河北省部分高中2026-2027学年高三上学期开学数学试题

数 学 注意事项： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，，则 A． B． C． D． 2．已知单位向量，满足，则与的夹角为 A． B． C． D． 3．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 A． B． C． D． 4．若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数 A．-2 B．-1 C．0 D．1 5．已知直线：（）与圆：交于，两点，则的最小值为 A． B． C． D． 6．冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程．主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）．已知某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：℃）之间满足：（其中，为常数）．若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过 A．12℃ B．14℃ C．16℃ D．18℃ 7．在等比数列中，，，若不等式成立，则的最小值为 A．24 B．25 C．26 D．27 8．如图，一块长方体大理石板材斜靠在与水平地面垂直的墙面上，仅点与墙面接触，点，，到墙面的距离分别为，4，1，若，则该长方体外接球的表面积为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足，则 A．的实部是-1 B．的虚部是-2 C． D．在复平面内所对应的点位于第二象限 10．已知数列满足，则 A． B．，， C．若（），，则的最大值为1214 D．的前36项和为1226 11．已知抛物线：（）的焦点为，点为的准线上一点，过焦点且斜率大于0的直线与交于，两点（在第一象限），与准线交于点，为原点，直线，分别交于，两点，则 A．若，则直线的斜率为 B．若过点的的切线与交于点，则 C．若的面积为，则 D．若，则直线的倾斜角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中所有奇数项的系数和为__________． 13．已知双曲线：（，）的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是__________． 14．某数学兴趣小组有4名男生与2名女生参加答题活动，规则如下：先从这6人中随机选1人回答问题，再从剩下的5人中随机选1人回答问题，依此进行，直到剩下的学生的性别一样或仅剩1人时答题结束．为答题结束时选取答题的人数，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 为了解学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响，在高一年级随机抽取6名学生，对其入学的数学成绩（分）和高一第一学期期末考试数学成绩（分）进行了统计，如下表： 中考数学成绩 50 60 70 80 90 100 高一第一学期期末数学成绩 65 80 95 105 120 130 （1）规定高一期末数学成绩不低于90分为及格，不低于120分为优秀，从所抽取的6人中随机选取1人，记为“学生的高一第一学期期末数学成绩及格”，为“学生的高一第一学期期末数学成绩优秀”，求； （2）由散点图可知与之间具有线性相关关系，求关于的经验回归方程并估计某中考数学成绩为110分的学生高一第一学期期末考试的数学成绩（成绩保留整数，采用四舍五入法）． 附：经验回归模型中，，； 参考数据：，． 16．（本小题满分15分） 如图，在三棱柱中，平面，侧面是菱形，且，点为的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分） 在中，内角，，的对边分别是，，，且． （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 18．（本小题满分17分） 已知圆：，，点为圆上的动点，线段的中垂线交线段于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．设与轴交于点，（点在轴的负半轴上），过点且斜率为（）的直线交于点，． （1）求的方程； （2）当时，求四边形的面积； （3）若点关于原点的对称点为，直线，交于点，记直线的斜率为，判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 19．（本小题满分17分） 已知函数的定义域和值域分别为，，若函数满足：（ⅰ）的定义域为；（ⅱ）的值域为；（ⅲ），，，，则称与具有关系． （1）若，判断下列两个函数是否与具有关系，并说明理由； ①；②． （2）若与具有关系，证明：函数的图象与的图象关于直线对称； （3）已知函数，与具有关系，令． ①判断函数的单调性； ②证明：，． 学科网（北京）股份有限公司 $