精品解析：山东省青岛市城阳第十七中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级数学阶段性检测 （90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共8小题，满分24分） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，把右边式子移到左边，再利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴或， 故选：． 2. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角互补 【答案】A 【解析】 【详解】解：菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等互相平分， 则菱形具有而矩形不一定具有的性质是：对角线互相垂直， 故选A． 3. 顺次连接四边形四条边的中点，所得到的四边形是矩形，则原四边形的形状是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，根据三角形的中位线定理，矩形的性质，推出原四边形的对角线互相垂直即可． 【详解】解：如图，分别为四边形的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴原四边形的对角线互相垂直；故C选项符合题意. 其它选项条件不足无法确定四边形的具体形状. 故选：C． 4. 根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令（，a，b，c为常数），根据表格信息，进而可求解． 【详解】解：令（，a，b，c为常数）， 当时，， 当时，， 时，二次函数的函数值范围为， 即方程的一个解x的范围是， 故选：D． 5. 如图，平面直角坐标系中，点，点，四边形是矩形，与交于M，以点O为圆心，的长为半径作圆弧交x轴于点N，则点N的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，中点坐标公式等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到点M是的中点，然后求出点M的坐标为，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵点，点，四边形是矩形，与交于M， ∴点M是的中点， ∴点M的坐标为，即 ∴， ∴点N的横坐标为． 故选：C． 6. 在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由已知三个内角为，可判定该四边形为矩形，再根据正方形的判定，添加一组邻边相等即可推出该四边形为正方形，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵四边形内角和为，， ∴， ∴四边形四个内角均为， ∴四边形是矩形． A、添加时，矩形中一组邻边相等，可推出矩形是正方形，符合要求； B、矩形对边本来就相等，是矩形固有性质，不能推出正方形，不符合要求； C、可由已知条件推出，仍只能得到矩形，不符合要求； D、矩形对边本来就相等，是矩形固有性质，不能推出正方形，不符合要求． 7. 已知某商场2022年第四季度的某商品总销售量为9万件，其中10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据该商场10月份的销售量及11，12月份销售量的平均增长率，可得出该商场11月某商品的销量为万件，12月某商品的销量为万件，结合该店2022年第四季度的某商品总销售量为9万件，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵该商场10月某商品的销量为3万件，且11，12月份销售量的平均增长率为x， ∴该商场11月某商品的销量为万件，12月某商品的销量为万件， 又∵该商场2022年第四季度的某商品总销售量为9万件， ∴可列方程为， 故选：C． 8. ABCD是边长为1的正方形，是等边三角形，则的面积为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据三角形面积计算公式，找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系，并进行求解． 解：如图， 过P作PE⊥CD，PF⊥BC， ∵正方形ABCD的边长是1，△BPC为正三角形， ∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=1， ∴∠PCE=30°， ∴PF=PB•sin60°=1×=，PE=FC=， S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD =××1+××1-×1×1=； 故选B． 二、填空题（本大题共8小题，满分24分） 9. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 10. 把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式是_____． 【答案】x2＋2x－1＝0 【解析】 【详解】根据整式的乘法法则化简方程得，移项可得x2＋2x－1＝0. 11. 已知一元二次方程的两根为、，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为、， ∴， 故答案为：． 12. 元旦期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡156张，设小组人数为人，可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小组人数为人，根据每个人都要给其他人赠送一张贺卡建立方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 13. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_____． 【答案】15 【解析】 【详解】解：， 解得x1=3，x2=6， 当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15． 故答案是：15． 14. 如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形与折叠的问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由正方形和线段中点的定义可得，由折叠的性质和正方形的性质可得，则可证明，得到；设，则，由勾股定理得，解方程得到，由勾股定理得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 15. 已知菱形的周长为，两个相邻角度数比为，则菱形的面积为_____； 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的四条边都相等求出菱形的边长，然后根据邻角互补求出菱形的一个内角为，从而得到较短的对角线与菱形的两边构成的三角形是等边三角形，再求出两对角线的长度，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可求解． 【详解】解：如图， 菱形的周长为， ，，，， 两个相邻内角的度数的比为， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， 菱形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及菱形的四条边都相等的性质，根据度数求出以较短的对角线为边的三角形是等边三角形是解题的关键． 16. 如图，在一单位为1的方格纸上，，，，…，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意可得的点在x的正半轴上（n为正整数），且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2，再根据计算求解即可。 【详解】解： ∵，，，…， ∴的点在x的正半轴上（n为正整数），且这一系列的点钟相邻两点之间的距离为2， ∵， ∴在x轴正半轴上， ∴的横坐标为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标系中点的坐标变化规律，根据2025是奇数，求出点的下标是奇数时的变化规律是解题的关键． 三、作图题 17. 已知：线段；求作：矩形，使． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和矩形的判定与性质．①以点A为圆心，a为半径作弧，交m于点B；②以点A为圆心，b为半径作弧，交l于点D；③分别以点B、点D为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，利用作法得到；则可判断四边形是平行四边形，加上；则可判断四边形是矩形． 【详解】解：如图，矩形为所作． 四、解答题 18. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）关于的一元二次方程有实数根，求的最大整数值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （3）根据判别式和二次项系数不为0求出m的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问3详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得且， ∴m的最大整数值为2． 19. 学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园．围墙最长可利用．与围墙平行的一边 上要预留宽的入口（如图中所示），不用砌墙．现在已备足可以砌长的墙的材料，问当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是找出题目中的等量关系．设，则；，则，求解之后根据题中条件取舍，最后可得出的值． 【详解】解：设， 则，， 则， 解得：或（舍去）, ∵, ∴不合题意，舍去， ∴ ∴当长度是时，矩形花园的面积为． 20. 如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点． （1）求证：； （2）连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵和的平分线、分别交、于点E、F， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）矩形， 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点G、H分别为、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形 ∵，G为的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，，证出，，由证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，，证出，由已知得出，，即可证出四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 21. 如图①，正方形的面积为1． （1）如图②，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； （2）如图③，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； （3）延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的面积为1则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可； （2）与（1）相似，由正方形的面积为1，则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可； （3）由正方形的面积为1，则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可． 【小问1详解】 解：∵正方形的面积为1， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵正方形的面积为1， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5； 【小问3详解】 ∵正方形的面积为1， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式及代数式的求值，组合图形面积的计算，三角形的面积公式，梯形的面积公式，掌握相关知识是解决问题的关键． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月可以获得利润12250元？ 【答案】任务1：平均增长率为；任务2：零件的实际售价定为65元时，每个月可以获得利润12250元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 任务1：设平均增长率为a，根据题意，直接列方程求解即可； 任务2：设零件的实际售价定为x元，根据每个月可以获得利润12250元列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设平均增长率为a，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：平均增长率为； 任务2：设零件的实际售价定为x元，根据题意得， 解得， ∴当时，每个月可以获得利润12250元， 答：零件的实际售价定为65元时，每个月可以获得利润12250元． 23. 如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为． （1）当_____时，四边形是矩形； （2）当_____时，四边形是菱形； （3）是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在某一时刻，使得 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，利用方程的思想求解是解题的关键． （1）当四边形是矩形时，，据此建立方程可求得的值； （2）当四边形是菱形时，，据此建立方程可求得的值； （3）根据勾股定理得到，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案； 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴； 由题意得， 则， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， 解得 即当时，四边形是矩形， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 同理可得； 由矩形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即当时，四边形是菱形， 故答案为：； 【小问3详解】 解：不存在，理由如下： 如图， 过点作于点， 由矩形可知，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，由运动可知， ， ， ， ， 若存在某一时刻，使得，则存在某一时刻使得， 即方程有解， 方程整理得， ∴， 故方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段性检测 （90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共8小题，满分24分） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角互补 3. 顺次连接四边形四条边的中点，所得到的四边形是矩形，则原四边形的形状是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 4. 根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A. B. C. D. 5. 如图，平面直角坐标系中，点，点，四边形是矩形，与交于M，以点O为圆心，的长为半径作圆弧交x轴于点N，则点N的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6. 在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知某商场2022年第四季度的某商品总销售量为9万件，其中10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. ABCD是边长为1的正方形，是等边三角形，则的面积为　　 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，满分24分） 9. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 10. 把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式是_____． 11. 已知一元二次方程的两根为、，______． 12. 元旦期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡156张，设小组人数为人，可列方程______． 13. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_____． 14. 如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为______． 15. 已知菱形的周长为，两个相邻角度数比为，则菱形的面积为_____； 16. 如图，在一单位为1的方格纸上，，，，…，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为______． 三、作图题 17. 已知：线段；求作：矩形，使． 四、解答题 18. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）关于的一元二次方程有实数根，求的最大整数值． 19. 学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园．围墙最长可利用．与围墙平行的一边 上要预留宽的入口（如图中所示），不用砌墙．现在已备足可以砌长的墙的材料，问当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为？ 20. 如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点． （1）求证：； （2）连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 21. 如图①，正方形的面积为1． （1）如图②，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； （2）如图③，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； （3）延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月可以获得利润12250元？ 23. 如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为． （1）当_____时，四边形是矩形； （2）当_____时，四边形是菱形； （3）是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $