第五章一元一次方程小结与复习(知识点梳理+高频考点+达标检测）2025－2026学年人教版七年级上册数学大单元教学分层优化

2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 第五章一元一次方程小结与复习(知识点梳理+高频考点+达标检测）（解析版） 知识点一：方程及有关概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程. 2.方程的解 使方程的左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 如是的解. 3.解方程 解方程就是求出方程的解的过程. 所谓“解方程”就是求出方程的解“”的形式. 【归纳】检验一个数值是不是方程的解的步骤： （1）将数值代入方程左边进行计算； （2）将数值代入方程右边进行计算； （3）比较左右两边的值，若左边＝右边，则是方程的解；反之，则不是. 知识点二：一元一次方程 1、在一个方程中，只含有一个未知数（元），且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程. 2、一元一次方程的标准形式是：（其中是未知数，、是常数，且） 【归纳】判断一个方程是否为一元一次方程 （1）只含有一个未知数； （2）未知数的次数是1； （3）整式方程； （4）看化简后的方程 注：未知数的系数不能是0. 知识点三：等式的基本性质 等式的基本性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍然成立. 即 如果，那么. 等式的基本性质2：等式的两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立. 即 如果，那么； 如果，那么. 【注意】等式的基本性质注意事项： （1）等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算. 　　　 （2）等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子. （3）等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母. 【要点诠释】 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变. 即： (其中) 如，解方程. 先利用分式的基本性质，将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，可以将上述方程化为 . 知识点四：解一元一次方程 1、把等式一边的某项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项. 2、解方程时，移项的作用是：把同类项移到等式的某一边，以进行合并. 一般地，把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边. 【注意】 （1）去括号法则：去括号，看符号：是“”号，不变号；是“”号，全变号. （2）去括号时应将括号前面的符号连同括号一起去掉； （3）去括号时不要漏项. 知识点五：列一元一次方程解应用题的一般步骤 1、实际问题，通过建立数学模型，借助一元一次方程解决. 关键是找等量关系，设未知数，把等量关系用一元一次方程表示出来. 【注意】列方程解应用题，必须根据实际意义检验解的合理性. 【归纳】列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题，分析题目中已知什么，未知什么，寻找等量关系； （2）设未知数，一般是求什么设什么为未知数，但有时也可以间接设未知数； （3）列方程，借助等量关系，列出方程； （4）解方程 （5）检验，看方程的解是否符合题意； （6）答，写出结果. 考点1 判断方程与一元一次方程 例1．下面式子中，是方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是方程的定义，解题关键是熟练掌握方程的定义． 方程是指含有未知数的等式．根据该定义判断即可得解． 【详解】解：、不是等式，不符合方程定义，该选项错误； 、是含有未知数的等式，符合方程定义，该选项正确； 、没有未知数，不符合方程定义，该选项错误； 、不是等式，不符合方程定义，该选项错误． 故选：． 【变式1-1】．下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式叫做一元一次方程，据此逐项判断即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是等式，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、是一元一次方程，该选项符合题意； 、不是等式，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、左边不是整式，不是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 【变式1-2】．下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐一判断即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、中含有两个未知数，故选项不符合题意； B、分母中含有未知数，方程左边不是整式，故选项不符合题意； C、是一元一次方程，故选项符合题意； D、中含有两个未知数，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】．下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，逐个判断即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不符合题意，选项错误； B、是一元一次方程，符合题意，选项正确； C、未知数的最高次数为2，不符合题意，选项错误； D、含有两个未知数，不符合题意，选项错误； 故选：B 考点2 根据方程的定义求参数 例2．若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．未知数的最高次数为，且一次项系数不为是解题关键． 根据一元一次方程的定义可得，且，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且 ∴． 故答案为：． 【变式2-1】．若 是关于的一元一次方程，则 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的概念，解题的关键是注意要保证一次项系数不能为0；根据最高次数是1，一次项系数不能为0得到关于a的方程，进而得到答案即可； 【详解】解：由题意可得： ∴ ∴取， 故答案为：． 【变式2-2】．已知是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是 1 （次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a， b是常数且）．根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， 且， 解得：． 故答案为：． 【变式2-3】．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)请判断和是否为方程的解． (3)求的值． 【答案】(1) (2)不是方程的解；是方程的解 (3) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，可知，，解之即可得到答案； （2）将（1）中得到的的值代入原方程，分别将，，代入方程中，若能使等式成立，即为方程的解，否则就不是； （3）化简求值后，将（1）中得到的的值代入即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得，解得． （2）解：由（1）可知，，则方程为． 把代入，左边右边，故不是方程的解； 把代入，左边右边，故是方程的解． （3）解：原式． 当时，原式． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解及其定义，熟练掌握一元一次方程的概念及解法是解题的关键． 考点3 等式的性质及利用性质变形 例3．下列变式正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、若，则，原选项不符合题意； 、若，则，原选项符合题意； 、若，时，则，原选项不符合题意； 、若，则，原选项不符合题意； 故选：． 【变式3-1】．下列各式运用等式的基本性质变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，则，选项说法正确，符合题意； B、若，则，选项说法错误，不符合题意； C、若，则，选项说法错误，不符合题意； D、若，则，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式3-2】．下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、如果，那么，故本选项符合题意； D、当时，如果，那么，故本选项不符合题意． 故选：C 【变式3-3】．运用等式的基本性质，下列变形错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题主要考查了等式的基本性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．直接利用等式的基本性质分别分析得出答案． 【详解】解：A． 若，则，原变形正确，该选项不符合题意； B． 若，则，原变形正确，该选项不符合题意； C． 若，则，则，原变形正确，该选项不符合题意； D． 若，则，即，原变形错误，该选项符合题意； 故选：D． 考点4 解一元一次方程 例4．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）分母先化为整数，然后根据去分母，去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可； （2）根据去括号、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解：分母化为整数，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去括号，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 【变式4-1】．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． 按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 【变式4-2】．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． 按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2） ， ， ， ， ， ． 【变式4-3】．观察方程，你有简捷的解法吗？写出你的解法． 【答案】见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题关键是观察方程结构，利用乘法分配律简化去括号的过程，再按解一元一次方程的一般步骤求解． 观察到方程左边与括号内的互为倒数，可利用乘法分配律先去中括号，简化计算过程，再按解一元一次方程的一般步骤求解． 【详解】解：去中括号，得 去括号、合并同类项，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 故答案为：． 考点5 同解方程 例5．当k取何值时，方程和方程的解相同？ 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，理解同解方程是解答的关键．求出方程的解，把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：解，得：； 当方程和方程的解相同时， 则：，解得：． ∴当时，方程和方程的解相同． 【变式5-1】．若关于的一元一次方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程，解题关键在于对同解性质的理解，其次解方程注意计算仔细即可． 先求出一元一次方程的解，然后代入另一个方程即可． 【详解】解：， 解得， 把代入， 解得． 【变式5-2】．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)若关于的方程与方程的解相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根据一元一次方程的定义求参数的值，同解方程，熟练掌握一元一次方程的定义，解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）根据一元一次方程的定义，得到且，求出的值即可； （2）求出方程的解，再把解代入中，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：且， ∴； （2）由（1）可知：方程为：， ∵， ∴， ∴， ∵关于的方程与方程的解相同， ∴把代入，得：， 解得：． 【变式5-3】．已知关于x的方程的解与方程的解相同，试求的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查了同解方程，代数式求值，根据解求参数等知识，先分别解出x，再根据解相同得出关于m的一元一次方程，解出m再代入代数式求解即可． 【详解】解：解得：， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， 解得：， ∴ 考点6 方程的整数解 例6．关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【答案】(1)； (2)1或4 【分析】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案． （1）将m的值代入计算求解即可； （2）解方程得，根据m是正整数，得是3的倍数，根据方程有正整数解确定m的可能值． 【详解】（1）将代入方程， 得， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∵m是正整数，且是3的倍数，方程有正整数解， ∴或． 【变式6-1】．在关于x的一元一次方程中，m是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程步骤是解题关键． （1）把代入原方程，根据解一元一次方程步骤求出x； （2）先求出方程的解，再根据然后根据x是正整数，m是正整数，求出m. 【详解】（1）解：当时，原方程为， 解得； （2）解：解方程， 得， 方程有正整数解，是正整数， ． 【变式6-2】．已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是先将a看作已知数，得出，根据x为整数，得出或，再求出a的值即可． 【详解】解： 去括号得：， 整理得：， 解得， 当或时，是整数， ∴． 【变式6-3】．已知关于x的一元一次方程，其中m是正整数． (1)当时，解这个方程； (2)若该方程有正整数解，求m的值． 【答案】(1)； (2)的值为2． 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，依据题意正确求解一元一次方程是解题的关键． （1）将代入一元一次方程中，正确求解即可； （2）先解方程，再根据方程有正整数解，是正整数，即可求出的值． 【详解】（1）解：将代入一元一次方程中， 可得：， 解方程得：， 故方程的解为； （2）解：解方程， 解得：， 方程有正整数解，是正整数， ∴，解得，，且， ∴， ∴当时，解得，，符合题意； 当时，解得，，不符合题意； 故的值为2． 考点7 根据方程的解求参数 例7．已知a，b为常数，关于x的方程 ，不论k取何值，方程的解总为，求a，b的值． 【答案】． 【分析】本题考查了方程的解，根据方程的解的定义，把代入，得到，由于方程的解与的取值无关，得到且，求解即可， 掌握方程的解是解题的关键． 【详解】解：把代入得： ， 整理得：， ∵方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：． 【变式7-1】．关于的方程，解为时，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查根据一元一次方程的解求参数的值，把方程的解代入方程，即可得出k的值． 【详解】把代入原方程，得 ． 【变式7-2】．已知，，关于的方程的解为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，一元一次方程的解以及解一元一次方程，掌握方程的解使原方程等式左右两边相等是解题关键．先根据整式加减运算法则求出，进而得到关于的方程，再将方程的解代入，即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即 ∵该方程的解为， ∴， 解得：，即m的值是． 【变式7-3】．如果是关于的方程的解，求的值． 【答案】21 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元一次方程的解，整体代入是解题的关键．由题意知，，整理得，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 整理得，， ∴． 考点8根据一元一次方程解的关系求参数 例8．已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【答案】 【分析】本题的关键是正确解一元一次方程以及互为倒数的意义；理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 先求已知方程的解，再利用倒数关系确定含字母系数方程的解，把解代入方程，可求字母系数k． 【详解】解：解方程得：． 因为方程的解与关于x的方程的解互为倒数， 所以关于x的方程的解是， 把代入方程得：，解得：． 【变式8-1】．已知关于x的方程的解与的解互为相反数． (1)求a的值； (2)求代数式 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解． （1）先求出第二个方程的解，得出第一个方程的解是，把代入第一个方程，再求出a即可； （2）将（1）中所得a的值代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵两个方程的解互为相反数， ∴另一个方程的解为， 把代入方程得： ， 解得：； （2）解：∵， ∴． 【变式8-2】．已知关于x的方程的解比方程的解大5，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据题意，解出方程的解，再解出方程的解，根据题意，将两个解相减得5，即可解题． 【详解】解：由 由 ∵的解比方程的解大5 ∴ 解得： . 【变式8-3】．若关于的方程的解是关于的方程的解的倍，求关于的方程的解． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解步骤． 分别求出两个方程的解再根据方程的解是关于x的方程的解的2倍求出a，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， 方程的解是关于x的方程的解的2倍， ， 解得：， 将代入方程得 ， 解得：． 考点9 一元一次方程错解问题 例9．小红在解关于的方程：时，误将方程中的“”看成了“”，得到方程的解为，请你帮小红求出的值并求出原方程的解． 【答案】的值为，原方程的解为． 【分析】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，先根据误将“”看成了“”得到方程，求出，然后把代入方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵误将方程中的“”看成了“”， ∴方程变为， ∵它的解为， ∴，解得：， 把代入方程得：， 解得：， ∴的值为，原方程的解为． 【变式9-1】．小明在解方程（为未知数）时，误将“”看成了“”，解得方程的解是，请帮助小明求出原方程的解． 【答案】原方程的解为 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解．将错就错，求出的值，再将的值代入正确的方程中，求解即可．解题的关键是求出的值． 【详解】解：因为把“”看作“”， 所以方程的解为， 所以，，解得， 所以原方程：，解得． 所以，原方程的解为． 【变式9-2】．小明在解关于x的方程时，误将看成了，得到方程的解为，请聪明的你帮小明算一算方程的正确解． 【答案】 【分析】先根据题意得到方程的解为，求出，再代入原方程得到，解方程即可． 【详解】解：根据题意可得方程的解为， 所以， 解得， 所以原方程为， 解得． 【点睛】本题考查了方程的解的定义和解一元一次方程，熟知方程的解的定义，准确求出是解题关键． 【变式9-3】．七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小颖求出“”处的数字． (2)请你求出原方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，故把代入，再根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． （2）把代入，然后根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入， 得， 整理得， 去分母得， 移项， 合并同类项得， 系数化1，得； （2）解：由（1）得，则， 去分母得， 去括号得， 移项得得， 合并同类项得， 系数化1，得． 考点10 一元一次方程和差倍分问题 例10．某学校有小学部和初中部，在对口援助边远山区学校活动中，原计划共赠书册，由于学生的积极响应，实际赠书册，其中小学部比原计划多赠了，初中部比原计划多赠了，问该校初中部原计划赠书多少册？ 【答案】该校初中部原计划赠书册． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该校初中部原计划赠书册，则小学部赠书部，依题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该校初中部原计划赠书册，则小学部赠书册， 依题意得：， 解得：， 答：该校初中部原计划赠书册． 【变式10-1】．有一户人家，父亲和儿子同一天过生日，已知父亲38岁时，儿子10岁，现在父亲的年龄是儿子年龄的2倍，那么现在父子两人各多少岁？再过几年两个人的年龄加起来等于100岁？ 【答案】现在儿子的年龄为28岁，父亲的年龄为56岁．再过8年两个人的年龄加起来等于100岁 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解， 解题关键是要读懂题目的意思列出方程． 【详解】解：设现在儿子的年龄为x岁，则现在父亲的年龄为岁． 由题意，得， 解得，则． 设再过年两个人的年龄加起来等于100岁， 根据题意得， 解得． 故现在儿子的年龄为28岁，父亲的年龄为56岁．再过8年两个人的年龄加起来等于100岁． 【变式10-2】．某饮料店有一桶奶茶．上午售出其中的，下午售出，晚上售出剩下的．最后剩下的奶茶再减刚好半桶，问一桶奶茶共有多少升？ 【答案】升 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题干信息列出等量关系式是解题的关键． 设一桶奶茶共有升 ，则上午售出升，还剩下升，下午售出升，还剩下升，晚上售出剩下的 ，即晚上售出后还剩下的总升数为升，根据等量关系：最后剩下的奶茶再减升刚好半桶列方程解答即可． 【详解】解： 设一桶奶茶共有升 ，根据题意得： ， ， ， ， ， ． 答：这桶奶茶共有升． 【变式10-3】．宁波火车站北广场将于2017年底投入使用，计划在广场内种植A、B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．问：A、B两种花木的数量分别是多少棵？ 【答案】种植A种花木4200棵，种植B种花木2400棵 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据种植花木的总棵数＝种植A种花木棵数+种植B种花木棵数，列出关于x的一元一次方程是解题的关键． 设种植B种花木x棵，则种植A种花木棵，根据种植花木的总棵数＝种植A种花木棵数+种植B种花木棵数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设种植B种花木x棵，则种植A种花木棵， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：种植A种花木4200棵，种植B种花木2400棵． 考点11 行程问题 例11．甲、乙、丙三人同时从A城出发去往B城，丙先步行，甲骑车带乙到D处，乙下车向B城步行，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，再带丙到B城，结果三人同时到B城，已知乙、丙的步行速度都为5公里/小时，甲骑车速度为15公里/小时，A、B两城相距120公里，问乙步行了多少公里？ 【答案】40公里 【分析】本题考查了方程的应用，比的应用，理解题意正确列出方程是解题的关键；设甲骑车带乙到D处所行驶的时间为t小时，此时甲乙行驶了公里，则乙应步行的距离为公里，到达B城需要的时间可以求得；由速度关系得丙行驶了公里，甲丙间相距公里，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，由相遇关系得丙行驶的路程为公里，丙一共行驶的路程为公里，剩下的路程为甲丙骑车的路程，可求得此时骑车行驶的时间，利用三人同时到达终点建立方程即可求解． 【详解】解：设甲骑车带乙到D处所行驶的时间为t小时，此时甲乙行驶了公里， 则乙应步行的距离为公里，到达B城需要的时间为小时；由于甲丙的速度比为，t小时丙行驶了公里，甲丙间相距公里，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，由相遇时甲丙路程的比等于速度的比知，甲行驶的路程是丙行驶的路程的3倍，则丙行驶的路程为公里， 所以丙从出发到C点一共行驶的路程为公里，行驶的时间为小时，剩下的路程为甲丙骑车的路程公里，需要的时间为小时； 由于三人同时到达终点B城，则， 解得：， 则乙步行的路程为（公里）； 答：乙步行的路程为40公里． 【变式11-1】．一列匀速前进的火车，从它开始进入米长的隧道到完全通过隧道共用了秒，隧道顶部一盏固定的小灯的灯光在火车上照射了秒钟，求这列火车的长为多少米？ 【答案】这列火车的长为400米 【分析】设这列火车的长为x米，根据题意表示出火车的速度：或者，根据速度的相等关系列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这列火车的长为x米，由题意得： ， 解得：； 答：这列火车的长为400米． 【变式11-2】．某校组织部分师生从学校（A地）到300km外的B地进行“红色之旅”（革命传统教育），租用了客运公司的甲、乙两辆车，其中乙车速度是甲车速度的．两车同时从学校出发，以各自的速度匀速行驶，行驶2h后甲车到达服务区C地，此时两车相距40km，甲车在服务区休息15min后按原速度开往B地，乙车行驶过程中未停留． (1)根据题意画出示意图，并借助示意图求甲、乙两车的速度． (2)甲车在C地结束休息后再行驶多长时间，甲、乙两车相距30km？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两车同时出发，行驶小时两车相距千米，说明甲车速度比乙车每小时快km/h，于是设甲车每小时行驶km/h，那么乙车每小时行驶，列方程即可； （2）设小时后相距km，考虑甲车休息分钟时，乙车行驶过程中未停留，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度为，则乙车的速度为． 根据题意，画出示意图如图． 根据示意图，得， 解得，则． 答：甲、乙两车的速度分别为． （2）解：设甲车在地结束休息后再行驶，甲、乙两车相距30km． ， 此时乙车还未追上甲车，所以根据题意，得， 解得． 答：甲车在地结束休息后再行驶0.5h，甲、乙两车相距30km． 【点睛】本题考查的是一元一次方程在行程问题上的应用，要善于发现量与量之间的关系，用一个量来表示另一个量，再确定等量关系列方程． 【变式11-3】．甲、乙两地相距千米，、两车分别从甲乙两地开出，车每小时行驶千米，车每小时行驶千米． (1)若两车相向而行，车提前小时出发，求车出发后几小时两车相遇？ (2)若、两车同向而行，车在前，车在后，车先行小时，求车出发几小时后两车相距千米？ 【答案】(1)车出发 小时相遇 (2)车出发小时或 小时后两车相距千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设车出发后 小时相遇，根据两车相向而行，车的总路程为千米，列出一元一次方程； （2）设车出发 小时后两车相距千米，根据题意，分两种情况列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设车出发后 小时相遇 则 解得： 答：车出发后小时相遇 （2）解：设车出发 小时后两车相距千米 ① 解得： （小时） ② 解得：（小时） 答：车出发小时或 小时后两车相距千米 考点12 工程问题 例12．一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙两人各自的工作效率和各自完成的工作量是解题的关键， （1）假设甲、乙合作小时可以完成，可列方程，得出甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成，设两人各工作7小时后甲还要工作小时才能完成，可列方程得，求出的值，再加上14，就是两人交替工作完成任务时所用的小时数； （2）利用（1）的解法即可求解． 【详解】（1）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得， 解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成， 设各工作7小时后甲还要工作小时才能完成任务， 根据题意得， 解得， ∴（小时）， 答：完成任务时共用了小时； （2）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得，解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作6小时后，还剩下部分任务由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作完成， 甲、乙两人交替工作，由甲工作7小时，乙工作6小时后，还剩下部分任务由乙完成， 设乙还要工作小时才能完成任务， 根据题意得，解得， ∴， 答：完成任务时共用了小时． 【变式12-1】．甲、乙两公司一起竞标了一项工程．若甲、乙两公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少10天． (1)甲、乙两公司合作需要多少天完成？ (2)若甲、乙两公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ 【答案】(1)12 (2)5 【分析】(1)设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天，根据“甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用天”列出方程，求出的值，即可求出两公司合作的天数； (2)设乙公司还需要天可以完成此工程，利用“甲公司完成的工程量+乙公司完成的工程量=工程总量”，可列出关于的一元一次方程，求出天数即可. 【详解】（1）解：设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天． 根据题意，得：， 解得， 则，所以（天）． 答：甲、乙两公司合作需要12天完成． （2）解：设乙公司还需要天可以完成此工程． 根据题意，得：， 解得． 答：乙公司还需要5天可以完成此工程． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式12-2】．一项工程，甲队单独完成需20天，乙队单独完成需25天． (1)若甲队单独做2天后两队再合作，求：甲乙两队再合作多少天才能把该工程完成； (2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为4000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元？ 【答案】(1)甲乙再合作10天才能把该工程完成 (2)完成此项工程需付给甲、乙两队共100000元 【分析】此题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设甲乙再合作x天才能把该工程完成，根据甲队完成的工作量乙队完成的工作量总工作量（单位1），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据总施工费用甲队每天的施工费用甲队工作的时间乙队每天的施工费用乙队工作的时间，即可求出结论． 【详解】（1）解：设甲乙再合作x天才能把该工程完成， 依题意，得：， 解得：． 答：甲乙再合作10天才能把该工程完成． （2）解：（元）． 答：完成此项工程需付给甲、乙两队共100000元． 【变式12-3】．某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 【答案】(1)30天 (2)60天 (3)先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设甲、乙两个工程队一起合作，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设共需y天才能完成此项工程，根据“合作15天后，剩下的部分由乙工程队单独做”列方程解答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成所需费用，甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做，求出这种方案的费用，做比较解答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队一起合作天就可以完成此项工程， 则， 解得， 答：甲、乙两个工程队一起合作30天就可以完成此项工程． （2）解：设共需y天才能完成此项工程， 则． 解得． 答：共需60天才能完成此项工程． （3）解：甲完成工程所需费用为（万元）， 乙完成工程所需费用为（万元）． 甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做， 由题意得． 解得． 所需费用为：万元． 答：先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元． 考点13 销售利润问题 例13．某工厂生产一种产品，成本为30元/件，销售方式有两种：①直销，售价为50元/件，每月开销4500元；②批发，售价为40元/件两种方式均需缴纳销售金额的税款． (1)若采用方式①，每月至少要销售多少件才不亏本？ (2)每月销售多少件时，采用两种方式的利润相同？ 【答案】(1)每月至少要销售300件才不亏本． (2)每月销售500件时，采用两种方式的利润相同 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，销售问题的数量关系的运用，解答时根据题目反应的等量关系建立方程是关键． （1）设每月要销件才不亏本，则销售额为元，成本为元，税款为元，由条件建立建立方程求出其解即可； （2）设每月销售件时采用两种方式的利润相同，分别表示出两种销售方式的利润，根据利润相同建立方程求出其解即可． 【详解】（1）解：设每月至少要销售x件才不亏本． 由题意，得， 解得． 故每月至少要销售300件才不亏本． （2）解：设每月销售y件时，采用两种方式的利润相同． 由题意，得， 解得． 故每月销售500件时，采用两种方式的利润相同． 【变式13-1】．某商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元，每件甲、乙两种商品的进价分别是80元、100元． (1)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品各多少件？ (2)在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获利润率为20%，每件乙种商品的售价为多少元？ 【答案】(1)购进甲种商品30件，乙种商品20件 (2)每件乙种商品的售价为114元 【分析】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示销售甲、乙两种商品各自的利润是解题的关键． （1）设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件，购进两种商品所用的总金额可表示为元，于是列方程得，求解即可； （2）设每件乙种商品的售价为元，则销售两种商品所得总利润可表示为元，于是列方程得，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件． 由题意，得， 解得，则． 答：购进甲种商品30件，乙种商品20件． （2）设每件乙种商品的售价为元． 由题意，得， 解得． 答：每件乙种商品的售价为114元． 23．某品牌店铺销售一款扫地机器人，按统一标价打八折销售该款扫地机器人，可获利400元，其利润率为．如果按统一标价打九折销售该款扫地机器人，求获得的利润．（利润＝售价－进价，利润率＝×100%） 【答案】获得的利润为700元 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是关键． 设标价为x元，则进价为元，根据可获利400元，其利润率为列出方程，解方程求出，进一步即可求出答案． 【详解】解：设标价为x元，则进价为元，根据题意， 得， 解得， ∴． ． 答：如果按统一标价打九折销售该款扫地机器人，获得的利润为元． 【变式13-3】．某市两家超市在元旦期间分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八八折优惠． 乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠，超过500元的部分打八折． 已知两家超市相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是_____． (2)当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？ 【答案】(1)352元，360元 (2)625元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据甲、乙两家超市给出的促销方案，即可求出在甲、乙两家超市实付款； （2）设当购物总额是x元时，甲、乙两家超市实付款相同，根据在甲、乙两家超市实付款相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：在甲超市实付款是（元）； 在乙超市实付款是（元）． 故答案为：352元，360元； （2）解：设当购物总额是x元时，甲、乙两家超市实付款相同， 根据题意得：， 解得：． 答：当购物总额是625元时，甲、乙两家超市实付款相同． 考点14 配套问题 例14．在手工制作课上，老师组织七年级（）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（）班共有名学生，每名学生每小时可以剪筒身个或剪筒底个，要求个筒身配个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】, 【分析】本题考查的是一元一次方程的数学知识，在解答此类问题时一定要对相关的知识有一个明确的认识和把握，同时结合题设的已知条件就可以解答出问题的正确结论；通过设未知数，根据筒身和筒底的配套关系(个筒身配个筒底)来列方程求解． 【详解】解：设分配名学生剪筒身，那么剪筒底的学生有名， 由题意得：， ， ， ， 剪筒底的学生人数为(名)， 答：应该分配名学生剪筒身，名学生剪筒底． 【变式14-1】．某纺织厂生产床品四件套（1个床单，1个被套，2个枕套），现计划安排15名工人缝制枕套和被套，已知每人每天可缝制200个枕套或50个被套． (1)为使每天缝制的枕套和被套刚好配套，则每天缝制的被套有多少个？ (2)若每个枕套和每个被套均需1个拉链，现有600个枕套，300个被套，300个床单以及885个拉链，则最终能组成多少套四件套？ 【答案】(1)每天缝制的被套有个 (2)最终能组成套四件套 【分析】（1）先设缝制被套的工人数为未知数，根据工人 数和枕套、被套的配套关系列方程求解被套数 量； （2）每个枕套和每个被套均需1个拉链，故一套四件套（个床单，个被套，个枕套）需要三个拉链，设有套四件套，则需要个拉链，列不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设每天安排名工人缝制被套，则安排名工人缝制枕套． 根据题意，得，解得， （个）． 故每天缝制的被套有个． （2）解：设最终能组成套四件套，根据题意，组成套四件套需要枕套个，被套个，床单个，拉链个.则有： ， 解得.故最终能组成套四件套． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，配套问题，认真审题，找准等量关系是解题的关键． 【变式14-2】．乐业镇准备在敬老院开展重阳节活动，主办方计划为每位参与者分发糕点礼盒．已知制作1块大、小糕点分别要用面粉．现共用面粉制作糕点，其中大糕点数量是小糕点数量的一半．若每位参与者获得2个糕点礼盒，每个礼盒装有5块大糕点和8块小糕点，则这批糕点装成的礼盒够发给多少人？ 【答案】这批糕点装成的礼盒够发给320人． 【分析】设大糕点用面粉，先根据“制作块大、小糕点分别要用面粉”表示出大糕点和小糕点的数量，然后根据“大糕点数量是小糕点数量的一半”列一元一次方程求解，再根据每个礼盒装块大糕点和块小糕点，得出可装礼盒盒，最后由每位参与者可获得个糕点礼盒，即可得出结果． 【详解】解：设面粉制作大糕点用了面粉，则制作小糕点用了面粉． 根据题意，得， 解得， 则． 故制作大糕点用了面粉，制作小糕点用了面粉． （盒），（盒）， 所以这批糕点可装640盒． （人）． 故这批糕点装成的礼盒够发给320人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键． 【变式14-3】．某车间有技工85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个，2个甲种部件和3个乙种部件配一套，问加工甲、乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？ 【答案】加工的甲部件的有25人，加工的乙部件的有60人． 【分析】此题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 两个甲种部件和三个乙种部件配成一套的等量关系为：甲种部件的个数乙种部件的个数，设加工的甲部件的有人，则加工的甲部件的人数加工的乙部件的人数，进而列方程求解即可. 【详解】解：设加工的甲部件的有人，加工的乙部件的有人． 可得：， 解得：， ． 所以加工的甲部件的有25人，加工的乙部件的有60人． 考点15球赛积分问题 例15．为响应河南省“2024全民阅读”系列活动，某校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答． A，B，C三位参赛者得分情况如下表所示，求参赛者C答对的题数． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 58 【答案】参赛者C答对的题数为13 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先根据题意求出答对一道题得5分，错一道扣1分，再设参赛者C答对的题数为x，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由参赛者A可得，答对一题得（分）， 结合参赛者B可得，答错一题扣（分）. 设参赛者C答对的题数为x， 根据题意，得， 解得：． 答：参赛者C答对的题数为13． 【变式15-1】．在学校篮球比赛中，李军2分球和3分球共投进8个，共得19分，他2分球和3分球各投进多少个？ 【答案】他2分球投进5个，3分球投进3个 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设2分球投进x个，则3分球投进个，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设2分球投进x个，则3分球投进个， 根据题意，得， 解得， ， 答：他2分球投进5个，3分球投进3个． 【变式15-2】．某次足球联赛的积分规则是：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．本次联赛中，已知A队在前25场比赛中共积52分，且胜的场数是负的场数的5倍． (1)设A队在前25场比赛中负x场，请用含x的式子将下表填写完整； A队 场数（单位：场） 积分（单位：分） 胜 _______ _______ 平 _______ _______ 负 0 总计 25 52 (2)求A队在前25场比赛中，胜、平、负的场数各是多少？ 【答案】(1)填表见解析 (2)胜15场，平7场，负3场 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，正确的列出代数式，是解题的关键： （1）根据胜的场数是负的场数的5倍，得到胜场数，再用总数减去胜场数减去负场数，得到平场数，再根据胜一场得3分，平一场得1分，求出胜场积分和平场积分即可； （2）根据A队在前25场比赛中共积52分，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，填表如下： A队 场数（单位：场） 积分（单位：分） 胜 平 负 0 总计 25 52 （2）解：根据题意，得 解这个方程，得 ，． 因此，A队胜15场，平7场，负3场． 【变式15-3】．学校班级篮球循环赛积分规则是，任何两班比赛都必须决出胜负，胜一场得3分，负一场得分．七（一）班共需要比赛场，已经比赛的场得分是分． (1)求七（一）班前场胜的场数． (2)若七（一）班总积分想超过分，至少还要胜多少场？ 【答案】(1)七（一）班前场胜的场数是8 (2)七（一）班总积分想超过分，至少还要胜场 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题关键是准确列出方程或不等式求解． （1）设七（一）班前场胜的场数是x，先用表示出负的场数， 再列出方程求解； （2）设七（一）班还要胜y场，先用y表示出负的场数， 根据题意列不等式求解． 【详解】（1）解：设七（一）班前场胜的场数是x，则负的场数是， 根据题意列方程得：， 解得， 答：七（一）班前场胜的场数是8； （2）设七（一）班还要胜y场，则负场， 根据题意列不等式：， 解不等式得， 根据题意，y取正整数， ∴y的最小正整数解为． 答：七（一）班总积分想超过分，至少还要胜场． 考点16 分段计费问题 例16．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这个月这户只需交10元用电费，如果超过a度，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度0.5元交费． (1)某户居民2月份用电90度，超过了规定的a度，则超过部分应该交电费多少元（用含a的代数式表示）？ (2)图表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况： 月份 用电量 交电费总数 3月 80度 25元 4月 45度 10元 根据表数据，列方程求电厂规定的a的值． 【答案】(1)超过部分应该交电费元 (2) 【分析】此题考查列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是正确找到等量关系． （1）根据题意找到数量关系，列出代数式； （2）观察图表可得出3月份的用电量超过了a度，而4月份的用电量在a度以内，那么可根据3月份的用电情况来求A的值．根据不超过A度的缴费额月份超过a度部分的缴费额总的电费列出关于a的方程，进而可求出a的值，然后可根据4月份的用电量在a度以内可大致判断出a的取值范围，由此可判定解出的a的值是否符合题意． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得， 整理得， 解得， 由4月份交电费10元看出4月份的用电量45度没有超过a度， ∴， ∴． 答：规定用电的度数为50度． 【变式16-1】．为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按元收费；如果超过100度不超过200度，那么超过部分每度按元收费；如果超过200度，那么超过部分每度按元收费． (1)若某户居民在10月份用电90度，则他这个月应缴纳电费多少元？ (2)若某户居民在11月份缴纳电费76元，那么他这个月用电多少度？ (3)如果某户每月用电量超过200度，设用电量为度，那么你能用含的式子来表示该户应缴纳的电费吗？ 【答案】(1)45元 (2)140度 (3)元 【分析】本题考查了有理数乘法的应用、一元一次方程的应用、列代数式，找准等量关系，正确建立方程是解题的关键． （1）利用用电的度数乘以即可得； （2）设他这个月用电度，先根据收费标准可得，再根据收费标准建立方程，解方程即可得； （3）根据收费标准列出代数式即可得． 【详解】（1）解：由题意得：（元）， 答：他这个月应缴纳电费为45元； （2）解：设他这个月用电度， 因为，，， 所以， 由题意得：， 解得， 答：他这个月用电140度； （3）解：由题意得：该户应缴纳的电费为元， 答：该户应缴纳的电费为元． 【变式16-2】．某省公布的居民用电阶梯定价听证方案如下：     第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档次提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量度，则需交电费的计算过程如下 元． (1)如果按此方案计算，小华家5月份的电费为元，请你求出小华家5月份的用电量； (2)依此方案，请你用学过的数学方法说明：若小华家某月的电费为元，则小华家该月用电量属于第几档？ 【答案】(1)小华家5月份的用电量是度 (2)当时，小华家该月用电量属于第一档；当时，小华家该月用电量属于第二档；当时，小华家该月用电量属于第三档． 【分析】本题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示用电量在某一档时的电费是解题的关键． （1）先计算出用电度和用电度的电费分别为元和元，可知小华家月份的用电量大于度而小于度，设小华家月份的用电量是度，可列方程，解方程求出的值即可； （2）由（1）可知，，则该月用电量为第一档；，则该月用电量为第二档；，则该月用电量属于第三档，由此即可确定小华家该月用电量属于第几档． 【详解】（1）解：元，元， 用电度和用电度的电费分别为元和元， ， 小华家月份的用电量大于度而小于度， 设小华家月份的用电量是度， 根据题意得， 解得， 答：小华家月份的用电量是度． （2）由（1）可知，当时，小华家该月用电量属于第一档； 当时，小华家该月用电量属于第二档； 当时，小华家该月用电量属于第三档． 【变式16-3】．为鼓励居民节约用电，某市实行阶段电价收费制，具体执行方案如表： 阶段 每户每月用电（度） 执行电价（元/度） 第一段 小于等于 第二段 大于小于 第三段 大于等于 某户居民五六月份共用电度，缴电费元．已知该用户六月份用电量大于五月份．问该户居民五、六月份用电多少度？ 【答案】五月份用电度，六月份用电度 【分析】本题考查了利用分类讨论的方法，列出一元一次方程来解决实际问题，总价=单价×数量是解决本题的关键．根据两个月份用电量共是度，六月份用电量大于五月份用电量．分两种情况来讨论．①五月份用电量小于度；②五月份用电量大于度，分别列出方程求解即可． 【详解】解：设五月份用电量为，则六月份用电量为， ∴该用户六月份用电量大于五月份， ∴ 当五月份用电量时，六月份用电量一定大于． 当六月份电量小于时， 根据题意可列方程： 解得，不符合题意． 当六月份电量大于等于时， 根据题意可列方程： 解得： 六月份电量为： ②当五月份用电量且六月份用电量为． 根据题意可列方程： 方程无解，不符合题意． 答：五月份用电度，六月份用电度． 考点17方案设计问题 例17．一位商人来到一座新城市，想租一套房子，房东的条件是先交2000元（退租后不返还），每月租金1200元；房东的条件是每月租金1400元． (1)这位商人想在这座城市住半年，则租哪个房东的房子划算？ (2)当这位商人住多少个月时，租两个房东的房子所需租金一样？ 【答案】(1)住半年时，租房东的房子划算 (2)当这位商人住10个月时，租两个房东的房子所需租金一样 【分析】分别计算住半年时,房东的租金并比较； 设住的月数为未知数，根据租金一样列一元一次方程求解． 【详解】解：（1）如果住半年，交给房东的租金是（元）； 交给房东的租金是（元）． 因为，所以住半年时，租房东的房子划算． 故答案为：住半年时，租房东的房子划算． （2）设当这位商人住个月时，租两个房东的房子所需租金一样． 根据题意，得，解得． 故当这位商人住10个月时，租两个房东的房子所需租金一样． 故答案为：当这位商人住10个月时，租两个房东的房子所需租金一样． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用（收费问题），解题关键是根据不同房东的收费模式，准确列出租金的表达式，再通过计算或列方程求解． 【变式17-1】．1套检测仪器由2个部件和3个部件构成，用钢材可以做40个部件或240个部件． (1)若要用钢材制作若干套这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件？ (2)现在某公司要租赁这批仪器套，每天的付费方案有如下两种： 方案一：当不超过60时，每套支付租金100元；当超过60时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当超过60时，选择哪种租赁方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)用钢材做部件，用钢材做部件 (2)当时，选择方案二更合算，当时，两种方案费用相同；当时，选择方案一更合算． 【分析】（1）设应用钢材做A部件，钢材做B部件，根据一套检测仪器由两个A部件和三个B部件构成，列方程求解；                                                                                                                                                                                   （2）方案一租金根据当a超过60套时，超过的套数每套支付租金打八折列式计算可得；方案二租金根据每套支付租金90元列式计算可得；根据,得到，三种情况分析即可； 【详解】（1） 解：设用钢材做部件，用钢材做部件．依题意，得，解得，则． 答：用钢材做部件，用钢材做部件． （2）解：方案一：元． 方案二：元． 当时，解得． 答：当时，，选择方案二更合算； 当时，两种方案费用相同； 当时，选择方案一更合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，配套问题的解决方法，解决问题的关键是正确理解题意列得方程或列式计算． 变式17-2】．某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 【答案】(1) (2)选旅行社便宜，原因见解析 【分析】本题考查了列方程解决实际问题，通过分析题目可以知道，本题考查的是列方程解决实际问题． （）设当学生有人时，两家旅行社收费一样多，依据旅行社各自 的优惠策略，列出方程即可解出未知数． （）当带名学生时，分别算出两家旅行社的收费，进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设当学生有人时两家旅行社收费一样多，依题意有： 整理方程，得 解得 答：学生人数是人时，收费一样多， （2）旅行社收费：元， 旅行社收费：元， 因为， 所以选旅行社便宜； 原因是学生数超过收费相等的人后，旅行社学生半价的优惠在人数增加时，总费用增长更慢，优惠力度体现更明显． 答：当学生人数是人时，选旅行社划算． 变式17-3】．随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们的出行方式有了更多的选择．下图是某市两种网约车的收费标准： TAXI起步费：14元 超3km费：超过的部分2.2元/km 远途费：超过10km的部分，加价1元/km 小A出行 起步费：10元 里程费：2.4元/km 远途费：超过10km的部分，加价0.8元/km 时长费：0.4元/min（速度：40km/h） 请回答问题：元旦期间，小明外出游玩，约车时发现小A出行有总费用打八折的优惠活动．于是小明决定选乘小A出行．付费后，细心的小明发现，相同的里程，享受优惠活动后的小A出行的费用还是比出租车多了1.8元．求小明乘车的里程数． 【答案】6km或15km 【分析】设小明乘车里程数为km，分三种情况列方程解决问题． 【详解】解：设小明乘车的里程数为km. ：起步费元，超过km部分，每km元，超过km，每km加价元； 小A出行（优惠：总费用打8折）：起步费元，里程费，超过公里部分，每公里加价元；时长费（速度,因此时长为分钟，时长费元）. ①当时， 解得：(舍去)； ②当时， 解得：； 当时，， 解得： . 综上所述，小明乘车的里程数为6km或15km. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 考点18几何图形问题 例18．如图，长为50cm、宽为的大长方形被分割成8块．除阴影A，B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边的长为． (1)由图可知，每块小长方形较长一边的长为________cm（用含a的代数式表示），图中2块阴影部分的周长和为________cm（用含x的代数式表示）． (2)当a为何值时，2块阴影部分的周长相等？ 【答案】(1)， (2)当时，2块阴影部分的周长相等． 【分析】（1）从图可知，的最长边为cm，再列式计算块阴影部分的周长和； （2）根据两块阴影的周长相等列方程即可求解． 【详解】（1）解：根据图形得的最长边为cm， 观察图形可得，的长+的宽=cm，的宽+的长=cm， 所以两块阴影的周长和的长的宽的长的宽的长的宽的宽的长（cm）； 故答案为：，； （2）解：的周长为的周长为， 令， ， 解得． 故当时，块阴影部分的周长相等． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出代数式． 【变式18-1】．如图所示，A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，且，O为原点，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1) ________； ________； (2)当时，P、Q两点间的距离为________； (3)在运动过程中是否存在时间t使A、P两点间的距离与B、Q两点间的距离相等？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (4)若点M同时从点B以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向运动，直接写出t为何值时，P、Q、M三点满足其中一点到另外两点距离相等（任意两点或者三点重合除外）． 【答案】(1) (2)9 (3)存在，或 (4)或或 【分析】本题考查了数轴上的点的移动，两点间的距离，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）列出P、Q两点距离的代数式，代入t运算即可； （3）根据列方程求解即可； （4）分3种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）t秒后点P表示的数是，点Q表示的数是， ， 当时， ． 故答案为：9； （3）当时， ， 解得或； （4）由题意得，t秒后点M表示的数是， 当点M和点Q重合时， ， 解得． 当点M和点P重合时， ， 解得． 当时，即点Q在P、M之间， ， 解得； 当时，即点M在P、Q之间， ， 解得； 当时，即点P在M、Q之间， ， 解得； 综上可知，当或或时，P、Q、M三点满足其中一点到另外两点距离相等． 【变式18-2】．如图，点A在原点左侧且表示的数是4的一个平方根，点B在原点的右侧，且． (1)直接写出点A，B所表示的数． (2)数轴上有一点P，使，求点P所表示的数． 【答案】(1)和10 (2)2或 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴、两点间距离等知识，解题的关键是理解题意，题目比较简单． （1）根据题意可得出A表示的数为，由且点B在原点的右侧可求出点B表示的数； （2）根据题意需要分两种情况：若点P在线段上，若点P在线段的延长线上，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵点A在原点左侧且表示的数是4的一个平方根， ∴点A表示的数为， ∴， 又点B在原点的右侧， ∴B表示的数为10， ∴A，B表示的数分别为和10． （2）解：设点P所表示的数为x． 若点P在线段上，由题意得：， 解得； 若点P在线段的延长线上，由题意得：， 解得； ∴点P表示的数为2或． 【变式18-3】．如图，在长方形中，，点E是边上的一点，分别长，满足．动点P从B点出发，以的速度沿运动，最终到达点D．设运动时间为． (1)___________，__________． (2)把四边形的周长平分，求t的值？ (3)另有一点Q从点E出发，按照的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．___________时，的面积等于． 【答案】(1)6；6 (2) (3)3或或10 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积和绝对值与偶次方的非负性，解题关键是利用分类讨论的数学思想解决问题． （1）根据偶次方和绝对值的非负性，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可； （2）先根据已知条件求出，，再根据把四边形的周长平分列出关于t的方程，解方程求出t即可； （3）分三种情况讨论：①点P在上时，②相遇前，点P在上，③相遇后，点P与点D重合，Q都在上，分别画出图形，再根据面积公式进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴，， ∵运动时间为， ∴，， ∵把四边形的周长平分， ∴， ， 解得：； （3）解：分三种情况讨论： ①点P在上时，如图所示： ∵的面积， ， 解得：； ②相遇前，点P在上， 由题意得：，， ∴ ， ∴的面积， ， 解得：； ③相遇后，点P与点D重合，P，Q都在上，如图所示： 由题意得：，， ∴， ∴， ∴的面积， ， 解得：， ∴或或10， 故答案为：3或或10． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列变形过程中，属于移项的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程的解法：移项，移项要变号是解题的关键． 逐个选项判断是否是移项即可． 【详解】解：A、由，得，这是系数化为，故选项不符合题意； B、由，得，这是系数化为，故选项不符合题意； C、由，得，变号后从方程左边移到右边成，选项符合题意， D、由，得，这是方程左边进行了加法交换律，故选项不符合题意． 故选：． 2．若是方程的解，则a的值是（   ） A． B．36 C．72 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程计算即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：将代入到方程中 得： 解得： 故选：． 3．解方程，去分母时，方程两边应该都乘（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据去分母乘以分母的最小公倍数即可解答问题. 【详解】解：去分母时方程两边同乘以分母的最小公倍数， 方程两边同乘以. 故选：． 4．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是，小明很快补好了这个常数，这个常数应是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，将代入被污染的方程，即可求解． 【详解】解：是方程的解， ∴， ， 即被污染的常数应是1． 故选：A． 5．有下列变形： ①方程去分母，得； ②方程两边同除以，得； ③方程移项、合并同类项，得； ④方程两边同乘6，得． 其中错误的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键． 各方程变形得到结果，即可作出判断． 【详解】解：①方程去分母，得，变形正确，不符合题意； ②方程两边同除以，得，原变形错误，符合题意； ③方程移项、合并同类项，得，原变形错误，符合题意； ④方程两边同乘6，得，原变形错误，符合题意． 其中错误的有②③④，个数是， 故选：B． 6．小明设计了一个“幻方”游戏，现在将1，，3，，5，，7，分别填入如图所示的圆圈内，使横、竖两条线及内、外两个正方形的顶点上的4个数字之和都相等，则的值为（   ） A．1或 B．4或 C．1或 D．或8 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是． 由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是，列等式可得结论． 【详解】解：设小正方形顶点上的数字为c，大正方形顶点上的数字为d，如图， ∵， ∴， ∴横、竖两条线及内、外两个正方形的顶点上的4个数字之和为， ∴，解得， ∴，解得， ∴， 即， 当，时，， 当，时，， 则的值为4或． 故选：B ． 7．《孙子算经》中记载了这么一道题：“今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽．问：城中家几何？”大意为今有100头鹿进城，每家取1头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取1头，恰好取完．问：城中有多少户人家？设城中有户人家，则的值为（   ） A．25 B．40 C．50 D．75 【答案】D 【分析】根据“今有头鹿进城，每家取头鹿，没有取完，剩下的鹿每家共取头，恰好取完”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得： 解得 故答案为：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 8．2020年下半年，某市降水偏少，饮用水告急，市供水公司在一段时间内实施限制性供水，限制性供水会出现三种情况：①白天停水，晚上供水；②白天供水，晚上停水；③全天低压供水．小明记得在这段时间内共有6个晚上有水，7个白天有水，有9天出现了（白天或晚上）停水，这段限制性供水时间共持续了（   ） A．9天 B．10天 C．11天 D．12天 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用（天数计算问题），解题的关键是设总持续天数为未知数，利用“停水天数=白天停水天数+晚上停水天数”的关系建立方程，其中白天停水天数=总天数-白天有水天数，晚上停水天数=总天数-晚上有水天数． 设限制性供水总持续天数为，用表示白天停水天数（）和晚上停水天数（）；根据“总停水天数为9”列方程；求解方程得到，再对应选项确定答案． 【详解】解：设这段限制性供水时间共持续了天， ∵白天停水天数为，白天有水天数为7， ∴白天停水天数为； ∵晚上停水天数为，晚上有水天数为6， ∴晚上停水天数为； 又∵总停水天数为9，且停水包括白天停水和晚上停水， ∴列方程：， 化简方程：． 故选：C． 9．学校需要定制一批3条腿的桌子．已知某工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或300条桌腿．为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则生产桌面的工人应安排（   ） A．18名 B．21名 C．20名 D．16名 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键． 设需要安排名工人生产桌面，则安排名工人生产桌腿，再根据1个桌面配3条桌腿列出方程即可． 【详解】解：设需要安排名工人生产桌面，则安排名工人生产桌腿，根据题意得： 解得： 答：需要安排名工人生产桌面． 故选：． 10．如图，四边形是一个边长为10米的正方形，甲、乙两玩具车分别从A、B两地同时出发，都沿的方向行走，甲车每分钟走6米，乙车每分钟走10米，则两玩具车第一次相遇时所处位置是在正方形的边（    ） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程中行程问题中的追及问题，解题的关键是根据路程差建立方程求出相遇时间，再确定相遇位置． 先设经过分钟相遇，根据乙车与甲车的路程差为30米，列方程，求出相遇时间分钟；再计算甲车行驶的路程米，结合正方形周长40米，得出甲车从出发走米，从而确定相遇位置． 【详解】解：设经过分钟相遇，根据题意得 ，可得． 解得． 甲走了米， （圈）（米）， 从出发走米，就在上， 所以相遇位置在上， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．规定：，已知， 那么( )． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，因为，所以，然后解方程即可，掌握一元一次方程解法是解题的关键． 【详解】解：因为， 所以 ， 故答案为：． 12．若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是能得出关于的一元一次方程． 把代入方程，即可得出一个关于的一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程， 得． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 故答案为：． 13．在如图所示的运算流程中，若输出的数，则输入的数 【答案】或 【分析】本题考查了运用一元一次方程解实际问题，解一元一次方程，由运算流程可以得出有两种情况，当输入的x为偶数时就有，当输入的x为奇数时就有，把分别代入解析式就可以求出x的值而得出结论． 【详解】解：由题意得：当输入的数x是偶数时，则，当输入的数x是奇数时，则， 当时， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 14．若代数式比的值大，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤和方法． 根据题意，列出一元一次方程，然后解一元一次方程，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： 去分母得： 去括号得： 合并同类项，移项得： 系数化为得： 故答案为：． 15．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，第 个图形有2025颗棋子． 【答案】674 【分析】本题考查了图形的变化规律，一元一次方程的应用等知识，根据棋子个数变化找出规律是解题关键﹒观察图形得第1个图形有个棋子，第2个图形有个棋子，第3个图形有个棋子，第4个图形有个棋子，……第n个图形有个棋子，据此列方程，解方程即可求解﹒ 【详解】解：观察图形得 第1个图形有个棋子， 第2个图形有个棋子， 第3个图形有个棋子， 第4个图形有个棋子， …… ∴第n个图形有个棋子， ∴ ∴ 故答案为：674 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解． （1）方程去括号，移项，合并，把系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并，把系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2） 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 17．(8分)“分数均可化为有限小数或无限循环小数”反之“有限小数或无限循环小数怎样化为分数呢” 例如：或， 反之或． 那么怎么化为． 解：因为 所以不妨设，则上式变为 解得 即 根据以上材料，回答下列问题： (1)将分数化为小数：___________ (2)将小数化为分数．（写出推理过程） 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了分数小数互化，一元一次方程，能够正确转化是解题的关键． （1）将分数化为小数即可； （2）根据分析材料，将小数化为分数即可 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：因为， 所以不妨设，则上式变为， 解得， 即． 18．（8分）某小区组织了篮球比赛，比赛分初赛阶段和决赛阶段．在初赛阶段中，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负．积分规则如下：胜1场积2分，负1场积1分，积分超过15分才能获得决赛资格． (1)若甲队在初赛阶段获得4场胜利，问：甲队是否有资格参加决赛？请说明理由， (2)已知乙队在初赛阶段的积分为18分，求乙队在初赛阶段胜、负的场数． 【答案】(1)甲队没有资格参加决赛，理由见解析 (2)乙队在初赛阶段胜8场，负2场 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的数量关系，并据此列出方程求解． （1）用胜的场数×胜场积分+负的场数×负场积分列式计算可得； （2）设乙队在初赛阶段胜场，则负了场，根据以上数量关系列出方程，解之可得． 【详解】（1）解：甲队没有资格参加决赛，理由如下： 甲队积分为（分），， 所以甲队没有资格参加决赛． （2）解：设乙队在初赛阶段胜x场，则负场． 由题意，得， 解得， 所以． 故乙队在初赛阶段胜8场，负2场． 19．（8分）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为……第一步， 方程两边同时乘15，得……第二步， 去括号，得……第三步， 移项，得……第四步， 合并同类项，得……第五步， 系数化为1，得……第六步 上述小明的解题过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． 请你写出正确的解题过程． 【答案】三，去括号时没有改变符号；正确的解题过程见解答 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握其求解步骤是本题的关键．按照一元一次方程的求解步骤逐步检查并纠正即可． 【详解】解：小明的解题过程从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时没有改变符号． 故答案为：三，去括号时，与相乘的积的符号错误； 正确的解题过程如下： 原方程可化为：， 方程两边同时乘15，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 20．（8分）为扎实推进“精准扶贫”工作，某“贫困户”在党和政府的关怀和帮助下投资了一个鱼塘，经过一年多的精心养殖，今年10月份从鱼塘里捕捞了草鱼和花鲢鱼共2500千克，在市场上草鱼以每千克16元的价格出售，花鲢鱼以每千克24元的价格出售．这样该贫困户10月份收入52000元，今年10月份从鱼塘里捕捞了草鱼和花鲢鱼各多少千克？ 【答案】草鱼1000千克，花鲢鱼1500千克 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设10月份从鱼塘里捕捞草鱼x千克，则10月份从鱼塘里捕捞花鲢鱼千克，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设10月份从鱼塘里捕捞草鱼x千克，则10月份从鱼塘里捕捞花鲢鱼千克， 根据题意列方程得，， 解得， 则， 答：10月份从鱼塘里捕捞草鱼千克，捞花鲢鱼千克． 21．（8分）阅读与思考 阅读下列材料，完成任务． 用特殊方法解一元一次方程的研究报告 研究对象：方程的特殊解法． 研究思路：拆项→换元→整体代入 研究内容：①除了采用直接去分母的方法解该方程之外，我们也可以将方程转化为 即； ②这时我们可设，方程可化为， 解得； ③，，解得____▲______． 任务： (1)材料中“▲”处是_____． (2)利用材料中的方法解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，读懂题意，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据题意求出即可得到答案； （2）模仿材料中的拆项和换元法，将复杂方程转化为简单方程求解即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 设， 则原方程可化为， 解得， ， 解得． 22．（12分）用美的眼光观察世界，用数学的思维思考世界．九（1）班同学到户外从事实践活动，发现一段直的健身道是由三种地砖组成（如图1所示），标记①为方砖，其边长为0.5米；标记②为长砖，其长为1米，宽为0.25米；标记③是花砖． 【观察思考】如图2所示，当花砖只有1块时，方砖有4块，长砖2块；如图3所示，当花砖有2块时，方砖有6块，长砖4块；以此类推． 【总结归纳】（1）若健身道上每增加1块花砖，则长砖增加______块； （2）若这条健身道一共有n（n为正整数）块花砖，则方砖的块数为______，这条健身道的长度是______米（用含n的代数式表示）． 【规律应用】（3）同学们查阅有关资料知这条健身道长度为233米，请你计算这条健身道用了多少块长砖？ 【答案】（1）2；（2）；；（3）长砖用了310块 【分析】本题主要考查了图形规律探索，用代数式表示图形规律，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据图形找出规律． （1）根据已知图形找出规律进行解答即可； （2）根据图形找出规律，列出代数式即可； （3）根据健身道的长度列出方程，解方程得出花砖的块数，然后再求出长砖的块数即可． 【详解】解：（1）根据给出的图形可知：若健身道上每增加1块花砖，则长砖增加2块； （2）∵有1块花砖时，方砖块数为4，有2块花砖时，方砖块数为6， ∴有n块花砖时，方砖块数为， 这条健身道长度为：米． （3）令， 解得：， 当时，， 即长砖用了310块． 23．（13分）综合探究 【课本再现】在数轴上，点、分别表示数，点之间的距离就是中较大的数减去较小的数的差．如图1，我们有距离：，    【知识应用】 （1）如图1，是数轴上一点．若、两点间的距离，则点表示的数为________； （2）如图2，已知数轴上有、两点，分别表示的数为，若点从点出发以每秒2个单位的速度向右运动，点从点出发以每秒1个单位的速度向左运动；设运动时间为秒． ①当时，此时__________； ②用含的代数式表示：运动秒后，点所在位置的点表示的数为__________；点所在位置的点表示的数为__________； 【延伸探究】 （3）在（2）的条件下： （i）求当为何值时，使得； （ii）在运动的过程中，点、、中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，请直接写出的值：__________． 【答案】（1）6或； （2）①12；②；； （3）（i）的值为3或9；（ii）2或或． 【分析】（1）已知，分类讨论当在右边时和当在左边时，分别计算点所表示的数； （2）①求出时，所表示的数，进而求出的值； ②数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可表示出，的位置； （3）（i）分类讨论，当在左边时和当在右边时，分别表示出的长度，再根据，列方程求出值； （ii）根据题意点、、中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，分三种情况讨论，通过分析这三点在数轴上的位置关系列出关于的方程，进而求解． 【详解】解：（1）由数轴可知点所表示的数为， ， 当在右边时，点所表示的数为， 当在左边时，点所表示的数为， 点所表示的数为6或， 故答案为：6或； （2）①当时，点表示的数为， 点表示的数为， ， 故答案为：12； ②运动秒后，点所在位置的点表示的数为， 点所在位置的点表示的数为， 故答案为：；； （3）（i）当在左边时，则， ， 又， ， 解得， 当在右边时，则， ， 解得， 综上所述，为3或9时，使得； （ii）当是，的中点时， 则， 解得， 当是，的中点时， 则， 解得， 当是，的中点时， 则， 解得， 综上所述，的值为2或或， 故答案为：2或或． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段的中点对应的数的计算方法，熟练的构建方程解题是关键． 知识清单 达标检测 思维导图 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 第五章一元一次方程小结与复习(知识点梳理+高频考点+达标检测） 知识点一：方程及有关概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程. 2.方程的解 使方程的左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 如是的解. 3.解方程 解方程就是求出方程的解的过程. 所谓“解方程”就是求出方程的解“”的形式. 【归纳】检验一个数值是不是方程的解的步骤： （1）将数值代入方程左边进行计算； （2）将数值代入方程右边进行计算； （3）比较左右两边的值，若左边＝右边，则是方程的解；反之，则不是. 知识点二：一元一次方程 1、在一个方程中，只含有一个未知数（元），且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程. 2、一元一次方程的标准形式是：（其中是未知数，、是常数，且） 【归纳】判断一个方程是否为一元一次方程 （1）只含有一个未知数； （2）未知数的次数是1； （3）整式方程； （4）看化简后的方程 注：未知数的系数不能是0. 知识点三：等式的基本性质 等式的基本性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍然成立. 即 如果，那么. 等式的基本性质2：等式的两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立. 即 如果，那么； 如果，那么. 【注意】等式的基本性质注意事项： （1）等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算. 　　　 （2）等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子. （3）等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母. 【要点诠释】 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变. 即： (其中) 如，解方程. 先利用分式的基本性质，将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，可以将上述方程化为 . 知识点四：解一元一次方程 1、把等式一边的某项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项. 2、解方程时，移项的作用是：把同类项移到等式的某一边，以进行合并. 一般地，把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边. 【注意】 （1）去括号法则：去括号，看符号：是“”号，不变号；是“”号，全变号. （2）去括号时应将括号前面的符号连同括号一起去掉； （3）去括号时不要漏项. 知识点五：列一元一次方程解应用题的一般步骤 1、实际问题，通过建立数学模型，借助一元一次方程解决. 关键是找等量关系，设未知数，把等量关系用一元一次方程表示出来. 【注意】列方程解应用题，必须根据实际意义检验解的合理性. 【归纳】列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题，分析题目中已知什么，未知什么，寻找等量关系； （2）设未知数，一般是求什么设什么为未知数，但有时也可以间接设未知数； （3）列方程，借助等量关系，列出方程； （4）解方程 （5）检验，看方程的解是否符合题意； （6）答，写出结果. 考点1 判断方程与一元一次方程 例1．下面式子中，是方程的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1-1】．下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】．下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 考点2 根据方程的定义求参数 例2．若是关于的一元一次方程，则 ． 【变式2-1】．若 是关于的一元一次方程，则 【变式2-2】．已知是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 【变式2-3】．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)请判断和是否为方程的解． (3)求的值． 考点3 等式的性质及利用性质变形 例3．下列变式正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-1】．下列各式运用等式的基本性质变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-2】．下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式3-3】．运用等式的基本性质，下列变形错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点4 解一元一次方程 例4．解下列方程： (1)． (2)． 【变式4-1】．解下列方程： (1)． (2)． 【变式4-2】．解方程： (1)； (2)． 【变式4-3】．观察方程，你有简捷的解法吗？写出你的解法． 考点5 同解方程 例5．当k取何值时，方程和方程的解相同？ 【变式5-1】．若关于的一元一次方程与的解相同，求的值． 【变式5-2】．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)若关于的方程与方程的解相同，求的值． 【变式5-3】．已知关于x的方程的解与方程的解相同，试求的值． 考点6 方程的整数解 例6．关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【变式6-1】．在关于x的一元一次方程中，m是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求m的值． 【变式6-2】．已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【变式6-3】．已知关于x的一元一次方程，其中m是正整数． (1)当时，解这个方程； (2)若该方程有正整数解，求m的值． 考点7 根据方程的解求参数 例7．已知a，b为常数，关于x的方程 ，不论k取何值，方程的解总为，求a，b的值． 【变式7-1】．关于的方程，解为时，求的值． 【变式7-2】．已知，，关于的方程的解为，求的值． ． 【变式7-3】．如果是关于的方程的解，求的值． ． 考点8根据一元一次方程解的关系求参数 例8．已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【变式8-1】．已知关于x的方程的解与的解互为相反数． (1)求a的值； (2)求代数式 的值． 【变式8-2】．已知关于x的方程的解比方程的解大5，求a的值． 【变式8-3】．若关于的方程的解是关于的方程的解的倍，求关于的方程的解． 考点9 一元一次方程错解问题 例9．小红在解关于的方程：时，误将方程中的“”看成了“”，得到方程的解为，请你帮小红求出的值并求出原方程的解． 【变式9-1】．小明在解方程（为未知数）时，误将“”看成了“”，解得方程的解是，请帮助小明求出原方程的解． 【变式9-2】．小明在解关于x的方程时，误将看成了，得到方程的解为，请聪明的你帮小明算一算方程的正确解． 【变式9-3】．七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小颖求出“”处的数字． (2)请你求出原方程正确的解． 考点10 一元一次方程和差倍分问题 例10．某学校有小学部和初中部，在对口援助边远山区学校活动中，原计划共赠书册，由于学生的积极响应，实际赠书册，其中小学部比原计划多赠了，初中部比原计划多赠了，问该校初中部原计划赠书多少册？ 【变式10-1】．有一户人家，父亲和儿子同一天过生日，已知父亲38岁时，儿子10岁，现在父亲的年龄是儿子年龄的2倍，那么现在父子两人各多少岁？再过几年两个人的年龄加起来等于100岁？ 【变式10-2】．某饮料店有一桶奶茶．上午售出其中的，下午售出，晚上售出剩下的．最后剩下的奶茶再减刚好半桶，问一桶奶茶共有多少升？ 【变式10-3】．宁波火车站北广场将于2017年底投入使用，计划在广场内种植A、B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．问：A、B两种花木的数量分别是多少棵？ 考点11 行程问题 例11．甲、乙、丙三人同时从A城出发去往B城，丙先步行，甲骑车带乙到D处，乙下车向B城步行，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，再带丙到B城，结果三人同时到B城，已知乙、丙的步行速度都为5公里/小时，甲骑车速度为15公里/小时，A、B两城相距120公里，问乙步行了多少公里？ 【变式11-1】．一列匀速前进的火车，从它开始进入米长的隧道到完全通过隧道共用了秒，隧道顶部一盏固定的小灯的灯光在火车上照射了秒钟，求这列火车的长为多少米？ 【变式11-2】．某校组织部分师生从学校（A地）到300km外的B地进行“红色之旅”（革命传统教育），租用了客运公司的甲、乙两辆车，其中乙车速度是甲车速度的．两车同时从学校出发，以各自的速度匀速行驶，行驶2h后甲车到达服务区C地，此时两车相距40km，甲车在服务区休息15min后按原速度开往B地，乙车行驶过程中未停留． (1)根据题意画出示意图，并借助示意图求甲、乙两车的速度． (2)甲车在C地结束休息后再行驶多长时间，甲、乙两车相距30km？ 【变式11-3】．甲、乙两地相距千米，、两车分别从甲乙两地开出，车每小时行驶千米，车每小时行驶千米． (1)若两车相向而行，车提前小时出发，求车出发后几小时两车相遇？ (2)若、两车同向而行，车在前，车在后，车先行小时，求车出发几小时后两车相距千米？ 考点12 工程问题 例12．一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 【变式12-1】．甲、乙两公司一起竞标了一项工程．若甲、乙两公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少10天． (1)甲、乙两公司合作需要多少天完成？ (2)若甲、乙两公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ 【变式12-2】．一项工程，甲队单独完成需20天，乙队单独完成需25天． (1)若甲队单独做2天后两队再合作，求：甲乙两队再合作多少天才能把该工程完成； (2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为4000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元？ 【变式12-3】．某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 考点13 销售利润问题 例13．某工厂生产一种产品，成本为30元/件，销售方式有两种：①直销，售价为50元/件，每月开销4500元；②批发，售价为40元/件两种方式均需缴纳销售金额的税款． (1)若采用方式①，每月至少要销售多少件才不亏本？ (2)每月销售多少件时，采用两种方式的利润相同？ ． 【变式13-1】．某商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元，每件甲、乙两种商品的进价分别是80元、100元． (1)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品各多少件？ (2)在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获利润率为20%，每件乙种商品的售价为多少元？ 23．某品牌店铺销售一款扫地机器人，按统一标价打八折销售该款扫地机器人，可获利400元，其利润率为．如果按统一标价打九折销售该款扫地机器人，求获得的利润．（利润＝售价－进价，利润率＝×100%） 【变式13-3】．某市两家超市在元旦期间分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八八折优惠． 乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠，超过500元的部分打八折． 已知两家超市相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是_____． (2)当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？ 考点14 配套问题 例14．在手工制作课上，老师组织七年级（）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（）班共有名学生，每名学生每小时可以剪筒身个或剪筒底个，要求个筒身配个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【变式14-1】．某纺织厂生产床品四件套（1个床单，1个被套，2个枕套），现计划安排15名工人缝制枕套和被套，已知每人每天可缝制200个枕套或50个被套． (1)为使每天缝制的枕套和被套刚好配套，则每天缝制的被套有多少个？ (2)若每个枕套和每个被套均需1个拉链，现有600个枕套，300个被套，300个床单以及885个拉链，则最终能组成多少套四件套？ 【变式14-2】．乐业镇准备在敬老院开展重阳节活动，主办方计划为每位参与者分发糕点礼盒．已知制作1块大、小糕点分别要用面粉．现共用面粉制作糕点，其中大糕点数量是小糕点数量的一半．若每位参与者获得2个糕点礼盒，每个礼盒装有5块大糕点和8块小糕点，则这批糕点装成的礼盒够发给多少人？ 【变式14-3】．某车间有技工85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个，2个甲种部件和3个乙种部件配一套，问加工甲、乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？ 考点15球赛积分问题 例15．为响应河南省“2024全民阅读”系列活动，某校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答． A，B，C三位参赛者得分情况如下表所示，求参赛者C答对的题数． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 58 【变式15-1】．在学校篮球比赛中，李军2分球和3分球共投进8个，共得19分，他2分球和3分球各投进多少个？ 【变式15-2】．某次足球联赛的积分规则是：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．本次联赛中，已知A队在前25场比赛中共积52分，且胜的场数是负的场数的5倍． (1)设A队在前25场比赛中负x场，请用含x的式子将下表填写完整； A队 场数（单位：场） 积分（单位：分） 胜 _______ _______ 平 _______ _______ 负 0 总计 25 52 (2)求A队在前25场比赛中，胜、平、负的场数各是多少？ 【变式15-3】．学校班级篮球循环赛积分规则是，任何两班比赛都必须决出胜负，胜一场得3分，负一场得分．七（一）班共需要比赛场，已经比赛的场得分是分． (1)求七（一）班前场胜的场数． (2)若七（一）班总积分想超过分，至少还要胜多少场？ 考点16 分段计费问题 例16．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这个月这户只需交10元用电费，如果超过a度，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度0.5元交费． (1)某户居民2月份用电90度，超过了规定的a度，则超过部分应该交电费多少元（用含a的代数式表示）？ (2)图表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况： 月份 用电量 交电费总数 3月 80度 25元 4月 45度 10元 根据表数据，列方程求电厂规定的a的值． 【变式16-1】．为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按元收费；如果超过100度不超过200度，那么超过部分每度按元收费；如果超过200度，那么超过部分每度按元收费． (1)若某户居民在10月份用电90度，则他这个月应缴纳电费多少元？ (2)若某户居民在11月份缴纳电费76元，那么他这个月用电多少度？ (3)如果某户每月用电量超过200度，设用电量为度，那么你能用含的式子来表示该户应缴纳的电费吗？ 【变式16-2】．某省公布的居民用电阶梯定价听证方案如下：     第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档次提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量度，则需交电费的计算过程如下 元． (1)如果按此方案计算，小华家5月份的电费为元，请你求出小华家5月份的用电量； (2)依此方案，请你用学过的数学方法说明：若小华家某月的电费为元，则小华家该月用电量属于第几档？ 【变式16-3】．为鼓励居民节约用电，某市实行阶段电价收费制，具体执行方案如表： 阶段 每户每月用电（度） 执行电价（元/度） 第一段 小于等于 第二段 大于小于 第三段 大于等于 某户居民五六月份共用电度，缴电费元．已知该用户六月份用电量大于五月份．问该户居民五、六月份用电多少度？ 考点17方案设计问题 例17．一位商人来到一座新城市，想租一套房子，房东的条件是先交2000元（退租后不返还），每月租金1200元；房东的条件是每月租金1400元． (1)这位商人想在这座城市住半年，则租哪个房东的房子划算？ (2)当这位商人住多少个月时，租两个房东的房子所需租金一样？ 【变式17-1】．1套检测仪器由2个部件和3个部件构成，用钢材可以做40个部件或240个部件． (1)若要用钢材制作若干套这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件？ (2)现在某公司要租赁这批仪器套，每天的付费方案有如下两种： 方案一：当不超过60时，每套支付租金100元；当超过60时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当超过60时，选择哪种租赁方案更合算？请说明理由． 变式17-2】．某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 变式17-3】．随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们的出行方式有了更多的选择．下图是某市两种网约车的收费标准： TAXI起步费：14元 超3km费：超过的部分2.2元/km 远途费：超过10km的部分，加价1元/km 小A出行 起步费：10元 里程费：2.4元/km 远途费：超过10km的部分，加价0.8元/km 时长费：0.4元/min（速度：40km/h） 请回答问题：元旦期间，小明外出游玩，约车时发现小A出行有总费用打八折的优惠活动．于是小明决定选乘小A出行．付费后，细心的小明发现，相同的里程，享受优惠活动后的小A出行的费用还是比出租车多了1.8元．求小明乘车的里程数． 考点18几何图形问题 例18．如图，长为50cm、宽为的大长方形被分割成8块．除阴影A，B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边的长为． (1)由图可知，每块小长方形较长一边的长为________cm（用含a的代数式表示），图中2块阴影部分的周长和为________cm（用含x的代数式表示）． (2)当a为何值时，2块阴影部分的周长相等？ 【变式18-1】．如图所示，A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，且，O为原点，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1) ________； ________； (2)当时，P、Q两点间的距离为________； (3)在运动过程中是否存在时间t使A、P两点间的距离与B、Q两点间的距离相等？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (4)若点M同时从点B以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向运动，直接写出t为何值时，P、Q、M三点满足其中一点到另外两点距离相等（任意两点或者三点重合除外）． 【变式18-2】．如图，点A在原点左侧且表示的数是4的一个平方根，点B在原点的右侧，且． (1)直接写出点A，B所表示的数． (2)数轴上有一点P，使，求点P所表示的数． 【变式18-3】．如图，在长方形中，，点E是边上的一点，分别长，满足．动点P从B点出发，以的速度沿运动，最终到达点D．设运动时间为． (1)___________，__________． (2)把四边形的周长平分，求t的值？ (3)另有一点Q从点E出发，按照的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．___________时，的面积等于． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列变形过程中，属于移项的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．若是方程的解，则a的值是（   ） A． B．36 C．72 D． 3．解方程，去分母时，方程两边应该都乘（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 4．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是，小明很快补好了这个常数，这个常数应是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．有下列变形： ①方程去分母，得； ②方程两边同除以，得； ③方程移项、合并同类项，得； ④方程两边同乘6，得． 其中错误的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．小明设计了一个“幻方”游戏，现在将1，，3，，5，，7，分别填入如图所示的圆圈内，使横、竖两条线及内、外两个正方形的顶点上的4个数字之和都相等，则的值为（   ） A．1或 B．4或 C．1或 D．或8 7．《孙子算经》中记载了这么一道题：“今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽．问：城中家几何？”大意为今有100头鹿进城，每家取1头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取1头，恰好取完．问：城中有多少户人家？设城中有户人家，则的值为（   ） A．25 B．40 C．50 D．75 8．2020年下半年，某市降水偏少，饮用水告急，市供水公司在一段时间内实施限制性供水，限制性供水会出现三种情况：①白天停水，晚上供水；②白天供水，晚上停水；③全天低压供水．小明记得在这段时间内共有6个晚上有水，7个白天有水，有9天出现了（白天或晚上）停水，这段限制性供水时间共持续了（   ） A．9天 B．10天 C．11天 D．12天 9．学校需要定制一批3条腿的桌子．已知某工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或300条桌腿．为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则生产桌面的工人应安排（   ） A．18名 B．21名 C．20名 D．16名 10．如图，四边形是一个边长为10米的正方形，甲、乙两玩具车分别从A、B两地同时出发，都沿的方向行走，甲车每分钟走6米，乙车每分钟走10米，则两玩具车第一次相遇时所处位置是在正方形的边（    ） A．上 B．上 C．上 D．上 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．规定：，已知， 那么( )． 12．若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 13．在如图所示的运算流程中，若输出的数，则输入的数 14．若代数式比的值大，那么的值为 ． 15．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，第 个图形有2025颗棋子． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）解下列方程： (1)； (2)． 17．(8分)“分数均可化为有限小数或无限循环小数”反之“有限小数或无限循环小数怎样化为分数呢” 例如：或， 反之或． 那么怎么化为． 解：因为 所以不妨设，则上式变为 解得 即 根据以上材料，回答下列问题： (1)将分数化为小数：___________ (2)将小数化为分数．（写出推理过程） 18．（8分）某小区组织了篮球比赛，比赛分初赛阶段和决赛阶段．在初赛阶段中，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负．积分规则如下：胜1场积2分，负1场积1分，积分超过15分才能获得决赛资格． (1)若甲队在初赛阶段获得4场胜利，问：甲队是否有资格参加决赛？请说明理由， (2)已知乙队在初赛阶段的积分为18分，求乙队在初赛阶段胜、负的场数． 19．（8分）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为……第一步， 方程两边同时乘15，得……第二步， 去括号，得……第三步， 移项，得……第四步， 合并同类项，得……第五步， 系数化为1，得……第六步 上述小明的解题过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． 请你写出正确的解题过程． 20．（8分）为扎实推进“精准扶贫”工作，某“贫困户”在党和政府的关怀和帮助下投资了一个鱼塘，经过一年多的精心养殖，今年10月份从鱼塘里捕捞了草鱼和花鲢鱼共2500千克，在市场上草鱼以每千克16元的价格出售，花鲢鱼以每千克24元的价格出售．这样该贫困户10月份收入52000元，今年10月份从鱼塘里捕捞了草鱼和花鲢鱼各多少千克？ 21．（8分）阅读与思考 阅读下列材料，完成任务． 用特殊方法解一元一次方程的研究报告 研究对象：方程的特殊解法． 研究思路：拆项→换元→整体代入 研究内容：①除了采用直接去分母的方法解该方程之外，我们也可以将方程转化为 即； ②这时我们可设，方程可化为， 解得； ③，，解得____▲______． 任务： (1)材料中“▲”处是_____． (2)利用材料中的方法解方程：． 22．（12分）用美的眼光观察世界，用数学的思维思考世界．九（1）班同学到户外从事实践活动，发现一段直的健身道是由三种地砖组成（如图1所示），标记①为方砖，其边长为0.5米；标记②为长砖，其长为1米，宽为0.25米；标记③是花砖． 【观察思考】如图2所示，当花砖只有1块时，方砖有4块，长砖2块；如图3所示，当花砖有2块时，方砖有6块，长砖4块；以此类推． 【总结归纳】（1）若健身道上每增加1块花砖，则长砖增加______块； （2）若这条健身道一共有n（n为正整数）块花砖，则方砖的块数为______，这条健身道的长度是______米（用含n的代数式表示）． 【规律应用】（3）同学们查阅有关资料知这条健身道长度为233米，请你计算这条健身道用了多少块长砖？ 23．（13分）综合探究 【课本再现】在数轴上，点、分别表示数，点之间的距离就是中较大的数减去较小的数的差．如图1，我们有距离：，    【知识应用】 （1）如图1，是数轴上一点．若、两点间的距离，则点表示的数为________； （2）如图2，已知数轴上有、两点，分别表示的数为，若点从点出发以每秒2个单位的速度向右运动，点从点出发以每秒1个单位的速度向左运动；设运动时间为秒． ①当时，此时__________； ②用含的代数式表示：运动秒后，点所在位置的点表示的数为__________；点所在位置的点表示的数为__________； 【延伸探究】 （3）在（2）的条件下： （i）求当为何值时，使得； （ii）在运动的过程中，点、、中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，请直接写出的值：__________ 知识清单 达标检测 思维导图 学科网（北京）股份有限公司 $