精品解析：广东省惠州市光正实验学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

惠州市光正实验学校2025—2026学年度上学期高二年级月考 数学试题 试卷共19道题，满分150分.考试时间120分钟 命题：朱婷婷 审题：杜守灿 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线平行，则实数a的值是（ ） A. 2或0 B. 2 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】讨论a是否为0，不等于0时，根据直线平行，列式计算，求得a值，验证后即可确定答案. 【详解】当时，两直线都为，两直线重合，不符合题意； 当时，由两直线平行，得到，解得， 经检验，此时两直线不重合，即直线与直线平行， 综上，实数a的值是2. 故选：B 2. 已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理依次判断各选项中的向量是否与向量，共面即可，不共面的则可作为平面的一个基底. 【详解】对于A，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即A错误； 对于B，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即B错误； 对于C，不妨设， 则有，方程组无解，即与向量，不共面，故可构成基底，故C正确； 对于D，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即D错误. 故选：C. 3. 已知圆的方程为，那么圆心坐标为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而可得解. 【详解】将圆的方程化为标准方程为：， 根据圆的标准方程知圆心坐标为， 故选：C． 4. 若直线的倾斜角为，则实数m值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化成斜截式方程，求得斜率，再借助于直线的斜率定义即可求得m值. 详解】由题知，，解得. 故选：A. 5. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先由空间向量垂直和平行的坐标表示计算出，再由模长的坐标运算求结果. 【详解】因为，所以，解得，所以， 又，所以，解得，所以， 故，则. 故选：C 6. 已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求. 【详解】，0，，，1，，， ，，， 在上的投影为， 则点到直线的距离为. 故选：D． 7. 直线恒过定点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用直线经过的定点和基本不等式的应用求出结果． 【详解】解：直线恒过定点， 则直线转换为：， 即，． 故， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：D． 8. 已知点.若直线与线段相交,则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线所过定点坐标,设定点是,求出斜率,由图形可得结论. 【详解】由已知直线恒过定点, 如图所示,若与线段相交,则, 因为, 所以. 故选:D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算化简即可逐项判断得解. 【详解】因为E，F分别为BC，CD的中点，所以由中位线性质可知，故A正确； 若可得，由图可知不共线，矛盾，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 10. 已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. l倾斜角等于 B. l在x轴上的截距等于 C. l与直线垂直 D. l与直线平行 【答案】CD 【解析】 【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，依次判断即可 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为（），则，所以，所以A错误； 因为经过点，所以直线的方程为，令，则，所以在轴上的截距为，所以B错误； 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，所以与直线垂直，所以C正确； 因为直线的斜率为，直线的斜率也为，且两直线截距不等，故两直线平行，所以D正确. 故选：CD 11. 已知点到直线：（）的距离为，则不可能的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出直线恒过的定点，找到直线不包括直线，再求出定点到直线的距离，求出直线的斜率，可以得到直线与直线垂直，则直线绕着点转动的过程中得到的范围，从而得到答案. 【详解】直线：可化为：， ∴，∴， ∴直线恒过定点（不包括直线）， ，∴， ，直线的斜率为， ， 垂直于直线时， 点到直线的距离为. ∴点到直线：的距离为， 由于在此范围内，、、不在此范围内，故A不符合题意，BCD符合题意. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点，且在轴、轴上的截距相等的直线方程是________. 【答案】或 【解析】 【分析】分截距为和截距不为两种情况，分别设出直线方程代入点的坐标即可求解. 【详解】当截距为时，设所求直线为， 因为直线过点，所以， 所以，所以所求直线方程为， 当截距不为时，设所求直线方程为， 因为直线过点，所以， 所以所求直线方程为， 综上，所求直线方程为或. 故答案为：或. 13. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则_____. 【答案】##0.125 【解析】 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 即， 由于，，，四点共面，则， 解得：； 故答案为： 14. 已知平面的一个法向量是，且点在平面上，若是平面上任意一点，则向量________，点P的坐标满足的方程是________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用向量坐标运算求出向量，再由平面的法向量的意义，结合数量积得点的坐标满足的方程． 【详解】由点在平面上，是平面上任意一点，得向量， 由是平面α的一个法向量，得，即， 所以点的坐标满足的方程是. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：和直线：. （1）若，求a的值； （2）若，求两直线，间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两条直线垂直的条件即可求得结果. （2）利用两条直线平行的条件求出a的值，再利用点到线的距离公式即可得到答案. 【小问1详解】 因为：，：且，所以，解得. 【小问2详解】 因为：，：，且，所以且，解得， 所以：，：，即：，：， 所以直线，间的距离为. 16. 如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点． （1）以为一组基底表示向量； （2）若，，，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用向量的数乘运算及加减运算求解； （2）由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解． 【小问1详解】 ∵为线段的中点，∴， ∵，∴， ∴ ； 【小问2详解】 ． 17. 已知是菱形，，，为的中点，如图1，将沿折起，使点与点重合，且，如图2. （1）证明： 平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由是菱形及为的中点，得到，， 由，，用勾股定理求出，由， 得到，得到，进而得到平面； （2）建立空间直角坐标系，写坐标，求出平面和平面的一个法向量，利用数量积求解即可. 【小问1详解】 证明：连接， 因为是菱形，为的中点，所以，， 又因，，所以， 由已知，所以， 所以，面，、平面， 所以平面； 【小问2详解】 解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，. ，，， 设为平面的一个法向量， 则，即，可取. 平面的法向量， 设二面角的大小为， 则，所以二面角的余弦值为. 18. 如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，，. （1）求直线与平面所成角正弦值； （2）线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，设直线与平面所成角为，由即可求解； （2）假设线段上存在点满足题意，设（），求平面的法向量，设二面角的平面角为，利用夹角公式得，进而求出即可. 【小问1详解】 因为平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以. 以为坐标原点，、、为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，，， 所以，，. 设平面的法向量，则，即， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 假设线段上存在点满足题意， 设（）， 则，所以. 设平面的法向量， 则，即 令，则，，所以. 设二面角的平面角为， 则，解得或. 经检验，符合条件的， 即当时，二面角的余弦值为. 19. 一束光从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段上处． （1）若，求光从出发，到达点时所走过的路程； （2）若，求反射光的斜率的取值范围； （3）若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出关于轴的对称点，则光所走过的路程为； （2）根据 ，可得反射光斜率的取值范围； （3）当的横坐标，光所走过的最短路程为点到直线的距离．当的横坐标，光所走过的最短路程为点． 【小问1详解】 关于轴的对称点，， 由 ，则此时， 所以光所走过的路程即． 【小问2详解】 对于线段，令其端点， 则， 所以反射光斜率的取值范围是． 【小问3详解】 若反射光与直线垂直，则由． ①当，即时，光所走过的最短路程为点到直线的距离， 所以路程． ②当，即时，光所走过的最短路程为线段，其中， 所以． 综上：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市光正实验学校2025—2026学年度上学期高二年级月考 数学试题 试卷共19道题，满分150分.考试时间120分钟 命题：朱婷婷 审题：杜守灿 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线平行，则实数a值是（ ） A. 2或0 B. 2 C. 0 D. 2. 已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆的方程为，那么圆心坐标为 A. B. C. D. 4. 若直线的倾斜角为，则实数m值为（ ） A. B. C. D. 5 设，向量，，且，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 6. 已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 直线恒过定点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知点.若直线与线段相交,则的取值范围是（ ） A B. C. 或 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. l的倾斜角等于 B. l在x轴上的截距等于 C. l与直线垂直 D. l与直线平行 11. 已知点到直线：（）距离为，则不可能的值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点，且在轴、轴上的截距相等的直线方程是________. 13. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则_____. 14. 已知平面的一个法向量是，且点在平面上，若是平面上任意一点，则向量________，点P的坐标满足的方程是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 已知直线：和直线：. （1）若，求a的值； （2）若，求两直线，间的距离. 16. 如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点． （1）以为一组基底表示向量； （2）若，，，求． 17. 已知是菱形，，，为的中点，如图1，将沿折起，使点与点重合，且，如图2. （1）证明： 平面； （2）求二面角的余弦值. 18. 如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 一束光从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段上处． （1）若，求光从出发，到达点时所走过的路程； （2）若，求反射光的斜率的取值范围； （3）若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $