精品解析：陕西省西安市高新区第三初级中学博雅班2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级 数学试题 （总分120分 用时120分钟） 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键；根据从正面看到的是主视图，可得答案． 【详解】解：这个立体图形的主视图为： ， 故选：． 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊四边形的判定，命题真假的判定，熟练掌握和运用各特殊四边形的判定方法是解决本题的关键． 根据特殊平行四边形的判定定理即可一一判定． 【详解】解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该命题错误，是假命题； B.一组对边平行，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故该命题错误，是假命题； C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故该命题错误，是假命题； D.对角线相等的菱形是正方形，故该命题正确，是真命题； 故选：D． 3. 中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年年收入200美元，预计2017年年收入将达到1000美元，设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准数量关系，正确列出一元二次方程是解答关键．设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，根据2015年年收入200美元，预计2017年年收入将达到1000美元，列出方程即可． 【详解】解：设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，依据题意得： ． 故选：D． 4. 四边形与四边形位似，位似中心是点O，位似比为，则四边形与四边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的性质．根据位似多边形的面积比等于位似比的平方计算即可． 【详解】解：∵四边形与四边形位似，位似中心是点O，位似比为， ∴四边形与四边形的面积比为， 故选：C． 5. 在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率． 利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：设袋子中黄球有个， 根据题意，得：， 解得：， 即布袋中黄球可能有个． 故选D． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象，解题的关键是能够分类讨论，难度不大． 根据反比例函数和一次函数的图象，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴， 则A、D选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，函数的图象位于第一、三象限，则B选项符合题意；C选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，函数的图象位于第二、四象限，均不符合题意； 故选：B 7. 如图，在矩形中，点E为上一点，连接，将沿折叠，使得点B的对应点恰好落在对角线上，若，，则的周长为（ ） A. 3 B. 5 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．根据勾股定理求出，根据折叠得出，，最后求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， ∴ ． 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，，点在线段上运动，连接，以为斜边作等腰，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，分别取、的中点、，连接、、，作交的延长线于点，可得四边形和四边形都是正方形，即得，进而可证，得到，可知点在正方形的对角线所在的直线上运动，即可得，再求出的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，分别取、的中点、，连接、、，作交的延长线于点， ∵四边形是矩形，，， ，，， ∵点、分别为、的中点， ，， ∵，，，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ，， ∴四边形和四边形都是正方形， ， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ∴， ， ， ， 点在正方形的对角线所在的直线上运动， ， ，， ， ， ， ∴线段的最小值为， 故选：． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在如图所示的矩形纸片上做随机扎针试验，则针头扎在阴影区域内的概率为__________． 【答案】​​​​​​​ 【解析】 【分析】本题考查了几何概率． 用阴影部分的面积除以总面积，即可得出针头扎在阴影区域内的概率． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴对角线把长方形分成面积相等的四部分， ∴利用长方形的对称性可知图中阴影部分面积， ∴针头扎在阴影区域内的概率为， 故答案为：． 10. 如图是一个机器零件的三视图，它的主视图是等腰三角形，则这个零件的表面积为_____． 【答案】544 【解析】 【分析】本题考查了三视图，勾股定理，等腰三角形的性质，先认真分析和观察三视图得出这个几何体是倒放的三棱柱，再算出，（等腰三角形的三线合一），结合三棱柱的表面积等于两个三角形面积和三个长方形的面积，即可作答． 【详解】解：如图所示： 结合一个机器零件的三视图，得出这个几何体是倒放的三棱柱， 结合左视图得出主视图的等腰三角形的高是， 则，（等腰三角形的三线合一） ∴， 则， 故答案为：544． 11. 已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为倒数，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，倒数，解一元一次方程，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，根据已知条件“该方程的两根互为倒数”可得，于是可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：， 又该方程的两根互为倒数，即：， ， 解得：， 12. 如图，在正方形中，点E，F分别是，上的点，连接，，．若，的周长为，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理． 在延长线上截取，连接，证明，，对应边相等，根据的周长可得正方形的边长，设，根据勾股定理列方程求解即可得的长． 【详解】解：在延长线上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可； 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第一象限， ， ， ，， ， ， 双曲线经过B， 整理得：， 解得：（舍）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键． 14. 如图，正方形的边长为6，点分别是边上的点，且，连接的垂直平分线分别交于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，如图所示，由正方形性质及全等三角形的判定得到，由全等的性质得到，，再结合垂直平分线定义得到，，进而由平行线的判定得到，在中，由勾股定理得到，由相似三角形的判定与性质求出，，进而求出，再结合，由相似比列式求解即可得到． 【详解】解：连接，如图所示： 在正方形中，，， ， ， ，， 在中，，则， ， 是的垂直平分线， ，， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ，， ， ，即， 解得，， ， ，，， ， ， ，即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线定义、平行线的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理、相似三角形求线段长的方法是解决问题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分，解答要写出过程） 15. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因式分解法解方程； （2）因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，是解题的关键． 16. 已知：如图，为等腰三角形，求作菱形，使得为菱形的一个内角，点，，分别在边，，上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 菱形即为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，尺规作图作角平分线和线段垂直平分线．根据菱形的判定，利用尺规作图作出的角平分线交于，作的垂直平分线交、于点、，连接、即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 17. 如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、． 求证：． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD，∠ADC=∠ABC， ∴∠CDF=∠CBE， 在△BEC和△DFC中， ， ∴△BEC≌△DFC（SAS）， ∴CE=CF． 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF． 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件． 18. 一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． （1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是___________； （2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同， ∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种， ∴两次摸到的球标号均小于3的概率为． 19. 如图，平分，为中点，，求证：． 【答案】 证明：∵为中点， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了线段的中点，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，由线段的中点定义可得，进而证明得到即可求证，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 20. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫降价元，商场平均每天可多售出件，若商场每天盈利元，请帮助商场算一算，每件应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件衬衫应降价元，由题意可列方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每件衬衫应降价元， 由题意可得， 化简得 解得，，， ∵为了尽量减少库存，由， 所以应该选择降价元， 答：每件衬衫应降价元． 21. 小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点处放一平面镜，从处沿方向后退1米到点处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再将平面镜沿方向继续向后移动15米放在处（即米），从点处向后退1.6米，到达点处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点、已知小明眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度（平面镜大小忽略不计） 【答案】43.5米 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，， ， ，即①； ，， ， ，即②， 由①②得， 解得， ， 解得， 答：小雁塔的高度为43.5米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，然后利用相似三角形的性质进行几何计算． 22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按如下要求画图： （1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出； （2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的相似比为，并直接写出此时点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． （2） 解：如图，即为所求， ∴点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了位似变换与旋转变换，正确得出对应点的位置是解题的关键． （1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可，再进一步确定点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为． （1）求反比例函数的解析式 （2）连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点，若点为的中点，，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，待定系数法求解析式； （1）过点作轴垂足为，即可求得，根据平行四边形的面积为，可得，从而可得，即可求得点的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）根据中点坐标公式先求得点的纵坐标，代入反比例函数解析式，进而求得的坐标．设，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：过点作轴垂足为， 平行四边形的边在轴上，点的坐标为， ， 平行四边形的面积为． ， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵点为的中点，点的坐标为， ∴点的纵坐标为． 又∵点在上， ∴． ∴． ∴ 设， ∵平行四边形的面积为． ∴． ∴． 解得：或． ∴点的坐标为或． 24. 如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点O，连接，过点C作，交的延长线于点F，连接． （1）证明：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴， ∴四边形为菱形； （2）96 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，求得，根据勾股定理得到，于是得到四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 25. 阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式， 解：，可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2）解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． 材料2：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以用其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围： 解：令 即 解决问题：请根据上述材料，解答下列问题． （1）直接写出不等式的解集是__________； （2）求出代数式的取值范围； （3）若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值． 【答案】（1）或 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系及解不等式组，读懂阅读材料中的方法并明确一元二次方程的根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据题意有理数乘法法则列不等式组求解即可得到答案； （2）根据材料，令，根据判别式转化为关于y的一元二次方程，解不等式即可得到代数式的取值范围； （3）根据材料，令根据判别式转化为关于y的不等式根据根与系数的关系，列出方程组，即可得到满足条件的a、b的值． 【小问1详解】 解：∵ 或 解得：或 ∴不等式的解集是或； 【小问2详解】 解：，令 ∴． ∴． ∴． 令， ，． ∴或 【小问3详解】 解：令 ， 当时，，且， 存在一个，使得， 当时，有解， ， ， 最小值为，最大值为， ，是方程的解， 或 ∴或 26. 【问题探究】（1）如图：已知：，，垂足分别为M，N，点C是MN上使的值最小的点．若，，，则______． （2）如图 2，在 中， ， ， 是线段 上一动点(不与 、 重合)，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点 和点 分别是边 的中点． 试探究 和 的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图 3，正方形 是一块蔬菜种植基地，边长为 3 千米，对角线 为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路 上确定一点 (不与点 重合)，连接 ，以线段 为斜边，在 右侧建等腰直角 区域（ ），用来种植新品有机蔬菜，并在 处设立蔬菜仓库． 点和 点为基地的两个蔬菜打包装运点， 在 上且 ． 现要沿 修建蔬菜运输轨道，请确定运输轨道 的最小值． 并求出当 最小时，有机蔬菜种植区域的面积（即的面积）． 【答案】（1）17； （2），理由如下： 如图，连接，， ， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ； （3）运输轨道的最小值为千米，的面积为平方千米． 【解析】 【分析】（1）以为轴作A点对称点，连接交于C，则就是最小值，延长使，连接；根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质得，的长，在中运用勾股定理求得的长，即可求得的最小值； （2）由题意连接，，先得出，同理可得，，进一步利用即可进行证明； （3）首先确定出的运动轨迹，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，取最小值，继而在中，由勾股定理得出，过作，交于点，利用相似性质得出，即可进一步求的面积． 【详解】解：（1）以为轴作A点对称点，连接交于C， 则， 就是的最小值； 延长使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：17； （2）略 （3）取中点，连接，过作，交于， 由正方形可得 ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 从而确定出的运动轨迹即如下图： ， ，即最小值等于最小值， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，取最小值， 正方形边长为3千米，是中点， 在中，由勾股定理得千米， ， 千米，千米， 千米， 在中，由勾股定理得千米， 即运输轨道的最小值为千米， 过作，交于点，如图， ， ， ， ， 千米， 此时的面积为平方千米． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键作辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级 数学试题 （总分120分 用时120分钟） 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的菱形是正方形 3. 中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年年收入200美元，预计2017年年收入将达到1000美元，设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 四边形与四边形位似，位似中心是点O，位似比为，则四边形与四边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是 （ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，点E为上一点，连接，将沿折叠，使得点B的对应点恰好落在对角线上，若，，则的周长为（ ） A. 3 B. 5 C. 12 D. 16 8. 如图，在矩形中，，，点在线段上运动，连接，以为斜边作等腰，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在如图所示的矩形纸片上做随机扎针试验，则针头扎在阴影区域内的概率为__________． 10. 如图是一个机器零件的三视图，它的主视图是等腰三角形，则这个零件的表面积为_____． 11. 已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为倒数，则的值为_________． 12. 如图，在正方形中，点E，F分别是，上的点，连接，，．若，的周长为，，则的长为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 _____． 14. 如图，正方形的边长为6，点分别是边上的点，且，连接的垂直平分线分别交于点，则的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分，解答要写出过程） 15. 解方程： （1） （2） 16. 已知：如图，为等腰三角形，求作菱形，使得为菱形的一个内角，点，，分别在边，，上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 17. 如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、． 求证：． 18. 一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． （1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是___________； （2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 19. 如图，平分，为中点，，求证：． 20. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫降价元，商场平均每天可多售出件，若商场每天盈利元，请帮助商场算一算，每件应降价多少元？ 21. 小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点处放一平面镜，从处沿方向后退1米到点处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再将平面镜沿方向继续向后移动15米放在处（即米），从点处向后退1.6米，到达点处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点、已知小明眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度（平面镜大小忽略不计） 22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按如下要求画图： （1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出； （2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的相似比为，并直接写出此时点的坐标． 23. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为． （1）求反比例函数的解析式 （2）连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点，若点为的中点，，求点的坐标． 24. 如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点O，连接，过点C作，交的延长线于点F，连接． （1）证明：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积． 25. 阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式， 解：，可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2）解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． 材料2：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以用其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围： 解：令 即 解决问题：请根据上述材料，解答下列问题． （1）直接写出不等式的解集是__________； （2）求出代数式的取值范围； （3）若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值． 26. 【问题探究】（1）如图：已知：，，垂足分别为M，N，点C是MN上使的值最小的点．若，，，则______． （2）如图 2，在 中， ， ， 是线段 上一动点(不与 、 重合)，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点 和点 分别是边 的中点． 试探究 和 的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图 3，正方形 是一块蔬菜种植基地，边长为 3 千米，对角线 为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路 上确定一点 (不与点 重合)，连接 ，以线段 为斜边，在 右侧建等腰直角 区域（ ），用来种植新品有机蔬菜，并在 处设立蔬菜仓库． 点和 点为基地的两个蔬菜打包装运点， 在 上且 ． 现要沿 修建蔬菜运输轨道，请确定运输轨道 的最小值． 并求出当 最小时，有机蔬菜种植区域的面积（即的面积）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $