24.2 直角三角形的性质 课件 2024-2025学年华东师大版九年级数学上册

第24章 解直角三角形 24.2 直角三角形的性质 学习目标 学习目标 1.理解掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用. 2.继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的变化、相互联系和相互转化的规律. 新课导入 壹 目 录 课堂小结 肆 当堂训练 叁 讲授新知 贰 新课导入 壹 新课导入 运用前面所学的知识填空： 已经学过的直角三角形的性质. (1)直角三角形的两个锐角互余. (2)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理). 下面我们探索直角三角形的其他性质 讲授新知 贰 讲授新知 知识点1 直角三角形的性质3 　 如图，画Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD量一量，看看CD与AB有什么关系. A B C ┐ D 猜想：CD恰好是AB的一半 讲授新知 A B C ┐ D E 已知：如图 ,在 Rt ABC 中， ∠ ACB= 90 °， CD是斜边AB上的中线. 求证：CD = AB ∵CD是斜边AB上的中线， ∴AD = DB. 又∵ DE = CD, ∴四边形ACBE是平行四边形. 又∵∠ACB=90°， ∴四边形ACBE是矩形， ∴ CE = AB, ∴ CD = CE = AB. 证明：延长CD至点E,使DE= CD，连结AE、BE 讲授新知 知识点1 直角三角形性质3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. A B C ∟ D 符号表示 在Rt∆ABC中，CD是斜边AB的中线， 范例应用 例1 Rt△ABC中，∠ACB=90 °，∠A=30°，求证：BC= AB. A B C ┐ D 则CD=AD=BD= AB （在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半） ∵ ∠A=30° ∴ ∠B=60° ∴ △CDB是等边三角形， ∴ BC=BD= AB 对此，你能得出什么结论？ 30° 证明：作斜边上的中线CD， 讲授新课 知识点2 直角三角形性质4　 B A C ∟ 30⁰ 直角三角形30⁰所对直角边等于斜边的一半. 注意 范例应用 例2 如图，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选择一点C，使∠ACB＝15°，然后朝着旗杆方向前进到点D，测得∠ADB＝30°，量得CD＝13 m，求旗杆AB的高度． A B C D 解： ∵∠ACB＝15°，∠ADB＝30°， ∴∠CAD＝∠ADB－∠ACB＝30°－15°＝15°， ∴∠ACB＝∠CAD，∴AD＝CD＝13 m. 在△ADB中， ∵AB⊥DB，∠ADB＝30°， 范例应用 例3．如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE的中点，连结GF.求证：GF⊥DE. 证明：连结GE、GD 范例应用 例4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，BC＝4，CD＝3，求AB的长． 解：如题图，延长DA、CB交于点E. E 范例应用 例5．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，G是CE的中点，DG⊥CE，G为垂足． (1)求证：DC＝BE； (2)若∠AEC＝66°，求∠BCE的度数． 当堂训练 叁 当堂训练 1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为(　　) A．20　B．12　C．14　D．13 C 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为(　　) A．6 B．6 C．9 D.3 C 当堂训练 3 8 当堂训练 5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED． (1)求证：△MED为等腰三角形； (2)若∠EMD＝40°，求∠DAC的度数． 课堂小结 肆 课堂小结 壹 直角三角形的性质 性质1 直角三角形的两个锐角互余 勾股定理 性质2 性质3 性质4 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形30⁰所对的直角边等于斜边的一半 课后作业 基础题：1.课后习题 第 1,2,3题。 提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。 谢 谢 ．在△ABC中，∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，∴△BEC和△BDC是直角三角形．∵G是BC的中点，∴GE＝eq \f(1,2)BC＝GD， ∴△GED是等腰三角形．又∵F是DE的中点，∴GF⊥DE. ∵∠D＝90°，∠C＝60°，∴∠E＝30°.在Rt△ABE中，∠E＝30°，设AB＝x，则AE＝2x.根据勾股定理，得BE＝eq \r(AE2－AB2)＝eq \r(3)x，∴CE＝BC＋BE＝4＋eq \r(3)x.在Rt△DCE中，∵∠E＝30°，∴CD＝eq \f(1,2)CE，即eq \f(1,2)(4＋eq \r(3)x)＝3，解得x＝eq \f(2\r(3),3).故AB的长为eq \f(2\r(3),3). （1）证明：∵G是CE的中点，DG⊥CE，∴DE＝DC．∵AD是高，CE是中线， ∴DE＝BE＝eq \f(1,2)AB，∴DC＝BE.　 (2)解：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠BCE，∴∠EDB＝∠DEC＋∠BCE＝2∠BCE. ∵DE＝BE，∴∠B＝∠EDB，∴∠B＝2∠BCE，∴∠AEC＝∠B＋∠BCE＝3∠BCE＝66°，∴∠BCE＝22°. 4．如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE＝15°，则AE＝______. 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是______. （1）证明：∵AD⊥BC，M为AB边的中点， ∴MD＝eq \f(1,2)AB．同理ME＝eq \f(1,2)AB，∴ME＝MD， ∴△MED为等腰三角形． (2)解：∵ME＝eq \f(1,2)AB＝MA， ∴∠MAE＝∠MEA，∴∠BME＝2∠MAE. 又∵MD＝eq \f(1,2)AB＝MA，∴∠MAD＝∠MDA，∴∠BMD＝2∠MAD， ∴∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC， ∴∠DAC＝eq \f(1,2)∠EMD＝20°. $$