精品解析： 四川省成都实验外国语学校（西区）2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

2025-2026学年四川省成都实验外国语学校（西区） 九年级（上）月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程， 选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合； 选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合； 选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程． 故选：C． 2. 下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，，故符合题意； 故选：D． 3. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ） A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可． 【详解】解：由题意得∠DAE=∠CAB， A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； C、当=时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； D、当=时，不能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的情况与的关系列出不等式，即可求出实数k的取值范围. 【详解】解：由题意可知： 解得： ∴且. 故选：D. 【点睛】此题考查的是求一元二次方程中的参数问题，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的情况与的关系是解决此题的关键. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，先根据多项式乘多项式进行计算，再把方程的左边分解因式，再得出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 即， 所以， 故选：B． 6. 如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽，利用矩形的面积的计算方法得到方程即可． 【详解】解：根据题意得：；   故答案为：． 故选C． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程及矩形和平行四边形的面积的求解，将每条道路平移到矩形的一边处，表示出新矩形的长和宽是解本题的关键． 7. 如图，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，菱形的判定，三角形的中位线定理的应用，遇到中点，最常见的思路是构造三角形的中位线． 应添加的条件为，理由为根据三角形中位线定理结合得到四条边都相等，得出四边形为菱形即可． 【详解】解：应该添加的条件是； 连接、， ∵、、、分别为四边形四条边上的中点， ∴、分别为和的中位线， ， 同理， 又， ， ∴四边形是菱形， 故选：B． 8. 如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（　　） A. 6 B. 3 C. 2 D. 4.5 【答案】C 【解析】 【分析】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，由PE+PM=PE′+PM=E′M知点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，利用S菱形ABCD= AC•BD=AB•E′M求得E′M的长即可得答案． 【详解】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P 则点P、M即为使PE+PM取得最小值的点 则有PE+PM=PE′+PM=E′M ∵四边形ABCD是菱形 ∴点E′在CD上 ∵AC=6，BD=6 ∴AB= 由S菱形ABCD=AC•BD=AB•E′M得×6×6=3•E′M 解得：E′M=2 即PE+PM的最小值是2 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，确定出点P的位置是解题的关键． 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 已知，且，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了连比的运算，解一元一次方程，代数求值等，解题的关键是掌握连比的运算法则． 假设，根据列出方程求解，然后代数求值即可． 【详解】解：假设， ∴ 解得， ∴， ∴， 故答案为：5． 10. 已知方程有一个实数根为，则另一个实数根是_____，____． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程中根与系数的关系．方程有一个实数根为，设另一个根是．则，，再进一步计算即可． 【详解】解：方程有一个实数根为，设另一个根是． 则，， ∴，． 故答案为：，． 11. 已知a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，由题意可得，，再将式子变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵a、b是关于x的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识．根据，证明，，进而证明，即可求出，从而求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4 13. 如图，在矩形中，，，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两相交于点E，F，连接，相交于点G． 与相交于点H，连接，． 则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，连接，，，，根据作图可得四边形为菱形，从而得到，过点作交于点，根据勾股定理求出，同理可得，得到，再根据勾股定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，，，，如图： 由题意得：， ∴四边形为菱形， ∴垂直平分，即垂直平分， ∴， 过点作交于点，如图： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 同理可得：， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中， ， 故答案为：． 14. 若，则k＝_____． 【答案】或﹣1． 【解析】 【分析】根据a+b+c的值是否为0分类讨论：a+b+c＝0时，根据等式的基本性质可得a＝﹣（b+c）,代入即可求出k；当a+b+c≠0时，根据等比性质即可求出k． 【详解】解：当a+b+c＝0时，a＝﹣（b+c），则k＝＝＝﹣1； 当a+b+c≠0时，根据等比性质可以得到：k＝＝＝． 则k＝或﹣1． 【点睛】此题考查的是比例的基本性质，掌握等比性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键. 15. 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是_______________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系，解题的关键是灵活运用根与系数的关系与代数式变形相结合知识． 先求出两根之积与两根之和的值，再将化简成两根之积与两根之和的形式．然后代入求值即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 依题意得：， ，即， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， ， 故答案为：3． 16. 如图，D为中上一点，E为上一点，连接，交于点M，满足，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，作交的延长线于点，证明，求出的值，证明，得到，即可． 【详解】解：作交的延长线于点， 则：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ， ， ， 解得：， ， ， 代数式的最小值是． 故答案为：． 18. 如图，正方形的边长为4，是等边三角形，点F在边的上方，点E在射线上运动．连接，取的中点M，则线段的长度的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点N，连接，根据三角形中位线定理得到，因此，从而得到是点M的运动轨迹，因此当时，线段取得最小值．连接，根据勾股定理求出，过点B作于点Q，证明，得到，代入后求得．设与相交于点H，过点H作于点P，设，则，，，证明，得到，代入后求得，从而．证明，得到，代入即可求出，即可解答． 【详解】解：取的中点N，连接， ∵点M是的中点，点N是的中点， ∴， ∵在等边中，， ∴， ∴是点M的运动轨迹， ∴当时，线段取得最小值，如下图． 连接， ∵点N是的中点， ∴， ∵在正方形中，， ∴在中，， 过点B作于点Q， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 设与相交于点H，过点H作于点P， 设，则 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴线段的长度的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，找出点M的运动轨迹，通过相似三角形求出线段的长是解题关键． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 用适当的方法解下列关于x的方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4），， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并熟练掌握利用一元二次方程特征选用合适方法解一元二次方程是解题的关键． （1）整理后，利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）先求解，再利用公式法解一元二次方程即可． （3）整理得，利用公式法解一元二次方程即可． （4）先把方程化为，再进一步解方程即可． 【小问1详解】 解：， 变形为， ∴， ∴或， 解得：，． 【小问2详解】 解：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问3详解】 解：， 整理得：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问4详解】 解：， ∴， ∴， ∴或或， 解得：，，． 20. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下． 共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有，，共2种， 混合后的溶液变红色的概率为． 21. 已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+1=0有两个不等的实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足|x1|+|x2|=x12+x22-10，求k的值． 【答案】（1）k＞;(2)2 【解析】 【分析】（1）由△，列出不等式，解不等式即可； （2）由根与系数的关系表示两根和与两根积，再把所求的式子，化简后代入计算即可． 【详解】解：（1）由题意，△， ， 解得． （2）依题意得：，， 由（1）得：， ，， 、同为正根， ， 可化为：， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 22. 如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）证明：； （3）当时，求四边形的面积及线段的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形，理由如下， ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形． （2） 证明：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）， 【解析】 【分析】（1）证明和是等边三角形，即可推出四边形是菱形． （2）证明，可得，，结合即可得到结论． （3）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得和的长，利用菱形的性质得到，进一步可得面积，在中，解直角三角形求得的长，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，为等边三角形， ∴， ∵直线是线段的垂直平分线，且， ∴，， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 23. 【知识技能】（1）如图1，点E是正方形中边上一点，以点A为中心，把顺时针旋转得到，若正方形边长为3，，求的长． 【数学理解】（2）如图2，点E是正方形内部一点，连接，将绕点B逆时针方向旋转90度得到，延长交于点H，连接，请证明： ． 【拓展探索】（3）如图3，正方形的边长为3，，将绕点B逆时针旋转一周，当时，求的长度． 【答案】（1）； （2）证明：如图，在上截取，连接， 根据旋转可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，根据旋转可得：，即可得出，点三点共线，，根据勾股定理求解即可． （2）如图，在上截取，连接，根据旋转可得：，证明，得出，证出是等腰直角三角形，得出，即可证明． （3）根据题意得出点E在以点B为圆心，1为半径的圆上运动，过点B作，根据直角三角形的性质得出的长，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，正方形边长为3， ∴， 根据旋转可得：， ∴， ∴点三点共线， ∴， ∴． （2）略 （3）解：∵，将绕点B逆时针旋转一周， ∴点E在以点B为圆心，1为半径的圆上运动， 当时，如图， 过点B作， 则， ∴， ∴， ∴． 当时，如图， 过点B作， 则， ∴， ∴， ∴． 综上，是． 【点睛】该题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 24. 成都市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价4元，则月销售量将减少80个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌的头盔每个应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【小问1详解】 解：设头盔销售量的月增长率为，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设头盔每个涨价元，根据题意得： ， 整理得， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴不符合题意舍去， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 25. 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根． 请根据上述材料解决下面问题： （1）已知实数m、n满足、，求的值． （2）已知实数p、q满足、，且，求的值． （3）已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 【答案】（1） （2）1 （3）7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式等知识，正确理解一元二次方程根与系数关系，并能对相关式子进行变形是解题关键． （1）根据题意得到m，n是方程的两个不相等的实数根，得到，变形为整体代入即可求解； （2）变形为，结合得到p、可看作方程的两根，得到，变形为即可求解； （3）根据、得到a、b是方程的两个根，即可得到，根据，即可求出，得到c的最大值为7． 【小问1详解】 解：∵实数m、n满足、，， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴p、可看作方程的两根， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵、， ∴a、b是方程的两个根， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴c的最大值为7． 26. 【问题背景】 （1）如图1，在正方形中，E是上一点，连接，F为射线上一点（不与射线端点A重合），且．求证：且； 【类比探究】 （2）如图2，将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变，若，．探究线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，过点E作交于点H，延长交边于点G，若是等腰三角形，直接写出的值． 【答案】 （1）证明：如下图，过点E作于点N，于点M， ∴ ∵四边形正方形．BN ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴≌， ∴． ∵， ∴ ∵，， ∴ 即． （2），． 理由：如下图，过点E作交于点M， ∴， ∵四边形矩形， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． （3）或或． 【解析】 【分析】（1）过点E作于点N，于点M，证得≌，进而得到答案． （2）过点E作交于点M，证得，进而得到答案． （3）分别讨论，，三种情况即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）或或． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形、相似三角形、解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年四川省成都实验外国语学校（西区） 九年级（上）月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ） A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 已知，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 2 6. 如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（　　） A. 6 B. 3 C. 2 D. 4.5 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 已知，且，则_____． 10. 已知方程有一个实数根为，则另一个实数根是_____，____． 11. 已知a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式______． 12. 如图，在中，，，则_____． 13. 如图，在矩形中，，，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两相交于点E，F，连接，相交于点G． 与相交于点H，连接，． 则的长为___________． 14. 若，则k＝_____． 15. 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是_______________． 16. 如图，D为中上一点，E为上一点，连接，交于点M，满足，则_____． 17. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是________． 18. 如图，正方形的边长为4，是等边三角形，点F在边的上方，点E在射线上运动．连接，取的中点M，则线段的长度的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 用适当的方法解下列关于x的方程： （1） （2） （3） （4） 20. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 21. 已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+1=0有两个不等的实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足|x1|+|x2|=x12+x22-10，求k的值． 22. 如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）证明：； （3）当时，求四边形的面积及线段的长． 23. 【知识技能】（1）如图1，点E是正方形中边上一点，以点A为中心，把顺时针旋转得到，若正方形边长为3，，求的长． 【数学理解】（2）如图2，点E是正方形内部一点，连接，将绕点B逆时针方向旋转90度得到，延长交于点H，连接，请证明： ． 【拓展探索】（3）如图3，正方形的边长为3，，将绕点B逆时针旋转一周，当时，求的长度． 24. 成都市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价4元，则月销售量将减少80个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 25. 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根． 请根据上述材料解决下面问题： （1）已知实数m、n满足、，求的值． （2）已知实数p、q满足、，且，求的值． （3）已知实数a、b、c满足、，且，求c的最大值． 26. 【问题背景】 （1）如图1，在正方形中，E是上一点，连接，F为射线上一点（不与射线端点A重合），且．求证：且； 【类比探究】 （2）如图2，将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变，若，．探究线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，过点E作交于点H，延长交边于点G，若是等腰三角形，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $