精品解析：浙江省绍兴市柯桥区联盟学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025学年第一学期九年级数学课堂作业试题卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了顶点式的顶点坐标，根据的顶点为求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 2. 已知的半径为5，，则点在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径）． 【详解】解：， 点与的位置关系是点在圆外， 故选：C． 【点睛】考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系． 3. 不透明袋子中装有个球，其中有个绿球、个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率公式，用绿球的个数除以球的总数即可． 【详解】解：不透明袋子中装有个球，其中有个绿球、个白球，这些球除颜色外无其他差别， 从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率是． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 4. 如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和所围成的区域为种植区．已知，的半径为17，则种植区的最大深度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作交于点，交于点，连接，然后利用勾股定理求出，最终可求得的长，根据垂径定理正确的利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接 在中， 则种植区的最大深度为9 故选：． 5. 若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2＋4x﹣1的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3＜y2 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算出自变量为-4，-3和1所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】解：∵当x=-4时，y1=x2+4x-1=16-16-1=-1； 当x=-3时，y2=x2+4x-1=9-12-1=-4； 当x=1时，y3=x2+4x-1=1+4-1=4； ∴y2＜y1＜y3， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 6. 如图，点，，是上的三点，若，则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．根据圆周角定理即可得出，进而根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， 根据题意可知． ∵ ∴ 故选：A． 7. 若将函数图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是根据函数图象平移规律：左加右减，上加下减进行变换． 【详解】解：将函数的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位， 可得， 故选D． 8. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A. 只有甲 B. 丙和丁 C. 甲和丁 D. 乙和丙 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了把二次函数一般解析式化成顶点式，以及二次函数顶点式的图象和性质，观察每一项的变化，发现甲将老师给的式子等式右边缩小两倍，到了丁处根据丙的式子得出了错误的顶点坐标． 【详解】解：老师：， 可得顶点坐标为． 根据题中过程可知从甲开始出错，按照此步骤下去到了丁处可得顶点应为，所以错误的只有甲和丁． 故选：C． 9. 如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A. 3α+β＝180° B. 2α+β＝180° C. 3α﹣β＝90° D. 2α﹣β＝90° 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果． 【详解】解：∵OA⊥BC， ∴∠AOB＝∠AOC＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠BEO ＝90°﹣∠AED ＝90°﹣α， ∴∠COD＝2∠DBC ＝180°﹣2α， ∵∠AOD+∠COD＝90°， ∴β+180°﹣2α＝90°， ∴2α﹣β＝90°， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，其中，将此抛物线向上平移，与x轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质和平移，分情况讨论：或，根据抛物线与x轴两交点关于对称轴对称，故得到交点横坐标之间的关系．由对称轴得到抛物线与x轴交点的横坐标之间的数量关系是解题的关键． 【详解】当时，如图所示： 由图象可得， ∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 由∵， ∴，， 当时，如图所示： 由图象可得， ∵抛物线 ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，． 故选：A． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若是关于的二次函数，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，利用二次函数定义可得，且，解方程即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转50°得到，则的度数为______． 【答案】70°##70度 【解析】 【分析】根据旋转可得，再根据角之间的和差关系可得答案． 【详解】解：∵将绕点A按顺时针方向旋转50°得到， ∴， ∵， ∴， 故答案为；70°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 13. 已知汽车刹车后行驶的距离 s（单位：）关于行驶时间 t（单位：）的函数解析式是，则汽车从刹车到停止所用时间为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．利用配方法把二次函数解析式配方成顶点式即可求解． 【详解】解：根据二次函数解析式， 当时，s取得最大值， 即汽车从刹车到停止所用时间为 故答案为： ． 14. 如图，桥拱关于水面反射的影子经过所在的圆心O，已知水面宽米，P为桥拱的最高点，在离水面相同高度的C，D处安装两盛景观灯，若点C是的中点，则点C离水面的距离是 ___________________ 米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，连接、、、，交于点，交于点，则，，证明为等边三角形，得出，解直角三角形得出米，米，由题意可得，从而得出，求出米，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、、、，交于点，交于点， ， 由题意可得：，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵米， ∴米，米， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴米， ∴米，即点C离水面的距离是米， 故答案为：． 15. 已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是______． 【答案】2或6 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，解题关键是正确掌握平移的规律． 根据抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点，即可求解． 【详解】解：由抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点， 得或6． 故答案为：2或6. 16. 如图，已知，是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E．若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理，由题意可得，从而求出，连接、，作于，证明、都是等腰直角三角形，得出，设，则，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵、、所在的圆是等圆，、、所对的圆周角都是， ∴， ∵点E恰好是翻折后的的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接、，作于， ， ∴， ∴， ∵的度数为， ∴， ∵， ∴、都是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 17. 已知函数，为常数）的图象经过点，． （1）求，的值； （2）当时，直接写出函数的最大值和最小值． 【答案】（1）， （2）当时，的值最大，最大值为6，当时，的值最小，最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点，代入解析式，即可求解； （2）把解析式化为顶点式，可得当时，y的值最大，最大值为6． 【小问1详解】 解：函数的图象经过点，，将数据代入解析式可得： ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得：函数解析式为， 抛物线开口向下，对称轴为直线，且当时，的值最大，最大值为6， ， 当时，的值最大，最大值为6， 当时，的值最小，最小值为． 18. 为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设班剪纸、班戏曲、班武术、班围棋四门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习． （1）求甲同学选择班剪纸课的概率． （2）利用树状图或列表法，求甲、乙两人选择同一门课程的概率． 【答案】（1）甲同学选班的概率为； （2）甲乙两人选择同一门课程的概率为． 【解析】 【分析】本题考查知识点是列举法求概率和列表法或树状图法求概率，解题关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率． 直接根据概率公式求解即可； 完整列出表格，列清所有可能的情况及甲、乙两人选择同一门课程的情况，再根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：该校开设班剪纸、班戏曲、班武术、班围棋共门特色课程， 甲同学选择班剪纸的概率为． 【小问2详解】 解：如下表所示： 　　乙 甲 共有种可能的情况，其中甲、乙两人选择同一门课程的情况有种， 甲、乙两人选择同一门课程的概率为． 19. 如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； （2）如图2，请画出的角平分线，交于点D． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换，角平分线的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先连接、、，再将、、分别旋转得到、、，最后依次连接、、，即可求解； （2）先过O点作，交于D点，作射线，则射线即为的角平分线． 【小问1详解】 解：如图1，即为所作； 【小问2详解】 解：如图，射线即为所作. 20. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出200件，如果售价每上涨1元，则每月少卖10件（每件售价不高于65元），设每件涨价元（为正整数），每月的销售量为件． （1）与的函数关系为　　　，自变量的取值范围是　　　； （2）每件商品售价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】（1），，且为正整数． （2）当商品售价为每件元时，获得最大利润元． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数，二次函数的实际应用， （1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），由销售数量等于减去减小的销售量可得函数解析式，由每件售价不高于65元可得自变量的取值范围； （2）设商品的总利润为元，由总利润等于每件商品利润乘以销售数量建立二次函数的解析式，再利用二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数）， 总销量为：， ∵每件售价不高于65元， ∴， ∴， ∴，且为正整数． 【小问2详解】 解：设商品的总利润为元，则 ∵， ∴当时，有最大值， 最大值为：（元）， 此时售价为元， ∴当商品售价为每件元时，获得最大利润元． 21. 如图，已知二次函数的图象经过点. （1）求的值和图象的顶点坐标． （2）点在该二次函数图象上. ①当时，求的值； ②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 【答案】（1）；（2）① 11；②. 【解析】 【分析】（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a； （2）①把m=2代入解析式即可求n的值； ②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得. ∵， ∴顶点坐标为. （2）①当m=2时，n=11， ②点Q到y轴的距离小于2， ∴|m|＜2， ∴-2＜m＜2， ∴2≤n＜11. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键． 22. 如图1，在中，，且，垂足为点E． （1）求证：； （2）如图2，连接，当，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点O作，，垂足分别为M、N，证明四边形是正方形，得出，再由即可得证； （2）由（1）可得，，，求出，再解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 证明：如图1，过点O作，，垂足分别M、N， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 即． 【小问2详解】 解：由（1）可得，，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ， ∴． 23. 已知二次函数． （1）若图象过点，求抛物线顶点坐标； （2）若图象与坐标轴只有两个交点，求的值； （3）若函数图象上有两个不同的点，且，求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）把代入求出a值，从而得到解析式，再把解析式化成顶点式即可得出答案； （2）根据图象与坐标轴有两个交点，则图象与x轴只有一个交点，所以，求解即可； （3）把分别代入得，，则，再根据，所以，根据二次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：把代入得 ， 解得：， ∴， ∴抛物线顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵图象与坐标轴有两个交点， ∴与x轴只有一个交点， ∴， 解得：； 【小问3详解】 证明：把分别代入得 ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，有最小值为， 但是，∵，不同的点， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标交点问题，抛物线的性质，抛物线与一元二次方程关系，熟练掌握抛物线与一元二次方程关系是解题的关键． 24. 我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． （1）如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； （2）如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； （3）如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】（1）90，120 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； 【小问2详解】 证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； 【小问3详解】 解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级数学课堂作业试题卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为5，，则点在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定 3. 不透明袋子中装有个球，其中有个绿球、个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和所围成的区域为种植区．已知，的半径为17，则种植区的最大深度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2＋4x﹣1的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3＜y2 6. 如图，点，，是上的三点，若，则的度数是( ) A. B. C. D. 7. 若将函数的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A. 只有甲 B. 丙和丁 C. 甲和丁 D. 乙和丙 9. 如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A. 3α+β＝180° B. 2α+β＝180° C. 3α﹣β＝90° D. 2α﹣β＝90° 10. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，其中，将此抛物线向上平移，与x轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D 当时， 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若是关于的二次函数，则m的值为__________． 12. 如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转50°得到，则的度数为______． 13. 已知汽车刹车后行驶的距离 s（单位：）关于行驶时间 t（单位：）的函数解析式是，则汽车从刹车到停止所用时间为_____． 14. 如图，桥拱关于水面反射的影子经过所在的圆心O，已知水面宽米，P为桥拱的最高点，在离水面相同高度的C，D处安装两盛景观灯，若点C是的中点，则点C离水面的距离是 ___________________ 米． 15. 已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是______． 16. 如图，已知，是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E．若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 __________． 三．解答题（共10小题） 17. 已知函数，为常数）的图象经过点，． （1）求，的值； （2）当时，直接写出函数的最大值和最小值． 18. 为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设班剪纸、班戏曲、班武术、班围棋四门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习． （1）求甲同学选择班剪纸课概率． （2）利用树状图或列表法，求甲、乙两人选择同一门课程的概率． 19. 如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； （2）如图2，请画出的角平分线，交于点D． 20. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出200件，如果售价每上涨1元，则每月少卖10件（每件售价不高于65元），设每件涨价元（为正整数），每月的销售量为件． （1）与函数关系为　　　，自变量的取值范围是　　　； （2）每件商品的售价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 21. 如图，已知二次函数的图象经过点. （1）求的值和图象的顶点坐标． （2）点在该二次函数图象上. ①当时，求的值； ②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 22. 如图1，在中，，且，垂足点E． （1）求证：； （2）如图2，连接，当，，求的长度． 23. 已知二次函数． （1）若图象过点，求抛物线顶点坐标； （2）若图象与坐标轴只有两个交点，求的值； （3）若函数图象上有两个不同的点，且，求证：． 24. 我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． （1）如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； （2）如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； （3）如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $