专题4.3 相似三角形的性质及应用同步精讲精练【课前故事+4大知识点+10大基础题型+9大强化训练+课后练习】-2025-2026学年北师大版九年级数学上册教学同步精讲精练

专题4.3 相似三角形的性质及应用同步精讲精练【课前故事+4大知识点+10大基础题型+9大强化训练+课后练习】 小明的“旗杆身高”大挑战 （课前故事相关内容建议教师家长采用活动或者故事相关形式展开，学生版该部分可删除） 周一的数学课代表小明，一进教室就被班长拦住了：“小明，总务处老师让咱们帮忙测一下操场旗杆的高度，下周运动会要挂国旗，得知道旗杆多高才好选绳子呢！” 小明盯着操场那头直直的旗杆，犯了难：“这旗杆比教学楼还高，咱们又没有梯子，怎么量啊？总不能爬上去吧！”他蹲在旗杆底下，盯着地面上旗杆长长的影子发呆——阳光把旗杆的影子拉得老长，连带着自己的影子也跟在脚边，像个小尾巴。 这时数学老师李老师提着教具路过，看到小明愁眉苦脸的样子，笑着递给他一根1米长的小木棍：“试试这个？咱们不用爬高，也能算出旗杆的高度。” 小明接过木棍，一脸疑惑：“一根小木棍怎么测旗杆？它才1米，旗杆起码有十几米吧！” “你先把木棍竖直插在旗杆旁边的空地上，”李老师引导着，“然后测测木棍的高度、木棍影子的长度，再测测旗杆影子的长度，记下来看看有没有规律。” 小明立刻拉着同桌动手：他把木棍稳稳插在地上，用尺子量了量，木棍高正好1米；接着量木棍的影子，太阳当头照，影子长0.8米；然后两人拉着卷尺，从旗杆底部走到影子顶端，足足有12米！ “老师，数据出来了：木棍高1米，影长0.8米；旗杆影长12米，那旗杆高多少啊？”小明拿着本子算了起来，“1米对应0.8米影长，那1米影长对应多少高度呢？是不是旗杆高度和影长的比，跟木棍高度和影长的比一样啊？” 李老师点点头：“你观察得很仔细！你看，太阳光线照到木棍上，和照到旗杆上，是不是平行的？”小明抬头看了看天，阳光洒下来没什么角度变化，使劲点头。“那木棍和地面垂直，旗杆也和地面垂直，这样一来，木棍、木棍的影子、阳光，就组成了一个小直角三角形；旗杆、旗杆的影子、阳光，组成了一个大直角三角形。这两个三角形，是不是长得很像？” 小明拿着木棍和影子比划了一下，突然眼睛亮了：“哦！它们的角都一样！小三角形的直角和大三角形的直角相等，阳光的角度也一样，那第三个角肯定也相等！” “没错！”李老师笑着说，“这种‘角角相等、形状相似’的三角形，就是咱们今天要学的‘相似三角形’。你再算算，按照刚才的比例，旗杆到底有多高？” 小明赶紧在本子上写：1米（木棍高）:0.8米（木棍影长）=旗杆高：12米（旗杆影长），算着算着突然拍手：“算出来了！旗杆高15米！” 可他转念又问：“老师，为什么‘长得像’的三角形，高度和影长就能成比例呀？要是换个时间，影子变短了，这个方法还能用吗？” 思考问题 小明用1米的木棍和12米的旗杆影子，算出了旗杆高度，靠的是“小三角形和大三角形长得像”，这里的“长得像”，其实是三角形的什么特点在起作用？ 为什么太阳光线平行时，木棍和旗杆各自组成的直角三角形会“相似”？它们的角有什么特殊关系吗？ 如果下午放学时再测，木棍影长变成了1.2米，旗杆影长变成了18米，你还能算出旗杆高度吗？这说明相似三角形的“比例关系”有什么特点？ 【题型1 证明三角形的对应线段成比例】 5 【题型2 利用相似三角形的性质求解】 8 【题型3 相似三角形的判定与性质综合】 10 【题型4 利用相似求坐标】 14 【题型5 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 17 【题型6 相似三角形——动点问题】 20 【题型7 重心的有关性质】 25 【题型8 利用相似三角形测高】 27 【题型9 相似三角形实际应用】 31 【题型10 相似三角形的综合问题】 34 【强化训练1 相似三角形相关线段关系问题】 38 【强化训练2 相似三角形相关翻折类问题】 45 【强化训练3 相似三角形相关尺规作图问题】 49 【强化训练4 相似三角形相关函数问题】 54 【强化训练5 相似三角形应用之灯光下的测量问题】 58 【强化训练6 相似三角形应用之利用标杆进行测量】 61 【强化训练7 相似三角形应用之利用镜子进行测量】 65 【强化训练8 相似三角形应用之光学成像相关测量问题】 69 【强化训练9 相似三角形应用之利用视线进行测量】 72 相似三角形的性质及应用重点知识点梳理汇总及例题精讲（带解析） 知识点1 相似三角形的基本定义与核心性质 重点内容 1. 相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，对应边的比叫做相似比（用 k 表示）。 2. 核心前提性质：相似三角形的对应角相等（若△ABC∽△A'B'C'，则∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'），是推导后续线段比、周长比、面积比的逻辑基础。 3. 相似比的几何意义：相似比 k 既表示对应边的比值，也决定了相似三角形所有 “对应关联线段”（高、中线、角平分线等）的比值。 例题精讲 1．（24-25 九年级上・江苏南京・期中）已知△ABC∽△DEF，∠A=50°，∠B=70°，则∠F 的度数为（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的基本性质（对应角相等），解题关键是明确对应角的对应关系。先根据三角形内角和求出△ABC 中∠C 的度数，再利用相似三角形对应角相等求出∠F。 【详解】解：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°，∵∠A=50°，∠B=70°，∴∠C=180°-50°-70°=60°。 又∵△ABC∽△DEF，根据 “相似三角形对应角相等”，∠F 与∠C 是对应角，∴∠F=∠C=60°。 故选：B． 知识点2 相似三角形中对应高、角平分线、中线的比 重点内容 1. 相似三角形对应高的比等于相似比。 2. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 3. 相似三角形对应中线的比等于相似比。 总结：相似三角形中线段的比等于相似比。 例题精讲 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）已知，是的中线，是的中线，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．由，是的中线，是的中线，得到，结合，即可求解． 【详解】解：，是的中线，是的中线， ， ， ． 故选：C． 知识点3 相似三角形的周长比、面积比 重点内容 1. 相似三角形的周长比等于相似比． 2. 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 例题精讲 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知，，，，若的最长边为16，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得到和的相似比，即可得出答案，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，的最长边为16， ∴和的相似比， ∴， 故选：B． 知识点4 相似三角形的应用 重点内容 1. 利用影长测量物体的高度 ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决； ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长，再计算出被测量物的长度. 2. 利用相似测量河的宽度(测量距离) ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上,必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形； ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度. 3. 借助标杆或直尺测量物体的高度 利用杆或直测量物体的高度就是利用杆或直尺的高(长)作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度. 例题精讲 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，得，得到，代入计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 【题型1 证明三角形的对应线段成比例】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【分析】过E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可． 【详解】过E作EF⊥CG于F， 设投射在墙上的影子DE长度为x,由题意得：△GFE∽△HAB， ∴AB:FE=AH:(GC−x)， 则240:150=160:(160−x)， 解得：x=60. 故选B. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题突破口是过E作EF⊥CG于F. 自我练习 【练习1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在中，点、分别在、上，，点在上，与交于点，则下列结论中错误的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线截线段成比例定理，得到比例式，以及利用相似三角形的判定定理得出△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF，△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质得出比例式，最后逐个判断即可． 【详解】解：A、∵DE∥BC，∴DG∥BF，∴，故A正确； B、∵DG∥BF，∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF，   ，∴，故B正确； C、∵现有条件下不能证明△ADG与△AEG相似，∴，故C错误； D、∵△AEG∽△ACF，∴，故D正确． 故选C 【点睛】本题考查了平行线截线段成比例定理和相似三角形的性质和判定的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键． 【练习2】（2024·四川自贡·一模）如图，在Rt中，，，，以点为圆心，2为半径的圆与交于点，过点作交于点．点是边上的动点．当最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，此时可以转化为，三点共线取到最小值． 【详解】解：如图，延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小， ， ，， ， ， 为公共边， ， ， ， 当三点共线时取到最小值， ， ， 即,解得：， 又， ， 即， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了最短路径问题和平行线分线段成比例问题，解题的关键是：利用三角形全等的判定定理证明两个三角形全等，根据对应边相等，进行等量代换，再利用三点共线时距离最短来求解． 【练习3】（2024九年级·山东枣庄·学业考试）如图，在中，若，，，则的长为 .    【答案】8 【分析】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ 即 ∴BC=8（cm） 故答案是：8 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键． 【题型2 利用相似三角形的性质求解】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·陕西·阶段练习）如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，当与相似时，长为（    ） A．4 B．1 C．1或4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解决本题的关键． 根据点是边的中点可得，然后根据相似三角形的性质进行分类讨论即可． 【详解】解：∵点是边的中点，， ∴， 根据题意得当时， ∴， ∴， 解得． 当时， ∴， ∴， 解得． 故选C． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，、都是的垂线，，，．是上一点，连接、，所得两个三角形相似，则的长是（   ） A．2 B． C．2或12 D．上述各个值都有可能 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质．分两种情况讨论，根据相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：， 设，则． 如图，当时， ， ， 解得； 如图，当时， ， ， 解得或． 综上所述，的长为或2或12． 故选：D． 【练习2】（2025·上海青浦·模拟预测）的三边长为4、5、6，与相似且的最长边是24，则的周长为 ，两三角形的相似比是 ． 【答案】 60 4 【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形周长的比等于相似比． 由相似三角形最长的边是对应边，即可求出两个相似三角形的相似比，由相似三角形周长的比等于相似比，即可求出的周长． 【详解】解：与相似且的最长边是24，的最长边是6， 与的相似比是， 的周长， 的周长． 故答案为：60，4． 【练习3】（25-26九年级上·上海·阶段练习）两个相似三角形对应中线之比是，它们的面积差是，则较大三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，一元一次方程的应用，根据相似三角形的性质求出面积比，根据题意列出方程，解方程即可，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形对应中线之比是， ∴它们的面积比是， 设较小三角形的面积是，较大三角形的面积是， ∴， 解得， ∴较大三角形的面积是， 故答案为：． 【题型3 相似三角形的判定与性质综合】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，由5个同样大小的正方形合成一个矩形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设以为对角线的小正方形的一个顶点为E，由，，得，设组成矩形的每个小正方形的边长都是m，则，，，由，，得，则，可证明，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：设以为对角线的小正方形的一个顶点为E， ，， ， 设组成矩形的每个小正方形的边长都是m，则，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质综合，熟练掌握正方形及三角形相关知识定理是证明是解题的关键． 自我练习 【练习1】（2024·海南海口·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论． 【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0）， ∴AC=6，OC=2，OB=7， ∴BC=9， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE=OC=OE=2， ∴O′E′=O′C′=2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′=∠BCA=90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′=3， ∴OO′=7-3=4， 故选：C． 【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质综合，熟练掌握相关知识定理、正确的识别图形是解题的关键． 【练习2】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，，AF与BE相交于点G，且，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似，可推出，，然后根据相似三角形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：． 【练习3】（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，点D，E分别在边上，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由题意得，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：， ， （负值舍去）， ， ， 故答案为： ． 【题型4 利用相似求坐标】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 【答案】A 【分析】根据已知条件，易证△AOC∽△BOA．运用相似三角形的性质求OC即得解 【详解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC ∴△AOC∽△BOA 即 ∴OC=1 ∴点C的坐标是（0，1）． 故选A 【点睛】求点的坐标的问题可以转化为求线段的长度的问题，本题利用了三角形的相似的性质． 自我练习 【练习1】（24-25 九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 【答案】B 【分析】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则PB、PD与AB、AC的比值必须相等，可据此进行判断． 【详解】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD， 则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC， 又BA=2，AC=2， ∴BA：AC=1：， ∴BP：PD=1：或BP：PD=：1， 只有P2符合这样的要求，故P点应该在P2． 故选B． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理的运用，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，书写相似三角形时，对应顶点要对应．熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键 【练习2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】先通过条件证明，然后根据相似三角形对应边成比例即可求出CO，从而得到点C的坐标． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴, 由点的坐标为，点的坐标为，可知AO=4，BO=2， ∴，即CO=1， ∴点C的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标系内点的坐标，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【练习3】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【答案】或； 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 【题型5 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【答案】B 【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项． 【详解】解：设每个正方格边长为1， 则， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列的正方形网格中，小正方形的边长均为，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键． 在中，先求出三角形三边的长度，证明是直角三角形，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似即可对各个选项进行分析判断． 【详解】解：在中， ，，， ， 是直角三角形，且两条直角边分别是，， 而A、D选项并不是直角三角形，所以A、D不符合题意； C选项的三角形是直角三角形，且两条直角边分别是， ， C选项中的三角形与相似， 故选：C． 【练习2】（24-25九年级上·上海·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 【练习3】（24-25九年级上·上海长宁·期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 ．    【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，相似三角形中，最大的三角形的长边等于，画出这个相似三角形即可解决问题． 【详解】图中所有与相似的格点三角形中，最大的如图所示：   ． 故答案为：4． 【题型6 相似三角形——动点问题】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设点移动的时间为，由题意得，，，然后求出，再分当时，当时两种情况分析即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设点移动的时间为，由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， ∴，解得：，此时符合题意； 当时， ∴， ∴，解得：，此时不符合题意； 综上可得：， 故选：． 自我练习 【练习1】（24-25 九年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正确分四种情况讨论是解题关键．设运动时间为，先分别求出，，，再分四种情况：①，②，③，④，利用相似三角形的性质分别建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得：，， ， ，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ①当时， 则，即， 解得，符合题意； ②当时， 则，即， 解得，符合题意； ③当时， 则，即， 解得，符合题意； ④当时， 则，即， 解得，符合题意； 综上，运动时间为或， 故选：C． 【练习2】（2024·湖南·模拟预测）如图，中，，已知，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，动点Q从点A出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，分两种情况讨论，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵，，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 解得：， 如图，当时， ∴， ∴， 解得：， 综上：当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为或． 故答案为：或 【练习3】（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当 时，与相似． 【答案】1或4 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．直接利用或，分别得出答案． 【详解】解：，点P是边的中点， ， 当时， 则， ， 解得：； 当时， 则， ， 解得：； 综上所述：当或4时，与相似． 故答案为：1或4． 【题型7 重心的有关性质】 经典例题 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，中，是中线，是上一点，作射线，交于点，若，则（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】本题考查三角形重心的性质，根据是中线，可知点为的重心，从而可知F是的中点，从而得到答案． 【详解】解：是中线，， 点为的重心， 为边上的中线， ． 故选：C． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知G为的重心，且，，连结交于点D，则的面积是 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查重心的定义与性质，根据重心是三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为求解即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，， ∴，， ∵且，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【练习2】（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知等边三角形的边长为6，该三角形的重心到其中一个顶点的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的重心，由等边三角形的性质推出，由勾股定理求出，由三角形重心的性质求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，等边中，是中线，边长是6，G是的重心， 是等边三角形，是中线， ， ， ， 是的重心， ， 三角形的重心到其中一个顶点的距离为 故答案为：． 【练习3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，G为的重心，，，则 ． 【答案】 【分析】题目主要考查重心的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 延长交于点H，根据重心的性质得到，根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：延长交于点H，如图所示： ∵G为的重心， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型8 利用相似三角形测高】 经典例题 【例1】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，某仓库阳光从窗户射入照到地面上，垂直地面的窗户边框在地面上的影长，窗户下檐到地面的距离，那么窗户的高为（　　）m． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键． 根据题意可得：，然后证明A字模型相似，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， ∴， ∴， 解得：， ∴窗户的高为， 故选：D． 自我练习 【练习1】（24-25八年级下·江苏·阶段练习）如图，小东用长为3.2m的竹竿作测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（　　）   A．12m B．10m C．8m D．7m 【答案】A 【分析】由BE∥CD得，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵BE∥CD， ∴， ∴，即， 解得：CD=12． ∴旗杆的高为12m． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，属于基础题. 【练习2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）贺哲同学的身高1.86米，影子长3米，同一时刻金老师的影子长2.7米，则金老师的身高为 米（结果保留两位小数）。 【答案】1.67 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 【详解】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设金老师的高度为xm， 则， 解得x=1.67． 故答案为：1.67． 【点睛】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力． 【练习3】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）早在西汉时期，我国天文学家就提出了一种测量日高的公式——“重差术”．如图，用长度为的杆子（“表”）在间距为的两个地点测日影，测得影长分别为、，用这种方式计算出的日高公式 ．（用、、、的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据，，即：，可得，同理，可得，即：，则有，问题随之得解． 【详解】如图， 根据题意有：，，，，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 同理， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型9 相似三角形实际应用】 经典例题 【例1】（2024·广东清远·一模）如图，在水平桌面上的两个“”均垂直于桌面，，，在一条直线上．若，，号“”的测试距离，则号“”的测试距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键，根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， 解得：． 故选：C． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）网球比赛时，发球往往是制胜的关键．如图，小军在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，根据球网和击球时球拍垂直线段平行即可知，，根据其相似比即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 即， ∴． 故选：B． 【练习2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【练习3】（24-25九年级上·全国·期末）如图，为测量电视塔的高度（包括台阶高），小亮在自己与电视塔之间竖立一根高的标杆（即 ）．当他距标杆时（即点 处），塔尖 、标杆的顶端 与小亮的眼睛 恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆与电视塔之间的距离是，则电视塔的高度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质和判定，过点F作，交于G，交于H，根据相似三角形的判定可以得到； 根据相似三角形的对应边成比例，可以求出的长度，结合人的身高，可以得到电视塔的高度. 【详解】解：过点F作，交于G，交于H，如下图， 由题意可知：， ∴， ∴，即， 解得：. 所以(米). 故答案为：. 【题型10 相似三角形的综合问题】 经典例题 【例1】（2024·陕西西安·二模）如图，中，，，，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点．若是以GF为斜边的等腰直角三角形．则此时PC长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意补全图形，判定△FPC是等腰直角三角形及△AFG∽△ABC，从而得比例式，设CP=CF=x，将相关线段的值或含x的代数式代入比例式，求解即可． 【详解】解：依题意补全图形，如图： 由题可知，GF⊥AC，△GFP是以GF为斜边的等腰直角三角形， 在Rt△ABC中，BC⊥AC， ∴GF∥BC， ∴∠GFP=∠FPC=45°， ∵∠C=90°， ∴∠PFC=∠FPC=45°， ∴△FPC是等腰直角三角形， 设CP=CF=x，则， ∵AC=3， ∴AF=3-x， ∵GF∥BC， ∴△AFG∽△ABC， ∴，即， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的判定与性质，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 自我练习 【练习1】（23-24九年级上·广东佛山·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的应用问题，证明，得到，求出的长即可得到答案，熟练运用相似三角形的性质与判定是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：里，里，里， 如图， ，，，经过点， ，， ，， ， ， 里，里，里， ， 里， 1里步， 步， 出南门315步而见木， 故选：D． 【练习2】（2024·湖南张家界·一模）如图，点O是△ABC内一点，分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD，若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是 ． 【答案】24 【分析】证明△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质得到，再证明△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵AD＝2OA，BE＝2OB， ∴，， ∴， ∵∠AOB＝∠DOE， ∴△AOB∽△DOE， ∴， 同理可得，，， ∴， ∴△ABC∽△DEF， ∴（）2，即， ∴S△DEF＝27， ∴阴影部分的面积＝27﹣3＝24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【练习3】 （20-21九年级上·安徽合肥·期末）如图，正方形ABCD中，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，AC与DF交于点N． （1）当AB＝4时，AN＝ ． （2）S△ANF：S四边形CNFB＝ ．（S表示面积） 【答案】 1∶11 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可． （2）设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出，△AFN∽△CDN，推出△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，由此即可得S四边形CNFB=11m，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AB=CD ∴， ∵AF：FB＝1：2， ∴AF：AB＝AF：CD＝1：3， ∴， ∴， ∵ACAB， ∴， ∴ANAB； ∵AB=4 ∴AN= 故答案为； （2）设△ANF的面积为m， ∵AF∥CD， ∴，△AFN∽△CDN， ∴△AFN和△CDN高的比= ∴△AFN和△ADN高的比= ∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m， ∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m， ∴S△ANF：S四边形CNFB＝1：11， 【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题． 【强化训练1 相似三角形相关线段关系问题】 经典例题 【例1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，对角线相交于点O，点E为线段上一点，过点E作交于点F，则下列关系不一定成立的（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，由，得到，可判断A选项不符合题意，D选项符合题意；证明，可判断BC选项不符合题意，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，即，故A选项不符合题意，D选项符合题意； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，故BC选项不符合题意， 故选：D． 自我练习 【练习1】（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，在中，，于点，下列关系中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求证，，，相应得出相关线段的数量关系；由勾股定理，可得中，，中，，于是，从而可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴，故A正确，不符合题意； ∵，， ∴ 又 ∴ ∴ ∴，故B正确，不符合题意； 中，，中，， ∴，故D正确，不符合题意． ∵， ∴ ∴ ∵，故C错误，符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据相似三角形得出线段间的数量关系是解题的关键． 【练习2】（23-24九年级上·河南周口·期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．如图，在中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连接，射线与射线交于点，若与互为母子三角形，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，分两种情况：当分别在线段上时；当分别在射线上时；利用相似三角形的判定与性质进行求解即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：①如图，当分别在线段上时， ∵与互为母子三角形， ∴， ∴， 是中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴，， ∴； ②如图2，当分别在射线上时， ∵与互为母子三角形， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的值为2或， 故答案为：2或． 【练习3】（24-25九年级上·北京·期末）如图1，在和中，，，， ，，将绕点A在平面内顺时针旋转，连接，． (1)求证：； (2)请判断线段和的关系，并说明理由； (3)当点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段的长； 【答案】(1)证明见解析 (2)；；理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． （1）证明，，即可求解； （2）由，得到，进而求解； （3）由（1）知，，①当B、E、D三点共线时，如图1，求出，得到，即可求解；②当B、D、E共线时，如图2，同理可解． 【详解】（1）证明：设直线交于点M，直线交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：在中，则 由（1）知，， ∴， 则； ①当B、E、D三点共线时，如图， 过点A作于点H， 在中，，则， 在中，， 则， 则； ②当B、D、E共线时，如图， 过点A作交于点H， 在中，，则， 在中，，则， 在中，， 则， 则， ∵， 即； 综上，或 【强化训练2 相似三角形相关翻折类问题】 经典例题 【例1】（2024·四川达州·模拟预测）如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、都落在点处，且点、、在同一条直线上，点、、在另一条直线上．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，由折叠的性质可得：，，再证明，即可得出，即可判断①；同理可得：，得出，设，则，，求出即可判断②；证明，再由相似三角形的性质即可判断③；由相似三角形的性质可得，求出，即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 同理可得：， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 自我练习 【练习1】（24-25 九年级上·浙江宁波·期末）如图，点是的边上一点，将沿翻折，点落在点处，与相交于点，若，，，则的长是（    ） A．8 B．8.5 C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质等知识．由翻折得，，证明，得出，得出，，推出，整理得，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的长是8， 故选：A． 【练习2】（2025·九年级上·浙江宁波·竞赛）如图，点，是正两边上的点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，当时，的值是 ． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，根据相似三角形的性质得到，设，则，解方程组即可得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【练习3】（2025·湖北·三模）如图，在中，，点D在边上，连接，将沿翻折，点A恰好落在的中点E处，过点C作于点F，交于点G．若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、三角形相似的判定与性质、折叠的性质，掌握相关知识是解题的关键．过点D作于点N，作于点M，根据已知条件与折叠的性质易得四边形为正方形，由此可证得，设，则，利用相似比即可求解出a的值，再证得即可求解出的长度． 【详解】如图，过点D作于点N，作于点M， 因为沿翻折后与重合， 所以平分，，则， 易证四边形为正方形， 设，则， 因为，所以，则，即， 解得，即， 所以，， 易证，则，即， 所以，则． 【强化训练3 相似三角形相关尺规作图问题】 经典例题 【例1】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）在中，，用直尺和圆规在上确定点F，根据作图痕迹判断，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，相似三角形的判定与性质；由作图可得，即可得出，再由相似三角形的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：， ∴， ∵， ∴，，故D错误； ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵，， ∴， ∴， 即，， 故A、C错误； 故选：B． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，用直尺和圆规在上确定点，具体操作过程是：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 根据直尺和圆规在上确定点的步骤可知，再根据角度的关系可判定与相似，与相似，由此可判断选项． 【详解】解：由题意可知，， 即， ∵， ∴，， ∴，故选项D错误； 在与中， ， ∴， ∴，即，故选项A正确； ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，即，故B选项错误； 在中，， ∵，故C选项错误． 故选：A ． 【练习2】（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在边长为的正方形网格中，点，均在格点上．请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以为边的矩形，使其面积为，并简要说明点，的位置是如何找到的（不用证明）： ． 【答案】根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到与的乘积为，从而可以得到点和点 【分析】本题主要考查作图—复杂作图、勾股定理、矩形的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，明确题意、掌握数形结合的思想是解答本题的关键． 根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到与的乘积为，从而可以得到点和点，即可确定矩形；然后运用相似三角形说明理由即可． 【详解】解：如图，根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到与的乘积为，从而可以得到点和点， 理由：由网格可知：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形符合题意， 故答案为：根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到与的乘积为，从而可以得到点和点． 【练习3】（2025·天津·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A、C、D均为格点，延长交格线于点B，连接， 以线段为直径作半圆． （Ⅰ）线段的长等于 ． （Ⅱ）在半圆上找一点 P，使得，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点P，并简要说明点P 的位置是如何找到的 ．（不要求证明） 【答案】 见解析；找一点Q，使得，且两者是平移关系 【分析】本题主要考查三角形的相似、勾股定理，掌握三角形的相似性质并进行正确作图是解题的关键． （Ⅰ）根据勾股定理即可求解； （Ⅱ）根据相似的性质作图即可． 【详解】解：（Ⅰ）由题意可得，， 故答案为： （Ⅱ）解：作法：取格点F，连接与圆交于点G，可知点G在的延长线上，取格点M、N，交格线I，连接，再延长，与网格线交于点H，取格点T，连接，与交于点Q，连接，与圆交于点P，则点P即为所求， 证明：由作法可得：，且两者是平移关系， ， ， ， ． 【强化训练4 相似三角形相关函数问题】 经典例题 【例1】（2025·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，以为边，在x轴上方作正方形，动点P从点A出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．线段交于点M．设点P运动时间为t秒，的面积为S，则S关于t的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积公式，由题意可得，，，证明，由相似三角形的性质求出，最后由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 自我练习 【练习1】（2025·河南驻马店·三模）如图1所示，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径运动，当点P到达点D时停止运动．过点P作，交于点Q，设点P运动的路程为x，，已知y关于x的函数图象如图2所示，当时，x的值为（    ）      A． B．4 C． D．4.5 【答案】B 【分析】本题考查动点的函数图象问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，由图象可知，分点在上和点在上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：由图象可知，当点与点重合时，此时点与点重合，， 当点与点重合时，此时点与点重合，此时，，即：， 当点与点重合时，，故， ①当点在上时，此时四边形为矩形， ∴， ∴当时，即：， ∴， ②当点在上时，如图： ∵矩形， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当，即：时，， 解得：； 故选B． 【练习2】（2025·河南郑州·三模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”如图，根据使用时安放的位置测定物体的高低远近及大小，把“矩”放置在如图工具的厚度不计所示的位置，令，若，，，则y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的判定与性质计算即可． 【详解】解：，， ∴， ∽， ， ，，，， ，，，， ， 关于x的函数解析式为， 故答案为： 【练习3】（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，与的函数图象如图2所示．当恰好平分时的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点，关键是证明． 根据函数图象可得，作的平分线，由可得，进而得到，由相似三角形的性质求出的长，进而求解即可． 【详解】解：如图，作的平分线， 由图2可得， ，， ， 平分， ， ，， ， ，， ， （负值舍去） ． 故答案为：． 【强化训练5 相似三角形应用之灯光下的测量问题】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，身高的小利（）站在距路灯杆的C点处，测得她在灯光下的影长为，则路灯的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，证明，列出比例式计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选A． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，小杰从灯杆的底部点B 处沿水平直线前进到达点C 处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B 处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（     ） A．3.5米 B．4.5米 C．5 米 D．5.5 米 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论． 【详解】解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G， 根据题意得到， ， ， ， ， ， 米， ， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是3.5米， 故选：A． 【练习2】（24-25九年级上·四川成都·期中）在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在水平地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在射段上，，三点共线）．若两人的身高均为，他们相距，灯光下的影子长分别为和，则灯泡的高度为 m． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图， ，，， ， ，， ，， ，，，， ， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【练习3】（24-25九年级上·山东济南·期末）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走到达点D处，测得影子长是，则路灯灯泡A离地面的高度为 m． 【答案】6.4 【分析】由，，得到，推出，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 又 ∴， 解得：， 所以，路灯灯泡A离地面的高度为， 故答案为：6.4． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，平行线的判定，证得是解题的关键． 【强化训练6 相似三角形应用之利用标杆进行测量】 经典例题 【例1】（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．根据，可得，从而得到，进而得到，再由比例的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，，，， ∴． 故选：A 自我练习 【练习1】（24-25九年级下·浙江杭州·自主招生）如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知在路灯光下的影长分别为．则标杆的影长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影；中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．解决本题的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质． 如图，为路灯的高，设，先证明，得到①，再证明，得到②，则，可解得，所以，，然后证明，得到，再利用比例性质求出即可． 【详解】解：如图，为路灯的高，设， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②，   由①②得即，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 即：标杆的影长为． 故选C． 【练习2】（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，．则建筑物的高为 m． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的应用， 根据题意可得：，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴建筑物的高为， 故答案为：6． 【练习3】（2024·山东潍坊·二模）清代《数理精蕴》中记录了一种测量底部不能到达的塔高的方法．翻译为“如图所示，先立一根长为6尺的标杆，量得影长尺，在同一时间将塔影所到之处作一记号．在同一时刻量得标杆影长尺，塔影比先前所记处长尺”则塔高 尺．    【答案】48 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，根据题意可得，则由相似三角形的性质可得，设尺，尺，则尺，再由得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 设尺，尺，则尺， 由题意得，， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴尺， 故答案为：48． 【强化训练7 相似三角形应用之利用镜子进行测量】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，三角形相似的判定和性质，光的反射定理，正确利用三角形相似解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：D． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得，小明身高，则凉亭的高度约为（      ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质求出的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴凉亭的高度约为， 故选：C． 【练习2】（2024·山西晋中·模拟预测）普救寺位于山西省运城市永济市蒲州古城内，是我国历史名剧《西厢记》故事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑.其中，最著名的便是莺莺塔（如图1）．数学兴趣小组根据光的反射定律（如图2），把一面镜子放在离古塔（）的点P处，然后观测者沿着直线后退到点B处．这时恰好在镜子里看到塔顶端D，量得，已知观测者目高，那么该古塔（）的高度是 m． 【答案】36 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，由反射角等于入射角可知，， 由题意可知，，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：36． 【练习3】（24-25九年级上·河南郑州·期末）中国是礼仪之邦．从西四环下高速时，小明看到高新区的门户——“礼仪之门”这个雕塑，他想利用所学的数学知识测量它的高度．他在点C处放一镜子，并作一标记，来回走动，走到点D时，看到“礼仪之门”顶点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小明眼睛与地面的高度米，米．然后，小明从点D沿DH方向走了19米，到达“礼仪之门”影子的末端G处，此时，测得小明身高米，影长米，则“礼仪之门”的高AB为 米． 【答案】// 【分析】设米，根据题意利用，列出比例式表示出，进而根据，列出比例式代入数据，解方程求解即可． 【详解】解：设，根据题意， 又 米，米 ，米，米， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意找到相似三角形列出比例式是解题的关键． 【强化训练8 相似三角形应用之光学成像相关测量问题】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，光源在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，，点到的距离是，则离地面的距离为　　．    A．2.1 B．2 C．1.8 D．1.6 【答案】C 【详解】【考点】相似三角形性质． ， ， ，， ， 点到的距离是，设离地面的距离为：， ， 解得：， 故选：． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距，像距．若像的高度是m，则物体的高度AB为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出进而根据列出比例式，代入数据，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵，．， ∴， ∴物体的高度为． 故选：C． 【练习2】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，平面直角坐标系中，一点光源位于，线段BC的两个端点坐标分别为与，则线段在x轴上的影子的长度为 ． 【答案】4 【分析】过A作，交的延长线于D，可知，运用相似三角形的性质即可求解． 【详解】如图：过A作，交的延长线于D， 由题意可知： ， 即：，，， 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例及相似三角形的性质；灵活运用平行线分线段成比例是解题的关键． 【练习3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子， 的长度和为，那么灯泡离地面的高度为 ． 【答案】140 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，注意运用相似三角形对应高的比等于相似比这个性质． 根据相似三角形的判定可得，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度 【详解】解：如图， ∵ ，． ∴， 根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得 ， ， 解得． 灯泡离地面的高度为； 故答案为：140． 【强化训练9 相似三角形应用之利用视线进行测量】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·福建三明·期中）如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为（   ） A．4米 B．3米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】先证明，则可得，即可求解． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解： ，， ， ， ，，， ， ， (米)． 故选：B 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·河南南阳·期中）为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据垂直定义可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【练习2】（2025九年级·湖南·学业考试）《九章算术》中有一测井深的问题：今有井径5尺，不知其深，立5尺木于井上，从木末梢，入径4寸，问井深几何？今译为：如图所示，有一口水井，井口直径为5尺，现竖立一根5尺长的木杆在井口，视线交井口于点E，入经的长为4寸，则水面距井口距离为 寸．（注：1尺寸） 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意正确画出图形并证明是解题的关键． 先根据题意画出图形，再证明，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：如图： ∵井口直径为5尺， ∴尺寸， ∵寸， ∴寸， ∵竖立一根5尺长的木杆在井口， ∴尺寸， ∵， ∴， ∴，即，解得寸． 故答案为：． 【练习3】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，小华站在楼的底端A处，眺望楼的顶端D，发现视线与水平线的夹角为α；然后，小华保持身体姿势不变转身后退，当退到点F处时，发现视线与水平线的夹角也为α．已知点F恰好为的中点，点M在上，，，，，楼的高度为7米，小华眼睛距离地面的高度米，根据以上数据计算出大楼的高度为 米．    【答案】 【分析】由题意得出，得出，利用相似三角形的性质求出的长度，即可求出大楼的高度． 【详解】如图，延长交于点N，    由题意得：米，， ，， ∴， ∴， ∵米， ∴（米） ∴， 解得：， ∴（米）， 答：大楼的高度为米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与相似三角形对应边成比例是解决问题的关键． 选择题 1．（24-25九年级上·浙江·期中）《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，根据比例的性质可得，即，由于规定为单位线段1，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵规定为单位线段1， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，比例的性质，读懂题意，正确使用比例的性质是解题的关键． 2．（2024·湖北·一模）如图所示，在边长为的正方形中，有一个小正方形，其中点分别在线段上，若，则小正方形的边长为（   ） A．6 B．5 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理． 先证明，得出，即可求出的长，用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题得， ，， ， ， ， ， ，，， ， ． 故选：C． 3．（24-25九年级上·山西长治·期末）下列四个1×5的正方形网格中，均有两个涂色的三角形，其中在同一网格中的两个三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，理解并掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形网格的特点和勾股定理，计算出对应的角度或者边长即可判定相似三角形． 【详解】解：．由图可知，两个三角形中都有一个的夹角，且该角的两边比例为，那么，两个涂色的三角形相似，该选项正确，符合题意； ．第一个三角形为等腰三角形，且边长为，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； ．第一个三角形三边长为1，和，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； ．第一个三角形三边长为1，2和，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为．则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定和性质．根据重心的特性作出辅助线是解决问题的关键． 根据为重心确定为中位线，再根据为重心确定，最后证明相似利用比例关系求线段的长度即可． 【详解】解：为重心， 直线经过中点， 为重心， 直线经过中点， 直线和直线交于中点处， 连结，并延长，交于一点，连结，如图所示， 是的重心， ， ， P，Q分别是和的重心， ， ∴ ， ， ， ，， ， ． 故选：C． 5．（2024·河北沧州·一模）如图，中，，是中线， 是上一点，作射线，交于点，若，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，交于点，则有，根据 ，，可得，，再根据是边上的中线，得到，；根据可得，则，化简即可得到结果． 【详解】解：如图，作，交于点， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ ∵是边上的中线， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 则． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟悉相关性质是解题的关键． 填空题 6．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理以及相似三角形的性质．过点作，交于点，交于点，构造平行四边形，求得，利用，得到，根据相似三角形的性质求出的长度，最后由即可得出结论． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， ， 四边形，均为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 ．    【答案】（2，0）或（，0） 【分析】设P（x，0），可表示出AP的长，分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点的坐标． 【详解】解：∵A（4，0）和B点（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， ∵C是AB的中点， ∴AC=2.5， 设P（x，0）， 由题意可知点P在点A的左侧， ∴AP=4﹣x， ∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似， ∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB两种情况， 当△APC∽△AOB时，则，即，解得x=2， ∴P（2，0）； 当△ACP∽△AOB时，则，即，解得x=， ∴P（，0）； 综上可知P点坐标为（2，0）或（，0）． 故答案为：（2，0）或（，0）． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 8．（24-25九年级上·山东济南·期中）中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，如图所示是中国象棋的棋盘（各个小正方形的边长均相等），根据“马走日”的规则，“马”应该落在位置 处，能使“马”，“炮”，“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”，“车”，“相”所在位置的格点构成的三角形相似． 【答案】② 【分析】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，确定“帅”、“车”“相”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可； 【详解】解：由图可知：“帅”、“车”、“相”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为4，2，， “兵”、“炮”之间的距离为2， “炮”与②之间的距离为1，“兵”与②之间的距离为， 马应该落在②的位置， 故答案为：②． 9．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，．点O为边中点，点P为线段上一动点．将沿折叠，点A的对应点为，直线与线段交于点Q．当与相似时，线段的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理．分情况求解是解题的关键． 由题意知，当与相似时，分，，，三种情况求解作答即可． 【详解】解：∵，点为边中点， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠的性质可知，，， 当时，如图1， 当与相似时，， ∴，此时不成立，舍去； 当时，如图2，三点重合，此时，为的中点， ∴； 当时，如图： 此时点与点重合，点与点重合， 此时 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，线段的长为3或， 故答案为：3或． 10．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后成的像为．光路图如图所示；经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，那么像与透镜之间的距离的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键；根据题意可得，，，，，从而可得，，然后证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，再证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，即可解答； 【详解】解：，，，， ，， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ∴ 像与透镜之间的距离的长为12， 故答案为：． 解析题 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 【答案】(1)这四条线段是成比例线段 (2)有，这四条线段是成比例线段．理由见解析 【分析】根据可得，根据比例线段的概念即可判断； 类似上述同样的方法判断与是否成比例即可. 【详解】解：这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 即这四条线段是成比例线段． 示例：这四条线段是成比例线段． 在Rt中，， 由勾股定理，得， 由（1）可知， ． 在Rt中，， 由勾股定理，得， ， ， 即这四条线段是成比例线段． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握直角三角形面积的不同表达式及比例线段的概念. 12．（24-25 九年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 (1)求证： (2)当时，求的长 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答． （1）根据相似三角形的判定得出，得出，进而证明，再利用相似三角形的性质证明即可； （2）根据相似三角形的性质得出有关图形之比，进而解答即可． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵ ∴， 即， ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点在轴上， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 14．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 【答案】(1)当的值为时，； (2)当的值为或时，与相似． 【分析】本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长度，，，再根据题意列出代数式求解即可； （2）利用相似三角形的性质，分和两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点，， ∴，， ； 由题意，，则， 由题意则有：， 解得， 当时，； （2）解：∵是公共角， ∴①当时，， ∴， 即， 解得； ②当时，， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 15.（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）学科实践--测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯、国旗杆的高度．活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具． 方案设计及问题解决（图中各点均在同一竖直平面内）： (1)笃行组进行路灯测量（如图1），在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过．测量数据：米，米．计算图1中路灯的高度． (2)缜密组想直接用笃行组的方法进行图2中国旗杆高度的测量，操作中发现：由于国旗杆底部台阶影响，无法测得线段的长，因此不能求得国旗杆高度．于是对笃行组的方案作出补充：在如图2中仍先直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A，测得线段米；再直立一根同样高度的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A．并测得米，计算国旗杆的高度． 【答案】(1)路灯的高度为5.8米 (2)米 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和应用．解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． （1）根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求的长度； （2）首先根据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据又米，米，，可得，等量代换可得，整理可得． 【详解】（1）解：， ， ， 米，米，米， 米， ， 解得：米； （2）解： ， ， ， 又米，米， ， 整理得：， ， ， ， 又米，米，， ， ， 解得：． 即国旗杆的高度为米． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 相似三角形的性质及应用同步精讲精练【课前故事+4大知识点+10大基础题型+9大强化训练+课后练习】 小明的“旗杆身高”大挑战 周一的数学课代表小明，一进教室就被班长拦住了：“小明，总务处老师让咱们帮忙测一下操场旗杆的高度，下周运动会要挂国旗，得知道旗杆多高才好选绳子呢！” 小明盯着操场那头直直的旗杆，犯了难：“这旗杆比教学楼还高，咱们又没有梯子，怎么量啊？总不能爬上去吧！”他蹲在旗杆底下，盯着地面上旗杆长长的影子发呆——阳光把旗杆的影子拉得老长，连带着自己的影子也跟在脚边，像个小尾巴。 这时数学老师李老师提着教具路过，看到小明愁眉苦脸的样子，笑着递给他一根1米长的小木棍：“试试这个？咱们不用爬高，也能算出旗杆的高度。” 小明接过木棍，一脸疑惑：“一根小木棍怎么测旗杆？它才1米，旗杆起码有十几米吧！” “你先把木棍竖直插在旗杆旁边的空地上，”李老师引导着，“然后测测木棍的高度、木棍影子的长度，再测测旗杆影子的长度，记下来看看有没有规律。” 小明立刻拉着同桌动手：他把木棍稳稳插在地上，用尺子量了量，木棍高正好1米；接着量木棍的影子，太阳当头照，影子长0.8米；然后两人拉着卷尺，从旗杆底部走到影子顶端，足足有12米！ “老师，数据出来了：木棍高1米，影长0.8米；旗杆影长12米，那旗杆高多少啊？”小明拿着本子算了起来，“1米对应0.8米影长，那1米影长对应多少高度呢？是不是旗杆高度和影长的比，跟木棍高度和影长的比一样啊？” 李老师点点头：“你观察得很仔细！你看，太阳光线照到木棍上，和照到旗杆上，是不是平行的？”小明抬头看了看天，阳光洒下来没什么角度变化，使劲点头。“那木棍和地面垂直，旗杆也和地面垂直，这样一来，木棍、木棍的影子、阳光，就组成了一个小直角三角形；旗杆、旗杆的影子、阳光，组成了一个大直角三角形。这两个三角形，是不是长得很像？” 小明拿着木棍和影子比划了一下，突然眼睛亮了：“哦！它们的角都一样！小三角形的直角和大三角形的直角相等，阳光的角度也一样，那第三个角肯定也相等！” “没错！”李老师笑着说，“这种‘角角相等、形状相似’的三角形，就是咱们今天要学的‘相似三角形’。你再算算，按照刚才的比例，旗杆到底有多高？” 小明赶紧在本子上写：1米（木棍高）:0.8米（木棍影长）=旗杆高：12米（旗杆影长），算着算着突然拍手：“算出来了！旗杆高15米！” 可他转念又问：“老师，为什么‘长得像’的三角形，高度和影长就能成比例呀？要是换个时间，影子变短了，这个方法还能用吗？” 思考问题 小明用1米的木棍和12米的旗杆影子，算出了旗杆高度，靠的是“小三角形和大三角形长得像”，这里的“长得像”，其实是三角形的什么特点在起作用？ 为什么太阳光线平行时，木棍和旗杆各自组成的直角三角形会“相似”？它们的角有什么特殊关系吗？ 如果下午放学时再测，木棍影长变成了1.2米，旗杆影长变成了18米，你还能算出旗杆高度吗？这说明相似三角形的“比例关系”有什么特点？ 【题型1 证明三角形的对应线段成比例】 5 【题型2 利用相似三角形的性质求解】 6 【题型3 相似三角形的判定与性质综合】 6 【题型4 利用相似求坐标】 7 【题型5 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 8 【题型6 相似三角形——动点问题】 10 【题型7 重心的有关性质】 11 【题型8 利用相似三角形测高】 12 【题型9 相似三角形实际应用】 13 【题型10 相似三角形的综合问题】 14 【强化训练1 相似三角形相关线段关系问题】 15 【强化训练2 相似三角形相关翻折类问题】 17 【强化训练3 相似三角形相关尺规作图问题】 18 【强化训练4 相似三角形相关函数问题】 19 【强化训练5 相似三角形应用之灯光下的测量问题】 21 【强化训练6 相似三角形应用之利用标杆进行测量】 22 【强化训练7 相似三角形应用之利用镜子进行测量】 23 【强化训练8 相似三角形应用之光学成像相关测量问题】 24 【强化训练9 相似三角形应用之利用视线进行测量】 26 相似三角形的性质及应用重点知识点梳理汇总及例题精讲（带解析） 知识点1 相似三角形的基本定义与核心性质 重点内容 1. 相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，对应边的比叫做相似比（用 k 表示）。 2. 核心前提性质：相似三角形的对应角相等（若△ABC∽△A'B'C'，则∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'），是推导后续线段比、周长比、面积比的逻辑基础。 3. 相似比的几何意义：相似比 k 既表示对应边的比值，也决定了相似三角形所有 “对应关联线段”（高、中线、角平分线等）的比值。 例题精讲 1．（24-25 九年级上・江苏南京・期中）已知△ABC∽△DEF，∠A=50°，∠B=70°，则∠F 的度数为（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的基本性质（对应角相等），解题关键是明确对应角的对应关系。先根据三角形内角和求出△ABC 中∠C 的度数，再利用相似三角形对应角相等求出∠F。 【详解】解：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°，∵∠A=50°，∠B=70°，∴∠C=180°-50°-70°=60°。 又∵△ABC∽△DEF，根据 “相似三角形对应角相等”，∠F 与∠C 是对应角，∴∠F=∠C=60°。 故选：B． 知识点2 相似三角形中对应高、角平分线、中线的比 重点内容 1. 相似三角形对应高的比等于相似比。 2. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比。 3. 相似三角形对应中线的比等于相似比。 总结：相似三角形中线段的比等于相似比。 例题精讲 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）已知，是的中线，是的中线，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．由，是的中线，是的中线，得到，结合，即可求解． 【详解】解：，是的中线，是的中线， ， ， ． 故选：C． 知识点3 相似三角形的周长比、面积比 重点内容 1. 相似三角形的周长比等于相似比． 2. 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 例题精讲 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知，，，，若的最长边为16，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得到和的相似比，即可得出答案，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，的最长边为16， ∴和的相似比， ∴， 故选：B． 知识点4 相似三角形的应用 重点内容 1. 利用影长测量物体的高度 ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决； ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长，再计算出被测量物的长度. 2. 利用相似测量河的宽度(测量距离) ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上,必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形； ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度. 3. 借助标杆或直尺测量物体的高度 利用杆或直测量物体的高度就是利用杆或直尺的高(长)作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度. 例题精讲 3．（24-25九年级上·福建泉州·期末）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，得，得到，代入计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 【题型1 证明三角形的对应线段成比例】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 自我练习 【练习1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在中，点、分别在、上，，点在上，与交于点，则下列结论中错误的是（    ）. A． B． C． D． 【练习2】（2024·四川自贡·一模）如图，在Rt中，，，，以点为圆心，2为半径的圆与交于点，过点作交于点．点是边上的动点．当最小时，的长为 ． 【练习3】（2024九年级·山东枣庄·学业考试）如图，在中，若，，，则的长为 .    【题型2 利用相似三角形的性质求解】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·陕西·阶段练习）如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，当与相似时，长为（    ） A．4 B．1 C．1或4 D．2 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，、都是的垂线，，，．是上一点，连接、，所得两个三角形相似，则的长是（   ） A．2 B． C．2或12 D．上述各个值都有可能 【练习2】（2025·上海青浦·模拟预测）的三边长为4、5、6，与相似且的最长边是24，则的周长为 ，两三角形的相似比是 ． 【练习3】（25-26九年级上·上海·阶段练习）两个相似三角形对应中线之比是，它们的面积差是，则较大三角形的面积是 ． 【题型3 相似三角形的判定与性质综合】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，由5个同样大小的正方形合成一个矩形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（2024·海南海口·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【练习2】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，，AF与BE相交于点G，且，，，那么 ． 【练习3】（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，点D，E分别在边上，，那么 ． 【题型4 利用相似求坐标】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 自我练习 【练习1】（24-25 九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 【练习2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是 ． 【练习3】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【题型5 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列的正方形网格中，小正方形的边长均为，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（   ） A． B． C． D． 【练习2】（24-25九年级上·上海·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 【练习3】（24-25九年级上·上海长宁·期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 ．    【题型6 相似三角形——动点问题】 经典例题 【例1】（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为．当点移动到点时，点也随之停止移动．若和相似，则点移动的时间为（   ） A． B． C．或 D．或 自我练习 【练习1】（24-25 九年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 【练习2】（2024·湖南·模拟预测）如图，中，，已知，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，动点Q从点A出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为 ． 【练习3】（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当 时，与相似． 【题型7 重心的有关性质】 经典例题 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，中，是中线，是上一点，作射线，交于点，若，则（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知G为的重心，且，，连结交于点D，则的面积是 （  ） A． B． C． D． 【练习2】（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知等边三角形的边长为6，该三角形的重心到其中一个顶点的距离为 ． 【练习3】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，G为的重心，，，则 ． 【题型8 利用相似三角形测高】 经典例题 【例1】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，某仓库阳光从窗户射入照到地面上，垂直地面的窗户边框在地面上的影长，窗户下檐到地面的距离，那么窗户的高为（　　）m． A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（24-25八年级下·江苏·阶段练习）如图，小东用长为3.2m的竹竿作测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（　　）   A．12m B．10m C．8m D．7m 【练习2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）贺哲同学的身高1.86米，影子长3米，同一时刻金老师的影子长2.7米，则金老师的身高为 米（结果保留两位小数）。 【练习3】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）早在西汉时期，我国天文学家就提出了一种测量日高的公式——“重差术”．如图，用长度为的杆子（“表”）在间距为的两个地点测日影，测得影长分别为、，用这种方式计算出的日高公式 ．（用、、、的代数式表示） 【题型9 相似三角形实际应用】 经典例题 【例1】（2024·广东清远·一模）如图，在水平桌面上的两个“”均垂直于桌面，，，在一条直线上．若，，号“”的测试距离，则号“”的测试距离为（    ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）网球比赛时，发球往往是制胜的关键．如图，小军在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h应为（   ） A． B． C． D． 【练习2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 【练习3】（24-25九年级上·全国·期末）如图，为测量电视塔的高度（包括台阶高），小亮在自己与电视塔之间竖立一根高的标杆（即 ）．当他距标杆时（即点 处），塔尖 、标杆的顶端 与小亮的眼睛 恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆与电视塔之间的距离是，则电视塔的高度是 ． 【题型10 相似三角形的综合问题】 经典例题 【例1】（2024·陕西西安·二模）如图，中，，，，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点．若是以GF为斜边的等腰直角三角形．则此时PC长为（    ）． A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（23-24九年级上·广东佛山·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 【练习2】（2024·湖南张家界·一模）如图，点O是△ABC内一点，分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD，若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是 ． 【练习3】 （20-21九年级上·安徽合肥·期末）如图，正方形ABCD中，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，AC与DF交于点N． （1）当AB＝4时，AN＝ ． （2）S△ANF：S四边形CNFB＝ ．（S表示面积） 【强化训练1 相似三角形相关线段关系问题】 经典例题 【例1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，对角线相交于点O，点E为线段上一点，过点E作交于点F，则下列关系不一定成立的（   ）． A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，在中，，于点，下列关系中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【练习2】（23-24九年级上·河南周口·期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．如图，在中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连接，射线与射线交于点，若与互为母子三角形，则的值为 ． 【练习3】（24-25九年级上·北京·期末）如图1，在和中，，，， ，，将绕点A在平面内顺时针旋转，连接，． (1)求证：； (2)请判断线段和的关系，并说明理由； (3)当点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段的长； 【强化训练2 相似三角形相关翻折类问题】 经典例题 【例1】（2024·四川达州·模拟预测）如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、都落在点处，且点、、在同一条直线上，点、、在另一条直线上．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 自我练习 【练习1】（24-25 九年级上·浙江宁波·期末）如图，点是的边上一点，将沿翻折，点落在点处，与相交于点，若，，，则的长是（    ） A．8 B．8.5 C． D． 【练习2】（2025·九年级上·浙江宁波·竞赛）如图，点，是正两边上的点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，当时，的值是 ． 【练习3】（2025·湖北·三模）如图，在中，，点D在边上，连接，将沿翻折，点A恰好落在的中点E处，过点C作于点F，交于点G．若，则的长度为 ． 【强化训练3 相似三角形相关尺规作图问题】 经典例题 【例1】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）在中，，用直尺和圆规在上确定点F，根据作图痕迹判断，正确的是（   ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，用直尺和圆规在上确定点，具体操作过程是：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【练习2】（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在边长为的正方形网格中，点，均在格点上．请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以为边的矩形，使其面积为，并简要说明点，的位置是如何找到的（不用证明）： ． 【练习3】（2025·天津·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A、C、D均为格点，延长交格线于点B，连接， 以线段为直径作半圆． （Ⅰ）线段的长等于 ． （Ⅱ）在半圆上找一点 P，使得，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点P，并简要说明点P 的位置是如何找到的 ．（不要求证明） 【强化训练4 相似三角形相关函数问题】 经典例题 【例1】（2025·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，以为边，在x轴上方作正方形，动点P从点A出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．线段交于点M．设点P运动时间为t秒，的面积为S，则S关于t的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（2025·河南驻马店·三模）如图1所示，在矩形中，动点P从点B出发，沿的路径运动，当点P到达点D时停止运动．过点P作，交于点Q，设点P运动的路程为x，，已知y关于x的函数图象如图2所示，当时，x的值为（    ）      A． B．4 C． D．4.5 【练习2】（2025·河南郑州·三模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”如图，根据使用时安放的位置测定物体的高低远近及大小，把“矩”放置在如图工具的厚度不计所示的位置，令，若，，，则y关于x的函数解析式为 ． 【练习3】（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，与的函数图象如图2所示．当恰好平分时的值为 ． 【强化训练5 相似三角形应用之灯光下的测量问题】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，身高的小利（）站在距路灯杆的C点处，测得她在灯光下的影长为，则路灯的高度为（   ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，小杰从灯杆的底部点B 处沿水平直线前进到达点C 处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B 处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（     ） A．3.5米 B．4.5米 C．5 米 D．5.5 米 【练习2】（24-25九年级上·四川成都·期中）在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在水平地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在射段上，，三点共线）．若两人的身高均为，他们相距，灯光下的影子长分别为和，则灯泡的高度为 m． 【练习3】（24-25九年级上·山东济南·期末）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走到达点D处，测得影子长是，则路灯灯泡A离地面的高度为 m． 【强化训练6 相似三角形应用之利用标杆进行测量】 经典例题 【例1】（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（24-25九年级下·浙江杭州·自主招生）如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知在路灯光下的影长分别为．则标杆的影长为（     ） A． B． C． D． 【练习2】（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，．则建筑物的高为 m． 【练习3】（2024·山东潍坊·二模）清代《数理精蕴》中记录了一种测量底部不能到达的塔高的方法．翻译为“如图所示，先立一根长为6尺的标杆，量得影长尺，在同一时间将塔影所到之处作一记号．在同一时刻量得标杆影长尺，塔影比先前所记处长尺”则塔高 尺．    【强化训练7 相似三角形应用之利用镜子进行测量】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得，小明身高，则凉亭的高度约为（      ）    A． B． C． D． 【练习2】（2024·山西晋中·模拟预测）普救寺位于山西省运城市永济市蒲州古城内，是我国历史名剧《西厢记》故事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑.其中，最著名的便是莺莺塔（如图1）．数学兴趣小组根据光的反射定律（如图2），把一面镜子放在离古塔（）的点P处，然后观测者沿着直线后退到点B处．这时恰好在镜子里看到塔顶端D，量得，已知观测者目高，那么该古塔（）的高度是 m． 【练习3】（24-25九年级上·河南郑州·期末）中国是礼仪之邦．从西四环下高速时，小明看到高新区的门户——“礼仪之门”这个雕塑，他想利用所学的数学知识测量它的高度．他在点C处放一镜子，并作一标记，来回走动，走到点D时，看到“礼仪之门”顶点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小明眼睛与地面的高度米，米．然后，小明从点D沿DH方向走了19米，到达“礼仪之门”影子的末端G处，此时，测得小明身高米，影长米，则“礼仪之门”的高AB为 米． 【强化训练8 相似三角形应用之光学成像相关测量问题】 经典例题 【例1】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，光源在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，，点到的距离是，则离地面的距离为　　．    A．2.1 B．2 C．1.8 D．1.6 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距，像距．若像的高度是m，则物体的高度AB为（   ） A． B． C． D． 【练习2】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，平面直角坐标系中，一点光源位于，线段BC的两个端点坐标分别为与，则线段在x轴上的影子的长度为 ． 【练习3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子， 的长度和为，那么灯泡离地面的高度为 ． 【强化训练9 相似三角形应用之利用视线进行测量】 经典例题 【例1】（24-25九年级上·福建三明·期中）如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为（   ） A．4米 B．3米 C．米 D．米 自我练习 【练习1】（24-25九年级上·河南南阳·期中）为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离为（   ） A． B． C． D． 【练习2】（2025九年级·湖南·学业考试）《九章算术》中有一测井深的问题：今有井径5尺，不知其深，立5尺木于井上，从木末梢，入径4寸，问井深几何？今译为：如图所示，有一口水井，井口直径为5尺，现竖立一根5尺长的木杆在井口，视线交井口于点E，入经的长为4寸，则水面距井口距离为 寸．（注：1尺寸） 【练习3】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，小华站在楼的底端A处，眺望楼的顶端D，发现视线与水平线的夹角为α；然后，小华保持身体姿势不变转身后退，当退到点F处时，发现视线与水平线的夹角也为α．已知点F恰好为的中点，点M在上，，，，，楼的高度为7米，小华眼睛距离地面的高度米，根据以上数据计算出大楼的高度为 米．    选择题 1．（24-25九年级上·浙江·期中）《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·湖北·一模）如图所示，在边长为的正方形中，有一个小正方形，其中点分别在线段上，若，则小正方形的边长为（   ） A．6 B．5 C． D．2 3．（24-25九年级上·山西长治·期末）下列四个1×5的正方形网格中，均有两个涂色的三角形，其中在同一网格中的两个三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为．则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 5．（2024·河北沧州·一模）如图，中，，是中线， 是上一点，作射线，交于点，若，则 （ ） A． B． C． D． 填空题 6．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，，，，，则 ． 7．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 ．    8．（24-25九年级上·山东济南·期中）中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，如图所示是中国象棋的棋盘（各个小正方形的边长均相等），根据“马走日”的规则，“马”应该落在位置 处，能使“马”，“炮”，“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”，“车”，“相”所在位置的格点构成的三角形相似． 9．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，．点O为边中点，点P为线段上一动点．将沿折叠，点A的对应点为，直线与线段交于点Q．当与相似时，线段的长为 ． 10．（25-26九年级上·上海金山·阶段练习）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后成的像为．光路图如图所示；经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，那么像与透镜之间的距离的长为 ． 解析题 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为． (1)这四条线段是否是成比例线段？请说明理由． (2)在图中还能找出成比例的其他四条线段吗（线段可以重复）？若有，请写出一种情况，并说明理由． 12．（24-25 九年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 (1)求证： (2)当时，求的长 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 14．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 15.（25-26九年级上·河南郑州·阶段练习）学科实践--测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯、国旗杆的高度．活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具． 方案设计及问题解决（图中各点均在同一竖直平面内）： (1)笃行组进行路灯测量（如图1），在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过．测量数据：米，米．计算图1中路灯的高度． (2)缜密组想直接用笃行组的方法进行图2中国旗杆高度的测量，操作中发现：由于国旗杆底部台阶影响，无法测得线段的长，因此不能求得国旗杆高度．于是对笃行组的方案作出补充：在如图2中仍先直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A，测得线段米；再直立一根同样高度的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A．并测得米，计算国旗杆的高度． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $