精品解析：四川省内江市第六中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

内江六中初三上第一次月考 一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据二次根式和分式有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴且； 故选C． 2. 下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把非最简二次根式化简，再根据同类二次根式的概念求解． 本题主要考查了同类二次根式的定义，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴与是同类二次根式的是． 故选：C． 3. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且； 故选C． 4. 已知，则的值是（　　） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键． 根据二次根式的运算法则先进行化简，再将代入求解． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：B． 5. 《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可． 【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文， 根据题意，得． 故选：D． 6. 设，是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先求出与的值，再将转化为进行计算．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，． ∴． 故选：C． 7. 如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故C错误，符合题意． D．∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 8. 计算（ ） A. B. C. 5 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了复合二次根式的混合运算，先利用完全平方公式化简二次根式，再加减即可． 【详解】解：∵， ∴ ．   故选：D． 9. 如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．设点P运动的时间是，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设点P运动的时间是， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：A． 10. 设a，b为方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2024 B. C. 2023 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系等知识，根据一元二次方程根的定义得到，再用a表示，得到，所以原式变形为，再根据一元二次方程根与系数的关系得到，利用整体代入法计算，即可求得． 【详解】解∶∵a，b为方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选∶D． 11. 已知关于的方程的两根分别是方程两根的相反数，则的值为（ ）． A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，若是方程的根，则是解题的关键． 设方程的两根分别为，根据根与系数的关系可得，由题得分别是方程的两根，再利用根与系数的关系得，结合前面的关系即可求解． 【详解】设方程的两根分别为， 由根与系数的关系得， 又关于的方程的两根分别是方程两根的相反数， 所以方程的两根分别为， 由根与系数的关系得， ， 解得， ． 故选：A． 12. 如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形 ，使矩形 ~ 矩形；再连接 以对角线为边，按逆时针方向作矩形使矩形 ~ 矩形····，按照此规律作下去，则边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．根据已知和矩形的性质可分别求得，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 按逆时针方向作矩形 ，使矩形 ~ 矩形， ∴矩形的边长和矩形的边长的比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 以此类推， 矩形的对角线， 矩形的对角线， …， 矩形的对角线， ∴． 故选A． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13. 若最简二次根式与可以合并，则的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．掌握同类二次根式的概念是解本题的关键． 根据同类二次根式的概念列出方程，求出． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ， ． 故答案为2． 14. 已知，，则的值为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则．根据完全平方公式将变为，然后将，，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：24． 15. 如果两个相似三角形的最长边分别是和，它们的周长之差为，那么这两个三角形的周长之和是_____； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质：周长比等于相似比即可求解，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：设小三角形的周长为，则大三角形的周长是， 依题意，得， 解得， 经检验：是方程的解， ∴， ∴这两个三角形的周长之和， 故答案为：． 16. 关于的方程的解是=，=（、、为常数，0），则方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到或，然后解两个一次方程即可． 【详解】把方程看作关于的一元二次方程， 而关于的方程的解是=，=， 所以或， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根据题意得到关于()的一元一次方程是解题的关键． 三、解答题（共5小题，满分44分） 17. 计算题 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算题 （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法和直接开平方法是解题的关键． （1）通过配方法将方程转化为完全平方式来求解； （2）利用直接开平方法即可求解． 【小问1详解】 解：整理得， 配方得，即， 开方得， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 开方得， ∴或， ∴，． 19. 已知关于的方程． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）的周长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （2）利用根与系数的关系求得，，再利用完全平方公式得到，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵边长b，c恰好是这个方程的两个根， ∴，，（） ∵斜边长， ∴， ∴，即， 整理得（负值舍去）， ∴， ∴的周长为； ∴的周长为． 20. 2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价） 类别 价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 （1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； （2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ （3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 【答案】（1）A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件 （2）购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元 （3）销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元 【解析】 【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二元一次方程组即可求解； (2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式求出；设销售利润为元，得到，随着m的增大而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润； (3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可． 【小问1详解】 解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件， 由题意可知： ， 解出：， 故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件． 【小问2详解】 解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件， 由题意可知：， 解出：， 设销售利润为元，则， ∴是关于m的一次函数，且3＞0， ∴随着m的增大而增大， 当时，销售利润最大，最大为元， 故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元． 【小问3详解】 解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元， 由题意可知：(4+2a)(12-a)=90， 解出：a1=3，a2=7， 故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键． 21. 在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1） ． （2）化简：． （3）若， ①求的值， ②求的值． 【答案】（1） （2） （3）①1；②6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值的知识，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后再平方得到，再把原式化简变形为，接着利用整体代入法计算得到原式，再应用同样方法计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ； 四．填空题（共4小题，每小题6分，满分24分） 22. 为方程的两个根，则代数式的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．一元二次方程的两根为，则根与系数的关系为．根据根与系数的关系得到，将原式化简得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴ ． 故答案为：1． 23. 若，则的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得，设，得，继而得到，故得到，配方，利用非负性解答即可． 本题考查了二次根式的定义，换元，配方，非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 设，则， 故， 故， 而， 故， 故当时，此时，y取最大值，且为． 故答案为：． 24. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，分母有理化，正确分母有理化是解题的关键． 先对代数式的每一项分母有理化，再加减抵消即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 25. 如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当______时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或4． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，正确进行讨论是关键．首先利用表示出和的长，然后根据即可列方程求得的值． 【详解】解：由题意知，点只能在点的左侧， ①当点在点的左侧时，由， 整理得， 解这个方程，得（舍去），． 所以，当时，四边形是平行四边形． ②当点在点的右侧时，由， 整理得， 解这个方程，得（舍去），． 所以，当时，四边形是平行四边形． 所以当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：2或4． 五、解答题（共3小题，满分36分） 26. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“3倍根方程”． （2）若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 【答案】（1）是“3倍根方程” （2）50或 （3）17或 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解一元二次方程，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程，得，然后根据“3倍根方程”定义即可； （2）由得，，根据“3倍根方程”定义可得或，然后代入求解即可； （3）由关于的一元二次方程（m是常数）是“3倍方程”，设是的三倍，根据根与系数的关系得，，，解得，然后分情况代入解方程即可． 【小问1详解】 解（1）∵， ∴解得． ∵， ∴是“3倍根方程”． 【小问2详解】 ∵， 解得 ． ∵是“3倍根方程”， 分情况讨论： ①则：． ②则：． 【小问3详解】 ∵（是常数）是“3倍根方程”， ∴不妨设是的三倍， 由韦达定理：，解得． 当时， ， ∴． 当， ， ∴． 27. 阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： （1）已知实数满足，，且，求的值． （2）已知实数分别满足，，且．求的值． 【答案】（1） （2）-1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． 由题意得出是方程的两个不相等的实数根，据此知，将其代入计算即可； 把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，进一步代入计算可得． 【小问1详解】 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 故答案为：． 【小问2详解】 解：把两边同时除以，得 ． 又， 实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 28. 若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为________； （2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程，求的值； （3）若关于的一元二次方程与都是“快乐方程”，且其“快乐数”相等，设，求的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、平方的非负性，解决本题的关键是根据“快乐方程”、“快乐数”的定义探索、之间的关系. 根据“快乐数”的定义计算，即可得到结果； 因为关于的一元二次方程是“快乐方程，可得：是完全平方数，且为整数，且，计算可知； 整理可得：，可知当，时有最小值，最小值为，又因为两个方程的“快乐数”相等，所以有，整理可得：， 分情况求出、的值，然后根据的值分情况讨论，即可得到结果. 【小问1详解】 解：中，，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：关于的一元二次方程是“快乐方程， ， 其中是完全平方数，且为整数，且， 或， 当时，， 当时，， 是完全平方数，不是完全平方数， ； 【小问3详解】 解：一元二次方程的快乐数为： ， 一元二次方程的快乐数为： ， 两个方程的快乐数相等， ， 整理得：， 左边分解因式得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 要取最小值， 当，时有最小值，最小值为， 此时，， ， 不符合题意， 当，或，时，有最小值， 最小值为， 当，时， 方程中， 方程中， 是完全平方数， 符合题意； 当，时， 方程中， 方程中 是完全平方数， 符合题意． 的最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江六中初三上第一次月考 一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 2. 下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 4. 已知，则的值是（　　） A. 6 B. C. 3 D. 5. 《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设，是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 14 D. 16 7. 如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （ ） A. B. C. D. 8. 计算（ ） A. B. C. 5 D. 1 9. 如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（ ） A. B. C. 或 D. 10. 设a，b为方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2024 B. C. 2023 D. 11. 已知关于的方程的两根分别是方程两根的相反数，则的值为（ ）． A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 12. 如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形 ，使矩形 ~ 矩形；再连接 以对角线为边，按逆时针方向作矩形使矩形 ~ 矩形····，按照此规律作下去，则边的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13. 若最简二次根式与可以合并，则的值是________． 14. 已知，，则的值为________． 15. 如果两个相似三角形的最长边分别是和，它们的周长之差为，那么这两个三角形的周长之和是_____； 16. 关于的方程的解是=，=（、、为常数，0），则方程的解是______． 三、解答题（共5小题，满分44分） 17. 计算题 （1） （2） 18. 计算题 （1）； （2）． 19. 已知关于的方程． （1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 20. 2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价） 类别 价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 （1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； （2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ （3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 21. 在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1） ． （2）化简：． （3）若， ①求的值， ②求的值． 四．填空题（共4小题，每小题6分，满分24分） 22. 为方程的两个根，则代数式的值为______． 23. 若，则的最大值是__________． 24. 计算：_________． 25. 如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当______时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形． 五、解答题（共3小题，满分36分） 26. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“3倍根方程”． （2）若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 27. 阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： （1）已知实数满足，，且，求的值． （2）已知实数分别满足，，且．求的值． 28. 若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为________； （2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程，求的值； （3）若关于的一元二次方程与都是“快乐方程”，且其“快乐数”相等，设，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $