第二章《一元二次方程》 章末综合复习试卷 　2025-2026学年北师大版数学九年级上册

一元二次方程 章末综合复习试卷 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．关于x的一元二次方程x2+x﹣a+1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．一元二次方程x2+3x＝1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，3，1 B．1，3，﹣1 C．0，﹣3，1 D．0，﹣3，﹣1 3．一元二次方程（x﹣4）2＝1的解是（　　） A．x1＝5，x2＝﹣3 B．x1＝﹣5，x2＝3 C．x1＝﹣5，x2＝﹣3 D．x1＝5，x2＝3 4．将方程2x2﹣4x﹣3＝0配方变形后所得方程正确的是（　　） A．（2x﹣1）2＝﹣1 B．（2x﹣1）2＝4 C．2（x﹣1）2＝1 D．2（x﹣1）2＝5 5．关于一元二次方程x2﹣6x+6＝0根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 6．某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（　　） A．25（1+x）＝62 B．25（1+x）×2＝62 C．25（1+x）2＝62 D．25（1+x）+25（1+x）2＝62 7．若方程x2﹣2x﹣8＝m的两根分别为x1，x2，且|x1﹣x2|＞6，则m的取值范围为（　　） A．﹣2＜m＜4 B．m＜﹣2或 m＞4 C．m＜0 D．m＞0 8．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+ax+b﹣1＝0（a≠0）一个根，则一次函数y＝ax+b的图象必过定点（　　） A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1） 9．若ab≠1，且有5a2+2024a+9＝0及9b2+2024b+5＝0，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个不相等的实数根分别为α，β，关于x的一元二次方程x2+cx+b＝0的两个实数根分别为α+1，β+1，则下列方程中，其两实数根分别为α﹣1，β﹣1的是（　　） A．x2﹣x﹣3＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+x﹣3＝0 D．x2+x﹣2＝0 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．若x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2＝0的解，则代数式2024+4a﹣2b的值是　 　 ． 12．用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2＝n的形式，则mn的值为 　 　 ． 13．已知关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0没有实数根，请写出一个符合条件的整数m的值为　 　 ． 14．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长 　 　 米． 15．若a，β是方程x2﹣mx﹣2＝0的两个根，则α2+β2﹣m（α+β）＝　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解下列方程： （1）（x+1）2＝36； （2）x2+2x﹣1＝0； （3）x（x+2）＝5（x+2）； （4）2x2﹣x﹣3＝0． 17．若x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，求方程的另一个根及m的值． 18．关于x的方程x2﹣mx+2m＝0的一个实数根是6，并且m和6恰好是等腰三角形ABC的两边长，求△ABC的周长． 19．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根、x1、x2．若方程两实根x1、x2满足x1+x2＝﹣x1x2，求k的值． 20．先化简，再求值：，其中a是方程2a2﹣8＝0的解． 21．材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0，可设x2＝y，于是原方程可化为y2﹣y﹣6＝0，解得y1＝﹣2，y2＝3．当y＝﹣2时，x2＝﹣2不合题意舍去；当y＝3时，x2＝3，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： （1）（x2+x）2+2（x2+x）﹣8＝0； （2）． 22．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3＝0． （1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围． （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝11，求k的值． 23．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． （3）已知三个不同的实数a，b，c满足a﹣b+c＝3，方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0有一个相同的实根，方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 25．下面是小军同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 今天在复习方程（组）的概念和解法时，我发现，各类方程的解法有一定的规律，求解一元一次方程时，把方程转化为x＝a的形式：求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把多元转化成一元，把复杂转化为简单． 运用“转化”的数学思想，我还可以解一些新的方程， 例如，一元三次方程x3+2x2﹣3x＝0，第一步，因式分解：x（x2+2x﹣3）＝0，第二步，转化为两个方程：　 　 或 　 　 ，第三步，解得：x1＝0，x2＝﹣3，x3＝1． （1）问题：将小军求解一元三次方程x3+2x2﹣3x＝0过程中的第二步补充完整为 　 　 或 　 　 ； （2）类比：方程2x3+10x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝ 　 　 ，x3＝ 　 　 ； （3）拓展：解方程组； （4）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21m，宽AB＝8m，点P在AD上（AP＞PD），小明把一根长为27m的绳子一端固定在点B，把绳长拉直并固定在AD上的一点P处，再拉直绳长的另一端恰好落在矩形的顶点C处，求DP的长． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D D B D D B A C 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．2026． 12．21． 13．﹣2（答案不唯一）． 14．6． 15．4． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）原方程开方得x+1＝6或x+1＝﹣6， 解得：x1＝5，x2＝﹣7； （2）原方程移项得x2+2x＝1， 配方得x2+2x+1＝1+1， 即（x+1）2＝2， 开方，得或， 解得：，； （3）原方程移项得x（x+2）﹣5（x+2）＝0， 因式分解得（x+2）（x﹣5）＝0， 则x+2＝0或x﹣5＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝5； （4）a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣3）＝1+24＝25， 所以， 所以，， 即，x2＝﹣1． 17．解：把x＝2代入方程，得4+2m﹣2＝0， ∴2+2m＝0． ∴m＝﹣1． 把m＝﹣1代入方程，得x2﹣x﹣2＝0， ∴（x﹣2）（x+1）＝0． ∴x1＝2，x2＝﹣1． ∴方程另一根为﹣1，m＝﹣1． 18．解：把x＝6代入x2﹣mx+2m＝0中， 得36﹣6m+2m＝0， 解得m＝9． 因为m和6恰好是等腰三角形的两边长， ①当腰长为6，底为9时，三边长为6、6、9，满足三角形三边之间的关系，此时△ABC的周长为6+6+9＝21； ②当腰长为9，底为6时，三边长为6、9、9，满足三角形三边之间的关系，此时△ABC的周长为6+9+9＝24． 综上所述，△ABC的周长为21或24． 19．解：∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根， ∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k﹣3＞0， 解得：． 由根与系数的关系，得． ∵x1+x2＝﹣x1•x2， ∴﹣（2k+1）＝﹣（k2+1），即k2﹣2k＝0， 解得：k＝0或k＝2， 又∵， ∴k＝2． 20．解： （） [] • ． ∵a是方程2a2﹣8＝0的解， ∴a＝±2． 又∵a﹣2≠0即a≠2， ∴a＝﹣2， 则原式． 21．解：（1）由换元法可设y＝x2+x，原方程可化为y2+2y﹣8＝0， 解得y1＝﹣4，y2＝2， 当y＝﹣4时，x2+x＝﹣4，即x2+x+4＝0， ∵Δ＝﹣15＜0， ∴方程无解， 当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1， 故原方程的根为x1＝﹣2，x2＝1； （2）由换元法可设，方程可化为y2﹣3y+2＝0， 解得y1＝1，y2＝2， 当y＝1时，， 解得x＝﹣1，经检验是原方程的解， 当y＝2时，， 解得x＝﹣2，经检验是原方程的解， 故原方程的根为：x1＝﹣1，x2＝﹣2． 22．解：（1）∵该方程有两个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（k+1）]2﹣4（k2﹣3）≥0， 解得k≥﹣2． 即k的取值范围是k≥﹣2； （2）∵该方程的两个实数根x1，x2， ∴x1+x2＝2（k+1），， ∴， 化简得k2﹣2k﹣15＝0， 解得k1＝5，k2＝﹣3， ∵k≥﹣2， ∴k的值为5． 23．解：（1）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2t cm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵B在PQ的垂直平分线上， ∴PB＝BQ， ∴10﹣2t＝4t， 解得， ∴当时，点B在PQ的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4t cm，AP＝2t cm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 由勾股定理得PQ2＝PB2+BQ2， ∴（10﹣2t）2+（4t）2＝102， 解得t1＝0（舍去），t2＝2， ∴当t＝2时，PQ的长度等于10cm； （3）由题意得，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm， ∵△PQC的面积等于32cm2， ∴， ∴， ∴t＝1或t＝7（舍去）， ∴当t＝1s时，使得△PQC的面积等于32cm2． 24．（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0， 则k取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：∵Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根， ∴a2＝b2+c2， 则9＝（b+c）2﹣2bc， 9＝（k+2）2﹣2×2k， 解得：k， 由b+c＝2+k＝2（不可能取负数）， 故△ABC的周长C＝5； （3）解：设x1是方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0的一个相同的实根，则， 两式相减得（a﹣b）x1＝c﹣1， 解得x1， 设x2是方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0的一个相同的实根，则， 两式相减得（c﹣1）x2＝a﹣b， 解得x2， 所以x1x2＝1， 又∵方程x2+ax+1＝0的两根之积等于1，于是x2也是方程x2+ax+1＝0的根， 则ax2+1＝0． 又∵x2+a＝0，两式相减，得（a﹣1）x2＝a﹣1． 若a＝1，则方程x2+ax+1＝0无实根， 所以a≠1，故x2＝1． 于是a＝﹣2，b+c＝﹣1．又a﹣b+c＝3， 解得b＝﹣3，c＝2． 25．解：（1）x＝0是一元一次方程，x2+2x﹣3＝0是一元二次方程， 故答案为：x＝0，x2+2x﹣3＝0； （2）原方程转化为：2x（x2+5x﹣6）＝0， ∴2x＝0，x2+5x﹣6＝0， ∴x1＝0， ∵x2+5x﹣6＝（x﹣1）（x+6）＝0， ∴x﹣1＝0，x+6＝0， ∴x2＝1，x3＝﹣6， 故答案为：1，﹣6； （3）， 由②得，x＝y+3③， 把③代入①整理得：y2+3y﹣4＝0， ∴（y﹣1）（y+4）＝0， 解得，y1＝1，y2＝﹣4， ∴x1＝y+3＝1+3＝4，x2＝y+3＝﹣4+3＝﹣1， ∴原方程组的解为； （4）设AP＝x m，则DP＝（21﹣x）m， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝8m， 在Rt△ABP中，AB2+AP2＝BP2，即BP2＝82+x2，则， 在Rt△CDP中，CD2+DP2＝CP2，即CP2＝82+（21﹣x）2，则， ∵BP+CP＝27， ， 等式两边同时平方得整理得：， 等式两边同时平方，整理得：x2﹣21x+90＝0， 解得x1＝15，x2＝6， ∴AP＝15m或AP＝6m，则对应的PD＝21﹣15＝6m或PD＝21﹣6＝15m， ∵AP＞PD， ∴AP＝15m，PD＝6m， ∴DP的长为6m． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $