专题3.1概率的进一步认识重难点题型专训（3个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练(北师大版2012)

专题3.1概率的进一步认识重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 几何概率 题型二 列举法求概率 题型三 列表法或树状图法求概率 题型四 游戏的公平性 题型五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 题型六 求某事件的频率 题型七 由频率估计概率 题型八 概率的综合应用 题型九 用频率估计概率的综合应用 拓展训练一 求频率、概率 拓展训练二 概率的实际生活及其他应用 知识点一：用树状图或表格求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的概率大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率． （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素． 画树状图法 步骤 用法 注意 ①关键要弄清楚每一步有几种结果 ②在树状图下面对应写出所有等可能的结果， 并找出事件所包含的结果数 ③利用概率公式进行计算 是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）时求概率的好方法 ①弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步 ②在摸球试验中一定要弄清“放回”还是“不放回” 【即时训练】 1．（2024·广东·模拟预测）不透明的袋子中装有红、绿、黄小球各一个，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么摸到一个红球一个黄球的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·模拟预测）在不透明的口袋中装有3颗除颜色外无差别的小球，其中红球、黄球、白球各1颗，从袋中随机抽取两次，每次抽取一颗，抽完后放回摇匀，则两次抽取中刚好只抽到一次红球的概率是 ． 知识点二：用频率估计概率 1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p． 2. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的概率不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（    ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 2．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）实验小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次实验后获得如表数据： 重复实验次数 100 500 1000 5000 … 钉尖朝上次数 50 150 380 2000 … 由此可以估计任意抛掷一次图钉钉尖朝上的概率约为 ． 知识点三：频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 【即时训练】 1．（2024·安徽·模拟预测）如图是由个相同的小正方形和个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东东营·期末）暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为 ． 【经典例题一 几何概率】 【例1】（2024·湖南·模拟预测）小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·全国·期末）下图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能埋藏1颗地雷． 小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域．数字3表示在A区域有3颗地雷．为了最大限度的避开地雷，下一步应该点击A区域还是B区域？ 1．（23-24七年级下·福建·期中）假如小蚂蚁在如下图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·贵州·期末）如图是由4块完全相同的正方形瓷砖铺成的地面，若一只蚂蚁爬到该区域内，停留在区域内的任意位置（分隔线忽略不计），则蚂蚁停留在阴影区域内的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）用两个腰长为a的等腰直角三角板及两个腰长为b的等腰直角三角板拼成如图所示的正方形，其中，现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ． 4．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，某商场为了吸引顾客，制作了可以自由转动的均匀转盘转盘被等分成20个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转动转盘，转盘停止后指针正好停在红色、黄色或绿色区域，就可以分别获得200元、100元、50元的购物券． (1)如果你在该商场消费210元，你获得200元、100元、50元购物券的概率分别是多少？ (2)求转动一次转盘获得购物券的概率． 【经典例题二 列举法求概率】 【例1】（23-24九年级上·河北·期末）投掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反的概率为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，从一副扑克牌中取出两组牌，分别是方块1，2，3和红桃1，2，3（A看成1），将它们的背面朝上分别重新洗牌后，再从两组牌中各摸出一张． (1)用列举法列举出所有可能出现的结果． (2)求摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5的概率． 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南驻马店·三模）有5个外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、碳酸钠、氯化钠、氢氧化钾五种溶液．小东从这5个试剂瓶中随机抽取2个，则均能使酚酞溶液变红的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江佳木斯·一模）李子柴推广漆器、竹编、蜀锦、绒花、木雕这5种非遗项目要做短视频．如果每次选择2种非遗项目混搭进行短视频创作（不论顺序），那么恰好选择漆器和蜀锦混搭进行短视频创作的概率为 ． 4．（2024·江苏南京·一模）如图，某商场制作了一个抽奖转盘，分设一、二等奖，其中一等奖的扇形圆心角为．小丽在商场先后消费两次，获得两次转动转盘机会（指针指向分界处时重转一次）． (1)小丽第一次转到一等奖的概率是 ； (2)求小丽两次都转到一等奖的概率． 【经典例题三 列表法或树状图法求概率】 【例1】（2025·山东·模拟预测）小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·广东清远·期中）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，将四张卡片背面朝上洗匀；甲先从中随机摸出一张卡片，不放回，再由乙从剩下的卡片中随机摸出一张，请用树状图或列表法求摸出的两张卡片均是物理变化的概率． 注：没有生成其他物质的变化叫物理变化（、）；生成其他物质的变化叫化学变化（、）． 1．（23-24九年级上·河北·期末）如图，两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均相等，那么，指针同时指向偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山西运城·期中）2025年山西高考首次实行“”模式，高中生李明已选物理，然后要在思想政治，地理，化学，生物这4门中选2门进行考试，则李明选中地理和生物的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）广东省现在实行高考“”选科制度，意为门语数英必考，物理与历史选择科进行考试，化学、生物学、思想政治、地理科选科进行考试．现在小仑从化学、生物学、思想政治、地理科选科，他选的科中有科是化学的概率是 ． 4．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）经过校园某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有小刚和小军两人经过该路口，请用列表法或画树状图法． (1)小刚从这三种情况中任选一个可能左拐的概率是___________； (2)求两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率． 【经典例题四 游戏的公平性】 【例1】（25-26九年级上·全国·期末）某口袋中有10个球，其中白球有2个，绿球有5个，其余为黑球．从袋中任意摸出1个球，若为绿球，则甲获胜；若为黑球，则乙获胜．为使游戏对甲、乙双方公平，丙放入x个黑球，则x为（   ） A．3 B．4 C．1 D．2 【例2】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6，其中标有数字1的扇形的圆心角度数为；标有数字2，4及6的扇形的圆心角度数均为；标有数字3，5的扇形的圆心角度数均为．甲乙两人利用这个转盘做游戏：转动转盘一次，转盘停止后，若指针指向奇数，则甲获胜；若指针指向偶数，则乙获胜．你认为这个游戏对甲乙双方公平吗？为什么？ 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（    ） A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利 C．对小明有利 D．游戏公平 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 3．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？ （填公平或不公平） 获胜的概率大，概率是 ． 4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2：魔童闹海》的电影票，小颖和小华都想获得，小明为她们出了一个主意：从印有数字1，2，2，3，3，4，5，6，7的9个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字为奇数，则小颖得到电影票；否则，小华得到电影票．你认为用这种方式获得电影票对小颖、小华公平吗？请说明理由． 【经典例题五 利用概率计算随机事件发生的平均次数】 【例1】（2024·贵州·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 【例2】（2024广东广州·一模）如图，正方形的边长为2，中心为O，从O、A、B、C、D五点中任取两点． （1）求取到的两点间的距离为2的概率； （2）求取到的两点间的距离为的概率； （3）求取到的两点间的距离为的概率． 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期末）事件发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每100次实验，事件发生的次数是 3．（25-26九年级下·江苏泰州·期中）一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买 个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 4．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）将所有可能的取值与其对应的概率相乘，再将这些结果相加，称为这个事件的数学期望，它与随机事件的平均值密切相关．一个随机事件可能出现的值为、…，对应的概率为、…，则数学期望为．例如，抛掷一个骰子，出现的概率都为，则点数的数学期望为，也可以说投骰子出现的平均点数为． (1)海猫超市推出的返现活动如下：顾客在超市中消费一定金额后，可参加抽奖，返现金额与概率如下表所示，计算返现金额的数学期望； 金额 3元 4元 5元 6元 概率 (2)某六面骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，，（n为正整数），n为何值时，点数的数学期望最小？请说明理由． 【经典例题六 由频率估计概率】 【例1】（23-24九年级上·全国·期末）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【例2】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）数学兴趣小组为探究事件A发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数n 100 200 500 800 1000 事件A出现的次数m 34 64 160 b 330 事件A发生的频率 0.34 a 0.32 0.33 0.33 (1)表中______，______； (2)根据上表，完成折线统计图． 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 2．（23-24九年级上·河南周口·期中）两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是 ． 4．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）2025年4月12日，湖南师大附中将迎来120周年校庆，为迎接校庆，学校设计了特别纪念品，并准备设置一种抽奖游戏，其规则如下：凡参与游戏的师生从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个校庆纪念品．据估计参与这种游戏的师生约有2500人，学校一共为参与该游戏的师生准备了校庆纪念品1500个． (1)求参与该游戏可免费得到校庆纪念品的频率； (2)请你估计纸箱中白球的数量接近多少？ 【经典例题七 由频率估计概率】 【例1】（2025·贵州·一模）在一个不透明的袋子中，装有若干枚白色棋子和黑色棋子，这些棋子除颜色外其余都相同，将袋子中的棋子摇匀，随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回袋子中，不断重复这一过程，统计发现，摸到白色棋子的频率稳定在0.4左右，摸到黑色棋子的频率稳定在0.6左右，则下列说法正确的是（   ） A．黑色棋子一定比白色棋子多 B．白色棋子一定比黑色棋子多 C．摸到白色棋子的概率为0.6 D．摸到黑色棋子的概率为0.4 【例2】（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）小颖同学发现操场中有一个不规则的封闭图形如图所示，为了知道它的面积，她在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在不远处向圆内掷石子，结果记录如下： 落在圆内（含圆上）次数 14 43 93 150 落在阴影内次数 23 91 186 300 请根据以上信息，回答问题： (1)石子落在圆内的概率约为________； (2)估计封闭图形的面积． 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 频率 0.60 0.45 0.55 0.47 0.48 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 A．不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 B．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” C．掷一枚一元的硬币，正面朝上 D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960 请由此估计抽查一个头盔，合格的概率为 ． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次试验得到数据如下表所示： 每次打捞鱼数 50 100 200 300 500 每次打捞鱼中带标记的鱼数 4 11 19 31 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 0.095 0.103 0.100 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中_____，_____； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，估计打捞到带标记的鱼的概率．（结果精确到0.1） 【经典例题八 概率的综合应用】 【例1】（25-26·四川绵阳·一模）25-26（第七届）绵阳之春国际车展将于25-26年4月18日-22日在绵阳国际会展中心盛大举行．某品牌汽车为了推广宣传，特举行“趣味答题闯关赢大奖”活动，参与者需连续闯过三关方能获得终极大奖．已知闯过第一关的概率为，连续闯过两关的概率为，连续闯过三关的概率为，已经连续闯过两关的参与者获得终极大奖的概率为 （  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·广东佛山·期中）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘．并规定：顾客每购买100元的商品， 就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券（转盘被等分成20个扇形），甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？ 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江湖州·期中）如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（　 　） A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②① 3．（24-25九年级上·广东·单元测试）某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，则作出决策为 （填“出海”、“不出海”）． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 【经典例题九 用频率估计概率的综合应用】 【例1】（2025·广西柳州·三模）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 【例2】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示． 根据试验结果回答下列问题． (1)估计这种玉米种子发芽的概率是______（精确到0.1）． (2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为，那么在相同条件下种10000粒该种玉米种子大约可得到多少棵玉米秧苗？ 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）某植物研究院培育的新品植株的成活率约为，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（   ） A．45棵 B．5棵 C．20棵 D．40棵 2．（2025·贵州铜仁·模拟预测）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最符合这一结果的试验是（　　） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．在一副扑克中随机抽取一张，抽到的牌是红桃 D．不透明袋中有红球、黄球、蓝球各1个，每个球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，是黄球 3．（2025·山东济南·二模）在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球 个． 4．（2024·广东清远·模拟预测）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 【拓展训练一 求频率、概率】 【例1】（24-25九年级下·浙江绍兴·期中）第届亚运会将于年9月在中国杭州举行．近期，组委会将组织名测试员对个不同场馆的运行状态进行测试，现要求每名测试员都参与测试且只测试一个场馆，每个场馆至少安排一名测试员，问共有多少种不同的安排方案（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·吉林长春·期中）有四张除正面图案外完全相同的邮票，邮票正面分别印有：．祖冲之；．李时珍；．张衡；．僧一行．现将这四张邮票背面朝上放置，搅匀后从中一次性抽取两张，求抽到的两张邮票正面的图案是祖冲之和李时珍的概率． 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·贵州六盘水·期中）袋中有黑球6个，白球有若干个，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验发现，摸到白球的频率稳定在附近，则袋中有白球（   ） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 3．（2025·湖北十堰·模拟预测）小侯和爸爸、妈妈、姐姐暑假乘坐高铁来十堰旅游，如图，买了同车同排四张高铁票，上车后随机坐到这四个位置（深色B，C，D，F），乘务员验票时发现是一家四口的座位，但四个人都没有坐到车票上名字所对应的位置，请问四人都没坐到车票上名字所对应位置的概率是 ． 4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）字谜是一种文字游戏，也是汉字特有的一种语言文化现象．现有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，依次记作A、B、C、D（如图），将这四张卡片背面朝上洗匀．小虎和小麦两人玩猜字谜游戏，规则为：小虎和小麦同时随机各抽取一张卡片并猜卡片上字谜的谜底，若小虎能猜出A、D卡片上的谜底，猜不出B、C卡片上的谜底；小麦能猜出A、B、C卡片上的谜底，猜不出D卡片上的谜底．请用画树状图或列表法求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率． 【拓展训练二 概率的实际生活及其他应用】 【例1】（2024·内蒙古包头·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁    【例2】（25-26七年级下·全国·期末）一工厂生产某种型号的节能灯的质量抽检结果如表： 抽检个数 50 100 200 300 400 500 次品个数 1 3 5 6 7 9 (1)根据表格中的数据求任抽1件是次品的概率； (2)厂家承诺：顾客买到次品包换．如果卖出这批节能灯800个，那么要准备多少个兑换的节能灯？ 1．（24-25九年级下·湖北武汉·期中）动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到岁的概率为，活到岁的概率为，活到岁的概率为，现在有一只岁的动物，它活到岁的概率是(　　) A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）在一个不透明的布袋中，共有红色、黑色、白色的小球50个，且小球除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44，则口袋中白色球的个数很可能是（　　） A．20 B．15 C．10 D．5 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 （填“公平”、“不公平”）． 4．（25-26九年级上·全国·期末）某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少（结果保留小数点后一位）？ 1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图所示的是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南商丘·一模）桌面上有三张背面相同的卡片，正面分别写有数字、、．先将卡片背面朝上洗匀，然后从中同时抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东清远·期中）在一个不透明袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（    ） A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定 C．游戏的规则由甲乙双方确定 D．游戏双方获胜的概率相等 5．（2024·河北沧州·一模）某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 6．（24-25九年级上·浙江·期中）欢欢将自己的核酸检测二维码打印在面积为的正方形纸上， 如图所示， 为了估计图中黑色部分的面积， 他在纸内随机掷点， 经过大量重复试验， 发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·上海崇明·二模）学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如下表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（　　）（精确到） A． B． C． D． 8．（2025·山东青岛·二模）一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中80次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（    ） A．18个 B．15个 C．12个 D．10个 9．（2025·安徽·模拟预测）学校从甲、乙、丙、丁四人中抽选两人作为代表参加省数学竞赛，则甲、乙中至少有一人被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 10．（2024九年级下·全国·专题练习）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 11．（2024·湖北·模拟预测）如图，某奶茶店铺前地面上有以点O为圆心的两个同心圆投影图案，大圆的半径为R，小圆的半径为r，，随机往地面上撒一粒咖啡豆，咖啡豆落在阴影部分的概率是 12．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）现有4条线段，长度依次是2、3、5、6，从中任选三条，能组成三角形的概率是 ． 13．（2024·北京海淀·模拟预测）盒中有4块巧克力，其中两块是A品牌，两块是B品牌，小明和小红各任意拿走一块，盒中恰好剩下一块A品牌、一块B品牌巧克力的概率是 ． 14．（2025·湖北·模拟预测）如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 15．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为 ． 16．（24-25九年级·北京·期中）某鱼塘里养了条鲤鱼、若干条草鱼和条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为 ． 17．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）把3，5，6三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀 后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的数字，不放回，再从中抽取一张卡片，记录下数字，请用列表法或树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是奇数的概率． 18．（2025·江苏南京·三模）桌面上倒扣着3个不透明的纸杯，其中2个纸杯中放有小球． (1)随机翻开1个纸杯，其中放有小球的概率是__________； (2)随机翻开2个纸杯，求2个纸杯中均放有小球的概率． 19．（24-25七年级下·江苏·期末）甲、乙两个同学各自掷一个普通的正方体骰子（注：6个面的点数分别为1，2，3，4，5，6点），如果骰子朝上的面上点数之积为奇数，那么甲得1分；如果两者之积为偶数，那么乙得1分．连续投掷20次谁得分最多，谁就获胜．请你想一想，谁获胜的可能性（机会）大？为什么？ 20．（25-26九年级上·全国·期末）游戏者同时转动A，B两个转盘进行“配紫色”游戏，若要使游戏者获胜的概率为，盘（如下图）不动，则盘（红、蓝、绿三种颜色）应该如何设计？请写出解答过程． 21．（25-26七年级下·全国·单元测试）小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．    (1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少? (2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少? (3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大? 22．（2023·广东东莞·模拟预测）已知在一个盒子里共有红、黄、绿三种颜色的棋子共20枚，每次在盒子里随机摸一个棋子，记录下颜色，再放回去．下面是总共摸了1000次后的频数表． 棋子颜色 红 黄 绿 次数 539 137 324 (1)遵循“四舍五入”原则，估计各色棋子各有多少枚？ (2)用你的估计数据计算，若在盒子里随机摸两次，正好有一次是红色，1次是黄色的概率是多少？ 23．（24-25九年级下·福建·期中）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下： x（℃) 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35 天数 6 10 11 3 y（瓶） 270 330 360 420 以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率． (1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； (2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1概率的进一步认识重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 几何概率 题型二 列举法求概率 题型三 列表法或树状图法求概率 题型四 游戏的公平性 题型五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 题型六 求某事件的频率 题型七 由频率估计概率 题型八 概率的综合应用 题型九 用频率估计概率的综合应用 拓展训练一 求频率、概率 拓展训练二 概率的实际生活及其他应用 知识点一：用树状图或表格求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的概率大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率． （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素． 画树状图法 步骤 用法 注意 ①关键要弄清楚每一步有几种结果 ②在树状图下面对应写出所有等可能的结果， 并找出事件所包含的结果数 ③利用概率公式进行计算 是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）时求概率的好方法 ①弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步 ②在摸球试验中一定要弄清“放回”还是“不放回” 【即时训练】 1．（2024·广东·模拟预测）不透明的袋子中装有红、绿、黄小球各一个，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么摸到一个红球一个黄球的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解决本题的关键是注意题目为放回实验． 根据题意列出所有情况即可． 【详解】解：红小球用1表示，绿小球用2表示，黄小球用3表示 列表如下： 1 2 3 1 2 3 由表可知总共有9种情况，而摸到一个红球一个黄球的情况有2种情况， ∴摸到一个红球一个黄球的概率是． 故选A． 2．（2024·湖南·模拟预测）在不透明的口袋中装有3颗除颜色外无差别的小球，其中红球、黄球、白球各1颗，从袋中随机抽取两次，每次抽取一颗，抽完后放回摇匀，则两次抽取中刚好只抽到一次红球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】解：设红球、黄球、白球分别为， 列表如下： 由表格可得，共有9种等可能的结果，其中两次抽取中刚好只抽到一次红球的情况有4种， 两次抽取中刚好只抽到一次红球的概率． 故答案为：． 知识点二：用频率估计概率 1. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p． 2. 适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个或各种结果出现的概率不相等时，可通过事件发生的频率来估计其概率． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（    ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【答案】B 【分析】本题考查了由频率估计概率，由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，即可得解． 【详解】解：由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，故成活的概率约为0.90. 故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）实验小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次实验后获得如表数据： 重复实验次数 100 500 1000 5000 … 钉尖朝上次数 50 150 380 2000 … 由此可以估计任意抛掷一次图钉钉尖朝上的概率约为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题． 观察表格的数据求出每次试验得到的频率可以得到图钉钉尖朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解． 【详解】解：表中图钉钉尖朝上的频率分别为，，，， 图钉钉尖朝上频率逐渐稳定在左右， 估计任意抛掷一枚图钉，图钉钉尖朝上的概率约为． 故答案为：． 知识点三：频率与概率的区别与联系 名称 关系 频率 概率 区别 试验值或使用时的统计值 理论值 与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关 与试验人、试验时间、试验地点有关 与试验人、试验时间、试验地点无关 联系 试验次数越多，频率越趋向于概率 【即时训练】 1．（2024·安徽·模拟预测）如图是由个相同的小正方形和个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键．设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为，则大正方形的边长为， ∴总面积为， 阴影部分的面积为， ∴点落在阴影部分的概率为， 故选：B． 2．（23-24七年级下·山东东营·期末）暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了频率的计算，用“水”字出现的次数除以总的字的个数即可求解，掌握频率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”，共有个字，其中“水”字出现的次数为次， ∴“水”字出现的频率为， 故答案为：． 【经典例题一 几何概率】 【例1】（2024·湖南·模拟预测）小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比，面积比，体积比等． 首先确定阴影的面积在整个圆形瓷砖中所占的比例，根据这个比例即可求出飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：因为在两个同心圆中，两条直径把大圆分成4等份，利用整体思想，可知：阴影部分的面积是大圆面积的一半，因此若在这个大圆区域内随机地掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是． 故选：D． 【例2】（25-26九年级上·全国·期末）下图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能埋藏1颗地雷． 小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域．数字3表示在A区域有3颗地雷．为了最大限度的避开地雷，下一步应该点击A区域还是B区域？ 【答案】下一步应该点击B区域 【分析】本题主要考查了几何概率，在解题时要注意知识的综合应用以及概率的算法是本题的关键．本题需先根据已知条件得出各个区域的地雷所占的比例，再进行比较，即可求出答案． 【详解】解：在A区域点击的话，点击到地雷的概率为， 在B区域点击的话，点击到地雷的概率为， ∵， ∴为了最大限度的避开地雷，下一步应该点击B区域． 1．（23-24七年级下·福建·期中）假如小蚂蚁在如下图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率，熟记概率公式是解此题的关键．用黑色区域面积除以全面积即可求解， 【详解】解：把小正方形边长设为， 则黑色区域面积为，大正方形面积， ∴它最终停在黑色方砖上的概率为， 故选：C． 2．（23-24七年级下·贵州·期末）如图是由4块完全相同的正方形瓷砖铺成的地面，若一只蚂蚁爬到该区域内，停留在区域内的任意位置（分隔线忽略不计），则蚂蚁停留在阴影区域内的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 由图可得该正方形由4块一模一样的直角三角形组成，其中阴影区域由2个一模一样的直角三角形组成，再根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意得，蚂蚁停留在阴影区域内的概率是， 故选：D． 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）用两个腰长为a的等腰直角三角板及两个腰长为b的等腰直角三角板拼成如图所示的正方形，其中，现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率问题，该题解答的关键是确定针尖落在阴影部分的概率等于阴影区域的面积与整体的面积比． 先分别表示出正方形的面积和阴影区域的面积，再根据针尖落在阴影部分的概率等于阴影区域的面积与整体的面积比即可解答； 【详解】 设 则 故答案为：． 4．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，某商场为了吸引顾客，制作了可以自由转动的均匀转盘转盘被等分成20个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转动转盘，转盘停止后指针正好停在红色、黄色或绿色区域，就可以分别获得200元、100元、50元的购物券． (1)如果你在该商场消费210元，你获得200元、100元、50元购物券的概率分别是多少？ (2)求转动一次转盘获得购物券的概率． 【答案】(1)获得200元的概率为，获得100元的概率为，获得绿色的概率为 (2) 【分析】本题主要考查了几何概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）用红色区域数除以20可得获得200元购物券的概率，用黄色区域数除以20可得获得100元购物券的概率，用绿色区域数除以20可得获得50元购物券的概率； （2）用三种颜色的区域数之和除以20即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，获得200元的概率为，获得100元的概率为，获得绿色的概率为； （2）解：由题意得，转动一次转盘获得购物券的概率为 【经典例题二 列举法求概率】 【例1】（23-24九年级上·河北·期末）投掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了列举法求概率，解题的关键是找到所有的情况，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：抛掷两枚质地均匀的硬币可能出现的情况为：正正，正反，反正，反反． 出现“一正一反”的概率是． 故答案为B． 【例2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，从一副扑克牌中取出两组牌，分别是方块1，2，3和红桃1，2，3（A看成1），将它们的背面朝上分别重新洗牌后，再从两组牌中各摸出一张． (1)用列举法列举出所有可能出现的结果． (2)求摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5的概率． 【答案】(1)种结果 (2) 【分析】本题考查了列举法，通过列举法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式求事件的概率． （1）通过列举法展示所有9种等可能的结果数； （2）找出两张牌的牌面数字之和不小于5的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：，，，，，，，，，共9种结果． （2）解：摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5的有，共3种结果， （摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5）． 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键．先列出随机闭合两个开关的所有可能情况，再找出能让灯泡发光的情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：∵随机闭合开关中的两个，共有种等可能的情况：、、．能让灯泡发光的情况是，共种． ∴能让灯泡发光的概率为． 故选：C． 2．（2025·河南驻马店·三模）有5个外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、碳酸钠、氯化钠、氢氧化钾五种溶液．小东从这5个试剂瓶中随机抽取2个，则均能使酚酞溶液变红的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是用列举法或列表法或树状图法求概率．准确列出事件的所有结果是解题的关键； 根据题意列出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】酚酞遇碱性溶液变红，五种溶液中，只有碳酸钠和氢氧化钾可使酚酞变红． 从这5个试剂瓶中随机抽取2个，共有10种等可能结果，列举如下： 稀硫酸和稀盐酸，稀硫酸和碳酸钠，稀硫酸和氯化钠，稀硫酸和氢氧化钾，稀盐酸和碳酸钠， 稀盐酸和氯化钠，稀盐酸和氢氧化钾，碳酸钠和氯化钠，碳酸钠和氢氧化钾，氯化钠和氢氧化钾， 其中均能使酚酞溶液变红的只有碳酸钠和氢氧化钾这一种，其概率为， 故选：C． 3．（2025·黑龙江佳木斯·一模）李子柴推广漆器、竹编、蜀锦、绒花、木雕这5种非遗项目要做短视频．如果每次选择2种非遗项目混搭进行短视频创作（不论顺序），那么恰好选择漆器和蜀锦混搭进行短视频创作的概率为 ． 【答案】 【分析】本题结合非遗项目，考查概率问题．先列出所有情况，再求出选择漆器和蜀锦的概率． 【详解】解：列出所有可能的选择情况，设5种非遗项目为：漆器、蜀锦、其他3种分别为，从5种中选2种，所有可能的组合有：、、、、、、、、、，共10种等可能的情况．恰好选择漆器和蜀锦的情况只有1种：， 恰好选择漆器和蜀锦混搭进行短视频创作的概率为符合条件的情况数总情况数 故答案为： 4．（2024·江苏南京·一模）如图，某商场制作了一个抽奖转盘，分设一、二等奖，其中一等奖的扇形圆心角为．小丽在商场先后消费两次，获得两次转动转盘机会（指针指向分界处时重转一次）． (1)小丽第一次转到一等奖的概率是 ； (2)求小丽两次都转到一等奖的概率． 【答案】(1) (2)小丽两次都转到一等奖的概率为． 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握概率的计算公式是解题的关键． （）用除以即可求解； （）利用列举法求出总的结果数和小丽转两次转盘的结果数，再利用概率公式计算即可求解． 【详解】（1）解：小丽第一次转到一等奖的概率是； 故答案为：； （2）解：将一等奖区域记为A，二等奖区域平均划分为两个区域，分别记为B，C． 小丽转两次转盘的结果有：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B），（C，C）共有9种结果，它们出现的可能性相同． 满足两次一等奖的结果有1种，即（A，A），所以小丽两次都转到一等奖的概率为． 【经典例题三 列表法或树状图法求概率】 【例1】（2025·山东·模拟预测）小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先画出树状图得出所有情况数和到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有种情况数，抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的有种情况， 则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是； 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·广东清远·期中）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，将四张卡片背面朝上洗匀；甲先从中随机摸出一张卡片，不放回，再由乙从剩下的卡片中随机摸出一张，请用树状图或列表法求摸出的两张卡片均是物理变化的概率． 注：没有生成其他物质的变化叫物理变化（、）；生成其他物质的变化叫化学变化（、）． 【答案】 【分析】本题考查了跨学科综合，涉及物理变化与化学变化，列表法或树状图法求事件的概率．直接利用表格列举，根据概率公式可得摸出的两张卡片均是物理变化的情况数除以总情况数即可． 【详解】解：列表如下： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 由表格知，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中摸出的两张卡片均是物理变化的情况数有2种，为A，C，所以P（摸出的两张卡片均是物理变化）． 1．（23-24九年级上·河北·期末）如图，两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均相等，那么，指针同时指向偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏地表示出所有的结果，然后根据概率公式求解即可．首先画树状图，根据树状图求得所有的等可能的结果与指针指向的数字为偶数的情况，然后根据概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∴一共有种等可能的结果， 指针指向的数字均为偶数的有2种情况， ∴指针指向的数字为偶数的概率是． 故选：C． 2．（25-26九年级上·山西运城·期中）2025年山西高考首次实行“”模式，高中生李明已选物理，然后要在思想政治，地理，化学，生物这4门中选2门进行考试，则李明选中地理和生物的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率等知识，准确求概率是解题的关键． 画树状图求出所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为地理、生物的结果有2种，根据概率公式即可求解． 【详解】解：把思想政治、地理、化学、生物分别记为A，B，C，D，画树状图如图所示： 由上图可知，所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为地理、生物的结果有2种：，， ∴（李明恰好选中地理、生物）． 故选：A 3．（2024·广东·模拟预测）广东省现在实行高考“”选科制度，意为门语数英必考，物理与历史选择科进行考试，化学、生物学、思想政治、地理科选科进行考试．现在小仑从化学、生物学、思想政治、地理科选科，他选的科中有科是化学的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画树状图求出所有出现等可能的结果有种，所选中门学科恰好有“化学”的结果有种，根据概率公式即可求解． 【详解】解：把化学、生物学、思想政治、地理分别记为A，B，C，D，画树状图如图所示： 由上图可知，所有出现等可能的结果有种，所选中门学科恰好有“化学”的结果有种， ∴选中门学科恰好有“化学”的概率为， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）经过校园某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有小刚和小军两人经过该路口，请用列表法或画树状图法． (1)小刚从这三种情况中任选一个可能左拐的概率是___________； (2)求两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法求概率，正确的画出表格，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：小刚从这三种情况中任选一个可能左拐的概率是； 故答案为：． （2）列表或画树状图正确 直行 左拐 右拐 直行 （直行，直行） （直行，左拐） （直行，右拐） 左拐 （左拐，直行） （左拐，左拐） （左拐，右拐） 右拐 （右拐，直行） （右拐，左拐） （右拐，右拐） 一共有9种结果，每种结果出现的可能性相同， 两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的有2钟结果：（左拐，直行），（直行，左拐） 两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率是． 【经典例题四 游戏的公平性】 【例1】（25-26九年级上·全国·期末）某口袋中有10个球，其中白球有2个，绿球有5个，其余为黑球．从袋中任意摸出1个球，若为绿球，则甲获胜；若为黑球，则乙获胜．为使游戏对甲、乙双方公平，丙放入x个黑球，则x为（   ） A．3 B．4 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了游戏公平性的判断，利用概率相等来说明游戏公平，建立等式求解. 游戏公平的条件是甲、乙获胜的概率相等，原袋中有白球2个、绿球5个、黑球3个，放入个黑球后，总球数为，黑球数为，根据概率相等列方程求解。 【详解】解：原袋中共有10个球，其中白球2个，绿球5个，黑球3个. 放入x个黑球后：总球数变为，黑球数变为. 则甲获胜的概率：摸到绿球的概率为. 乙获胜的概率：摸到黑球的概率为. 由于甲、乙概率相等，即 消去分母得，解得. 当时，总球数为12，黑球数为5，甲、乙获胜概率均为，符合公平性． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6，其中标有数字1的扇形的圆心角度数为；标有数字2，4及6的扇形的圆心角度数均为；标有数字3，5的扇形的圆心角度数均为．甲乙两人利用这个转盘做游戏：转动转盘一次，转盘停止后，若指针指向奇数，则甲获胜；若指针指向偶数，则乙获胜．你认为这个游戏对甲乙双方公平吗？为什么？ 【答案】这个游戏对甲乙双方公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，分别求出甲获胜与乙获胜的概率，比较大小即可．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】解：这个游戏对甲乙双方公平，理由如下： 标有数字1的扇形的圆心角为；标有数字2，4及6的扇形的圆心角均为；标有数字3，5的扇形的圆心角均为， 指针指向奇数的有：，指针指向偶数的有：， 甲获胜乙获胜， 这个游戏对甲、乙双方公平． 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（    ） A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利 C．对小明有利 D．游戏公平 【答案】D 【分析】本题主要考查了游戏的公平性，根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇，而和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种，则和为偶数的概率和和为奇数的概率相同，故游戏公平，据此可得答案． 【详解】解：根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇； ∵奇数与奇数的和为偶数，偶数与偶数的和为偶数，奇数与偶数的和为奇数， ∴和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种， ∴和为偶数的概率和和为奇数的概率相同， ∴这个游戏是公平的， 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 【答案】D 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可． 【详解】解：由题意甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜可知， 绿球与黑球的个数应相等，也为2x个， 列方程可得x+2x+2x=10， 解得x=2， 故选：D． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 3．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）小兰和小青两人做游戏，如果小兰掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢．如果小青掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么这个游戏对小兰和小青公平吗？ （填公平或不公平） 获胜的概率大，概率是 ． 【答案】 不公平 小兰 【分析】此题考查了概率的应用．用列举法求概率必须把所有可能的结果都列举出来，然后再求其中某个事件发生的概率． 因为骰子的点数是1，2，3，4，5，6．其中偶数有三个，占，是3的倍数的只有两个，占．据此解答． 【详解】解：∵骰子的点数是1，2，3，4，5，6， ∴P（偶数）； P（3的倍数）． ∴游戏不公平；小兰获胜的概率大，概率是． 故答案为：不公平，小兰，． 4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2：魔童闹海》的电影票，小颖和小华都想获得，小明为她们出了一个主意：从印有数字1，2，2，3，3，4，5，6，7的9个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字为奇数，则小颖得到电影票；否则，小华得到电影票．你认为用这种方式获得电影票对小颖、小华公平吗？请说明理由． 【答案】不公平，见解析 【分析】本题考查了公平性问题． 比较两人得票概率即可． 【详解】解：任意摸出一球，共有9种等可能的结果，其中摸到一个球的球面数字为奇数的结果有5种，摸到偶数的结果有4种． ∴（小颖得到电影票），（小华得到电影票）， ∵， ∴这种方式不公平． 【经典例题五 利用概率计算随机事件发生的平均次数】 【例1】（2024·贵州·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 【答案】B 【分析】本题考查了概率的定义，列举法等知识，结合选项，利用排除法求解即可． 【详解】假设两人第一次都摸到红球，若第二次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第二次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故A、C都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小星先摸球，则小星先摸到2个红球，所以一定是小星获胜，故B正确；若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第四次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故D不正确． 故选：B． 【例2】（2024广东广州·一模）如图，正方形的边长为2，中心为O，从O、A、B、C、D五点中任取两点． （1）求取到的两点间的距离为2的概率； （2）求取到的两点间的距离为的概率； （3）求取到的两点间的距离为的概率． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】试题分析：AB=BC=CD=AD=2,AC=BD=2,OD=OC=OA=OB=,求取到的两点间的距离为2、、2 的概率,也就是求取到这些相等线段的概率，总共有10条线段． 试题解析：解：（1）从O、A、B、C、D五点中任取两点，所有等可能出现的结果有： AB、AC、AD、BC、BD、CD、OA、OB、OC、OD，共有10种， 满足两点间的距离为2的结果有AB、BC、CD、AD这4种， 则P（两点间的距离为2）=． （2）满足两点间的距离为的结果有AC、BD这2种． 则P（两点间的距离为）=． （3）满足两点间的距离为的结果有OA、OB、OC、OD这4种． 则P（两点间的距离为）=． 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可． 【详解】设瓶子中有豆子粒豆子， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：估计瓶子中豆子的数量约为粒． 故选：． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 2．（24-25九年级上·全国·期末）事件发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每100次实验，事件发生的次数是 【答案】25 【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案． 【详解】解：事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是25， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间． 3．（25-26九年级下·江苏泰州·期中）一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买 个这样的电子产品，可能会出现1个次品． 【答案】4 【分析】根据“合格率”，“不合格率”的意义，结合“频数与频率”的意义进行判断即可． 【详解】解：∵产品的抽样合格率为， ∴产品的抽样不合格率为 ∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品 故答案为：4． 【点睛】本题考查频数与频率，理解“频率”“合格率”“不合格率”的意义是正确判断的前提． 4．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）将所有可能的取值与其对应的概率相乘，再将这些结果相加，称为这个事件的数学期望，它与随机事件的平均值密切相关．一个随机事件可能出现的值为、…，对应的概率为、…，则数学期望为．例如，抛掷一个骰子，出现的概率都为，则点数的数学期望为，也可以说投骰子出现的平均点数为． (1)海猫超市推出的返现活动如下：顾客在超市中消费一定金额后，可参加抽奖，返现金额与概率如下表所示，计算返现金额的数学期望； 金额 3元 4元 5元 6元 概率 (2)某六面骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，，（n为正整数），n为何值时，点数的数学期望最小？请说明理由． 【答案】(1)元 (2)当时，数学期望最小，理由见解析 【分析】本题考查了的最值，利用概率计算随机事件发生的数学期望，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据表中数据，利用定义法求解； （2）先根据题意，列出点数的数学期望的算式，再配方后求出最值即可． 【详解】（1）解：返现金额的数学期望为 （元）； （2）解：点数的数学期望为 ， 当时，数学期望最小，最小值为． 【经典例题六 由频率估计概率】 【例1】（23-24九年级上·全国·期末）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【答案】B 【分析】本题主要考查频率的应用，根据成活率求出未成活率，再乘以2000即可得出结果． 【详解】解：（棵）， 故选：B 【例2】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）数学兴趣小组为探究事件A发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表： 试验总次数n 100 200 500 800 1000 事件A出现的次数m 34 64 160 b 330 事件A发生的频率 0.34 a 0.32 0.33 0.33 (1)表中______，______； (2)根据上表，完成折线统计图． 【答案】(1)；264 (2)见解析 【分析】本题考查了频率和折线统计图，熟练掌握频率的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，得，，解答即可． （2）根据题意，画出图即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 解得． （2）解：根据题意，折线图画图如下： 1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键． 直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案． 【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C 2．（23-24九年级上·河南周口·期中）两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【分析】本题考查频率的计算，根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动， A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意； B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率为，不合题意； C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率约为，符合题意； D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为，不合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求频率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）2025年4月12日，湖南师大附中将迎来120周年校庆，为迎接校庆，学校设计了特别纪念品，并准备设置一种抽奖游戏，其规则如下：凡参与游戏的师生从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个校庆纪念品．据估计参与这种游戏的师生约有2500人，学校一共为参与该游戏的师生准备了校庆纪念品1500个． (1)求参与该游戏可免费得到校庆纪念品的频率； (2)请你估计纸箱中白球的数量接近多少？ 【答案】(1) (2)8个 【分析】本题考查求频率，利用概率求数量： （1）利用校庆纪念品的个数除以师生的总人数，求出频率即可； （2）根据频率得到摸到红球的概率，再利用概率求数量即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； 答：参与该游戏可免费得到校庆纪念品的频率为； （2）由（1）可知，摸到红球的概率为， ∴白球的数量（个）； 答：估计纸箱中白球的数量接近8个． 【经典例题七 由频率估计概率】 【例1】（2025·贵州·一模）在一个不透明的袋子中，装有若干枚白色棋子和黑色棋子，这些棋子除颜色外其余都相同，将袋子中的棋子摇匀，随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回袋子中，不断重复这一过程，统计发现，摸到白色棋子的频率稳定在0.4左右，摸到黑色棋子的频率稳定在0.6左右，则下列说法正确的是（   ） A．黑色棋子一定比白色棋子多 B．白色棋子一定比黑色棋子多 C．摸到白色棋子的概率为0.6 D．摸到黑色棋子的概率为0.4 【答案】A 【分析】此题考查了频率估计概率．摸到白色棋子的频率稳定在0.4左右，摸到黑色棋子的频率稳定在0.6左右，据此即可判断，得到答案． 【详解】解：∵摸到白色棋子的频率稳定在0.4左右，摸到黑色棋子的频率稳定在0.6左右， ∴黑色棋子一定比白色棋子多，摸到白色棋子的概率为0.4，摸到黑色棋子的概率为0.6， 故选项A正确，符合题意；选项B，C，D错误，不符合题意； 故选：A 【例2】（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）小颖同学发现操场中有一个不规则的封闭图形如图所示，为了知道它的面积，她在封闭图形内画出了一个半径为的圆，在不远处向圆内掷石子，结果记录如下： 落在圆内（含圆上）次数 14 43 93 150 落在阴影内次数 23 91 186 300 请根据以上信息，回答问题： (1)石子落在圆内的概率约为________； (2)估计封闭图形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用频率估计概率； （1）用每次落在圆内（含圆上）次数除以总实验次数即可； （2）设封闭图形的面积为a，根据题意得：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在， ∴石子落在圆内的概率约为； （2）解：设封闭图形的面积为． 根据题意得，解得． 则估计封闭图形的面积为． 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】B 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） 次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 频率 0.60 0.45 0.55 0.47 0.48 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 A．不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 B．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” C．掷一枚一元的硬币，正面朝上 D．三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．由表格数据可知：利用频率估计概率得到实验的概率在左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行对比判断即可． 【详解】解：A、不透明的袋子里有3个红球和2个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率是，不符合题意； B、掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“2” 概率是，不符合题意； C、掷一枚一元的硬币，正面朝上的概率是，符合题意； D、三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5概率是，不符合题意； 故选：C 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960 请由此估计抽查一个头盔，合格的概率为 ． 【答案】0.960 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用频率估计概率即可． 【详解】解：∵头盔的合格频率稳定在0.960附近， ∴抽查一个头盔，合格的概率约为0.960． 故答案为：0.960． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次试验得到数据如下表所示： 每次打捞鱼数 50 100 200 300 500 每次打捞鱼中带标记的鱼数 4 11 19 31 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 0.095 0.103 0.100 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中_____，_____； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，估计打捞到带标记的鱼的概率．（结果精确到0.1） 【答案】(1)0.11；50 (2)0.1 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． （1）根据频率=频数÷总数求解即可； （2）利用频率估计概率即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：0.11，50； （2）解：根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为0.1． 【经典例题八 概率的综合应用】 【例1】（25-26·四川绵阳·一模）25-26（第七届）绵阳之春国际车展将于25-26年4月18日-22日在绵阳国际会展中心盛大举行．某品牌汽车为了推广宣传，特举行“趣味答题闯关赢大奖”活动，参与者需连续闯过三关方能获得终极大奖．已知闯过第一关的概率为，连续闯过两关的概率为，连续闯过三关的概率为，已经连续闯过两关的参与者获得终极大奖的概率为 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设已经连续闯过两关并获得终极大奖的概率为，由获得终极大奖是在连续闯过两关的基础上再闯过第三关，则存在概率关系：连续闯过两关的概率与过第三关的概率之积等于连续闯过三关的概率，由此等量关系可得方程，解方程即可． 【详解】设已经连续闯过两关并获得终极大奖的概率为，由题意得，， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了概率的求法，清楚连续闯两关的概率与过第三关的概率之积等于连续闯三关的概率是解答本题的关键． 【例2】（24-25七年级下·广东佛山·期中）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘．并规定：顾客每购买100元的商品， 就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券（转盘被等分成20个扇形），甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？ 【答案】 【分析】此题考查概率的计算公式，先确定情况数及总结果数，根据概率公式计算即可 【详解】 解：甲顾客购物120元，他有转转盘的机会， 整个圆周被分成了20份，共有20种等可能结果， 红色、黄色或绿色区域的份数之和为9份， 所以获得购物券的概率为：． 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的应用．掌握事件的所有情况的概率之和为1成为解题的关键． 根据事件的所有情况的概率之和为1解答即可． 【详解】解：∵他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为， ∴他遇到绿灯的概率是：． 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江湖州·期中）如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（　 　） A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②① 【答案】A 【详解】解：图1阴影部分为270°，图2阴影部分为240°，图3每份为45°，阴影部分共4份为180°，图4每份为45°阴影部分共5份为225°，所以①②④③， 故选A． 3．（24-25九年级上·广东·单元测试）某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，则作出决策为 （填“出海”、“不出海”）． 【答案】出海 【分析】利用概率算出获得收益的平均值比较即可． 【详解】解：预测下月好天气的机会是，坏天气的机会是，， 下月是好天气的可能性坏天气的可能性； 又若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费， 出海的话，获得平均收益（获得收益的数学期望）（元， 不出海：（元， ， 船队队长作出决策为：出海． 故答案为：出海． 【点睛】本题主要考查概率的实际应用，能够通过概率算出平均收获是解题关键． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 【答案】(1) (2)为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式，见解析 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）求出2种猜数方式获胜的概率，比较后即可得出结果． 【详解】（1）解：因为10个数中有5个奇数， 所以（小阳获胜）． （2）10个数中有3个数为3的倍数，比7小的数有6个， 所以（转出的数是3的倍数）， （转出的数比7小）． 因为， 所以为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式． 【经典例题九 用频率估计概率的综合应用】 【例1】（2025·广西柳州·三模）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了频数、频率及总数间的关系，熟练掌握三者间的关系是解题的关键．用球的总个数分别乘以摸到白球频率求出其对应个数，继而可得答案． 【详解】解：根据题意得：个， 即估计口袋中白球的个数是18个． 故选：B 【例2】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示． 根据试验结果回答下列问题． (1)估计这种玉米种子发芽的概率是______（精确到0.1）． (2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为，那么在相同条件下种10000粒该种玉米种子大约可得到多少棵玉米秧苗？ 【答案】(1)0.9 (2)8100棵 【分析】本题考查了由频率估计概率，正确得出这种玉米种子发芽的概率是解此题的关键． （1）由统计图即可得出答案； （2）根据题意列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得：随实验次数增加，这种玉米种子发芽的频率逐渐稳定在为0.9附近，故估计这种玉米种子发芽的概率是0.9； （2）解：由题意得：（棵）， ∴种10000粒该种玉米种子大约可得到棵玉米秧苗． 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）某植物研究院培育的新品植株的成活率约为，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（   ） A．45棵 B．5棵 C．20棵 D．40棵 【答案】A 【分析】本题主要考查百分率的知识．利用“总数×成活率=成活棵树”计算求解． 【详解】解：（棵）， 故选：A． 2．（2025·贵州铜仁·模拟预测）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最符合这一结果的试验是（　　） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．在一副扑克中随机抽取一张，抽到的牌是红桃 D．不透明袋中有红球、黄球、蓝球各1个，每个球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，是黄球 【答案】B 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率，理解折线图中横轴与纵轴的关系，掌握概率的计算方法是解题的关键．根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多概率稳定在以上，以下， ∴A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是的概率是，符合题意； C、在一副扑克中随机抽取一张，抽到的牌是红桃的概率是，不符合题意； D、不透明袋中有红球、黄球、蓝球各1个，每个球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，是黄球的概率是，不符合题意； 故选：B． 3．（2025·山东济南·二模）在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球 个． 【答案】12 【分析】本题主要考查用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到黄球的概率是0.4，据此求出黄球的数量，进而求解即可． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.4， ∴摸到黄球的概率是0.4， ∴黄球的个数为（个）， ∴口袋中大约有红球（个）， 故答案为：12． 4．（2024·广东清远·模拟预测）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 【答案】（1）0.305，0.3；（2）估计整个封闭图形的面积是平方米 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据圆的面积公式得到圆的面积（平方米），利用圆的面积频率值圆的面积即可得到结论． 【详解】解：（1）， 随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3附近， 故答案为：0.305，0.3； （2）∵圆的面积（平方米）， ∴整个封闭图形的面积（平方米）， 答：估计整个封闭图形的面积是平方米． 【拓展训练一 求频率、概率】 【例1】（24-25九年级下·浙江绍兴·期中）第届亚运会将于年9月在中国杭州举行．近期，组委会将组织名测试员对个不同场馆的运行状态进行测试，现要求每名测试员都参与测试且只测试一个场馆，每个场馆至少安排一名测试员，问共有多少种不同的安排方案（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列举法解决问题；分类加法计数原理：将所有安排方案按 “哪个场馆分人”分为类(甲场馆、乙 场馆、丙场馆)，最后将每类的方案数相加，得到总方案数，这是对该原理的直接应用；分步乘法计数原理：在每一类情况中 (如甲场馆分人)，先选人去该场 馆，再分剩下的人到另外两个场馆，两步方法数相乘得到该类总方案数，体现分步计算的逻辑；有序列举与逻辑分类能力：需要明确“不同场馆”和“人员分组”的区别，按固定标准(指定分人的场馆)有序列举所有可能，避免重复或遗漏，考察逻辑严谨性． 【详解】解：假设名测试员叫，个不同 场馆为甲、乙、丙(需先明确：有个场馆分人，另外个场馆各分人)，分类情况列举； 甲场馆分人，乙、丙各分人 ·甲选：乙→、丙→；乙→、丙→ (种) ； 甲选：乙→、丙→；乙→、丙→ (种) ；甲选：乙→、丙→；乙→、丙→(种) ；甲选：乙→、丙→；乙→、丙→ (种) ；甲选：乙→、丙→；乙→、丙→ (种) ；甲选：乙→、丙→；乙→、丙→ (种) 本情况共：组种种； 同理可得：乙场馆分人，本情况共：组种种； 丙场馆分人，本情况共：组种种； 类情况相加：种， 即共有种不同安排方案． 故选：B． 【例2】（25-26九年级上·吉林长春·期中）有四张除正面图案外完全相同的邮票，邮票正面分别印有：．祖冲之；．李时珍；．张衡；．僧一行．现将这四张邮票背面朝上放置，搅匀后从中一次性抽取两张，求抽到的两张邮票正面的图案是祖冲之和李时珍的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法求解概率，正确列举出所有情况是解题的关键． 先用列举法得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：四张邮票分别记为A、B、C、D．从中一次性抽取两张，所有可能的抽取结果为： ，共6种等可能的情况． 其中，抽到A和B的情况仅有1种． 因此，所求概率为． 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了运用列表法与树状图法求概率，根据题意正确画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出相应的树状图，即可确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，再运用概率公式求解即可． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有4种等可能性，其中两次摸球摸到的小球都是红球的可能性有1种， ∴两次摸出的都是红球的概率是． 故选A． 2．（24-25九年级下·贵州六盘水·期中）袋中有黑球6个，白球有若干个，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验发现，摸到白球的频率稳定在附近，则袋中有白球（   ） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了随机概率，利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 由摸到白球的频率稳定在附近，可以得出口袋中得到白色球的概率，然后求得口袋中得到黑色球的概率，然后即可求解． 【详解】解：∵通过多次摸球实验发现，摸到白球的频率稳定在附近， ∴袋中得到白球的概率为， ∴袋中得到黑球的概率为：， ∵袋中有黑球6个， ∴袋中球的总个数为：个， ∴袋中有白球：个； 故选：C； 3．（2025·湖北十堰·模拟预测）小侯和爸爸、妈妈、姐姐暑假乘坐高铁来十堰旅游，如图，买了同车同排四张高铁票，上车后随机坐到这四个位置（深色B，C，D，F），乘务员验票时发现是一家四口的座位，但四个人都没有坐到车票上名字所对应的位置，请问四人都没坐到车票上名字所对应位置的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，先根据题意可计算出一共有种选择；当小侯选择C时，则有以下三种情况符合题意，姐姐选择B，爸爸选择D，妈妈选择C；姐姐选择D，爸爸选择F，妈妈选择B；姐姐选择D，爸爸选择B，妈妈选择D；同理当小侯选择D或者F时，都有三种情况符合题意；据此根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设小侯，姐姐，妈妈，爸爸原本对应的位置分别为B、C、D、F， 假设小侯先选择座位，那么小侯有4种选择，接着姐姐选择座位，那么姐姐有3种选择，接着妈妈选择座位，那么妈妈有2种选择，最后爸爸选择座位，那么爸爸有1种选择， ∴一共有种选择； 当小侯选择C时，则有以下三种情况符合题意，姐姐选择B，爸爸选择D，妈妈选择C；姐姐选择D，爸爸选择F，妈妈选择B；姐姐选择D，爸爸选择B，妈妈选择D； 同理当小侯选择D或者F时，都有三种情况符合题意， ∴一共有种情况符合题意， ∴问四人都没坐到车票上名字所对应位置的概率是， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）字谜是一种文字游戏，也是汉字特有的一种语言文化现象．现有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，依次记作A、B、C、D（如图），将这四张卡片背面朝上洗匀．小虎和小麦两人玩猜字谜游戏，规则为：小虎和小麦同时随机各抽取一张卡片并猜卡片上字谜的谜底，若小虎能猜出A、D卡片上的谜底，猜不出B、C卡片上的谜底；小麦能猜出A、B、C卡片上的谜底，猜不出D卡片上的谜底．请用画树状图或列表法求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，根据题意画出树状图得到所有等可能性的结果数，再根据题意找出小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的结果有5种， ∴小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率为． 【拓展训练二 概率的实际生活及其他应用】 【例1】（2024·内蒙古包头·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查树状图法与列表法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两次传球后，球回到甲、乙、丙、丁手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．解题的关键是掌握知识点：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图得：    ∵共有种等可能的结果，经过次传球后，球回到甲手中的有种情况，回到乙手中的有种情况，回到丙手中的有种情况，回到丁手中的有种情况， ∴经过次传球后，球回到甲手中的概率是， 球回到乙手中的概率是， 球回到丙手中的概率是， 球回到丁手中的概率是， ∵， ∴第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是甲． 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·全国·期末）一工厂生产某种型号的节能灯的质量抽检结果如表： 抽检个数 50 100 200 300 400 500 次品个数 1 3 5 6 7 9 (1)根据表格中的数据求任抽1件是次品的概率； (2)厂家承诺：顾客买到次品包换．如果卖出这批节能灯800个，那么要准备多少个兑换的节能灯？ 【答案】(1)0.02 (2)16 【分析】（1）根据概率的求法，找准两点：1、符合条件的情况数目；2、全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率； （2）需要准备兑换的节能灯数＝销售的节能灯×次品的概率，依此计算即可． 【详解】（1）抽查总体数m＝50+100+200+300+400+500＝1550， 次品件数n＝1+3+5+6+7+9＝31， 这批节能灯中任抽1个是次品的概率为0.02； （2）根据（1）的结论：这批节能灯中任抽1件是次品的概率为0.02， 则800×0.02＝16（个）． 答：准备16个兑换的节能灯． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 1．（24-25九年级下·湖北武汉·期中）动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到岁的概率为，活到岁的概率为，活到岁的概率为，现在有一只岁的动物，它活到岁的概率是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到30岁的只数为0.3x， 故现年20岁到这种动物活到30岁的概率为=． 故选：B． 【点睛】本题考查概率的简单应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 2．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）在一个不透明的布袋中，共有红色、黑色、白色的小球50个，且小球除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44，则口袋中白色球的个数很可能是（　　） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】B 【分析】利用频率估计概率得到摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44，则摸到白球的概率为0.3，然后根据概率公式求解． 【详解】解：∵多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率分别稳定在0.26和0.44， ∴摸到红色球、黑色球的概率分别为0.26和0.44， ∴摸到白球的概率为1﹣0.26﹣0.44＝0.3， ∴口袋中白色球的个数可能为0.3×50＝15． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）抛掷两枚普通的正方体骰子，把两枚骰子的点数相加，若第一枚骰子的点数为1，第二枚骰子的点数为5，则是“和为6”的一种情况，我们按顺序记作（1，5），如果一个游戏规定掷出“和为6”时甲方赢，掷出“和为9”时乙方赢，则这个游戏 （填“公平”、“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】列举出所有情况，看“和为6”及“和为9”情况数占所有情况数的多少即可． 【详解】解：如图所示： （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 共有36种情况，和为6情况数是5种，所以甲赢的概率为；和为9的情况数有4种，所以概率为 ． ∵＞， ∴不公平． 故答案为不公平． 【点睛】此题考查用列表格的方法解决概率问题；得到“和为6”及“和为9”的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 4．（25-26九年级上·全国·期末）某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)0.68、0.74、0.68 、0.69、0.68、0.70 (2) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，数值越来越精确． （1）根据频率的算法，频率＝频数÷总数，可得各个频率； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率． 【详解】（1）解： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70 （2）由表格可知：获得铅笔的概率约是； 故转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是． 1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图所示的是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．用蓝色区域的圆心角除以周角可得到指针落在蓝色区域的概率． 【详解】解：红色区域的圆心角为， 蓝色区域的圆心角为， 指针落在蓝色区域的概率是， 故选：D． 2．（2025·河南商丘·一模）桌面上有三张背面相同的卡片，正面分别写有数字、、．先将卡片背面朝上洗匀，然后从中同时抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列举法求概率． 根据题意，列举所有可能，用乘积为奇数的数量除以总数即可． 【详解】解：，，， 共有种可能，两张卡片上的数字之积为奇数的有种， ∴两张卡片上的数字之积为奇数的概率是． 故选：C． 3．（24-25九年级上·广东清远·期中）在一个不透明袋子中装有红、绿小球各两个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了运用树状图求概率，正确画出树状图、确定所有等可能结果数和满足题意结果数是解答本题的关键． 用树状图法可以列举出所有等可能出现的结果和满足题意的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的情况数，其中两次都摸到红球的情况有种， 所以两次都摸到红球的概率为． 故选：A． 4．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（    ） A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定 C．游戏的规则由甲乙双方确定 D．游戏双方获胜的概率相等 【答案】D 【分析】判断游戏是否公平不取决于谁制定游戏规则，而取决于游戏双方获胜的概率相等． 【详解】解：游戏的规则由甲方确定，获胜概率不一定不相等，故A不符合题意； 游戏的规则由乙方确定，获胜概率不一定不相等，故B不符合题意； 游戏的规则由甲乙双方确定，获胜概率不一定不相等，故C不符合题意； 游戏双方获胜的概率相等，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．游戏公平是指要计算每个参与者获胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．准确理解定义是解题的关键． 5．（2024·河北沧州·一模）某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 【答案】C 【分析】本题考查概率的应用，计算出所有情况的概率直接比较判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，，，， ∵， ∴大可能看到的内容是时间， 故选：C． 6．（24-25九年级上·浙江·期中）欢欢将自己的核酸检测二维码打印在面积为的正方形纸上， 如图所示， 为了估计图中黑色部分的面积， 他在纸内随机掷点， 经过大量重复试验， 发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 7．（2025·上海崇明·二模）学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如下表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（　　）（精确到） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，是解题的关键； 根据表格中的数据可知，针尖朝上频率在左右波动，据此可得出结论． 【详解】解：由题意可知，“针尖朝上”频率在左右波动， ∴根据以上实验数据可以估计出“针尖朝上”的概率约为． 故选：C． 8．（2025·山东青岛·二模）一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中80次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（    ） A．18个 B．15个 C．12个 D．10个 【答案】C 【分析】小明共摸了100次，其中80次摸到白球，20次摸到黑球，摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数． 【详解】解：由题可得：312（个）． 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 9．（2025·安徽·模拟预测）学校从甲、乙、丙、丁四人中抽选两人作为代表参加省数学竞赛，则甲、乙中至少有一人被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查用列表法或画树状图法求概率．正确运用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键． 先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙中至少有一人被选中此活动的情况数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，甲乙两人至少有一人参加此活动的有10种情况， ∴甲、乙中至少有一人被选中的概率为：． 故选：C． 10．（2024九年级下·全国·专题练习）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用列举法求概率．先画出树状图，从而可得所有等可能的结果，再找出反应生成的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，总共有6种等可能的结果，其中，反应生成的结果有2种， 则反应生成的概率是， 故选：B． 11．（2024·湖北·模拟预测）如图，某奶茶店铺前地面上有以点O为圆心的两个同心圆投影图案，大圆的半径为R，小圆的半径为r，，随机往地面上撒一粒咖啡豆，咖啡豆落在阴影部分的概率是 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，分别求出大圆面积和小圆面积，再相减得出圆环面积，运用圆环面积除以大圆面积，即可得出咖啡豆落在阴影部分的概率． 【详解】解：依题意，大圆面积，小圆面积， 则圆环面积， ∵， ∴， ∴大圆面积，圆环面积， ∴咖啡豆落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 12．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）现有4条线段，长度依次是2、3、5、6，从中任选三条，能组成三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，构成三角形的条件，可列举出选取条线段的所有可能情况数，再看能够组成三角形的情况数，即可求出概率． 【详解】解：共有、、；、、；、、；、、；种情况， 、、；、、；这两种情况能组成三角形； 所以能组成三角形的概率是． 故答案为：． 13．（2024·北京海淀·模拟预测）盒中有4块巧克力，其中两块是A品牌，两块是B品牌，小明和小红各任意拿走一块，盒中恰好剩下一块A品牌、一块B品牌巧克力的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查古典概型的概率计算，先确定小明和小红拿走两块巧克力的所有等可能情况，再找出剩下一块A品牌和一块B品牌的情况，最后用符合条件的情况除以总情况数得到概率． 【详解】解：通过列表可得：             小红 小明 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共出现12种等可能情况，其中恰好剩下一块A品牌、一块B品牌巧克力有8种情况， ∴． 故答案为：． 14．（2025·湖北·模拟预测）如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 【答案】小丽 【分析】考查了判断游戏公平性．解题关键抓住判断游戏公平性要先计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 先用列表法求得各自获胜的概率，再进行比较进行判断即可． 【详解】解：列表得：       B           A 2 5 9 3 2，3 5，3 9，3 6 2，6 5，6 9，6 8 2，8 5，8 9，8 共有 9 种可能，其中小美获胜的次数为，小丽获胜的次数为5， ∴， ∴， ∴小丽的获胜可能性较大． 故答案为：小丽． 15．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为 ． 【答案】126 【分析】此题考查了排列组合的实际应用，理解题意，转化思路是解题的关键． 根据题意转化为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间，得到共有9个位置，进而求解即可． 【详解】解：∵路上有12盏路灯，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭， ∴可以理解为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间 ∴共有9个位置 ∴（盏）． ∴不同的关灯方案种数为126盏． 故答案为：126． 16．（24-25九年级·北京·期中）某鱼塘里养了条鲤鱼、若干条草鱼和条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为 ． 【答案】 【分析】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率． 【详解】解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右， 设草鱼的条数为x，可得： ； 解得：x=2400， 经检验：x=2400是原方程的解且符合实际意义 ∴由题意可得，捞到鲤鱼的概率为 ， 故答案为：. 【点睛】本题考查了应用频率估计的概率应用，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以计算出鱼的数量． 17．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）把3，5，6三个数字分别写在三张完全相同的不透明卡片的正面上，把这三张卡片背面朝上，洗匀 后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的数字，不放回，再从中抽取一张卡片，记录下数字，请用列表法或树状图法求两次抽取的卡片上的数字都是奇数的概率． 【答案】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． 根据题意列表，然后由表格求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上的数字都是奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：列表如下： 3 5 6 3 5 6 总共出现的等可能的结果有6种，其中两次抽取的卡片上的数字都是奇数的结果有2种，所以两次抽取的卡片上的数字都是奇数的概率为． 18．（2025·江苏南京·三模）桌面上倒扣着3个不透明的纸杯，其中2个纸杯中放有小球． (1)随机翻开1个纸杯，其中放有小球的概率是__________； (2)随机翻开2个纸杯，求2个纸杯中均放有小球的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了概率公式，列举法求概率，掌握概率公式是解题关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）利用列举法求解即可． 【详解】（1）解：桌面上倒扣着3个不透明的纸杯，其中2个纸杯中放有小球， 则随机翻开1个纸杯，其中放有小球的概率是， 故答案为：； （2）解：所有可能出现的结果有：（球1，球2）、（球1，无）、（球2，无）共3种，它们出现的可能性相同． 所有的结果中，满足“2个纸杯中均放有小球”（记为事件M）的结果有1种， 所以． 19．（24-25七年级下·江苏·期末）甲、乙两个同学各自掷一个普通的正方体骰子（注：6个面的点数分别为1，2，3，4，5，6点），如果骰子朝上的面上点数之积为奇数，那么甲得1分；如果两者之积为偶数，那么乙得1分．连续投掷20次谁得分最多，谁就获胜．请你想一想，谁获胜的可能性（机会）大？为什么？ 【答案】乙获胜的可能性大，理由见详解 【分析】本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，可出现两者之积为偶数和奇数的情况如下表： 甲/乙 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36 出现奇数的概率为；出现偶数的概率为； 故乙获胜的可能性大． 20．（25-26九年级上·全国·期末）游戏者同时转动A，B两个转盘进行“配紫色”游戏，若要使游戏者获胜的概率为，盘（如下图）不动，则盘（红、蓝、绿三种颜色）应该如何设计？请写出解答过程． 【答案】将盘平均分成10份，1份是蓝色，1份是红色，其他是绿色即可 【分析】B转盘有2种情况,A转盘有3种情况，要想获胜的概率为, 则应让转盘A分成10份,使配成紫色的情况数有2种,即可求出概率. 【详解】解：将盘平均分成10份，1份是蓝色，1份是红色，其他是绿色， 则共有20种等可能的结果，能配成紫色的结果有2种， ． 【点睛】本题考查了方案设计与概率的求法,判断出相应方案是解决本题的难点. 21．（25-26七年级下·全国·单元测试）小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．    (1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少? (2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少? (3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大? 【答案】(1) (2)小玲胜小军的概率是 (3)当小玲摸到棋子B时，胜小军的概率最大 【分析】（1）画出树状图，根据概率公式进行作答即可； （2）已知小玲先摸到了棋子C，还剩9枚棋子，因为棋子C胜棋子D，只有４枚棋子，即可知道这一轮小玲胜小军的概率； （3）分情况讨论，根据概率的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，画出树状图：    共有个等可能的结果，小玲摸到棋子C的结果有3个， 所以若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是； （2）解：因为小玲先摸到了棋子C，若小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，那小军摸到棋子的结果有9个，只有当小军摸到棋子D，此时小玲胜小军，所以这一轮小玲胜小军的概率为； （3）解：①若小玲摸到A棋，小军摸到B，C棋，小玲胜， ∴小玲胜小军的概率是； ②若小莹摸到B棋，小军摸到D，C棋，小玲胜， ∴小玲胜小军的概率是； ③若小玲摸到C棋，小军摸到D棋，小玲胜， 小玲胜小军的概率是； ④若小玲摸到D棋，小军摸到A棋，小玲胜， ∴小玲胜小军的概率是； ∵，由此可见，小玲摸到B棋，小玲胜小军的概率最大． 【点睛】本题考查了树状图法以及概率公式，正确掌握概率公式是解题的关键． 22．（2023·广东东莞·模拟预测）已知在一个盒子里共有红、黄、绿三种颜色的棋子共20枚，每次在盒子里随机摸一个棋子，记录下颜色，再放回去．下面是总共摸了1000次后的频数表． 棋子颜色 红 黄 绿 次数 539 137 324 (1)遵循“四舍五入”原则，估计各色棋子各有多少枚？ (2)用你的估计数据计算，若在盒子里随机摸两次，正好有一次是红色，1次是黄色的概率是多少？ 【答案】(1)估计红色棋子有11个，黄色棋子有3个，绿色棋子有6个 (2) 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式，理解在大量反复试验下频率稳定值即概率是解题的关键． （1）根据部分的具体数目＝总数×（频数÷试验总次数）即可解答； （2）求出分别从盒子中摸到红色棋子的概率，摸到黄色棋子的概率，再分别求出第一次摸到红色棋子，第二次摸到黄色棋子和第一次摸到黄色棋子，第二次摸到红色棋子的概率，它们之和即为所求． 【详解】（1）解：红色棋子有（个）， 黄色棋子有（个）， 绿色棋子有（个）． 答：估计红色棋子有11个，黄色棋子有3个，绿色棋子有6个． （2）解：从盒子中摸到红色棋子的概率为，摸到黄色棋子的概率为， ∴在盒子里随机摸两次，第一次摸到红色棋子，第二次摸到黄色棋子的概率是， 第一次摸到黄色棋子，第二次摸到红色棋子的概率是， ∴在盒子里随机摸两次，正好有一次是红色，1次是黄色的概率是． 23．（24-25九年级下·福建·期中）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下： x（℃) 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35 天数 6 10 11 3 y（瓶） 270 330 360 420 以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率． (1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； (2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？ 【答案】（1）0.9；（2）瓶 【分析】（1）根据题意中表格数据即可得，今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； （2）根据题意可得，该超市当天售出一瓶酸奶可获利2元，降价处理一瓶亏2元，设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为n瓶，平均每天的利润为W元，再分别计算当n为100的整数倍时W的值，进而可得n=300时，W的值达到最大，即今年六月份这种酸奶一天的进货量为300瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大． 【详解】解：（1）依题意可知， 今年六月份每月售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于瓶的概率为； （2）根据题意可知： 该超市当天售出一瓶酸奶可获利元，降级处理一瓶亏元， 设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为瓶，平均每天的利润为元，则： 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时，与时比较， 六月增订的部分，亏本售出的比正常售出的多， 所以其每天的平均利润比时平均每天利润少． 综上所述：时，的值达到最大． 即今年六月份这种酸奶一年的进货量为瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握用频率估计概率． 学科网（北京）股份有限公司 $