专题3.1概率的进一步认识同步精讲精练【课前故事+3大知识点+8大基础题型+2大强化训练+课后练习】-2025-2026学年北师大版九年级数学上册教学同步精讲精练

专题3.1 概率的进一步认识同步精讲精练【课前故事+3大知识点+8大基础题型+2大强化训练+课后练习】 元旦抽奖的“神秘概率” “叮铃铃——”上课铃刚响，班主任王老师就捧着一个彩色转盘和一个透明盒子走进了教室，盒子里装着红、白两种颜色的小球，引得同学们纷纷伸长脖子。 “同学们，今天咱们先来玩个元旦抽奖预热游戏！”王老师把道具放在讲台上，“两种抽奖方式选一种，获胜的同学能拿到卡通书签奖励。第一种是转转盘：转盘被平均分成4块，2块红色、1块黄色、1块蓝色，指针落在红色区域就算赢；第二种是摸小球：盒子里有3个红球、2个白球，有放回地摸两次，两次摸到的都是红球才算赢。” “我选转盘！红色块最多，肯定更容易中！”前排的小明立刻举手，抢先转了起来。第一次指针落在红色，第二次却转到了蓝色，10次试玩下来，小明赢了5次。接着小红选了摸小球，10次里只赢了3次，忍不住嘟囔：“摸球好像更难赢？” 这时小刚站起来质疑：“老师，我刚才看小红摸球，有时候连续两次红球，有时候一次都没有，这10次的结果能说明摸球真的更难吗？”王老师笑着点头：“问得特别好！咱们再让全班同学一起试摸20次摸球游戏——”大家轮流动手，最后统计发现，20次里赢了7次，赢的频率变成了35%，比刚才的30%高了一点。 “哎，频率变了！”同学们议论起来。王老师趁机拿出粉笔：“其实这里藏着概率的小秘密：转转盘的赢面能直接通过区域大小算出来，而摸球的赢面需要列出所有可能的结果才能准确计算；刚才两次摸球的频率不一样，是因为试验次数太少，当试验次数足够多时，频率会慢慢稳定在一个固定的数附近，这个数就是概率。” 最后王老师抛出问题： 转转盘的获胜概率到底是多少？怎么通过转盘的区域分布直接计算？ 摸小球（有放回摸两次，两次都红球）的获胜概率，能通过列举所有可能的摸球结果算出来吗？有多少种不同的摸球结果呢？ 为什么两次摸球试验的获胜频率不一样？当试验次数越来越多时，频率会和概率有什么关系？ 这两种抽奖方式的获胜概率不同，说明游戏公平吗？怎样设计抽奖方式才能让游戏对大家公平呢？ 带着这些疑问，咱们今天就一起来深入认识概率的奥秘吧！ 【题型1 几何概率】 5 【题型2 列举法求概率】 6 【题型3 列表法或树状图法求概率】 7 【题型4 游戏的公平性】 8 【题型5 利用概率计算随机事件发生的平均次数】 9 【题型6 求某事件的频率】 10 【题型7 由频率估计概率】 11 【题型8 用频率估计概率的综合应用】 12 【强化训练1 求概率】 13 【强化训练2 概率的实际生活及其他应用】 14 概率的进一步认识重点知识点梳理汇总及例题精讲（带解析） 知识点1 用树状图或表格求概率 重点内容 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的概率大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率． （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素． 例题精讲 1．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图进而可得答案． 【详解】解：转动转盘1次，获得一袋橘子的概率为，获得一袋苹果的概率为，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图如下： ∴转动转盘2次，共9种情况，其中苹果和橘子都获得的有4种情况， ∴转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是， 故选：D． 知识点2 用频率估计概率 重点内容 1.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p． 2.适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的概率不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 例题精讲 2．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 频率 0.60 0.45 0.55 0.47 0.48 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 A．不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 B．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” C．掷一枚一元的硬币，正面朝上 D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．由表格数据可知：利用频率估计概率得到实验的概率在左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行对比判断即可． 【详解】解：A、不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是，不符合题意； B、掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” 概率是，不符合题意； C、掷一枚一元的硬币，正面朝上的概率是，符合题意； D、三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5概率是，不符合题意； 故选：C 知识点3 频率与概率的区别与联系 重点内容 例题精讲 3．（2023·北京大兴·二模）不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n（n为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．下图显示了用计算机模拟实验的结果． 下面有三个推断： ①随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ②若盒子中装40个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球14个； ③若再次进行上述摸球实验，则当摸球次数为200时，“摸到红球”的频率一定是0.40． 所有合理推断的序号是（    ） A．①② B．② C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据概率公式和摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】①随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35，故本选项推理符合题意； ②若盒子中装40个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球个，故本选项推理符合题意； ③若再次进行上述摸球实验，则当摸球次数为200时，“摸到红球”的频率也还是0.35，故本选项推理不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了求某事件的频率，利用频率估计概率，根据概率求数量等，解题的关键是要明确大量反复试验下频率稳定值即概率． 【题型1 几何概率】 经典例题 【例1】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，将一枚飞镖任意投掷到边长为8的正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·全国·课后作业）连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成灰色，制成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上（落在镖盘上各点的机会相等），飞镖落在灰色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【练习2】（2025·江苏苏州·二模）如图，阴影部分是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 【练习3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为 ． 【题型2 列举法求概率】 经典例题 【例1】（2025·贵州·二模）周末，小梅的爸爸想带她和弟弟到贵阳市黔灵山公园或花溪湿地公园游玩，爸爸将两个公园名称分别写在两张相同的卡片上，让姐弟俩随机抽取．弟弟随机抽取一张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取一张，姐姐和弟弟抽取的公园名称相同的概率是（   ） A． B． C． D．1 自我练习 【练习1】（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某马场有三匹马，按身体强壮程度分为上马，中马，下马，这三匹马随机住在三个不同的马厩，甲到该马场去租马，先到第一个马厩观察后不租，再到第二个马厩，若比第一个马厩的马强壮，就直接租第二个马厩的马，若比第一个马厩的马瘦弱，就租第三个马厩的马，按这种方式，甲租到上马的概率为（   ） A． B． C． D． 【练习2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机开闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ． 【练习3】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和等于5的概率是 ． 【题型3 列表法或树状图法求概率】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·山西长治·期末）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（2024·广东·模拟预测）梅县松口，惠州博罗，顺德杏坛，潮汕澄海并称“岭南四大古镇”，是岭南文化的重要传承地．李明一家打算在五一假期随机选择其中3个去游玩，则同时选择梅县松口和惠州博罗的概率为（    ） A． B． C． D． 【练习2】（2025·四川·中考真题）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为 ． 【练习3】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）有五双大小均不相同的手套分别按照左右放在甲、乙两个口袋里面，甲口袋里面全部是左手套，乙口袋里面全部都是右手套，小明从甲、乙两个口袋里面分别任意抽取一只手套，恰好配成大小相同一套的概率是 ． 【题型4 游戏的公平性】 经典例题 【例1】（2024·浙江·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 自我练习 【练习1】（24-25九年级·浙江宁波·阶段练习）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得5分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 【练习2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”） 【练习3】（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？ （填“公平”或“不公平”）．    【题型5 利用概率计算随机事件发生的平均次数】 经典例题 【例1】（2024·贵州·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 【练习2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是 ． 【练习3】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买 个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 【题型6 求某事件的频率】 经典例题 【例1】（25-26八年级下·江苏常州·期中）数字“”中，数字“”出现的频率是（   ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）某小组做“频率具有稳定性”的试验时，绘出某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，掷出的点数是5 C．任意写一个整数，它能被2整除 D．从一个装有2个红球和1个白球的袋子中任取一球（这些球除颜色外完全相同），取到的是白球 【练习2】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是 ． 【练习3】（25-26九年级上·福建宁德·期中）在一个不透明的布袋中，蓝色，黑色，白色的玻璃球共有20个，除颜色外其他完全相同．将布袋中的球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回去，通过多次摸球试验后发现，摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%，则口袋中蓝色球的个数很可能是 ． 【题型7 由频率估计概率】 经典例题 【例1】（2025·贵州贵阳·一模）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他区别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（    ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 自我练习 【练习1】（24-25七年级下·河北保定·期末）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如下表． 种子个数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子个数 94 337 530 664 858 951 发芽种子频率 0.940 0.843 0.883 0.949 0.953 0.951 由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.01）约为（   ） A．0.84 B．0.88 C．0.94 D．0.95 【练习2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，惟手熟尔，’”可见技能可以通过反复苦练而达到熟能生巧．如图，已知铜钱的直径为，厚度为，一枚铜钱的平均密度约为．为计算铜钱的质量，做如下试验：将一滴油（油滴的大小忽略不计）随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油滴恰好穿过中心孔的次数为n次．由此可以估计，一枚铜钱的质量约为 （用含m．n，的式子表示）． 【练习3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图是一个边长为的正方形二维码，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色部分，则估计黑色部分的面积是 ． 【题型8 用频率估计概率的综合应用】 经典例题 【例1】（2023·湖南长沙·二模）在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（    ） A．80个 B．75个 C．70个 D．60个 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·山东济南·期中）在一个不透明的袋子中装有若干个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，记录颜色后放回，共进行了200次操作，其中白球出现了51次，由此估计红球的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【练习2】（23-24九年级上·山西吕梁·期末）爱好收藏的张同学将收集到的500张关于山西十大景点的卡片（它们分别是五台山、平遥古城、云冈石窟、晋祠、洪洞大槐树、壶口瀑布、雁门关、悬空寺、绵山、皇城相府）放到一个不透明的盒子里反复抽取多次（抽取后放回并摇匀），发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在左右，则估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是 ． 【练习3】（25-26九年级下·湖北武汉·阶段练习）十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为l（）的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值，某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到0.001），由此估计的近似值为 （精确到0.001）． 【强化训练1 求概率】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·浙江湖州·期中）如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（　 　） A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②① 自我练习 【练习1】（25-26九年级·浙江杭州·期中）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 【练习2】（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 【练习3】（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）一个不透明的袋子里装有除颜色外其他完全相同的红、白、黄三种颜色的球各10个，至少要摸( ) 个才能保证摸出两个不同颜色的球，至少摸( ) 个才能保证摸出两个黄色的球． 【强化训练2 概率的实际生活及其他应用】 经典例题 【例1】（25-26九年级·湖南株洲·自主招生）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（    ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·全国·期中）小明和小华两人在玩“石头剪刀布”的游戏，规定：“石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头，手势相同算小华赢”，比如：“小明出石头，小华出剪刀，则小明赢；小明出布，小华出石头，则小明赢…”，则小华赢的概率是（   ） A． B． C． D． 【练习2】（24-25九年级下·山东·自主招生）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567）等．在某次数学趣味活动中，小明需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，则抽取的“三位递增数”不能被5整除的概率为 ． 【练习3】（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）网购高铁票时，如果不选择座位，系统会默认随机分配座位，小林和小新同时买同一趟高铁车票，都选择系统随机分配座位，假设系统已将两人的位置分配到同一排，如图为同一排中的座位编号A，B，C，D，F，且在同一排分配到各个座位的机会是均等的，则系统分配给小林和小新相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率为 ． 选择题 1．（2025·河北邯郸·三模）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山西·一模）明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（   ） A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·福建漳州·期末）综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（    ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为3.1 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 填空题 6．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）二维码在我们的生活中应用广泛，小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的正方形二维码中黑色阴影的面积．经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积约为 ． 7．（2025·四川内江·二模）一组线段，长度分别为1，2，2，3任取三条，能组成三角形的概率是 8．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个不透明的盒子里装有2个红球，3个白球，这些球除颜色外其它均相同，现从中随机地摸出一个小球，不放回，然后再从剩下的小球中随机摸出一个，则摸出的两个小球恰好都是红球的概率为 ． 9．（24-25九年级上·广东江门·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则图案的面积为 ． 解析题 11．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）“一岁一端午，一年一安康．”端午节期间，某商场的打折销售活动规定：凡在本商场购物满180元，可转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘），并根据所转结果付账，转盘如图所示． (1)分别求出打七五折，打五折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付账300元，求他俩获得优惠的所有情况． 12．（2025·江苏泰州·三模）泰州是个好地方，素有“早上皮包水，晚上水包皮”生活习惯，泰州早茶更是闻名遐迩，某天甲、乙两人来泰州旅游，到某茶社吃早茶，他们点一笼杂笼包子，共4个，外形、大小均相同，只是其中的馅不同，2个是肉馅，另2个是秧草馅， (1)若甲先用筷子随机夹了1个，咬开后发现是肉馅的，随后乙用筷子在剩下的3个中随机夹1个，则乙夹的包子是秧草馅的概率为 ； (2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率． 13．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）任意抛掷一枚均匀的骰子（各个面上的点数为），将第一次，第二次抛掷的点数分别记为m，n．    (1)证明：当为奇数的概率； (2)在平面直角坐标系中，求以，，为顶点能构成直角三角形的概率． 14．（24-25七年级下·广东深圳·期末）某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． (1)小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． (2)通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 15．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了 名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 概率的进一步认识同步精讲精练【课前故事+3大知识点+8大基础题型+2大强化训练+课后练习】 元旦抽奖的“神秘概率” “叮铃铃——”上课铃刚响，班主任王老师就捧着一个彩色转盘和一个透明盒子走进了教室，盒子里装着红、白两种颜色的小球，引得同学们纷纷伸长脖子。 “同学们，今天咱们先来玩个元旦抽奖预热游戏！”王老师把道具放在讲台上，“两种抽奖方式选一种，获胜的同学能拿到卡通书签奖励。第一种是转转盘：转盘被平均分成4块，2块红色、1块黄色、1块蓝色，指针落在红色区域就算赢；第二种是摸小球：盒子里有3个红球、2个白球，有放回地摸两次，两次摸到的都是红球才算赢。” “我选转盘！红色块最多，肯定更容易中！”前排的小明立刻举手，抢先转了起来。第一次指针落在红色，第二次却转到了蓝色，10次试玩下来，小明赢了5次。接着小红选了摸小球，10次里只赢了3次，忍不住嘟囔：“摸球好像更难赢？” 这时小刚站起来质疑：“老师，我刚才看小红摸球，有时候连续两次红球，有时候一次都没有，这10次的结果能说明摸球真的更难吗？”王老师笑着点头：“问得特别好！咱们再让全班同学一起试摸20次摸球游戏——”大家轮流动手，最后统计发现，20次里赢了7次，赢的频率变成了35%，比刚才的30%高了一点。 “哎，频率变了！”同学们议论起来。王老师趁机拿出粉笔：“其实这里藏着概率的小秘密：转转盘的赢面能直接通过区域大小算出来，而摸球的赢面需要列出所有可能的结果才能准确计算；刚才两次摸球的频率不一样，是因为试验次数太少，当试验次数足够多时，频率会慢慢稳定在一个固定的数附近，这个数就是概率。” 最后王老师抛出问题： 转转盘的获胜概率到底是多少？怎么通过转盘的区域分布直接计算？ 摸小球（有放回摸两次，两次都红球）的获胜概率，能通过列举所有可能的摸球结果算出来吗？有多少种不同的摸球结果呢？ 为什么两次摸球试验的获胜频率不一样？当试验次数越来越多时，频率会和概率有什么关系？ 这两种抽奖方式的获胜概率不同，说明游戏公平吗？怎样设计抽奖方式才能让游戏对大家公平呢？ 带着这些疑问，咱们今天就一起来深入认识概率的奥秘吧！ 【题型1 几何概率】 5 【题型2 列举法求概率】 8 【题型3 列表法或树状图法求概率】 10 【题型4 游戏的公平性】 13 【题型5 利用概率计算随机事件发生的平均次数】 16 【题型6 求某事件的频率】 18 【题型7 由频率估计概率】 20 【题型8 用频率估计概率的综合应用】 22 【强化训练1 求概率】 25 【强化训练2 概率的实际生活及其他应用】 28 概率的进一步认识重点知识点梳理汇总及例题精讲（带解析） 知识点1 用树状图或表格求概率 重点内容 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的概率大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率． （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素． 例题精讲 1．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图进而可得答案． 【详解】解：转动转盘1次，获得一袋橘子的概率为，获得一袋苹果的概率为，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图如下： ∴转动转盘2次，共9种情况，其中苹果和橘子都获得的有4种情况， ∴转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是， 故选：D． 知识点2 用频率估计概率 重点内容 1.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p． 2.适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的概率不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 例题精讲 2．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 频率 0.60 0.45 0.55 0.47 0.48 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 A．不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 B．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” C．掷一枚一元的硬币，正面朝上 D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．由表格数据可知：利用频率估计概率得到实验的概率在左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行对比判断即可． 【详解】解：A、不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是，不符合题意； B、掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” 概率是，不符合题意； C、掷一枚一元的硬币，正面朝上的概率是，符合题意； D、三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5概率是，不符合题意； 故选：C 知识点3 频率与概率的区别与联系 重点内容 例题精讲 3．（2023·北京大兴·二模）不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n（n为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．下图显示了用计算机模拟实验的结果． 下面有三个推断： ①随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ②若盒子中装40个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球14个； ③若再次进行上述摸球实验，则当摸球次数为200时，“摸到红球”的频率一定是0.40． 所有合理推断的序号是（    ） A．①② B．② C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据概率公式和摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】①随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35，故本选项推理符合题意； ②若盒子中装40个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球个，故本选项推理符合题意； ③若再次进行上述摸球实验，则当摸球次数为200时，“摸到红球”的频率也还是0.35，故本选项推理不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了求某事件的频率，利用频率估计概率，根据概率求数量等，解题的关键是要明确大量反复试验下频率稳定值即概率． 【题型1 几何概率】 经典例题 【例1】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，将一枚飞镖任意投掷到边长为8的正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，圆的直径为正方形的边长即直径为８，，用小正方形的面积除以大正方形的面积即可． 本题考查了几何概率计算，正确理解概率的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵边长为8的正方形镖盘， ∴圆的直径为正方形的边长即直径为， 连接， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故飞镖落在阴影区域的概率为， 故选：C． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·全国·课后作业）连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成灰色，制成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上（落在镖盘上各点的机会相等），飞镖落在灰色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的求解，解决本题的关键是根据已知条件求出阴影面积以及总的面积. 分别利用面积公式求出阴影部分的面积以及正六边形的面积，再根据概率公式进行求解即可. 【详解】解：如图，令， 则， 将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，P（飞镖落在灰色区域）． 【练习2】（2025·江苏苏州·二模）如图，阴影部分是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 先设阴影部分的面积是x，得出整个图形的面积是，再根据几何概率求解即可． 【详解】解：设阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是， 则这个点取在阴影部分的概率是． 故答案为：． 【练习3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，解题的关键掌握根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 根据正方形的性质求出阴影部分占整个面积的，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的， 故答案为：． 【题型2 列举法求概率】 经典例题 【例1】（2025·贵州·二模）周末，小梅的爸爸想带她和弟弟到贵阳市黔灵山公园或花溪湿地公园游玩，爸爸将两个公园名称分别写在两张相同的卡片上，让姐弟俩随机抽取．弟弟随机抽取一张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取一张，姐姐和弟弟抽取的公园名称相同的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率． 【详解】解：黔灵山公园、花溪湿地公园两个景点分别用、表示， 画树状图为： 共有4中等可能的结果，其中抽取的公园名称相同结果数为2， 所以抽取的公园名称相同的概率 故选：C ． 自我练习 【练习1】（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）某马场有三匹马，按身体强壮程度分为上马，中马，下马，这三匹马随机住在三个不同的马厩，甲到该马场去租马，先到第一个马厩观察后不租，再到第二个马厩，若比第一个马厩的马强壮，就直接租第二个马厩的马，若比第一个马厩的马瘦弱，就租第三个马厩的马，按这种方式，甲租到上马的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列举法求概率．列举出所有三种马排列情况，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：设上马为，中马为，下马为， 三种马排列情况共有，，，，，， 符合要求的有，，， 所以租到是A类即租到上马的概率为． 故选：A． 【练习2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机开闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率． 列举随机闭合两个开关的所以可能，即可得随机闭合两个开关能够让灯泡发光概率． 【详解】解：随机开闭合开关，，中的两个，所有可能如下： 闭合，，灯泡发光， 闭合，，灯泡发光， 闭合，，灯泡不发光， ∴当随机开闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为． 故答案为：． 【练习3】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和等于5的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，通过列举法求出所有可能的结果数及两次取出的小球标号的和等于5的结果数，由概率公式即可求得结果． 【详解】解：∵随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球， ∴所有可能的结果有，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 一共16种， 其中两次取出的小球标号的和为5的情况有：，，，共4种， 则两次取出的小球标号的和等于5的概率为． 故答案为：． 【题型3 列表法或树状图法求概率】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·山西长治·期末）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列表得出共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可． 此题考查了列表法求概率．列表法可以不重不漏地表示出所有等可能的情况，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：列表如下： - - - - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种， 灯泡发光的概率为， 故选：A． 自我练习 【练习1】（2024·广东·模拟预测）梅县松口，惠州博罗，顺德杏坛，潮汕澄海并称“岭南四大古镇”，是岭南文化的重要传承地．李明一家打算在五一假期随机选择其中3个去游玩，则同时选择梅县松口和惠州博罗的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，将梅县松口，惠州博罗，顺德杏坛，潮汕澄海分别记作A、B、C、D，用列表法或树状图表示出所有可能的情况，再找出同时选择梅县松口和惠州博罗的情况，用概率公式求解即可． 【详解】将梅县松口，惠州博罗，顺德杏坛，潮汕澄海分别记作A、B、C、D， 画树状图如下： ∴共有24种等可能结果，其中同时选择梅县松口和惠州博罗的情况有12种， ∴同时选择梅县松口和惠州博罗的概率为． 故选：D． 【练习2】（2025·四川·中考真题）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率．正确画出树状图确定所有等可能的情况和符合条件的情况是解题的关键． 根据题意画出树状图得出所有等可能的情况，找出符合条件的情况，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有9种等可能的情况，其中指针指向颜色相同的扇形的有3种， 则转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为． 故答案为：． 【练习3】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）有五双大小均不相同的手套分别按照左右放在甲、乙两个口袋里面，甲口袋里面全部是左手套，乙口袋里面全部都是右手套，小明从甲、乙两个口袋里面分别任意抽取一只手套，恰好配成大小相同一套的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法求概率，根据题意正确列表是解题的关键． 先根据题意列表确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 甲 乙 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则共有25种等可能结果，其中恰好配成大小相同一套的有5种情况，故概率为：． 故答案为：． 【题型4 游戏的公平性】 经典例题 【例1】（2024·浙江·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件，列举法等知识进行游戏公平性判定，利用排除法求解即可． 【详解】解：假设两人第一次都摸到红球，若第二次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第二次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故A、B都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小金先摸球，则小金先摸到2个红球，所以一定是小金获胜， 故C正确； 若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第四次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故D不正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了游戏的公平性，求出各选项中对应情况数是解题的关键． 自我练习 【练习1】（24-25九年级·浙江宁波·阶段练习）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得5分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 【答案】A 【分析】本题主要进行游戏公平性判定，利用列表法分别求出各选项中各自情况情况数即可得出答案． 【详解】解：在上的点有，，，四点；在上的点有，，三点，因此该游戏不公平，故A符合题意； 取出两个数的乘积不大于15的有5、6、7、8、10、12、14、15共8种情况，取出两个数的乘积大于15的有16、18、20、21、24、24、28、32共8种情况，因此该游戏公平，故B项不符合题意； 取出的两个数乘积小于20的情况数为10种，可得分，取出的两个数乘积不小于小于20的情况数为6种，可得分，因此该游戏公平，故C项不符合题意； 取出的两个数相加和为奇数有8种，和不为奇数的有8种，因此该游戏公平，故D项不符合题意 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了游戏的公平性，求出各选项中对应情况数是解题的关键． 【练习2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出他们任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数的所有等可能的结果，再分别找出掷出的点数是奇数、掷出的点数是偶数的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意可知，甲、乙两人任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数共有6种等可能的结果，其中，掷出的点数是奇数的结果有三种，掷出的点数是偶数的结果有三种， 则甲赢的概率为，乙赢的概率为， 所以甲赢的概率和乙赢的概率相等， 所以这个游戏对甲、乙来说是公平的， 故答案为：公平． 【练习3】（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？ （填“公平”或“不公平”）．    【答案】不公平 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与拼成房子的情况，再利用概率公式求解即可求得小李赢与小王赢的概率，比较概率大小，即可知这个游戏是否公平． 【详解】解：设三张纸片分别用A，B，C表示 画树状图得：   共有6种等可能的结果，能拼成房子的有4种情况 ， 这个游戏不公平 故答案为：不公平 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，解题关键是掌握判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【题型5 利用概率计算随机事件发生的平均次数】 经典例题 【例1】（2024·贵州·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 【答案】B 【分析】本题考查了概率的定义，列举法等知识，结合选项，利用排除法求解即可． 【详解】假设两人第一次都摸到红球，若第二次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第二次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故A、C都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小星先摸球，则小星先摸到2个红球，所以一定是小星获胜，故B正确；若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第四次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故D不正确． 故选：B． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可． 【详解】设瓶子中有豆子粒豆子， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：估计瓶子中豆子的数量约为粒． 故选：． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 【练习2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知概率求数量，掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义直接计算即可. 【详解】解：该运动员比赛中罚球投中的概率是， 若有次罚球机会，则他估计能投中的次数是（次）． 故答案为：． 【练习3】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买 个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 【答案】4 【分析】根据“合格率”，“不合格率”的意义，结合“频数与频率”的意义进行判断即可． 【详解】解：∵产品的抽样合格率为， ∴产品的抽样不合格率为 ∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品 故答案为：4． 【点睛】本题考查频数与频率，理解“频率”“合格率”“不合格率”的意义是正确判断的前提． 【题型6 求某事件的频率】 经典例题 【例1】（25-26八年级下·江苏常州·期中）数字“”中，数字“”出现的频率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先计算数字的总数，以及2出现的频数，根据频率公式：频率=频数÷总数即可求解． 【详解】数字的总数是8，有3个数字“”， 因而“”出现的频率是：． 故选：A． 【点睛】本题考查了频数的计算公式，理解公式是关键． 自我练习 【练习1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）某小组做“频率具有稳定性”的试验时，绘出某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，掷出的点数是5 C．任意写一个整数，它能被2整除 D．从一个装有2个红球和1个白球的袋子中任取一球（这些球除颜色外完全相同），取到的是白球 【答案】D 【分析】根据频率折线图可知频率在0.33附近，进而得出答案. 【详解】A、抛一枚硬市、出现正面朝上的概率为0.5、不符合这一结果，故此选项错误； B、掷一个正六面体的骰子、掷出的点数是5的可能性为，故此选项错误； C、任意写一个能被2整除的整数的可能性为，故此选项错误； D、从一个装有2个红球1个白球的袋子中任取一球，取到白球的概率是，符合题意， 故选：D. 【点睛】此题考查频率的折线图，利用频率估计事件的概率，正确理解频率折线图是解题的关键. 【练习2】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答． 先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答． 【详解】解：参加扎染社团的学生数为：， 八年级2班学生参加扎染社团的频率是． 故答案为． 【练习3】（25-26九年级上·福建宁德·期中）在一个不透明的布袋中，蓝色，黑色，白色的玻璃球共有20个，除颜色外其他完全相同．将布袋中的球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回去，通过多次摸球试验后发现，摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%，则口袋中蓝色球的个数很可能是 ． 【答案】 【分析】球的总数乘以蓝色球所占球的总数的比例即为蓝色球的个数． 【详解】解：∵摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%， ∴摸到蓝色球的频率稳定在1-10%-35%=55%， ∴蓝色球的个数为：20×55%=11个， 故答案为：11． 【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值． 【题型7 由频率估计概率】 经典例题 【例1】（2025·贵州贵阳·一模）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他区别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（    ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 【答案】C 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意；由频率图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在0.20，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在0.20， ， 抽出某个球的颜色最有可能的是黄球； 故选：C． 自我练习 【练习1】（24-25七年级下·河北保定·期末）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如下表． 种子个数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子个数 94 337 530 664 858 951 发芽种子频率 0.940 0.843 0.883 0.949 0.953 0.951 由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.01）约为（   ） A．0.84 B．0.88 C．0.94 D．0.95 【答案】D 【分析】本题通过大量重复试验中频率的稳定值来估计概率．随着试验次数的增加，频率逐渐趋近于概率．观察大样本量的数据，其频率稳定在0.95附近，因此可估计发芽概率为0.95． 【详解】由试验数据可知，当种子数量较大时（如700、900、1000），发芽频率分别为0.949、0.953、0.951，均稳定在0.95左右． 根据频率估计概率的原理，大样本量的频率更接近真实概率． 因此，发芽概率约为0.95，对应选项D． 故选：D． 【练习2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，惟手熟尔，’”可见技能可以通过反复苦练而达到熟能生巧．如图，已知铜钱的直径为，厚度为，一枚铜钱的平均密度约为．为计算铜钱的质量，做如下试验：将一滴油（油滴的大小忽略不计）随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油滴恰好穿过中心孔的次数为n次．由此可以估计，一枚铜钱的质量约为 （用含m．n，的式子表示）． 【答案】 【分析】此题考查了频率估计概率的应用和分式的加减运算，得出中心孔的面积占整个铜钱圆面积的是解题的关键．求出铜钱的体积后，再用铜钱的体积乘以铜钱的平均密度即可得到答案． 【详解】解：∵将一滴油随机滴在铜钱上，重复次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为次． ∴由此可以估计，中心孔的面积占整个铜钱圆面积的， ∴铜钱的实际面积为（）， ∴铜钱的体积为（）， ∴由此可以估计，一枚铜钱的质量约为， 故答案为：． 【练习3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图是一个边长为的正方形二维码，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色部分，则估计黑色部分的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了频率估计概率，由落入黑色部分的频率稳定在0.6，可根据几何概率求黑色部分的面积；理解频率与概率之间的关系，掌握解法是解题的关键． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计黑色部分的面积为． 故答案为：15． 【题型8 用频率估计概率的综合应用】 经典例题 【例1】（2023·湖南长沙·二模）在一个不透明的罐子里装有若干个白色的围棋，现要估计白棋的个数，从装黑棋的罐子里取出10个黑棋放入白棋的罐子里．这些棋子除㖣色外其他完全相同．将罐子里的棋子搅匀，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有25次摸到黑棋子，估计这个罐子里的白棋有（    ） A．80个 B．75个 C．70个 D．60个 【答案】C 【分析】首先根据重复试验确定取到黑棋子的频率，然后估计白棋子的个数即可． 【详解】解：∵共取了200次，其中有25次取到黑棋子， ∴摸到黑色棋子的概率约为， ∴摸到白色棋子的概率约为， ∵共有10可黑色棋子， ∴设有个白色棋子，则， 解得：，经检验是分式方程的解， 故选：C． 【点睛】考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是根据重复试验确定摸到各种棋子的概率，难度不大． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·山东济南·期中）在一个不透明的袋子中装有若干个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，记录颜色后放回，共进行了200次操作，其中白球出现了51次，由此估计红球的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】设红球有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设红球有x个， 根据题意得：＝， 解得：x≈6， 经检验：x＝6是分式方程的解， 即红球有6个， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． 【练习2】（23-24九年级上·山西吕梁·期末）爱好收藏的张同学将收集到的500张关于山西十大景点的卡片（它们分别是五台山、平遥古城、云冈石窟、晋祠、洪洞大槐树、壶口瀑布、雁门关、悬空寺、绵山、皇城相府）放到一个不透明的盒子里反复抽取多次（抽取后放回并摇匀），发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在左右，则估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是 ． 【答案】75 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、概率的应用等知识点，根据频率稳定在左右估计概率为是解题的关键． 先抽到“云冈石窟”卡片的为，再用500乘以概率即可解答． 【详解】解：∵发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在0.15左右， ∴抽到“云冈石窟”卡片的概率为， ∴估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是 故答案为：75． 【练习3】（25-26九年级下·湖北武汉·阶段练习）十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为l（）的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值，某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 可以估计出针与直线相交的概率为 （精确到0.001），由此估计的近似值为 （精确到0.001）． 【答案】 【分析】根据频率估计概率即可；然后将其代入公式计算即可． 【详解】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，相交频率接近与0.318， ∴相交的概率为0.318； ∵， ∴， ∴， 解得： 故答案为：①；② 【点睛】题目主要考查利用频率估计概率及近似数的计算，理解题意是解题关键． 【强化训练1 求概率】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·浙江湖州·期中）如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（　 　） A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②① 【答案】A 【详解】解：图1阴影部分为270°，图2阴影部分为240°，图3每份为45°，阴影部分共4份为180°，图4每份为45°阴影部分共5份为225°，所以①②④③， 故选A． 自我练习 【练习1】（25-26九年级·浙江杭州·期中）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 【答案】D 【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断． 【详解】解：①若两次求助都用在第1题， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1， 因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ②若在第1第2题各用一次求助， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 因此第一题答对的概率为：， 第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ③两次求助都用在第2题， 画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，    共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：. ∵， ∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大， 故选：D． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 【练习2】（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 【练习3】（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）一个不透明的袋子里装有除颜色外其他完全相同的红、白、黄三种颜色的球各10个，至少要摸( ) 个才能保证摸出两个不同颜色的球，至少摸( ) 个才能保证摸出两个黄色的球． 【答案】 11 22 【分析】（1）由题意可知，袋中共有红、白、黄三种颜色的球，最坏的情况是，取出三个球后，每种颜色的球各有一个，此时只要再任意拿出一个球，就能保证取到的球中有两个颜色相同的球．即至少要取个． （2）考虑最坏情况：摸出10个球都是红种颜色，再摸出10个球都是白种颜色，再摸出2个都是黄色，即可保证摸出两个黄色的球． 【详解】解：（1）（个）， （2）（个）， 答；至少要摸出 4个才能保证有两个球的颜色相同，至少要摸22个才能保证摸出两个黄色的球． 故答案为：4，22． 【点睛】本题考查抽屉原理，熟练掌握抽屉原理中的最坏情况进行分析是完成本题的关键． 【强化训练2 概率的实际生活及其他应用】 经典例题 【例1】（25-26九年级·湖南株洲·自主招生）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．根据题意列出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花有：红黄、红白、红紫、黄白、黄紫、白紫，共6种情况， 当选中红黄、红白、黄紫、白紫时，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种情况， ∴红色和紫色的花不在同一花坛的概率是． 故选：C． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·全国·期中）小明和小华两人在玩“石头剪刀布”的游戏，规定：“石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头，手势相同算小华赢”，比如：“小明出石头，小华出剪刀，则小明赢；小明出布，小华出石头，则小明赢…”，则小华赢的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了运用列表法求概率，根据题意正确列表成为解题的关键． 先根据题意画出图表确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 共有9种等可能结果，其中小华赢的结果有6种， ∴小华赢的概率为． 故选：D． 【练习2】（24-25九年级下·山东·自主招生）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567）等．在某次数学趣味活动中，小明需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，则抽取的“三位递增数”不能被5整除的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；因此此题可根据列举法求解概率． 【详解】解：由题意可知： 当个位数字为3时，则十位数字为2，百位数字为1；此时有1种情况； 当个位数字为4时，则当十位数字为2时，百位数字为1，当十位数字为3时，百位数字可以为1和2，所以有种情况； 当个位数字为5时，则当十位数字为2时，百位数字为1，当十位数字为3时，百位数字可以为1和2，当十位数字为4时，百位数字可以为1、2和3，所以有种情况； 当个位数字为6时，则当十位数字为2时，百位数字为1，当十位数字为3时，百位数字可以为1和2，当十位数字为4时，百位数字可以为1、2和3，当十位数字为5时，百位数字可以为1、2、3和4，所以有种情况； 由此可知：个位数字为7时，有种情况；个位数字为8时，有种情况；个位数字为9时，有种情况； ∴三位递增数共有个，其中被5整除的三位递增数个位数字一定为5，由上可知共有个， ∴随机抽取的三位递增数不被5整除的概率为； 故答案为． 【练习3】（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）网购高铁票时，如果不选择座位，系统会默认随机分配座位，小林和小新同时买同一趟高铁车票，都选择系统随机分配座位，假设系统已将两人的位置分配到同一排，如图为同一排中的座位编号A，B，C，D，F，且在同一排分配到各个座位的机会是均等的，则系统分配给小林和小新相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法求概率：列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共20种等可能的情况，其中小林和小新相邻座位的结果有6种， ∴． 故答案为：． 选择题 1．（2025·河北邯郸·三模）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，根据图形的对称性求出黑色图形的面积，利用几何概型的计算方法计算可得． 【详解】解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半， 设圆的半径为1，则正方形的面积为4， 所以黑色部分的面积为， 则所求的概率， 故选：B 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，列举所有可能结果红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率是解题的关键． 【详解】解：∵从红、蓝两种颜色中随机选取一种， ∴有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝， ∴故相邻两个方格所涂颜色不同的概率是， 故选：． 3．（2025·山西·一模）明明和亮亮两人用如图所示的正四面体（每个面上分别刻有数字0，1，2，）做游戏，两人各掷两次四面体，四面体与地面接触的数字之和为奇数，则明明胜；和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是（   ） A．公平 B．对明明有利 C．对亮亮有利 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图可得： 由数轴图可得，共有种等可能出现的结果，其中四面体与地面接触的数字之和为奇数的情况有种，和为偶数的情况有， ∴明明胜的概率为，亮亮胜的概率为， ∵， ∴对亮亮有利， 故选：C． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意模拟骰子的翻动过程，可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性和点数为2的基本事件的个数，代入概率公式即可． 【详解】设三行三列的方格棋盘的格子坐标为，其中开始时骰子所处的位置为，则图题（2）所示的位置为，则从到且次数翻动最少，共有6种走法，最后骰子朝上的点数分别为2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为，故选C． 【点睛】本题主要考查概率，根据已知条件计算出骰子朝上的点数所有的基本事件和满足条件的基本事件个数是关键． 5．（23-24八年级上·福建漳州·期末）综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（    ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为3.1 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 【答案】C 【分析】此题考查用样本估计总体、频率等知识，根据题目给出的数据判断即可． 【详解】解：A. 10片枇杷树叶的长宽比中出现次数最多的是2，故枇杷树叶长宽比为2的频率最大，故选项正确，不符合题意； B. ∵， ∴核桃树叶的长宽比大约为3.1，故选项正确，不符合题意； C. 核桃树叶的长宽比大约为3.1，是个估计值， 不是准确值， 小明测量一片核桃叶的长为，它的宽不一定为，故选项错误，符合题意； D. ∵枇杷树叶长宽比约为：，小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶， 又∵， ∴该树叶更有可能是枇杷树树叶．故选项正确，不符合题意； 故选：C． 填空题 6．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）二维码在我们的生活中应用广泛，小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的正方形二维码中黑色阴影的面积．经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，掌握用频率的集中趋势来估计概率的方法成为解题的关键． 用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为． 故答案为． 7．（2025·四川内江·二模）一组线段，长度分别为1，2，2，3任取三条，能组成三角形的概率是 【答案】 【分析】本题考查了能组成三角形的条件及概率问题．先确定从四条线段中任取三条的所有可能组合再用能组成三角形的组合数除以总组合数得到概率． 【详解】解：从长度分别为1，2，2，3任取三条，共有四种可能，分别是，，，． 第一组中，能组成三角形； 第二组中，不能组成三角形； 第三组中，不能组成三角形； 第四组中，能组成三角形； 共有两种可能组成三角形． 能组成三角形的概率是：． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个不透明的盒子里装有2个红球，3个白球，这些球除颜色外其它均相同，现从中随机地摸出一个小球，不放回，然后再从剩下的小球中随机摸出一个，则摸出的两个小球恰好都是红球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用列表法或画树状图求概率，画出树状图，得出一共有种等可能的情况，其中摸出的两个小球恰好都是红球的情况有种，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知：一共有种等可能的情况，其中摸出的两个小球恰好都是红球的情况有种， ∴摸出的两个小球恰好都是红球的概率为． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·广东江门·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查利用概率判断游戏公平性，熟练掌握列举法求概率是解题的关键，利用列表法表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可． 【详解】解：由题可列表如下： 2 3 4 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8 由表知，共有9种等可能结结果，其中和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则图案的面积为 ． 【答案】4.2 【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率．根据图2可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为， 则不规则图案的面积为：， 故答案为：4.2． 解析题 11．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）“一岁一端午，一年一安康．”端午节期间，某商场的打折销售活动规定：凡在本商场购物满180元，可转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘），并根据所转结果付账，转盘如图所示． (1)分别求出打七五折，打五折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付账300元，求他俩获得优惠的所有情况． 【答案】(1)打七五折的概率为，打五折的概率为 (2)见解析 【分析】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率的计算方法，可得答案； （2）根据已知条件他俩获得优惠的情况分为两种情况，于是得到结论． 【详解】（1）解：打七五折的概率为，打五折的概率为； （2）解：第一种情况：小红和小明都按七五折付账：（元）． 第二种情况：小红按五折付账，小明按不打折付账：（元） （或小红按不打折付账，小明按打五折付账） 12．（2025·江苏泰州·三模）泰州是个好地方，素有“早上皮包水，晚上水包皮”生活习惯，泰州早茶更是闻名遐迩，某天甲、乙两人来泰州旅游，到某茶社吃早茶，他们点一笼杂笼包子，共4个，外形、大小均相同，只是其中的馅不同，2个是肉馅，另2个是秧草馅， (1)若甲先用筷子随机夹了1个，咬开后发现是肉馅的，随后乙用筷子在剩下的3个中随机夹1个，则乙夹的包子是秧草馅的概率为 ； (2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式以及用列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）先确定甲夹走一个肉馅后剩下包子的情况，再根据概率公式计算乙夹到秧草馅的概率． （2）通过列表法列出所有可能的结果，再找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】（1）解：甲夹走一个肉馅后，剩下个肉馅，个秧草馅，共个包子． 所以乙夹的包子是秧草馅的概率为． （2）解：将个肉馅包子记为、，个秧草馅包子记为、，列表如下： 甲 乙 结果 共有种等可能的结果，其中甲、乙两人各吃的个包子的馅均为个肉馅个秧草馅的结果有种． 所以甲、乙两人各吃的个包子的馅均为个肉馅个秧草馅的概率为． 13．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）任意抛掷一枚均匀的骰子（各个面上的点数为），将第一次，第二次抛掷的点数分别记为m，n．    (1)证明：当为奇数的概率； (2)在平面直角坐标系中，求以，，为顶点能构成直角三角形的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可； （2）分三种情况，并结合概率公式计算即可得解． 【详解】（1）解：通过列表可得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 有，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种结果， ∴； （2）解：如图：   ， 以为直角顶点，可取，，，，，共有5种结果， 以为直角顶点，可取，，，，共有4种结果， 以为直角顶点，可取，一种可能， 故． 14．（24-25七年级下·广东深圳·期末）某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． (1)小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． (2)通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 【答案】(1) (2)作图见解析 【分析】本题考查概率公式，应用与设计作图， （1）直接根据概率公式求解即可； （2）用扇形的个数乘对应的概率求出扇形的个数，从而得出答案； 解题的关键是掌握概率公式∶（表示事件发生的概率，是事件发生的情况数，是总情况数 ）． 【详解】（1）解：∵共有张刮刮卡，且每张刮刮卡被抽取的可能性相同， ∴总情况数 ， 又∵ “①”是其中张刮刮卡，即抽中“①”的情况数， ∴抽中“①”的概率． 故答案为：； （2）∵转盘被等分为若干个圆心角相等的扇形（设总份数为份，取、、的最小公倍数)， 又∵①的概率是，则①对应的份数：份 ； ②的概率是，则②对应的份数：份； ③的概率是；则③对应的份数：份； ∴④的概率：， 则④对应的份数也是份（与③概率相同，份数相同 ）， 分配扇形内容如下： 按照计算出的份数，在转盘中标记：①占份，②占份，③占份，④占份， 如图： 15．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了 名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ 【答案】(1) (2)补全条形统计图，见解析；阅读部分圆心角是 (3) 【分析】本题考查统计与概率，解题的关键是能够正确的从两幅统计图中获取信息． （1）根据爱好运动人数的百分比以及人数即可求出共调查的人数； （2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形，然后用乘以爱好阅读的人数所占百分比； （3）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率． 【详解】（1）爱好运动的人数为，所占百分比为 共调查人数为：人， 故答案为：100； （2）∵爱好上网人数为：人， ∴爱好上网的人数所占百分比为， 爱好阅读人数为：人， 补全条形统计图，如图所示，    阅读部分圆心角是， 故答案为：； （3）爱好阅读的学生人数所占的百分比为， 用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为； 故答案为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $