第2章 一元二次方程（单元测试·培优卷）数学北师大版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 一元二次方程·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若一元二次方程化成一般形式后二次项系数是3，则一次项系数是（    ） A． B．2 C． D．7 2．已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．用公式法解方程时，得，则“□”处应填（  ） A． B． C．5 D．7 4．若关于的一元二次方程的解是，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，则m的值为（   ） A．1或 B．0或 C．1 D．0 6．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考． 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述： （甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同 （乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同 对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（   ） A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 8．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 9．如图，将边长为的正方形，沿其对角线剪开．再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（   ） A． B．或 C． D． 10．如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为 ． 12．将一元二次方程化成的形式，则 ． 13．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 人？” 14．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 15．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 16．图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2点…第行有个点…，则下列说法：①10是三角点阵中前4行的点数和：②300是三角点阵中前24行的点数和；③前个点数和为200的点，在这个三角形点阵中位于第19行第10个点；④这个三角点阵中前行的点数和不可能是600．其中正确的个数是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 18．（8分）关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 19．（9分）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 20．（9分）阅读与思考 下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 【发现】例：解方程． 解：原方程可变形为， ∴，（依据：乘法公式中 ▲ 公式） ∴， 直接开平方整理，得____________，____________． 【定义】称这种解法为“平均数法”． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：____________． (2)将小明解答过程中的横线处的内容补充完整． (3)请用“平均数法”解方程：． 21．（9分）某养老院有一块面积为平方米的长方形空地，其长是宽的倍． (1)求这块长方形空地的周长． (2)如图，为了合理利用空地，也给养老院的老人一块休闲娱乐赏花的地方，在空地四周留出同样宽的通道后，将空地分割出一个正方形花坛和一个长方形花坛（正方形的边长与长方形的长相等），且长方形花坛的长宽之比为，两个花坛的总面积为平方米，两个花坛之间能否在留出一定宽的通道后，再设计两边（图中画虚线的部分）各放宽度为米的长椅便于老人休息？ 22．（9分）项目式学习 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某文创店老板欲购进一批进价为25元/个的河南旅游文创产品，请你运用所学数学知识根据市场情况和该文创店老板的要求，帮助他制定这种文创产品的销售策略． 市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家文创店近期销售这种文创产品的销售单价x和日销售量y（个）的情况，记录如表： 文创店 A B C D E 销售单价x/元 30 29 28 27 26 日销售量y/个 50 55 60 65 70 模型建立 （1）求该文创产品的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； 问题解决 （2）已知该文创产品的销售单价不高于32元． ①如果文创店老板想单日获得250元的利润，那么该文创产品的销售单价应是多少元？ ②该文创店销售这种文创产品的单日利润能达到500元吗？如果可以，求出此时的销售单价，如果不可以，请说明理由． 23．（10分）把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：． 我们规定：一个整数能表示成（，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有______（填序号）． ①13；②21；③29． 探究问题： （2）若（m，n为常数），求的值． （3）已知（a，b是整数，k是常数），当______时，对于任意的a，b，S均为“完美数”． 拓展应用： （4）已知实数a，b满足，求的最小值 24．（10分）如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，运动时间为t． (1)经过______秒后，点P运动到B点；经过______秒后，点Q运动到C点； (2) ______；（用含t的代数式表示） (3)如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，的面积为？ (4)如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边上沿的路线以的速度移动，点Q在边上沿的路线以的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接，求经过几秒钟后，的面积为． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 一元二次方程·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若一元二次方程化成一般形式后二次项系数是3，则一次项系数是（    ） A． B．2 C． D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一般形式，然后写出一次项系数解答即可． 将方程整理为一般形式，确定一次项系数。 【详解】解：原方程化为一般式为 此时二次项系数为3，一次项系数为， 故选：A． 2．已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题． 【详解】解：时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选：C． 3．用公式法解方程时，得，则“□”处应填（  ） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，熟记公式法解一元二次方程的方法是解决问题的关键． 先将题中一元二次方程化为一般式，再由求根公式代入求解即可得到答案． 【详解】解：用公式法解方程时，得， 先化为一元二次方程一般式：， ， ， 则“□”处应填， 故选：A． 4．若关于的一元二次方程的解是，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用整体法的思想，找出关于的方程的解为或是解题的关键．由关于的一元二次方程的解是，，可得出关于的方程的解为或，解之即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程的解是，， 关于的方程的解为或， 解得：或， 关于的方程的解为或2． 故选：C． 5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，则m的值为（   ） A．1或 B．0或 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系结合，列出关于的方程，进而求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：，     ∵， ∴， 解得或； 当时，原方程化为，此时，符合题意； 当时，原方程化为，此时，不符合题意； 故； 故选：C． 6．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于根据题意列出方程． 根据平面图中停车位组合起来为一个宽为米，长为米的长方形，以及其“停车位的占地面积为352平方米”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：根据题意可列方程为：， 故选：C． 7．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考． 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述： （甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同 （乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同 对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（   ） A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用以及根的判别式，假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得，根据根的判别式即可判断，假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得，解出的值，从而求解，找准等量关系，正确列出一元二次方程或一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺， 根据题意得： 整理得： ， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； 假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺， 根据题意得：， 解得：， ∴当女性的身高为公尺时，使用算法与算法算出的理想体重会相同， ∴假设成立，即乙叙述正确； 故选：． 8．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义． 根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得，， 综上所述，x的值是或． 故选：D． 9．如图，将边长为的正方形，沿其对角线剪开．再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正方形的性质，平移的性质等知识，设，则，先根据正方形的性质，平移的性质以及等腰三角形的判定等判断出是等腰直角三角形， 得出，进而求出，然后根据“两个三角形重叠部分的面积为”列方程求解即可． 【详解】解：如图， ， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵平移， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵两个三角形重叠部分的面积为， ∴， 解得，， 它移动的距离等于或， 故选：B． 10．如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程与图形有关的应用，解此题的关键在于将等腰三角形拆解拼成另一个没有缝隙的矩形，再利用面积相等得到相关边的长度关系．如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意得，求出，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比，再根据面积为4求得，得，求出即可． 【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形， 根据题意，得， ∴， 解得： (负值舍去)， ∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为： ， ∵将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形， ∴，即：， ∴，即：． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 12．将一元二次方程化成的形式，则 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【详解】解：由题知， ， ， ， 因为一元二次方程可化成的形式， 所以． 故答案为：． 13．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 人？” 【答案】19 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这群人共有x人，则共摘了个石榴，根据“如果平均分配，每个人可以得到10个石榴”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设这群人共有x人，则共摘了个石榴， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴这群人共有19人． 故答案为：19． 14．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此先求出方程的另一个根，进而可求出m的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴方程的另一个根为, ∴, ∴， 故答案为：． 15．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 16．图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2点…第行有个点…，则下列说法：①10是三角点阵中前4行的点数和：②300是三角点阵中前24行的点数和；③前个点数和为200的点，在这个三角形点阵中位于第19行第10个点；④这个三角点阵中前行的点数和不可能是600．其中正确的个数是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的个数的变化规律，利用数形结合的思想解答． 根据题意和题目中点的个数的变化，可以判断各个说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：当时，三角点阵中的点数之和是：，故①正确， 当时，即，得（负根已舍去），故②正确， 当时，三角点阵中的点数之和为， ∵， ∴前个点数和为 200 的点，在这个三角点阵中位于第 20 行第 10 个点，故③错误； ∵当，即时，解得（负根已舍去），不是整数， 故这个三角点阵中前n行的点数和不可能是600．故④正确， 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答； （2）运用配方法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴， 则，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， 则， ∴，． 18．（8分）关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1) (2)的值为，另一个根是 【分析】本题考查了由一元二次方程的求解参数，根据一元二次方程根的情况求参数，公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到关于的不等式求解； （2）根据方程根的意义，代入方程，求出字母参数，再求出另一个根即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：； （2）∵方程的一个根是， ∴， 解得：， ， 解得：，， 的值为，另一个根是． 19．（9分）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 20．（9分）阅读与思考 下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 【发现】例：解方程． 解：原方程可变形为， ∴，（依据：乘法公式中 ▲ 公式） ∴， 直接开平方整理，得____________，____________． 【定义】称这种解法为“平均数法”． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：____________． (2)将小明解答过程中的横线处的内容补充完整． (3)请用“平均数法”解方程：． 【答案】(1)平方差 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程、平方差公式的应用，弄清楚题中的新定义是解此题的关键． （1）根据阅读材料中的信息即可得出平方差公式； （2）利用直接开平方解方程即可； （3）利用平均数法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 根据乘法公式中平方差公式， 故答案为：平方差； （2）解：原方程可变形为， ∴， ∴， 直接开平方，得 ∴，， （3）解：原方程变形为：， ， ， ， ，． 21．（9分）某养老院有一块面积为平方米的长方形空地，其长是宽的倍． (1)求这块长方形空地的周长． (2)如图，为了合理利用空地，也给养老院的老人一块休闲娱乐赏花的地方，在空地四周留出同样宽的通道后，将空地分割出一个正方形花坛和一个长方形花坛（正方形的边长与长方形的长相等），且长方形花坛的长宽之比为，两个花坛的总面积为平方米，两个花坛之间能否在留出一定宽的通道后，再设计两边（图中画虚线的部分）各放宽度为米的长椅便于老人休息？ 【答案】(1)米 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设长方形空地的宽为米，则长为米，根据长方形的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解方程再根据长方形的周长计算方法求解即可． （2）设长方形花坛的宽为米，则长为米，正方形花坛的边长为米，两个花坛的总面积为 平方米，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可求得长方形花坛的宽和正方形花坛的边长，进而可求得两个花坛之间的宽，与长椅的宽度比较大小即可得解． 【详解】（1）解：设长方形空地的宽为米，则长为米， 由题意得：， 整理得， 或（不合题意，舍去）， ， 这块长方形空地的周长为（米）． 答：这块长方形空地的周长为米． （2）解：能．理由如下： 设长方形花坛的宽为米，则长为米，正方形花坛的边长为米， 由题意得， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 长方形花坛的宽为米，正方形花坛的边长为米， 通道宽为（米）， 两个花坛之间的宽为（米）． 两边放长椅宽为米米， 能设计在两边放米宽的长椅． 22．（9分）项目式学习 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某文创店老板欲购进一批进价为25元/个的河南旅游文创产品，请你运用所学数学知识根据市场情况和该文创店老板的要求，帮助他制定这种文创产品的销售策略． 市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家文创店近期销售这种文创产品的销售单价x和日销售量y（个）的情况，记录如表： 文创店 A B C D E 销售单价x/元 30 29 28 27 26 日销售量y/个 50 55 60 65 70 模型建立 （1）求该文创产品的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； 问题解决 （2）已知该文创产品的销售单价不高于32元． ①如果文创店老板想单日获得250元的利润，那么该文创产品的销售单价应是多少元？ ②该文创店销售这种文创产品的单日利润能达到500元吗？如果可以，求出此时的销售单价，如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①30元，②不能达到500元，理由见解析． 【分析】本题主要考查求一次函数关系式和一元二次方程的应用，准确找出题中数量关系是解答本题的关键． （1）观察表格中的数据，发现每降低1元，就增加5个，说明与成一次函数关系，设一次函数关系式为，代入两组数值，求出的值即可； （2）①根据“利润=单个利润销售量”列方程，求解即可； ②列方程，整理为一般形式，计算判别式进行判断即可 【详解】解：（1）观察表格中的数据，发现每降低1元，就增加5个，说明与成一次函数关系， 设一次函数关系式为， 选取表格中两点、代入得： ， 解得，． 所以，． （2）①由题意得，利润， 令， 则， 整理得，， 解得，（因单价不高于32元，舍去）． 所以，销售单价应是30元． ②令，则， 整理得，． 所以，， 即此方程无实数根， 所以，单日利润不能达到500元． 23．（10分）把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：． 我们规定：一个整数能表示成（，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有______（填序号）． ①13；②21；③29． 探究问题： （2）若（m，n为常数），求的值． （3）已知（a，b是整数，k是常数），当______时，对于任意的a，b，S均为“完美数”． 拓展应用： （4）已知实数a，b满足，求的最小值 【答案】（1）①③；（2）；（3）36；（4）3 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义即可求解； （2）根据配方法即可求解； （3）根据配方法写出两个式子的平方和的形式即可求解； （4）根据配方法，以及非负数的性质即可求解． 【详解】解：（1）① ∴是“完美数”， ②， ∴不是“完美数”， ③， ∴是“完美数”； （2）∵， ∴， ∴； （3） ∴当时，， 则 ∴当时，对于任意的a，b，S均为“完美数”． （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 24．（10分）如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，运动时间为t． (1)经过______秒后，点P运动到B点；经过______秒后，点Q运动到C点； (2) ______；（用含t的代数式表示） (3)如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，的面积为？ (4)如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边上沿的路线以的速度移动，点Q在边上沿的路线以的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接，求经过几秒钟后，的面积为． 【答案】(1)6，4 (2) (3)经过2或4秒钟后，的面积为 (4)经过2或8秒钟后，的面积为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、三角形面积以及分类讨论；通过分类讨论得出方程是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据的面积为，列出关于t的方程，即可求解； （4）分三种情况：当点P从A向点B运动，点Q从点B向点C运动时，此时；当点P从A向点B运动，点Q从点C向点B运动时，此时； 当点P从B向点A运动，点Q从点C向点B运动时，此时；根据的面积为，列出关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：经过秒后，点P运动到B点； 经过秒后，点Q运动到C点； 故答案为：6；4 （2）解：根据题意得：， ∴； 故答案为： （3）解：根据题意得：， ∵的面积为， ∴，即， 解得：或4， 即经过2或4秒钟后，的面积为； （4）解：根据题意得：点P到达终点的时间为秒，点Q到达终点的时间为秒， 当点P从A向点B运动，点Q从点B向点C运动时，此时，， ∵的面积为， ∴，即， 解得：或8（舍去）； 当点P从A向点B运动，点Q从点C向点B运动时，此时，， ∵的面积为， ∴，即，此方程无解； 当点P从B向点A运动，点Q从点C向点B运动时，此时，， ∵的面积为， ∴，即， 解得：（舍去）或8； 综上所述，经过2或8秒钟后，的面积为． 试卷第10页，共20页 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 一元二次方程·能力提升（参考答案） 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C A C C C D D B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．15 13．19 14． 15． 16．①②④ 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分） 【详解】（1）解：∵ ∴， 则，， ∴，；……（4分） （2）解：∵， ∴， ∴， 则， ∴，．……（8分） 18．（8分） 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：；……（3分） （2）∵方程的一个根是， ∴， 解得：， ， 解得：，， 的值为，另一个根是．……（8分） 19．（9分） 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． ……（3分） （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根．……（5分） （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或．……（9分） 20．（9分） 【详解】（1）解：， ， 根据乘法公式中平方差公式， 故答案为：平方差；……（2分） （2）解：原方程可变形为， ∴， ∴， 直接开平方，得 ∴，，……（6分） （3）解：原方程变形为：， ， ， ， ，．……（9分） 21．（9分） 【详解】（1）解：设长方形空地的宽为米，则长为米， 由题意得：， 整理得， 或（不合题意，舍去）， ， 这块长方形空地的周长为（米）． 答：这块长方形空地的周长为米．……（4分） （2）解：能．理由如下：……（5分） 设长方形花坛的宽为米，则长为米，正方形花坛的边长为米， 由题意得， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 长方形花坛的宽为米，正方形花坛的边长为米， 通道宽为（米）， 两个花坛之间的宽为（米）． 两边放长椅宽为米米， 能设计在两边放米宽的长椅．……（9分） 22．（9分） 【详解】解：（1）观察表格中的数据，发现每降低1元，就增加5个，说明与成一次函数关系， 设一次函数关系式为， 选取表格中两点、代入得： ， 解得，． 所以，．……（4分） （2）①由题意得，利润， 令， 则， 整理得，， 解得，（因单价不高于32元，舍去）． 所以，销售单价应是30元．……（7分） ②令，则， 整理得，． 所以，， 即此方程无实数根， 所以，单日利润不能达到500元．……（9分） 23．（10分） 【详解】解：（1）① ∴是“完美数”， ……（1分） ②， ∴不是“完美数”， ……（2分） ③， ∴是“完美数”； ……（3分） （2）∵， ∴， ∴；……（5分） （3） ∴当时，， 则 ∴当时，对于任意的a，b，S均为“完美数”． ……（7分） （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为．……（10分） 24．（10分） 【详解】（1）解：经过秒后，点P运动到B点； 经过秒后，点Q运动到C点； 故答案为：6；4……（2分） （2）解：根据题意得：， ∴； 故答案为：……（3分） （3）解：根据题意得：， ∵的面积为， ∴，即， 解得：或4， 即经过2或4秒钟后，的面积为；……（5分） （4）解：根据题意得：点P到达终点的时间为秒，点Q到达终点的时间为秒， 当点P从A向点B运动，点Q从点B向点C运动时，此时，， ∵的面积为， ∴，即， 解得：或8（舍去）； 当点P从A向点B运动，点Q从点C向点B运动时，此时，， ∵的面积为， ∴，即，此方程无解； 当点P从B向点A运动，点Q从点C向点B运动时，此时，， ∵的面积为， ∴，即， 解得：（舍去）或8； 综上所述，经过2或8秒钟后，的面积为．……（10分） 试卷第10页，共20页 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第2章 一元二次方程·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若一元二次方程化成一般形式后二次项系数是3，则一次项系数是（    ） A． B．2 C． D．7 2．已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．用公式法解方程时，得，则“□”处应填（  ） A． B． C．5 D．7 4．若关于的一元二次方程的解是，则关于的方程的解为（   ）． A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，则m的值为（   ） A．1或 B．0或 C．1 D．0 6．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考． 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述： （甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同 （乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同 对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（   ） A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 8．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 9．如图，将边长为的正方形，沿其对角线剪开．再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（   ） A． B．或 C． D． 10．如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为 ． 12．将一元二次方程化成的形式，则 ． 13．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 人？” 14．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 15．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 16．图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2点…第行有个点…，则下列说法：①10是三角点阵中前4行的点数和：②300是三角点阵中前24行的点数和；③前个点数和为200的点，在这个三角形点阵中位于第19行第10个点；④这个三角点阵中前行的点数和不可能是600．其中正确的个数是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（8分）用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 18．（8分）关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根． 19．（9分）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 20．（9分）阅读与思考 下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 【发现】例：解方程． 解：原方程可变形为， ∴，（依据：乘法公式中 ▲ 公式） ∴， 直接开平方整理，得____________，____________． 【定义】称这种解法为“平均数法”． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：____________． (2)将小明解答过程中的横线处的内容补充完整． (3)请用“平均数法”解方程：． 21．（9分）某养老院有一块面积为平方米的长方形空地，其长是宽的倍． (1)求这块长方形空地的周长． (2)如图，为了合理利用空地，也给养老院的老人一块休闲娱乐赏花的地方，在空地四周留出同样宽的通道后，将空地分割出一个正方形花坛和一个长方形花坛（正方形的边长与长方形的长相等），且长方形花坛的长宽之比为，两个花坛的总面积为平方米，两个花坛之间能否在留出一定宽的通道后，再设计两边（图中画虚线的部分）各放宽度为米的长椅便于老人休息？ 22．（9分）项目式学习 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某文创店老板欲购进一批进价为25元/个的河南旅游文创产品，请你运用所学数学知识根据市场情况和该文创店老板的要求，帮助他制定这种文创产品的销售策略． 市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家文创店近期销售这种文创产品的销售单价x和日销售量y（个）的情况，记录如表： 文创店 A B C D E 销售单价x/元 30 29 28 27 26 日销售量y/个 50 55 60 65 70 模型建立 （1）求该文创产品的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； 问题解决 （2）已知该文创产品的销售单价不高于32元． ①如果文创店老板想单日获得250元的利润，那么该文创产品的销售单价应是多少元？ ②该文创店销售这种文创产品的单日利润能达到500元吗？如果可以，求出此时的销售单价，如果不可以，请说明理由． 23．（10分）把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：． 我们规定：一个整数能表示成（，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为，所以10是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有______（填序号）． ①13；②21；③29． 探究问题： （2）若（m，n为常数），求的值． （3）已知（a，b是整数，k是常数），当______时，对于任意的a，b，S均为“完美数”． 拓展应用： （4）已知实数a，b满足，求的最小值 24．（10分）如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，运动时间为t． (1)经过______秒后，点P运动到B点；经过______秒后，点Q运动到C点； (2) ______；（用含t的代数式表示） (3)如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，的面积为？ (4)如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边上沿的路线以的速度移动，点Q在边上沿的路线以的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接，求经过几秒钟后，的面积为． 试卷第10页，共20页 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $