精品解析：河北省秦秦皇岛市实验中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

秦皇岛市实验中学 2025 - 2026 学年度第一学期第一次月考 高二数学试题 出题人：郑铮 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是（ ） A. A⊆B B. A∩B＝{出现的点数为2} C. 事件A与B互斥 D. 事件A与B是对立事件 2. 从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是 A. B. C. D. 3. 设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设是一个随机试验中的两个事件，，则（ ） A. 0.8 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.5 5. 已知，，，若三向量不能作为空间的一组基底，则实数等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为 A. B. C. D. 7. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量、不共面 8. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 点关于点对称的点为 C. 点关于直线对称的点为 D. 点关于平面对称的点为 10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A. 乙发生的概率为 B. 丙发生的概率为 C. 甲与丁相互独立 D. 丙与丁互为对立事件 11. 已知点在平面内，点在平面外，且平面的一个法向量为，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点B到平面的距离为 D. 点B到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若 则 ______ ． 13. 甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为，，，且他们是否通过测试互不影响．若三人中只有甲通过测试的概率为，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为______． 14. 在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：. （1）求图中的值以及估算成绩的众数； （2）从成绩不低于80分的学生中，利用分层抽样抽取4人，再从这4人中随机选取2人座谈，求该2人中成绩均在80分至90分之间（含80分不含90分）的概率. 16. 在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. （1）用，，表示，，； （2）求的长； （3）求异面直线与所成角的余弦值. 17. 设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是. （1）试分别求出事件B和事件C发生的概率； （2）试求A、B、C只有一个发生的概率. 18. 如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，四棱锥的体积为. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，∥，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）求A点到直线的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秦皇岛市实验中学 2025 - 2026 学年度第一学期第一次月考 高二数学试题 出题人：郑铮 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是（ ） A. A⊆B B. A∩B＝{出现的点数为2} C. 事件A与B互斥 D. 事件A与B是对立事件 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个事件的关系对各个选项进行判断即可. 【详解】A＝{出现的点数不大于3}={出现的点数为1,2,3} B＝{出现的点数为偶数}={出现的点数为2,4,6} 则A∩B＝{出现的点数为2},故B正确; A错误； 因为事件A与事件B可以同时发生，故事件A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故C,D错误， 故选：B 2. 从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设第一张卡片上的数字为，第二张卡片的数字为，问题求的是， 首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出的可能性有多少种，然后求出. 【详解】设第一张卡片上的数字为，第二张卡片的数字为， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有种情况， 当时，可能的情况如下表： 个数 1 1，2，3，4，5 5 2 2，3，4，5 4 3 3，4，5 3 4 4，5 2 5 5 1 ，故本题选C. 【点睛】本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题. 3. 设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得的值，得到答案. 【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为， 可得. 故选：D. 4. 设是一个随机试验中的两个事件，，则（ ） A. 0.8 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据和事件的概率公式进行求解即可. 【详解】根据题意可得， . 故选：D. 5. 已知，，，若三向量不能作为空间的一组基底，则实数等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理列方程求解即可. 【详解】若三向量不能作为空间的一组基底， 所以共面，则存在，使得， 即， 则，解得， 故选：C. 6. 甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用独立事件和互斥事件的概率求解. 【详解】解：因为甲乙两人中恰有一人晋级， 所以甲晋级乙没有晋级或甲没有晋级乙晋级， 所以所求概率是， 故选：D． 7. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量、不共面 【答案】B 【解析】 【分析】对A，根据条件，利用空间向量的夹角公式，求出两向量的夹角，即可求解；对B，利用两个向量的数量积为零，则两个向量垂直，即可判断正误；对C，利用投影向量的计算公式，即可求解；对D，利用空间向量共面的性质，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 所以，又，则，故 A 错误； 对于B，因为，又，则， 所以，故 B 正确； 对于C，向量在向量上的投影向量为，故 C 错误； 对于D，因为，，则与不共线，又，且， 所以向量与向量，共面，故D不正确， 故选：B. 8. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，表示出，，然后求出的值，即可得出答案. 【详解】 如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设， 则，，，，， 则，， 所以，， 所以， 所以，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 点关于点对称的点为 C. 点关于直线对称的点为 D. 点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图形及其已知可得，点的坐标为 点关于点对称的点为 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为 点关于平面对称的点为 故选：ACD 10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A. 乙发生的概率为 B. 丙发生的概率为 C. 甲与丁相互独立 D. 丙与丁互为对立事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误. 【详解】设为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，为事件“第二次取出的球的数字是偶数”， 为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”， 则，，故A正确. ，，故B错误. 而，故C正确. 两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件， 故D正确. 故选：ACD. 11. 已知点在平面内，点在平面外，且平面的一个法向量为，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点B到平面的距离为 D. 点B到平面的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】求出，即可得，从而判断，由点到平面的距离为即可判断. 【详解】由题意得，所以，故A正确，B错误; 点到平面的距离为，故C正确，D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若 则 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量坐标运算先写出坐标，再求模即可. 【详解】 , 故答案为3. 【点睛】本题考查空间向量坐标运算及模长计算，属于基础题. 13. 甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为，，，且他们是否通过测试互不影响．若三人中只有甲通过测试的概率为，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为______． 【答案】##0.875 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式，结合对立事件的概率列式求解. 【详解】由三人中只有甲通过测试的概率为，得，解得， 所以甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率． 故答案为： 14. 在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】根据题意，转化为直线方向向量与平面法向量共线，列出方程，求得的值，即可得到答案. 【解答】因为，所以与平行， 可得，可得，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是：. （1）求图中的值以及估算成绩的众数； （2）从成绩不低于80分的学生中，利用分层抽样抽取4人，再从这4人中随机选取2人座谈，求该2人中成绩均在80分至90分之间（含80分不含90分）的概率. 【答案】（1）；75 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形面积之和为1，及众数计算方法即可求解. （2）根据古典概型计算概率即可. 【小问1详解】 由，解得， 由图可知众数为. 【小问2详解】 抽取的4人中成绩在80分至90分之间的有：人， 成绩在90分至100分之间的有1人. 记成绩在80分至90分之间的为，成绩在90分至100分之间的为， 4人中随机选取2人的情况有：，共6种， 成绩均在80分至90分之间的有：，共3种， 所以2人中成绩均在80分至90分之间的概率为. 16. 在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. （1）用，，表示，，； （2）求的长； （3）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理即可； （2）利用模长公式求解即可； （3）利用向量夹角公式求解即可 【小问1详解】 ， ， ， 【小问2详解】 ，，， ，，， 因为 ， 所以，即的长为； 【小问3详解】 因为，， 同理可求得，， 又因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 17. 设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是. （1）试分别求出事件B和事件C发生的概率； （2）试求A、B、C只有一个发生的概率. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式列出方程组，求出事件B和事件C发生的概率；（2）在第一问的基础上利用独立事件和对立事件概率公式进行求解. 【小问1详解】 由题意得：， ，即， 解得：或 【小问2详解】 设A、B、C只有一个发生的概率为P， 当时， 则； 当时，同理可得：， 综上：A、B、C只有一个发生的概率为 18. 如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，四棱锥的体积为. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由平面，得，利用面面垂直的判定定理能证明平面平面； （2）根据线面角的定义推导出是直线与平面所成的角，由此能求出结果； （3）由，利用等体积法能求出点到平面的距离． 【小问1详解】 证明：∵底面是正方形，∴， ∵平面，且平面，∴， ∵，平面，∴平面， ∵ 平面，∴平面平面． 【小问2详解】 ∵棱锥的体积为， ∴，解得， 由勾股定理知，， ∵ 平面，平面， ∴平面平面，且平面平面， ∵ 平面，，∴ 平面， ∴ 是直线与平面所成的角， 中，. 【小问3详解】 ∵ ，，∴是等边三角形， ∴ ， 设点到平面的距离为， ∵ ，∴， 解得， ∴点到平面的距离为． 19. 如图，在四棱锥中，平面，，∥，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值； （3）求A点到直线的距离. 【答案】（1）证明：取中点，连接，． 在中，，分别为，的中点，则，， 因为，，则，， 可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面PAD． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，可得四边形为平行四边形，从而，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）建系标点，求出平面BDM的法向量，易知为平面PDM的一个法向量，利用向量夹角公式求解可得答案. （3）利用空间向量求得，即可得，进而可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，，平面ABCD， 则，，且， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 取CD的中点，连接BE， 因为，，则，， 又因为，所以四边形ABED为矩形， 且，可知四边形ABED是以边长为2的正方形， 则，，，，，， 可得，，， 设平面BDM的法向量为，所以， 令，则，．所以平面BDM的一个法向量为， 易知为平面PDM的一个法向量， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）可知：， 则， 即，可知为锐角， 则， 所以A点到直线的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $