，的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质．连接、 ，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值，根据直角三角形斜边中线的性质求得 ，，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，连接、 ，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值， ∵，，，点M、N分别是，的中点， ∴ ，， ∴的最小值为． 故答案为：. 5．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在菱形中，，P是菱形内部一点，且满足，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用菱形的性质求线段长、含30度角的直角三角形、两点之间线段最短等知识点，分别取的中点，连接，，作，可推出，且四边形为平行四边形，；进而得点在线段上运动；最后推出的最小值为线段的长度；即可求解； 【详解】解：分别取的中点，连接，，作，如图所示： 则，且四边形为平行四边形， ∴； ∵P是菱形内部一点，且满足， ∴点在线段上运动； 由菱形的对称性可知：点关于的对称点为点， ∴， 故：的最小值为线段的长度； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 6．（2020九年级上·浙江台州·竞赛）如图，在中，，点，，点在轴正半轴上，点为内部一点，使得之和最小，则这个和的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最短距离问题，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形，正确作出图形是解题的关键． 任取内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转得到，于是得到当，，这三条线段在同一直线时最短，即的最小值，过作轴于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，任取内一点，连接、、， 将绕点顺时针旋转得到’， ，，，， 是等边三角形， ， ， 当，，这三条线段在同一直线时最短，即的最小值， ， ，, ， 过作轴于， ， ，， ， ， 、、之和的最小值是． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A、B是坐标轴上的动点，若正方形的边长是方程的解，则线段长的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】如图，记的中点为，连接、，则，由正方形，由勾股定理得，由题意知，，即，然后作答即可． 【详解】解：解方程得（负值舍去）， 即正方形的边长是4， 如图，记的中点为，连接、， ， ， ∵正方形， ∴由勾股定理得，， 由题意知，，即， ∴线段长的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解一元二次方程，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 8．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，若为的中点，连接，则线段长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的性质，由直角三角形的性质求出的长是解题的关键． 连接，由勾股定理求出，由旋转的性质得出，，由直角三角形的性质求出，由题意得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，可得出答案． 【详解】解：连接， ，，， ∴， 将绕点旋转，得到， ，， 为的中点， ， 在旋转的过程中，点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当，，三点共线时，有最大值， 的最大值为． 故答案为：． 题型二 直角三角形性质的实际应用 1．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选取一点，利用仪器测得，，．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和，含30度角的直角三角形，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故选D． 2．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距离点．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）秒． A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，过点作，根据“所对的直角边等于斜边的一半”得出的长，再与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图，过点作，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当火车到点时对处产生噪音影响，此时， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∵火车在铁路上沿方向以即的速度行驶， ∴影响时间应是：（秒）． 故选：C． 3．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）2025年4月24日神舟二十号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他在距离教学楼的点A处（即）竖立一根高为的标杆（即），此时地面上的点C、标杆顶点B和条幅顶点G在一条直线上，然后小亮从点A处向教学楼条幅方向移动到达点D处（即），在点D的正上方点E处用测角仪测得，用皮尺测得，．已知，，，，点C、A、D、H在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请根据以上数据帮助小亮计算条幅的长度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，矩形的判定和性质，30度角直角三角形的性质，勾股定理． 根据平行线分线段成比例求出，证明四边形是矩形，可知，，根据30度角的性质设，，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， 设，则， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）小礼同学计划国庆节去影院（记为点D）观看电影《731》，该影院位于家B的东北方向，已知从家B出发有两条不同路线可选：路线①：先步行至位于家B正北方向800米处的图书馆A，再沿图书馆A的北偏东方向步行至影院D；路线②：先步行至位于家B南偏东，且位于影院D南偏西方向处的智慧公园C，再从智慧公园C步行至影院D．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)由于时间原因，小礼决定选择一条较短路线去电影院D，请通过计算说明他应该选择路线①还是路线②？ 【答案】(1)的长度为米； (2)他应该选择路线①，理由见解析． 【分析】本题考查了方向角问题，含角的直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过A点作于H点，利用方向角的定义得到米，则利用三角形外角性质可计算出，再计算出米，然后在中利用得到米，即可求解； （2）根据方向角的定义得到，再计算出，则，根据含角的直角三角形算出，分别求出两条线路的长，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过A点作于H点，如图： 根据题意得米， ∵， ∴， 在中， ， （米）， 在中，， ∴（米），（米）， （米）， ∴的长度为米； （2）解：如图： 根据题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 米， 米， ∴线路①：（米）， 线路②：（米）， ∴他应该选择路线①． 5．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距离点．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，求火车在铁路上沿由到的方向以的速度行驶时，处受噪音影响的时间． 【答案】 【分析】过点P作于点E，以P为圆心，以为半径画弧，交于点N，M，利用等腰三角形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，30度角直角三角形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：过点P作于点E， ∵，， ∴， ∵火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响， ∴以P为圆心，以为半径画弧，交于点N，M， 则， ∴， ∴ ∵火车在铁路上沿由到的方向以的速度行驶， ∴， ∴， 故处受噪音影响的时间为． 6．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）湿地是重要的自然生态系统，被誉为“地球之肾”．如图是某地两块湿地，正方形的平面示意图（是水平线段），点在上，点在上．为了积极保护湿地，当地政府决定对湿地围上护栏． 已知：点在点西北方向上，点在点北偏东方向上，且千米． (1)请计算湿地所需的护栏长度（即的周长，结果保留根号） (2)根据实际需要，在湿地正方形中建立动物栖息地，建造价格为20万元/平方千米；于点且，．请通过计算求出建造费用为多少万元？ 【答案】(1)千米 (2)1200万元 【分析】（1）过点作于点，先求出，，则可得，，再根据等腰三角形的判定和勾股定理可得千米，千米，千米，求出的周长，由此即可得； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，同理可得，再设千米，则千米，在中，利用勾股定理可得的值，则可得的长，然后求出的面积，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵点在点西北方向上，点在点北偏东方向上， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵千米， ∴千米， ∴， 解得（千米）， ∴千米，千米， ∴的周长为（千米）， 答：湿地所需的护栏长度为千米． （2）解：∵四边形是正方形，千米， ∴千米，， ∵， ∴千米， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴设千米，则千米， ∴千米，千米，千米， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴（千米）， ∴的面积为平方千米， ∵在湿地正方形中建立动物栖息地，建造价格为20万元/平方千米， ∴建造费用为（万元）， 答：建造费用为1200万元． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 7．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，A城气象台测得台风中心在城正西的B处，并以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围是受台风影响的区域． (1)A城是否会受到这次台风影响？为什么？ (2)若A城受到这次台风影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)会受到这次台风影响，见解析 (2)30小时 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，点到直线的距离. （1）过A点向作垂线，垂足为C，根据直角三角形的性质可得的长，即可求解； （2）取上点D，G，使，根据等腰三角形的性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：过A点向作垂线，垂足为C， 在中，， ∴， 因为， 所以A城会受到这次台风影响； （2）解：取上点D，G，使千米， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 在中，千米，千米， 由勾股定理得， 千米， ∴千米， ∴遭受台风影响的时间是：小时． 8．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以18海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】(1)36海里 (2)没有危险 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角．   （1）根据已知条件得到 ，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论；   （2）过C作交的延长线于点D，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得  , ，（海里），   ∴ ， ∴ ，   ∴（海里）， 答：B处到灯塔C的距离为36海里；   （2）解：没有触礁的危险，理由如下：   过C作交的延长线于点D，   ∵（海里），   ∴（海里），   ∵，   ∴若这条船继续由西向东航行没有触礁的危险． 9．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（取） 【答案】如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，构建直角三角形是解题的关键．过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离，根据题意可求得，从而得到海里，再根据30度所对直角边等于斜边的一半得到海里，最后利用勾股定理求得，即可判断． 【详解】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险， 理由如下：过点A作，垂足为D，则的长是点A到的最短距离， 由题意可知，，海里， ， ， ， 海里， ，， 海里， 在中，由勾股定理得 ， 渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． 题型三 直角三角形性质的综合应用 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据角平分线的定义得，从而利用含角的直角三角形的性质可得，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，最后利用等量代换可得的周长为，即可解答． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴的周长 ， 则周长是． 故选：D． 【点睛】本题考查含角的直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握含角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）已知四边形中，，，连接对角线，，若，且平分，则的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解含30度的直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理及相似三角形的判定与性质．由已知条件利用勾股定理求出的长度，通过正弦的定义求出的角度，用三角形内角和定理求出的度数，由角平分线定义求得，设，则，利用三角形内角和定理得出，，证得，得出，最终求得的值． 【详解】解：∵，，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·甘肃白银·阶段练习）如图，菱形的边长为2，，对角线、相交于点O，点E为中点，点F为中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线的判定和性质，含30度直角三角形的性质等知识，取点的中点H，连接，即可得出为的中位线，再由菱形的性质得出，再由勾股定理得出，再进一步利用勾股定理即可求出． 【详解】解：取点的中点H，连接， ∵点F为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵是菱形，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴在中，， 故选A 4．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，平分，为中点，连接，若，，则 ， ． 【答案】 【分析】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，作于点F，由，E为的中点，，得，所以，再证明，所以，则，可证明，得，则，而，所以，再证明，得，求得，设，则，，于是得，求得符合题意的m值为，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点F，则， ，E为的中点，， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则，， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图所示，在四边形中，，，，为的中点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 延长交延长线于点，证明，所以，，，又，，则，从而求出， 然后通过直角三角形性质可得，最后通过等边对等角即可求解． 【详解】解：如图，延长交延续于点， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，对角线交于点O，过点O作，交于点E，过点E作于点F，点G在边上，连接，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （2）证，得，则，过D作于M，得，然后由勾股定理得，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即O为的中点， ∵点E为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过D作于M， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、30度角所对直角边等于斜边一半以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 7．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】 （1）命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在中，，延长到E，使得，D是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】 （3）如图3，在中，，，延长到D，使得，连接，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）利用倍长中线，证明，得，进而证明得即可得证； （2）连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明与是等腰三角形，可得，利用三角形外角的性质可得结论； （3）作，利用含角的直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，求出，进而可得，根据等腰三角形的性质可得的结论． 【详解】解：（1）如图所示： 延长到，使得，连接．   AI 在和中， ， ∴， ，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， 在和中， ， ∴， ． ∴； （2）证明：连接． ，且为的中点，   ， ， ， ， ， ∴， ； （3）解：如图所示，过作于，连接．   ，且， ． ∴． ，， ∴，，， ∴为等边三角形． ，， ， ． ∴， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定． 8．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接交于点F，连接、． (1)求证：是的平分线； (2)若平分，求证：四边形是平行四边形； (3)若，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，则可得，，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，由此即可得证； （2）先根据平行四边形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后证出，则可得，最后根据平行四边形的判定即可得证； （3）先求出，再根据等腰三角形的三线合一可得平分，，则可得，然后求出平行四边形的面积为，利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 由（1）已证：， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （3）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∵， ∴平分，， ∴（题（2）已证）， ∴， ∴平行四边形的面积为 ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 9．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是的中线，点是的中点，连接并延长到，使，连接、 (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线性质可得，再由已知条件可证得；根据直角三角形斜边中线性质得，可证，进而可求解； （2）利用勾股定理求得的长，再利用菱形的性质的长，进而求得的长，在根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：在中，，，， ∴, 连接，交于点， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， ∵四边形是菱形； ∴，， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ． 10．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在四边形中，，O为的中点，证明： 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，熟练掌握运用两个性质是解题关键． 根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可得，利用等边对等角即可证明． 【详解】证明：∵是直角三角形，O为的中点， ∴， ∵是直角三角形，O为的中点， ∴， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)四边形是菱形，证明见解析； (3)． 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形以及特殊的平行四边形的判定与性质． （1）证明即可得到； （2）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边中线的性质得到，即可证明为菱形； （3）连接，证明四边形是平行四边形，则，再由菱形面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：四边形是菱形， 理由如下：∵D是的中点， ∴， ∵由（1）得，    ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是斜边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵由（2）得四边形是菱形 ∴． 12．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，则求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等边三角形的性质与判定、含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，，再利用三角形内角和定理得到，即可证明； （2）根据等边三角形的性质得到，，利用含30度角的直角三角形的性质得到，利用线段的和差关系求出，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，． 13．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，是矩形的对角线，过的中点作，交于点，连接、． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，若，直接写出所有长度等于的线段． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质证明可得， 证明四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）先说明，再根据直角三角形的性质可得，再运用勾股定理以及矩形的性质可得；再证明是等边三角形可得，再运用直角三角形的性质、勾股定理、菱形的性质可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 又∵点O为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长度等于的线段有． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定定理是解题的关键． 题型一 函数与几何综合 1．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、C，作矩形，将沿直线平移，当A、B的对应点、与点C构成直角三角形时，x轴上存在一点P，使得的值最大时P的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点、与点C构成直角三角形时，只有一种情况，当、、在同一直线上时，的值最大，先求出，，从而可得，，由勾股定理可得，连接交于点，由矩形的性质可得，证明为等边三角形，得出，求出，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：点、与点C构成直角三角形时，只有一种情况， 当、、在同一直线上时，的值最大， 在中，当时，；当时，，解得， ∴，， ∴，， ∴， 连接交于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴点P的横坐标， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的综合，勾股定理，等边三角形的判定与性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段练习）李华在数学学习中遇到了如下问题：求函数的最小值．李华的思路如下：将函数改写为，根据两点间距离公式，可将问题转化为在轴上找一点使得到点、距离之和最小．显然在线段上时，最小，此时，即为函数的最小值．根据李华的思路，求解以下问题： 函数的最大值为 ； 函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）结合材料，将整理为，那么表示点到点的距离与到点的距离之差，作直线交轴于点，那么当位于点时，取最大值，然后利用勾股定理求解即可； （2）将式子整理为，设点，，为的中点，设点，连接，过点作轴于点那么，移动点，让直线与轴正半轴的夹角为，即，延长，并取， 此时，，取得最小值，最小值为，然后利用勾股定理，分别求得，最后利用求得． 【详解】解：整理， 可得：， 表示点到点的距离与到点的距离之差， 设，作直线交轴于点，设， ， ， 那么当位于点时，，取得最大值，最大值为， 的最大值是， 故答案为：； 解：整理， 可得：， 表示点到点的距离的一半与点到点的距离之和的最小值， 设点，，为的中点，设点，连接，过点作轴于点，那么， 为的中点， ， 移动点，使直线与轴正半轴的夹角为，即，过点作交的延长线于点， ， ， ， 此时，，取得最小值，最小值为， ，， ， ， ， ， 不妨设， ， ， （舍去负值） ，， ， ， ， , ． 函数的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，两点之间线段最短，勾股定理，三角形内角和定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，在y轴的正半轴上，满足，点B、点C在x轴上且关于y轴对称，． (1)求点A的坐标； (2)如图2，点D为边上一动点（不包含端点），点D的纵坐标为t，过点D作交y轴于点E，线段长为d，用含t的式子表示d； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，线段的垂直平分线交y轴于点F，当时，求d的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形、含30度直角三角形的性质、两点间距离公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先解绝对值可得或，再结合点A在y轴正半轴上可得，然后再确定点A的坐标即可； （2）先说明，如图：过D作轴，则，由含30度角的直角三角形的性质可得，再运用勾股定理以及线段的和差可得，即；再根据两点间距离公式可得，再说明，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可解答； （3）先求得，如图：连接，由垂直平分线的性质可得，设，运用两点间距离公式列方程可求得，即，则，进而得到；再根据、，可得，即；再列方程求得t，最后求d即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或，解得或， ∵点A在y轴正半轴上， ∴，故， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：过D作轴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴，即． （3）解：∵点B、点C在x轴上且关于y轴对称，， ∴， 如图：连接， ∵线段的垂直平分线交y轴于点F， ∴， 设，则， 解得：， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $