24.1.4圆周角（第2课时）（教学课件）数学人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“圆内接四边形”核心内容，涵盖概念、性质及综合应用。通过观察多边形特点导入，结合圆心角定理、圆周角定理等知识回顾，搭建新旧知识支架，引导学生逐步探究。 其亮点是用“议一议”“探究”活动培养几何直观与推理能力，如性质证明让学生猜想并推导，典例分析（例2、例3）综合直径、角平分线等知识体现模型意识。助力学生提升抽象思维与运算推理能力，为教师提供结构化探究式教学资源。

第二十四章 圆 24.1.4 圆周角（第2课时） 24.1 圆的有关性质 学 习 目 标 1 2 3 了解圆内接四边形和四边形外接圆的概念，掌握四边形外接圆的性质。 能运用圆周角定理及推论和圆内接四边形的性质进行简单证明和计算，发展抽象思维、数学运算和推理能力。 通过圆的有关性质的综合应用，培养抽象能力、几何直观、数学运算和推理能力。 知识回顾 *半圆或直径所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径。 ①圆心角定理： 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 ②圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. A B O C D A′ ③圆周角定理推论： *同弧或等弧所对的圆周角相等。 A B O C ∟ 1.填空题: (1)如图所示,∠BAC= , ∠DAC= . D A B C ∠DBC ∠BDC ●O A C B (2)如图所示，⊙O的直径AB=10cm,C为⊙O上一点，∠BAC=30°,则BC= cm. 5 知识回顾 练一练 2 . 如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,⊙O的弦AD 交⊙O1于C,则 (1)OC与AD的位置关系是__________________; (2)OC与BD的位置关系是___________; (3)若OC=2cm,则BD=______cm. OC垂直平分AD 平行 4 C D A B O O1 4 导入新课 O B C D E F A O A C D E B O C A B D 观察图中的多边形，它有什么特点？ 新知探究 探究点1 圆内接四边形和四边形外接圆的概念 议一议 1、图中四边形ABCD的顶点和⊙O的位置关系？ O C A B D 四边形的所有顶点都在⊙O上。 2、这个四边形ABCD和⊙O的位置关系是什么？ ⊙O是四边形ABCD的外接圆. 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， “内接”“外接”是指四边形与圆的位置关系，是一个图形对另一个图形而言的。 新知探究 探究点1 圆内接四边形和四边形外接圆的概念 议一议 O A C D E B 3、图中多边形与圆有同样的关系吗？ 若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 如图，五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，⊙O是四边形ABCDE的外接圆 例1．正方形ABCD 内接于⊙O ，P是劣弧上任意一点，则∠ ABP ＋ ∠ DCP 等于（　　） A． 　90°　 B．60° C． 45° 　　D． 30° 解：连接AC ； ∵四边形ABCD 是圆的内接正方形， ∴∠ACD＝45°； ∵∠ABP＝∠ACP， ∴∠ABP＋∠DCP＝∠ACD＝45° 典例分析 C 新知探究 探究点2 圆内接四边形的性质 议一议 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆. O C A B D 问题1：图中∠A与∠C, ∠B与∠D之间有什么关系？ ∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º. 你能猜想出结论吗？ 新知探究 探究点2 圆内接四边形的性质 议一议 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆. O C A B D 问题2：如何证明你的猜想呢？请试一试。 分 析 ∠A和∠C是一对圆周角 ∠A对的弧是 ∠C对的弧是 对的圆心角 对的圆心角 周角 ∠A ∠C 平角 新知探究 探究点2 圆内接四边形的性质 议一议 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆. O C A B D 问题2：如何证明你的猜想呢？请试一试。 证明：如图，连接 OB，OD. ∵∠A 所对的弧为 ， ∠C 所对的弧为， 又 和 所对的圆心角的和是周角， ∴ ∠A + ∠C = ×360° = 180°. 同理 ∠B + ∠D = 180°. 新知探究 探究点2 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补. O C A B D 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形， 归一归 ∠A+∠C=180º， ∠B+∠D=180º. C O D B A E 问题3：如果延长BC到E，那么∠DCE＋∠BCD ＝ 。 180° ∴∠A＝∠DCE 又 ∵∠A ＋∠BCD＝ 180° 新知探究 探究点2 圆内接四边形的性质 归一归 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆. 问题4：你能把这个结论用一句话总结归纳一下吗？ 圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 议一议 外角 典例分析 例2：如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A=100° ,则 ∠BOD的度数是（ ） A．130° 　　 B．140° 　 C．150° 　　　D．160° 解：∵ 四边形 ABCD是圆内接四边形， ∠A=100° ∴ ∠C=180 °－110 ° =80 ° ， ∴ ∠BOD=2∠C=2 ×80 °=160 ° D 新知探究 探究点3 圆的性质的综合应用 学习了垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及推论，涉及圆的问题往往可以和垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及推论、勾股定理、直角三角形的判定与性质、三角形的性质、三角形的三边关系等知识联系起来，熟练掌握相关知识的联系与运用， （1）构造直径上的圆周角. （2）圆周角是直角时构造直径形成直角三角形. （3）要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角， 构造同弧所对的不同位置圆周角 添加辅助线和分类讨论是解决这些问题的关键 例3　已知⊙O 的直径AB 为10，D 为⊙O 上一动点（不与A 、B 重合），连接AD 、BD ． (1)如图1，若AD=8 ，求BD 的值； (2)如图2，弦 DC平分∠ADB ，过点A 作 AE⊥CD于点E ，连接BE ． ①当 △BDE为直角三角形时，求BE 的值； ②在点 D的运动过程中，请直接写出BE 的最小值． 典例分析 （1）解：∵AB 为⊙O 的直径， ∴ ∠ ADB=90 ° ， 又AB=10 ，AD=8 ， ∴ BD= ==6； （2）解：①∵ ∠ ADB=90 ° ， 弦DC 平分∠ ADB ， ∴∠ ADC=∠ BDC=45° ， 当∠BED=90° 时，如图，连接OC ，则∠AOC＝∠BOC＝2∠ADC＝90° , ∵ AE⊥CD ， ∴ ∠AED＝∠AEC＝ ∠AOC ＝ 90 ° ， ∴点E和O重合，即 △BDE为等腰直角三角形，则 BE ＝AB ＝5 例3　已知⊙O 的直径AB 为10，D 为⊙O 上一动点（不与A 、B 重合），连接AD 、BD ． (1)如图1，若AD=8 ，求BD 的值； (2)如图2，弦 DC平分∠ADB ，过点A 作 AE⊥CD于点E ，连接BE ． ①当 △BDE为直角三角形时，求BE 的值； ②在点 D的运动过程中，请直接写出BE 的最小值． 典例分析 当∠DBE＝90° 时，如图，∵∠BDC＝45° ， ∴∠BED＝∠BDE＝45° ， 则 △BDE为等腰直角三角形，且 BE=BD， ∴ DE==BE， ∵ ∠AED ＝90 ° ， ∠ADC ＝45 ° ， ∴ ∠ADE ＝∠DAE ＝ 45 ° ，则AE=DE= BE， ∴AD= ＝DE＝2BE， ∵ ＝ ， ∴4 ＋ ＝ ，解得 BE= 2（负值舍去）， 综上，满足题意的BE 的长为5或 2； 例3　已知⊙O 的直径AB 为10，D 为⊙O 上一动点（不与A 、B 重合），连接AD 、BD ． (1)如图1，若AD=8 ，求BD 的值； (2)如图2，弦 DC平分∠ADB ，过点A 作 AE⊥CD于点E ，连接BE ． ①当 △BDE为直角三角形时，求BE 的值； ②在点 D的运动过程中，请直接写出BE 的最小值． 典例分析 ②连接OC ，AC ，分别取AC 、OA 的中点F、H，连接FH ，EF ，如图， 则 FH∥OC，FH=OC= ， OH=AH=OA= ， AC= ＝ OA＝5 ， ∴ ∠FHB ＝ ∠BOC ＝90 ° ，BH=AB －AH ＝ ∴ BF = ＝ ， ∵ ∠ AEC=90 ° ，F为AC 的中点，∴EF= AC= ， ∵ BE≥BF－EF，当点B、E、F共线时取等号， ∴ BE的最小值为 ． 拓展提升 1.如图，四边形 ABCD内接于⊙O ， AC为⊙O 的直径，B为 的中点． (1)试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)若 AD＋CD=6，求BD 的长． （1）△ABC 为等腰直角三角形，理由如下： ∵AC 为 ⊙O的直径 ∴ ∠ ADC= ∠ ABC=90 ° (直径所对的圆周角是直角) ∵B为 的中点， ∴ = ， ∴ AB=BC，（相等的弧对的弦等） ∴ △ABC为等腰直角三角形 拓展提升 1.如图，四边形 ABCD内接于⊙O ， AC为⊙O 的直径，B为 的中点． (1)试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)若 AD＋CD=6，求BD 的长． （2）过点B作 于点M， 交 的延长线于点N． ∵ = ，∴ ∠ BAD= ∠ BDC ， ∵ BM ⊥ DC，BN ⊥ AD ∴ ∠ N= ∠ BMD=90 ° ， ∵BD=BD ，∴ △BDN ≌ △BDM(AAS) ， ∴DN=DM ，∴BM=BN ， ∵ ∠ N ＝ ∠BMC ＝ 90 ° ，BA=BC ∴Rt △BNA ≌ Rt △BMC(HL) ， ∴AN=CM ， ∴ AD ＋ CD ＝ DN － AN ＋ DM ＋ CM ＝ 2DM ＝ 6， ∴DM=3 ， ∵AC 是直径，∴ ∠ ADC=90 ° ， ∴ ∠BDM= ∠BDA=45 ° ， ∴DM=BM=3 ，∴BD= ＝ ＝ 3． N ∟ M ∟ 新知巩固 2.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内角分成8个角，这些角中哪些相等?为什么? 教材P88练习 解：∠1 = ∠4， ∠3 = ∠6， ∠2 = ∠7， ∠5 = ∠8. 理由：同弧所对的圆周角相等. 5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点。若∠B=110°，求∠ADE的度数. 新知巩固 教材P88练习 C O D B A E ∴∠ADE = ∠B ∵四边形ABCD内接于⊙O 解： ∴∠ADC + ∠B =180° ∵∠ADE + ∠ACE =180°(平角定义) ∵∠B =110° ∴∠ADE = ∠B 110°. 真题感知 1．（2025.甘肃）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（　　） A．20° B．35° C．55° D．70° 解：由圆内接四边形的性质可知： ∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣7°＝110°， ∵， ∴∠ADB＝∠BDC∠ADC＝55°． C 真题感知 2.（2025·吉林松花江期中）如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.  证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，    ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，   ∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC. C O D B A E F G ∟ 真题感知 3．（2023上·江苏连云港校考）如图，在 ⊙O中，直径 AB与弦CD 相交于点P， ∠CAB＝∠ 40° ， ∠APD＝∠65° ． (1)求∠B 的大小； (2)已知圆心O到 BD的距离为4，求AD 的长． （1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到 ， ∠CAB＝∠CDB＝∠ 40° ∵ ∠APD＝65° ， ∠APD＝∠B＋∠CDB ， ∴ ∠B＝65 °－40°＝25° ； E ∟ （2）过点O作OE ⊥ BD 于点E，则圆心O到 BD的距离OE=4 ， ∵AB 是直径，∴∠ADB=90° ， ∴AD⊥BD ，∴ OE∥AD， 又∵O是 AB的中点， ∴OE 是△ABD 的中位线，∴AD=2OE=8 ． 圆心角 类比 圆周角 圆周角定义 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 1.顶点在圆上， 2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备） 圆周角与 直径的关系 1.直径所对的圆周角是直角. 2.90°的圆周角所对的弦是直径； 课堂小结 同弧或等弧所对的圆周角相等。 A B O C D A′ 圆内接四边形的对角互补.圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角. 课后练习 习题24.1 教材P89 7.求证:圆内接平行四边形是矩形. 证明:∵四边形ABCD平行四边形 ∴∠A=∠C ∵四边形ABCD为的⊙O内接平行四边形, ∴∠A+∠C=180° ∴∠A=∠C=90° ∴平行四边形ABCD为矩形 已知：如图，平行四边形ABCD内接于⊙O，求证：平行四边形ABCD为矩形 C O D B A 课后练习 习题24.1 教材P90 14. 如图，A，P，B，C是○O上的四个点，∠APC= ∠CPB=60°. 判断△ABC的形状，并证明你的结论. C O P B A 解:△ABC 是等边三角形.证明如下: ∠ABC = ∠APC = 60°， ∠BAC=∠CPB=60° ∴∠ACB = 180°- ∠ ABC- ∠ BAC =60° ∴△ABC 是等边三角形 感谢聆听! $