精品解析：广东省梅州市兴宁市兴宁市实验学校、宁江中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年第一学期九年级第一次综合训练题(数学科) 全卷总分：120分 考试时间：120分钟 (202510) 一．选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．) 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 4. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，若测得木棍长为6米，且点P是木棍的中点，则O，P两点间的距离为（　　） A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 3米 5. 如图，为判断这个四边形门框是否为矩形，提出下列四个测量方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否相等 B. 测量一组邻角是否互补 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量三个内角是否都是直角 6. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） 0 1 2 3 4 5 13 23 A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 7. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪刀与纸片的夹角时，已知，则剪下来图形的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作，交于点E，连接，若矩形的周长是，则的周长是（ ） A. B. C. D. 二．填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分．) 11. 一元二次方程：的一次项系数是__________． 12. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 13. 若是方程的一个根，则__________． 14. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（3，2），则对角线AC＝_____． 15. 如图， 在矩形中，，， 点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，同时点 F从点 C出发沿CA方向以的速度向点 A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 E，F运动的时间是 t秒． 过点 F作于点 O， 连接，． 若四边形能够成为菱形，则_______． 三．解答题(一)(本大题3小题，每小题8分，共24分．) 16. 解方程：． 17. 如图，已知矩形中，和的平分线交于边上一点．点为矩形外一点，四边形为平行四边形．求证：四边形是正方形． 18. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整，(保留作图痕迹，不要求写作法) （2）若 ， ，求菱形的周长． 四、解答题(二)(本大题3小题，每小题9分，共27分．) 19. 提出问题：为解方程，我们可以令，于是原方程可转化为，解此方程得，（不符合要求，舍去）．当时，，． 原方程的解为，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： （1）运用上述换元法解方程：． （2）若实数满足方程，则的值是_______． 20. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 21. 实践操作 （1）在矩形纸片中，． ①将矩形纸片折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度； ②将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长； （2）若，．将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长． 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分．) 22. 阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta's formulas）． 解决问题： （1）验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． （2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式 ； （3）能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：和是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 23. 如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F． （1）如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； （2）如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； （3）若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级第一次综合训练题(数学科) 全卷总分：120分 考试时间：120分钟 (202510) 一．选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．) 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、是一元一次方程，不符合题意； C、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程移项得：x2-8x=-9，配方得：x2-8x+16=7，即（x-4）2=7， 故选A． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．据此列出不等式并求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， 解得． 故选：A． 4. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，若测得木棍长为6米，且点P是木棍的中点，则O，P两点间的距离为（　　） A. 6米 B. 5米 C. 4米 D. 3米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，点P是的中点， 则（米）， 故选：D． 5. 如图，为判断这个四边形门框是否为矩形，提出下列四个测量方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否相等 B. 测量一组邻角是否互补 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量三个内角是否都是直角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定．由矩形的判定逐一分析即可得出结论． 【详解】解：对角线相等的四边形不一定是矩形，故选项A不符合题意； 一组邻角互补的四边形不一定是矩形，故选项B不符合题意； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 三个角是直角的四边形是矩形，故选项D符合题意； ∴在这四个拟定方案中，正确的方案是D， 故选：D． 6. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） 0 1 2 3 4 5 13 23 A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估计一元二次方程根的方法，根据和时的代数式的值，即可得到答案． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， ∴的一个解x的取值范围为， 故选C． 7. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定， 先根据矩形的定义判断A，再根据正方形的判定说明B，然后根据对边相等的平行四边形是否是菱形解答C，最后根据正方形的判定说明D即可． 【详解】解：∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 则A正确； ∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形（有一组邻边相等是矩形是正方形）． 则B正确； ∵四边形是平行四边形，就有， ∴加上条件，不能说明四边形是菱形． 则C不正确； ∵，四边形是菱形， ∴四边形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 则D正确． 故选：C． 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 9. 如图所示，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪刀与纸片的夹角时，已知，则剪下来图形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠的性质，菱形的性质，正方形的判定和性质计算即可． 【详解】由折叠可知，剪下的图形两条对角线互相垂直且平分，此时图形为菱形， ∵， ∴剪下的图形一个角为，有一个角为的菱形为正方形， ∵，根据勾股定理得， 故剪下来的图形的周长为， 故选D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质是解题的关键． 10. 如图，矩形的对角线相交于点O，过点O作，交于点E，连接，若矩形的周长是，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，数形结合思想的应用．由矩形的对角线相交于点O，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由矩形的周长为，可得的长，继而可得的周长等于 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 矩形的周长为， ， ， ， 的周长， 故选：A． 二．填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分．) 11. 一元二次方程：的一次项系数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，将方程先化为一般形式：，即可求解． 【详解】解：先将化成一般形式，得， ∴的一次项系数是． 故答案为：． 12. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 【答案】24 【解析】 【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式． 13. 若是方程的一个根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及求代数式的值．本题通过方程根的定义直接简化代数式，无需解方程求根，代入可得，进一步求出代数式的值，体现了整体求解的思想． 【详解】解：是方程的一个根， 代入可得，即， ． 故答案为：． 14. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（3，2），则对角线AC＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC，BO，依据点B的坐标为（3，2），即可得到OB＝，再根据四边形ABCO是矩形，即可得出对角线AC的长. 【详解】解：如图，连接AC，BO， ∵点B的坐标为（3，2）， ∴OB＝＝， ∵四边形ABCO是矩形， ∴AC＝BO＝， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理，熟知矩形的对角线相等是解答此题的关键. 15. 如图， 在矩形中，，， 点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，同时点 F从点 C出发沿CA方向以的速度向点 A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 E，F运动的时间是 t秒． 过点 F作于点 O， 连接，． 若四边形能够成为菱形，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键，根据直角三角形的性质得到，设点 E，F运动的时间是 t秒，得到，，则，再根据菱形的性质得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴， 设点 E，F运动的时间是 t秒， ∴，，则， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：， 答案为：． 三．解答题(一)(本大题3小题，每小题8分，共24分．) 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解． 【详解】解：， 移项得， 因式分解，得， ∴或， 解得：． 17. 如图，已知矩形中，和的平分线交于边上一点．点为矩形外一点，四边形为平行四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，平分与， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是正方形． 【解析】 【分析】首先根据矩形的性质以及角平分线的定义证明为等腰三角形，易得，根据三角形内角和定理可得，即可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了角平分线、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质以及正方形的判定等知识，理解并掌握正方形的判定方法是解题关键． 18. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整，(保留作图痕迹，不要求写作法) （2）若 ， ，求菱形的周长． 【答案】（1） 解：如图所示，四边形即为所求菱形， （2） 【解析】 【分析】此题考查了基本作图和菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作图是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线，交于点B，以点A为圆心，以为半径画弧，交线段的垂直平分线于点D，连接，即可得到所求菱形； （2）设与相交于点O，利用直角三角形的性质得到，再利用勾股定理求出，即可得到菱形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设与相交于点O， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴菱形的周长为． 四、解答题(二)(本大题3小题，每小题9分，共27分．) 19. 提出问题：为解方程，我们可以令，于是原方程可转化为，解此方程得，（不符合要求，舍去）．当时，，． 原方程的解为，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： （1）运用上述换元法解方程：． （2）若实数满足方程，则的值是_______． 【答案】（1），，， （2）13 【解析】 【分析】本题考查换元法解高次方程，解一元二次方程，一元二次方程的根的判别式： （1）参照材料中的方法，令，将原方程转化为，即可求解； （2）参照材料中的方法，令，原方程可转化为，求出的值，再利用根的判别式判断是否有实数根，对求出的的值进行取舍，最后作为整体代入即可得出答案． 【小问1详解】 解：令，原方程可转化为， 即， 解得，． 当时，，解得，， 当时，，解得，， 原方程的解为，，，． 【小问2详解】 解：令，原方程可转化为， 即， 解得，（不符合要求，舍去）． 当时，，即， ，该方程有解，符合题意， 此时； 当时，，即， ，该方程无实数解，不合题意； 综上可知，的值是13， 故答案为：13． 20. 生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． （1）求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； （2）批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为 （2）该零部件的实际售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． （1）设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设该零件的售价元/个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【小问1详解】 解：设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为， 由题意得， 解得或（舍去）， 故该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设该零部件的实际售价元/个，则每个的销售利润为元，此时月销售量将减少个，则月销售量为个， 由题意得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠， ∴， 故该零部件的实际售价应定为元． 21. 实践操作 （1）在矩形纸片中，． ①将矩形纸片折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度； ②将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长； （2）若，．将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质可得，，由折叠的性质得到，利用勾股定理求出，再求出，再利用勾股定理即可求解；②根据折叠的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，设，表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）根据折叠的性质可得，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列出方程求出，再连接、，根据翻折的性质可得，，根据两直线平行，内错角相等求出，然后求出，根据等角对等边可得，从而求出四边形是菱形，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：①∵在矩形纸片中，， ∴，， 由折叠的性质得到， ∴， ∴， ∴； ②解：由折叠得，， 矩形的对边， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ； 【小问2详解】 解：由折叠得，，设， 则， 在中，， 即， 解得， ， 连接、， 由翻折的性质可得，，， 矩形的边， ， ， ， ， 四边形是菱形， 在中，， ， 即， 解得． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分．) 22. 阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta's formulas）． 解决问题： （1）验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． （2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式 ； （3）能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：和是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】（1） 解：由，这里，，， ， ， ，， ，， 则一元二次方程两个根的和与积满足和； （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程中根与系数的关系和根的判别式，用公式法、因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系，和根的判别式． （1）根据公式法求出的两个根，再根据题意计算和，最后验证两个根的和与积是否分别满足和； （2）根据题干中的韦达定理解答即可； （3）先根据根的判别式得，由题干中的韦达定理得和，再化简，将和代入后得到关于的一元二次方程，解方程并判断是否符合题意． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1， 设一元二次方程的一般式是， ，， 解得：，， 这个一元二次方程的一般形式为； 【小问3详解】 和是关于的方程的两个实数根， ，，， ， 又， ， 则， ， 当时，， 当时，， ，（舍去）， 则． 23. 如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F． （1）如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； （2）如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； （3）若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） 解：，证明如下： 如图：在上取点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． （3）或10 【解析】 【分析】（1）如图，连接，根据菱形的性质得出是等边三角形，可得出相等的角和边，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）如图：在上取点，使得，连接，根据条件证明，得出，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；； （3）根据题意分两种情况进行讨论，借助于（2）的思路，证明三角形全等，得出相等的边，然后假设边的长度，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图，当点E在线段上时，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到， ， ∵四边形为正方形，， ， 又， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即，解得：， ∴． ②如图，当点E在延长线上时，取的中点G，连接， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得∶． ∴． 综上所述，的长为或10． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识以及正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $