精品解析：辽宁省鞍山市部分高中2025-2026学年高三上学期第一次（10月）月考数学试题A

2025～2026学年度上学期月考 高三数学（A） 时间：120分钟 满分：150分 命题范围：函数与导数，集合与逻辑，等式与不等式，三角函数及解斜三角形． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出集合，再利用集合的交集运算求解即可. 【详解】由， 得， 又， 则. 故选：C. 2. 设命题，则为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C. 3. 已知是定义在[a - 1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（ ） A. － B. C. － D. 【答案】B 【解析】 【分析】由偶函数定义得且a－1＝－2a求出a、b，然后求a＋b 【详解】∵在[a - 1，2a]上是偶函数 ∴有：b＝0，且a－1＝－2a ∴a＝ ∴a＋b＝ 故选：B 【点睛】本题考查了函数的奇偶性；根据偶函数的定义且定义域关于原点对称求参数值 4. “”是“”的解集为的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 求出不等式恒成立的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义即可得出选项. 【详解】若的解集为，则，解得， 所以“”是“”的解集为的必要不充分条件. 故选：A 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】，得， 即，解得或（舍去）， 又. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 6. 已知，且，则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合已知条件，即可得出答案. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 7. 我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般的，声音的强度用（）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用（单位：分贝，，其中是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端）．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，建立不等式，然后解对数不等式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，即， 所以，解得， 所以声音强度的取值范围是，． 故选：C． 8. 定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由对任意x1，x2 [0，＋∞)(x1≠x2)，有 <0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A. 点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（　　） A. 函数是偶函数 B. 是函数的一个零点 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断A选项的正误；计算的值，可判断B选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断C选项的正误；代入检验可判断D选项的正误. 详解】对于A选项，令， 则，，故函数不是偶函数，A错； 对于B选项，因为，故是函数的一个零点，B对； 对于C选项，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，C对； 对于D选项，因为， D对. 故选：BCD. 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最小值4 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式可进行判断. 【详解】选项A：，当且仅当时等号成立，故A正确； 选项B：，当且仅当时等号成立，故B错误； 选项C：，当且仅当时等号成立，故C正确； 选项D：，当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：ACD 11. 已知和是函数的两个极值点，且函数有且仅有两个不同零点，则值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】BD 【解析】 【分析】依题意解得，然后求得的极值. 要使函数有两个零点，则的极大值为0或的极小值为0，进而可得结果. 【详解】，依题意，是的两个根， 所以，解得. 故. 易求得函数的极大值为和极小值为. 要使函数有两个零点，则极大值或极小值. 所以或． 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用诱导公式化简每一个式子，再把已知代入即得解. 【详解】因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°， 所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－， sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝. 所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－＋＝0. 故答案为：0 13. 设函数为偶函数，当时，，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据偶函数的性质可求函数值. 【详解】由函数为偶函数可得， 故答案为：. 14. 已知函数，若在上不单调，则实数的取值范围是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】通过求导，得到函数的导函数，再求得函数极值点，利用函数在上不单调，建立不等式，即可求得的范围. 【详解】由题意得，，令，则或， 故，上单调递增，上单调递减， 又因为在上不单调，所以或， 即实数的取值范围是， 故答案为:． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 小张于年初支出万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售收入为万元（国家规定大货车的报废年限为10年）. （1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ （2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？ （利润=累积收入+销售收入-总支出） 【答案】（1）第三年；（2）第5年. 【解析】 【分析】 （1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论； （2）利用利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论． 【详解】（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元， 则y＝25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50＝﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N） 由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5， ∵2＜10﹣5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出； （2）∵利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，∴二手车出售后， 小张的年平均利润为＝19﹣（x+）≤19﹣10＝9，当且仅当x＝5时，等号成立， ∴小张应当在第5年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大． 【点睛】思路点睛： 首先构建函数的模型一元二次函数，再解一元二次不等式，再利用基本不等式求最值. 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角C；（2）若，，求的周长. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长. 试题解析：（1）由已知可得 （2） 又 ， 的周长为 考点：正余弦定理解三角形. 17. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得； （2）借助导数可讨论单调性，即可得极值. 【小问1详解】 ，则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 由，故， 则，， 故当时，，当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，的单调递减区间为， 故有极大值， 有极小值. 18. 设. （1）求的单调递增区间； （2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数的图象，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）化简,根据正弦函数的单调性可得的单调递增区间； （Ⅱ）由平移后得进一步可得 试题解析：（Ⅰ）由 由得 所以，的单调递增区间是（或）. （Ⅱ）由（Ⅰ）知 把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象， 再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象， 即 所以 【考点】和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质 【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质、三角函数图象的变换.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角函数，进一步讨论函数的性质，利用“左加右减、上加下减”的变换原则，得出新的函数解析式并求值.本题较易，能较好地考查考生的基本运算求解能力及对复杂式子的变形能力等. 19. 已知函数，. （1）当时，求在上的最大值和最小值； （2）若在上单调，求的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）. 【解析】 【分析】 （1）代入，对函数求导，利用导数正负确定单调性即可； （2）先利用极限思想进行估值时，来确定在上单增，，再对分离参数，研究值得分布即得结果. 【详解】（1） 当时， ∴在和上为正，在和上为负， ∴在和上单增，在和上单减， 有，，， 故在上的最大值为，最小值为； （2）由知，当时，， 若在上单调则只能是单增， ∴在恒成立，即 ∴，令，，则， ∴在递减，，∴. 【点睛】（1）利用导数研究函数的最值的步骤： ①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可. （2）函数在区间I上递增，则恒成立；函数在区间I上递减，则恒成立. （3）解决恒成立问题的常用方法： ①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度上学期月考 高三数学（A） 时间：120分钟 满分：150分 命题范围：函数与导数，集合与逻辑，等式与不等式，三角函数及解斜三角形． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则为 A. B. C. D. 3. 已知是定义在[a - 1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（ ） A － B. C. － D. 4. “”是“”的解集为的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 4 7. 我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般的，声音的强度用（）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用（单位：分贝，，其中是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端）．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（　　） A. 函数是偶函数 B. 是函数的一个零点 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数图象关于直线对称 10 设正实数，满足，则（ ） A. 有最小值4 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 11. 已知和是函数的两个极值点，且函数有且仅有两个不同零点，则值为（ ） A. B. C. D. 0 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝________. 13. 设函数为偶函数，当时，，则___________． 14. 已知函数，若在上不单调，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 小张于年初支出万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售收入为万元（国家规定大货车的报废年限为10年）. （1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ （2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？ （利润=累积收入+销售收入-总支出） 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角C；（2）若，，求的周长. 17. 已知函数在点处的切线与直线垂直． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 18 设. （1）求的单调递增区间； （2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数的图象，求的值. 19. 已知函数，. （1）当时，求在上的最大值和最小值； （2）若在上单调，求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $