精品解析：重庆市礼嘉中学校2025-2026学年 上学期九年级第一次定时作业 数学试题

礼嘉中学2025～2026学年度上期初2024级第一次定时作业 数学试题 （全卷满分150分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确的选项选出来． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较法则是关键．根据实数的大小比较法则比较即可． 【详解】解：， 最小的数是， 故选：C． 2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展，以下四个科技创新型企业的品牌图标中，不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形．把一个图形绕某条直线折叠，如果折叠后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．据此判断即可求解．熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意． B、是轴对称图形，故本选项不符合题意． C、是轴对称图形，故本选项不符合题意． D、不是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ）． A. 对全班同学观看电影《731》的调查 B. 对全重庆市市民国庆出游情况的调查 C. 对某新能源汽车的电池寿命的调查 D. 对嘉陵江流域水质情况的调查 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A、对全班同学观看电影《731》的调查，适宜采用全面调查（普查）方式，符合题意； B、对全重庆市市民国庆出游情况的调查，适宜采用抽样调查，不符合题意； C、对某新能源汽车的电池寿命的调查，适宜采用抽样调查，不符合题意； D、对嘉陵江流域水质情况的调查，适宜采用抽样调查，不符合题意； 故选：A． 4. 估算的值（ ）． A. 在3到4之间 B. 在4到5之间 C. 在5到6之间 D. 在6到7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键． 先估算出的范围，再求出的范围，再得出选项即可． 【详解】解：∵， ∴减3得：， 即在4和5之间， 故选：B． 5. 如图，已知，添加以下条件仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理，逐一验证即可． 本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∵ ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ∵ ∴， 故B选项正确，不符合题意； ∵ ∴， 故D选项正确，不符合题意； ∵，不符合任何一定判定定理， 无法证明， 故C选项错误，符合题意； 故选：C． 6. 下列说法正确的是（ ）． A. 三角形的一个外角大于任何一个内角 B. 三角形的一条角平分线一定能把三角形分成两个面积相等的三角形 C. 三角形的三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等 D. 三角形的三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形角平分线、垂直平分线的性质以及三角形的外角，需逐一分析各选项的正确性，即得． 【详解】A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，但选项未限定“不相邻”，因此错误． B、角平分线分对边所得的两段长度不一定相等，只有当角平分线同时是中线时（如等腰三角形），面积才相等，因此错误． C、三条角平分线的交点为内心，内心到三边的距离相等，而非到顶点的距离，因此错误． D、三条边的垂直平分线的交点为外心，外心到三个顶点的距离相等，符合垂直平分线的性质，因此正确． 故选：D． 7. 下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第①个图形中有4朵梅花，第②个图形中有8朵梅花，第③个图形中有14朵梅花，第④个图形中有22朵梅花，按此规律摆放下去，则第⑦个图形中梅花朵数为（ ）． A. 32 B. 44 C. 58 D. 74 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形变化的规律．根据所给图形，依次求出图形中梅花的朵数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； ； ∴第个图形中梅花的朵数为， 当时，（朵）， 即第个图形中梅花的朵数为朵， 故选：C． 8. 某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据布料总长度和玩偶配套关系列出方程组． 根据布料总长度为128米，以及一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶的配套关系，列出方程组． 【详解】解：已知用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，布料总长度为128米，所以， 每米布料可做2个玩偶，则米布料可做个玩偶；每米布料可做3个玩偶，则米布料可做个玩偶， 因为一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶，要恰好配套，则玩偶的数量是玩偶的数量的2倍，即，化简得， 所以可列方程组， 故选：A． 9. 如图，是的角平分线，，垂足为D，若的面积为5，则的面积为（ ）． A. 10 B. 11 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形中线与面积等知识，延长交于点E，可证明得，从而得出，，可得从而可求出的面积． 【详解】解：延长交于点E，如图， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又， ∴, ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，和是等边三角形，与的延长线交于点O，连接，下列五个结论：①，②，③，④平分，⑤．恒成立的结论有（ ）． A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定与性质． 通过证明，结合等边三角形性质，对五个结论逐一分析判断． 【详解】①和是等边三角形， ， ，即． 在和中， ， ，结论①成立； ②由，可得， 设与交于点， 在和中， （对顶角相等）， ， 结论②成立． ③仅根据已知条件，无法得出，结论③不成立． ④过点作于于， ，， 又，根据三角形面积公式（为底，为高）， 可得， 根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上）， 平分， 结论④成立． ⑤在上截取， 由②知，， 是等边三角形，则，． 又是等边三角形， ， ， 则， 在和中，， ， 那么，结论⑤成立． 综上，结论①②④⑤成立，共4个， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将每个小题的答案直接填在横线上． 11. 点关于轴的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为：． 12. 已知两边长分别为6与9，第三边的长为偶数，则第三边长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于已知两边的和．首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可，再解不等式可得x的范围，然后再确定x的值即可． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得：， ∴ ∵第三边的长为偶数， ∴第三边长的最小值为， 故答案为：． 13. 在中，将沿边折叠，点C落在点处，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，折叠的性质，先根据平行线的性质得出，再根据折叠的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠的性质：， 故答案为：． 14. 已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先用含a的式子表示方程的解，根据方程的解为正整数得出求出正整数a的取值，然后求和即可． 【详解】解：解方程得， ∵a，x为正整数， ∴a的值为或， ∴所有正整数a的值的和是， 故答案为：． 15. 如图，，是的角平分线，E为线段的中点，过点E作的垂线交射线于点C，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一． 连接，过C作交于，过C作交于，根据角平分线的性质定理可知，根据三线合一得到，可证，得到，进而可求，根据三线合一即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接，过C作交于，过C作交于， ∵是的角平分线， ∴， ∵E为线段的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． ∵E为线段的中点，， ∴． 故答案为：． 16. 若一个三位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“拉手数”．若一个“拉手数”，将M的百位数字与个位数字对调得到一个新的三位数N，则N一定能被______整除．若将“拉手数”M与N相加再减去能被7整除，则所有满足条件的M的最大值与最小值的差为______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，整式加减的应用，本题属于新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 利用“拉手数”的定义可得，求出即可得出这个数；根据题意表示出，根据整除可得是7的整数倍，再利用数位上的数字的特征和整除的特性解答即可． 【详解】解：由“拉手数”的定义可得， ∴， ∴N一定能被整除； ， ∵M与N相加再减去能被7整除， ∴是7的整数倍，即是7的整数倍， ∵，且三位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0， ∴，，； 若，或（舍去），这时； 若，，这时； 若，，这时； 若，或（，舍去），这时； 若，，这时； 若，，，舍去； 若，，舍去； 若，，，舍去； 则最大的数为，最小的数为， ∴差为， 故答案为：，． 三、解答题：本题共8小题，17题16分，18～24每题10分，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算题 （1）计算：； （2）解方程：； （3）解方程组：； （4）解不等式组：． 【答案】（1） （2）或 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用平方根解方程，解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）分别计算有理数的乘方，化简绝对值，求算术平方根，再进行加减计算； （2）利用平方根的定义解方程即可； （3）先将原方程组变形，再由加减消元法求解； （4）先分别解每一个一元一次不等式，再取解集的公共部分作为不等式组的解集． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∴或； 【小问3详解】 解：原方程组可化为 由得：， 解得， 将代入①得：， 解得， ∴原方程组的解为； 【小问4详解】 解： 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为． 18. 每年11月9日是全国消防安全宣传教育日，某校开展消防安全教育讲座后，学生参加了安全知识竞赛，现随机抽取了若干名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分）进行整理分析（数据分为4组，A组：，B组：；C组：；D组：，x表示成绩，成绩为整数），并绘制了如下不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）抽取的学生人数为______人，______； （2）补全成绩频数分布直方图，并求出扇形统计图中“A”所占的圆心角度数； （3）该校有1500名学生参加本次安全知识竞赛，请估计竞赛成绩达到50分及以上的人数． 【答案】（1）60,20 （2） 补全频数分布直方图如下： （3）950 【解析】 【分析】此题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，理解题意，读懂统计图并从统计图中提取相关的解题信息是解答此题的关键． （1）利用 C 组的频数和所占百分比求出抽取的学生总人数，再根据 B 组频数求出的值； （2）先求出 A 组人数补全直方图，再根据 A 组人数占比求出其圆心角度数； 3、先求出成绩达到 50 分及以上的人数占抽取总人数的比例，再据此估计全校相应人数． 【小问1详解】 解：抽取人数：（人）， B 组频数为 12 ，则，所以， 故答案为：60,20； 【小问2详解】 A组人数：（人）， A组人数占抽取总人数的比例为， 所以扇形统计图中A所占的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：（人）， 答：竞赛成绩达到50分及以上的人数为950人． 19. 在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在图中作出，及其关于x轴对称的图形，并写出点、的坐标； （2）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标； （3）在y轴上是否存在点M，使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 和即为所作： ； （2）如图点P即为所求；点Ｐ的坐标为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，交x轴于点P，则点P即为所求． （3）先求出的面积等于4，再设，根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，交x轴于点P，则点P即为所求． 此时点Ｐ的坐标为； 【小问3详解】 解：的面积； 设，又， ∴， ∴， ∴ 点的坐标为或． 20. 如图，在中，，平分，于E，点F在边上，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，准确掌握直角三角形判定是解答问题的关键． （1）利用证明，即可证明； （2）求得，，证明，然后求出即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，, ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在正方形中，E为边上一点，F为边上一点，满足，连接． （1）尺规作图：作，交的延长线于点M（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 【答案】（1） 解：如图，即为所作， （2） 证明：由（1）可知：； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及作一个角等于已知角，正确证明三角形全等是解答本题的关键． （1）根据作一个角等于已知角求作即可； （2）根据证明可得出，证明，再根据证明，可得，从而可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 国庆期间，某商场用元购进了某品牌卫衣和衬衫共80件，已知卫衣每件元，衬衫每件元． （1）请问商场这次购进了卫衣和衬衫各多少件？ （2）若该商场将衬衫在成本的基础上提价10％进行销售，并全部销售完，将卫衣以元的价格销售，在销售了卫衣总进货量的之后，为了减少库存积压，商场准备将剩下的卫衣在原售价的基础上降价销售，在降价出售时，有件卫衣损坏，请问每件卫衣最多降价多少元，可以使商场在销售完这批衬衫和卫衣后，销售利润率不低于？ 【答案】（1）商场本次购进了卫衣件，衬衫件 （2）每件卫衣降价元． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用，理清数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键． （1）设商场本次购进了卫衣件， 衬衫件， 利用总价单价数量，结合商场用14500元共购进了某品牌卫衣和衬衫共件，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）每件卫衣降价元，根据预期利润卫衣利润卫衣损坏衬衫利润，即可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：设商场本次购进了卫衣件，衬衫件， 依题意得：， 解得：． 答：商场本次购进了卫衣件，衬衫件； 【小问2详解】 解：以元的价格销售的卫衣：（件）， 降价销售的卫衣：（件）， 销售衬衫的利润：（元）， 设每件卫衣降价元，依题意得： 解得： 答：每件卫衣最多降价元，该商场销售完这批衬衫和卫衣后销售利润率不低于的预期目标． 23. 如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： （1）______．（用t的代数式表示） （2）当t为何值时，？ （3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查长方形的性质、全等三角形的判定与性质、行程问题中的数量关系和列方程求解速度和时间等知识和方法，第（3）题要分类讨论，且对结果进行必要的检验，以免丢解或得出不符合题意的值． （1）按照行程问题中的数量关系，用含t的式子表示的长即可； （2）由长方形的性质得，，则，列方程求出t的值即可； （3）与全等分为两种情况，即，或，，先根据点P的运动距离求出时间，再根据点Q的运动时间和距离求出点Q的运动速度v． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵四边形是长方形， ∴． 如图1，当时，， ∴， 解得； ∴当时，， 【小问3详解】 解：①如图2，当，时，， ∵， ∴， 由，得， ∴， 解得； ②如图3，当，时，， ∵， ∴， 解得； ∵， ∴， 解得． 综上所述，或． 24. 如图，在中，，点D为边上一动点，连接，E是外一点，连接，满足． （1）如图1，若，连接，，求的度数． （2）如图2，若，连接，，，取中点F，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，若，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：取的中点G，连接，， ∵， ∴，， ∴， 由（1）可得， 又∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴A，F，G三点共线， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用等边对等角可得，证明，即可得到，然后根据角的和差解答即可； （2）取的中点G，连接，，根据等腰直角三角形的性质得到，，然后利用三角形的中位线得到，，即可得到A，F，G三点共线，然后根据线段的和差解答即可； （3）利用垂线段最短解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据垂线段最短可得，点D与G重合时，最小，即最小，最小为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 礼嘉中学2025～2026学年度上期初2024级第一次定时作业 数学试题 （全卷满分150分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确的选项选出来． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展，以下四个科技创新型企业的品牌图标中，不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ）． A. 对全班同学观看电影《731》的调查 B. 对全重庆市市民国庆出游情况的调查 C. 对某新能源汽车的电池寿命的调查 D. 对嘉陵江流域水质情况的调查 4. 估算的值（ ）． A. 在3到4之间 B. 在4到5之间 C. 在5到6之间 D. 在6到7之间 5. 如图，已知，添加以下条件仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ）． A. 三角形的一个外角大于任何一个内角 B. 三角形的一条角平分线一定能把三角形分成两个面积相等的三角形 C. 三角形的三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等 D. 三角形的三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 7. 下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第①个图形中有4朵梅花，第②个图形中有8朵梅花，第③个图形中有14朵梅花，第④个图形中有22朵梅花，按此规律摆放下去，则第⑦个图形中梅花朵数为（ ）． A. 32 B. 44 C. 58 D. 74 8. 某玩具厂准备用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做2个玩偶A或3个玩偶B，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，是的角平分线，，垂足为D，若的面积为5，则的面积为（ ）． A. 10 B. 11 C. 12 D. 14 10. 如图，和是等边三角形，与的延长线交于点O，连接，下列五个结论：①，②，③，④平分，⑤．恒成立的结论有（ ）． A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将每个小题的答案直接填在横线上． 11. 点关于轴的对称点的坐标是______． 12. 已知两边长分别为6与9，第三边的长为偶数，则第三边长的最小值为______． 13. 在中，将沿边折叠，点C落在点处，，若，则______． 14. 已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是______． 15. 如图，，是的角平分线，E为线段的中点，过点E作的垂线交射线于点C，则______． 16. 若一个三位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足百位数字与个位数字之和等于十位数字，则称这个三位数为“拉手数”．若一个“拉手数”，将M的百位数字与个位数字对调得到一个新的三位数N，则N一定能被______整除．若将“拉手数”M与N相加再减去能被7整除，则所有满足条件的M的最大值与最小值的差为______ 三、解答题：本题共8小题，17题16分，18～24每题10分，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算题 （1）计算：； （2）解方程：； （3）解方程组：； （4）解不等式组：． 18. 每年11月9日是全国消防安全宣传教育日，某校开展消防安全教育讲座后，学生参加了安全知识竞赛，现随机抽取了若干名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分）进行整理分析（数据分为4组，A组：，B组：；C组：；D组：，x表示成绩，成绩为整数），并绘制了如下不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）抽取的学生人数为______人，______； （2）补全成绩频数分布直方图，并求出扇形统计图中“A”所占的圆心角度数； （3）该校有1500名学生参加本次安全知识竞赛，请估计竞赛成绩达到50分及以上的人数． 19. 在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在图中作出，及其关于x轴对称的图形，并写出点、的坐标； （2）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标； （3）在y轴上是否存在点M，使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 如图，在中，，平分，于E，点F在边上，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21. 如图，在正方形中，E为边上一点，F为边上一点，满足，连接． （1）尺规作图：作，交的延长线于点M（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 22. 国庆期间，某商场用元购进了某品牌卫衣和衬衫共80件，已知卫衣每件元，衬衫每件元． （1）请问商场这次购进了卫衣和衬衫各多少件？ （2）若该商场将衬衫在成本的基础上提价10％进行销售，并全部销售完，将卫衣以元的价格销售，在销售了卫衣总进货量的之后，为了减少库存积压，商场准备将剩下的卫衣在原售价的基础上降价销售，在降价出售时，有件卫衣损坏，请问每件卫衣最多降价多少元，可以使商场在销售完这批衬衫和卫衣后，销售利润率不低于？ 23. 如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： （1）______．（用t的代数式表示） （2）当t为何值时，？ （3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 24. 如图，在中，，点D为边上一动点，连接，E是外一点，连接，满足． （1）如图1，若，连接，，求的度数． （2）如图2，若，连接，，，取中点F，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，若，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $