专题20：空间点、直线、平面之间的位置关系 （5大考点+12大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题20 空间点、直线、平面之间的位置关系 知识点一．平面的基本性质 1、平面的基本性质 公理 公理1 公理2 公理3 叙述 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图示 符号表示 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使 且 ⇒ l且 作用 确定一个平面或判断“直线共面”的方法 ①检验平面； ②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 ①判定两平面相交； ②作两平面相交的交线； ③证明多点共线 2.三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 3.平行公理 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 4.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识点二、空间两直线的位置关系 1.空间两条直线的三种位置关系 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面 图形 符号 a∥b 公共点个数 1 0 0 特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内 2.异面直线的概念与判定 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托. (3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交. 3.异面直线所成的角 （1）定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)； （2）取值范围： （3）求异面直线所成的角的三个步骤 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角是异面直线所成的角． 三求：解三角形，求出所作的角． 知识点三、共面、共线及共点问题证明 共面、共线、共点问题的证明 （1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内． （2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． （3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 知识点四、截面问题 （1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． （2）作交线的方法有如下两种：①利用公理3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 知识点五、斜二测画法的常用结论： 1、在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” 2、按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：. 考点一 平面的基本性质 题型01：三种语言的相互转换 【例1】试用集合符号表示命题“若直线l上两点A、B在平面上，则直线l在平面上”，应为 ． 【答案】，，， 【分析】略 【详解】略 故答案为：，，， 【跟踪训练】 1.如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由图可知：， 故选：B 2.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 【答案】(1)详情见解析 (2)详情见解析 (3)详情见解析 【详解】（1）解：点在平面上，点不在平面上，如下图所示： （2）解：直线在平面上，直线与平面相交于点，且点不在直线上，如下图所示： ． （3）解：直线经过平面外一点和平面上一点，如下图所示： 3．如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】点和面、点和线的关系用“”或“”表示，故A错误； 线面关系用“”或“”表示，故BD错误； 根据图形有，C正确. 故选：C 题型02：平面的概念及基本性质 【例2】（2025高二·上海浦东新·期末）下列条件不能确定一个平面的是（    ） A．不共线三点 B．直线和直线上一点 C．两条平行直线 D．两条相交直线 【答案】B 【分析】根据确定平面的公理及其推论，即可判断． 【解析】经过不共线三点，有且只有一个平面，故A不符合题意； 经过直线和直线上一点，有无数个平面，故B符合题意； 经过两条平行直线，有且只有一个平面，故C不符合题意； 经过两条相交直线，有且只有一个平面，故D不符合题意． 故选：B． 【例3】（2025七宝中学高三阶段练习）在空间中，下列命题不正确的是（ ） A. 若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点 B. 若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C. 若点既在平面内，又在平面内，且与相交于直线，则点在上 D. 用任意平面截一个圆锥，夹在这个平面和底面间的几何体是圆台 【答案】D 【解析】选项A：如果两个平面有一个交点，则个平面必有过该点的一条交线， 所以这两个平面有无数个公共点，故A正确； 选项B：若其中三点共线，则一条直线和直线外一点确定一个平面， 则四点共面，与四个点不共面矛盾，所以其中任意三点不公线，故B正确； 选项C：若点既在平面内，又在平面内， 则点是两个平面的公共点，是两个平面的交线， 根据公共点一定在交线上，所以一定在上，故C正确； 选项D：只有平面与底面平行时，得到的平面和底面间的几何体才是圆台，故D错误. 故选：D 【跟踪训练】 1．（2021·上海市大同中学高三三模）下列命题正确的是（ ） A．三点确定一个平面 B．三条相交直线确定一个平面 C．对于直线、、，若，，则 D．对于直线、、，若，，则 【答案】C 【分析】根据平面的性质可判定AB，根据平行线间的传递性可判定C，根据空间直线的垂直关系可判定D. 【详解】对A，不在一条直线上的三点确定一个平面，故A错误； 对B，如正方体一个顶点出发的三条棱所在直线确定三个平面，故B错误； 对C，根据空间中平行线间的传递性可得若，，则，故C正确； 对D，若，，则相交、平行或异面，故D错误. 故选：C. 2．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的个数是（       ） 两两相交的三条直线可确定一个平面 两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行 过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行 和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故错误； 对于，两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故错误； 对于，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故正确； 对于，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或相交直线，故错误． 正确的命题只有一个． 故选：D 3.（2025闵行中学高三阶段练习）设有下列四个命题： ①若点直线a，点平面，则直线平面； ②过空间中任意三点有且仅有一个平面； ③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行； ④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 则上述命题中正确的序号是__________． 【答案】④ 【解析】对于①若点直线a，点平面，则直线平面，是错误的， 因为直线直线和平面可以相交于点； 对于②过空间中任意三点有且仅有一个平面是错误的， 因为当三点共线的时候，能确定无数平面； 对于③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；是错误的， 因为两条直线还可以是异面的关系； 对于④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，是正确的； 直线两两相交，可知能确定三个不共线的点， 由课本定理知三个不共线的点可以确定唯一一个平面； 故答案为：④ 题型03：等角定理 【名师点拨】 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 【例4】（2025延安中学高三阶段练习）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【详解】因为，，且， 所以或.故选：C 【跟踪训练】 1.（2024上海课时练习）若与的两边分别平行且方向相同，若，则 . 【答案】 【详解】由与的两边分别平行且方向相同，得. 故答案为： 2.（2024上海课时练习）空间中两个角和，若，则的大小是 【答案】或 【详解】因为， 所以和相等或者互补， 所以或. 故答案为:或. 3.（2024上海课时练习）如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则 ． 【答案】 【详解】因为，且＝＝， 所以，同理，， 因为，所以， 同理， 所以∽，且＝＝， 所以． 故答案为：. 4.（2024上海课时练习）如图所示，OA，OB，OC为不共面的三条线段，点，，分别是OA，OB，OC上的点，且成立.求证：. 【答案】见解析 【解析】根据,可得,,进而通过平行线得两个角和对应相等,即可证明. 【详解】证明；在中,因为, 所以. 同理可证,. 所以,. 所以. 【点睛】本题考查了通过线段成比例,证明线线平行,根据空间中角的两边分别平行判断两个角的关系,属于基础题. 5．（2024上海课时练习）已知空间中两个角，且，若，则 . 【答案】或 【解析】因为两个角，且， 则的两边分别平行， 所以相等或互补， 又，所以或 故答案为：或 6.（2024上海课时练习）如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，，，，，分别为，，，，的中点.若，则 .    【答案】/ 【解析】因为，分别是，的中点， 所以， 同理，，， 所以，． 又的两边和的两边的方向都相同， 所以， 所以. 故答案为：. 7.过正方体的顶点在空间作直线，使与平面和直线所成的角都等于，则这样的直线共有 条． A. 0 B. 1 C. 2 D.3 【答案】C 【解析】在正方体中，与平面垂直，再根据等角定理，问题可以转化为过点A与、都成的直线有几条． 考虑到，夹角为，所以同一平面的角平分线与，的夹角大小为， 因为，从而存在两条直线满足条件．而，的外角为120度，所以不存在外角平分线满足条件． 综上，满足条件的直线共2条． 故选：C. 考点二 平面基本性质的应用 题型04：证明“点共面”、“线共面” 【名师点拨】证明点、线共面的方法 证明点、线共面的主要依据是公理1、公理2及其推论，常用的方法有: (1)辅助平面法,先证明有关点、线确定平面 ,再证明其余点、线确定平面 ,最后证明平面,重合; (2)纳入平面法,先由条件确定一个平面,再证明有关的点、线在此平面内 【例5】.(2024·衡水中学模拟)有下列四个命题： ①空间四点共面，则其中必有三点共线； ②空间四点不共面，则其中任意三点不共线； ③空间四点中有三点共线，则此四点共面； ④空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面． 其中真命题的所有序号有________． 【答案】②③ 【解析】①中，对于平面四边形来说不成立，故①是假命题；②中，若四点中有三点共线，则根据“直线与直线外一点可以确定一个平面”知四点共面，与四点不共面矛盾，故②是真命题；由②的分析可知③是真命题；④中，平面四边形的四个顶点中任意三点不共线，但四点共面，故④是假命题． 【例6】如图，已知直线，，，．求证：a，b，c，l共面． 1．证明见解析 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题 【分析】根据平面的基本性质分别得到和三线共面，即可求解. 【详解】证明：因为，所以与共面， 又由，，所以三线共面； 同理可证三线共面， 所以四条直线共面. 【例7】如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（   ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】第一个图，如图：   分别是棱的中点，由正方体性质知，，则四个点共面； 第二个图，如图：   为棱的中点，由正方体的性质可知六点共面，记作， 因为，所以，所以与异面直线，即四个点不共面； 第三个图，如图：    因和分别是相邻侧面的中位线，所以，， 所以，即四个点共面； 第四个图，如图：    因为平面，所以平面，所以与异面直线， 即四个点不共面． 故选：C 【例8】如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面 【答案】证明见解析 【详解】如图，取的中点，连接，， 则， 在正方体中，，， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以，，，四点共面． 【跟踪训练】 1.若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】 如图所示：满足，，且，但是， 所以可知是，，共面的不充分条件； 当，，共面时，由平面几何知识可知同一平面内的直线不平行必相交， 又因为，，所以必然有， 即是，，共面的必要条件， 综上可知是，，共面的必要不充分条件. 故选：B. 2.如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足．求证：四点共面. 【答案】证明见解析 【详解】取中点，过作于，连接，， 则，，， 所以四边形是平行四边形，， 由得，， 又，，，所以，，，四点共面， 又，所以，，，四点共面. 题型:5：证明点共线 【名师点拨】证明点共线的方法 证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.此类问题的证明常用以下两种方法: (1)先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上; (2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上 【例9】已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线. 2．证明见解析 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】推导出P，Q，R都在平面ABC与平面α的交线上，即可证明. 【详解】证明：法一：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α. 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上. ∴P，Q，R三点共线. 法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR， ∴P，Q，R三点共线. 【跟踪训练】 1．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线． 3．证明见解析 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】如下图所示，连接A1B，CD1．易证BD1⊂平面A1BCD1． BD1⊂平面ABC1D1．即 平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1，下证 Q∈平面A1BCD1．Q∈平面A1BCD1．即可. 【详解】如下图所示，连接A1B，CD1．显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1． ∴BD1⊂平面A1BCD1． 同理BD1⊂平面ABC1D1． ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1． ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1． 又∵A1C⊂平面A1BCD1， ∴Q∈平面A1BCD1． ∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线． 【点睛】证明共线问题的主要依据是公理3，常用的有两种方法：①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上． 2.如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【详解】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 题型06：证明线共点 【名师点拨】证明三线共点的方法 证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点,再证明第三条直线也过该点.常结合公理3,证明该点在不重合的两个平面内，即该点在两个平面的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点 【例10】在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【答案】B 【详解】因为，，且， 所以，所以且， 因为，分别为，的中点，所以且， 所以且，故四边形为梯形，且，是梯形的两腰， 所以，交于一点，设交点为，则，， 又因为平面，且平面， 所以平面，且平面， 又平面平面， 所以， 所以点是直线，，的公共点， 故直线、、相交于一点．    故选：B 【跟踪训练】 1．三个平面两两相交于三条直线，即，，，若直线a和b不平行，求证：三条直线必相交于同一点. 4．证明见解析 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】直线a和b不平行可知相交于一点P,根据可知P是平面的公共点，故可证，即可得证. 【详解】证明：如图，    ，，，. ∵直线a和b不平行，必相交. 设，则. . 又. 三条直线必相交于同一点. 【点睛】本题主要考查了多线共点问题，考查了推理论证能力，属于中档题. 2.如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【答案】证明见解析 【详解】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 3.如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为，的中点．    (1)求证：直线、、交于一点； (2)若，求多面体的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接、， 因为、分别为、的中点，所以且． 因为是直四棱柱，且底面是正方形， 所以，且，即四边形是平行四边形， 所以且，所以，且， 所以四边形为梯形，所以与交于一点，记为， 即，且平面，平面， 所以平面，平面， 又因为平面平面，则直线， 所以直线、、交于一点. （2）连接， 由题意可得：.        考点三 直线与直线的位置关系 题型07：判断两条直线的位置关系 【名师点拨】判断空间两条直线位置关系的决窍 (1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线. (2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系. 【例11】（2025高一·全国月考）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、相交或异面 【答案】D 【分析】借助长方体中的棱长所在直线直接来判断关系. 【解析】如图，在长方体中，所在直线为a，AB所在直线为b， 已知a和b是异面直线，b和c是异面直线， 则c可以是长方体中的，，. 故a和c可以平行、相交或异面． 故选：D 【例12】（2025高二·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　） A．共面 B．平行 C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线 【答案】C 【分析】根据直线a和b没有公共点，结合空间直线的位置关系进行判断． 【解析】∵直线a和b没有公共点， ∴直线a与b不是相交直线． ∴直线a与b可能是相交直线或异面直线． 故选：C． 【例13】如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：    （1）直线A1B与直线D1C的位置关系是 ； （2）直线A1B与直线B1C的位置关系是 ； （3）直线D1D与直线D1C的位置关系是 ； （4）直线AB与直线B1C的位置关系是 ． 【答案】 平行 异面 相交 异面 【详解】由正方体性质易知，故为平行四边形，故直线，则两直线“平行”，所以(1)应该填“平行”； 直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以(3)应该填“相交”； 点 平面内， 平面而且，点C不在平面内，则直线与直线 “异面”．同理，直线与直线 “异面”．所以(2)(4)都应该填“异面”. 故答案为：平行；异面；相交；异面 【跟踪训练】 1.空间两直线没有公共点，则这两条直线的位置关系为 ． 【答案】平行或异面 【详解】空间中的直线没有公共点，则两直线要么平行，要么是异面直线. 故答案为：平行或异面. 2．（2024·上海长宁·一模）已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间向量平行与垂直的定义判断即可. 【详解】若，则或与不共线，故选项A与B错误； 若，则，故选项C错误，选项D正确. 故选：D. 3．（2024·上海金山·二模）如图，点为正方形的中心，△为正三角形，平面⊥平面，是线段的中点，则以下命题中正确的是（    ）． A． B． C．A、、三点共线 D．直线与相交 【答案】D 【分析】分别求得的长度判断选项A；利用反证法否定选项B和选项C；求得直线与的位置关系判断选项D. 【详解】取中点F，连接,取中点H，连接. 又△为正三角形，则，， 又平面⊥平面，平面平面， 则平面，平面， 又平面，平面， 则，， 设，则, 则， 则.故选项A判断错误； 假设， 又，，平面， 则平面，又平面，则， 这与矛盾，故假设不成立，不互相垂直. 故选项B判断错误； 由平面，可得直线平面， 假设A、、三点共线，则，则平面， 这与平面矛盾，故假设不成立. 故选项C判断错误； 由，可得，， 则四边形为梯形，则直线与相交. 故选项D判断正确. 故选：D 4．如图，若P是所在平面外一点，，，N为垂足.M为AB的中点，求证：PN与MC为异面直线. 6．见解析 【知识点】异面直线的判定、异面直线的概念及辨析 【解析】根据点和直线、点和平面的位置关系,可证明平面ABC,平面,而,即可证明直线与为异面直线. 【详解】证明：∵,,为垂足,是的中点, ∴点与点不重合 ∵平面,平面,平面, ∴由异面直线的判定定理可知,直线与为异面直线 【点睛】本题考查了异面直线的判定,点和直线、点和平面的位置关系,属于基础题. 题型08：异面直线的判定 【名师点拨】判定或证明两条直线异面的常用方法 1.定义法:不同在任何一个平面内的两条直线异面 2.定理：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.我们称其为异面直线的判定定理. 3.推论法:-条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线. 4.证明立体几何问题的一种重要方法(反证法):第一步,提出与结论相反的假设;第二步,由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果;第三步,推翻假设,从而证明原结论是正确的.. 【例14】（2025高一·安徽合肥·期中）异面直线是指（    ） A．不同在任何一个平面内的两条直线 B．平面内的一条直线与平面外的一条直线 C．分别位于两个不同平面内的两条直线 D．空间中两条不相交的直线 【答案】A 【分析】利用定义可以判断选项A正确,借助空间想象力判断选项BCD错误. 【解析】解：A. 异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线，所以该选项正确； B. 平面内的一条直线与平面外的一条直线，可能平行、异面和相交，所以该选项错误； C. 分别位于两个不同平面内的两条直线，不一定是异面直线，也有可能平行、异面和相交，所以该选项错误； D. 空间中两条不相交的直线，可能异面或者平行，所以该选项错误. 故选：A 【例15】（嘉定2023一模9）如图为正六棱柱，其个侧面的条面对角线所在直线中，与直线异面的共有______条. 【答案】 【解析】连接，因为六边形为正六边形，所以，故 所以四点共面，不是异面直线 同理可得：与共面，不是异面直线 而，又与相交 故条面对角线中，与异面的分别为共5条 【例16】下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(　　) A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】C 【解析】由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN共面；题图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接GN，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以直线GH与MN异面．故选C. 【例17】（2019·上海松江·高三二模）在正方体的所有棱中，任取其中三条，则它们所在的直线两两异面的概率为________ 【答案】 【分析】先求出12条棱中任取三条的情况属,再数出符合条件的情况数,进一步求出概率 【详解】正方体中共有12条棱,任取其中三条,则可能的结果有种,若它们所在的直线两两垂直,则需要在“前、后”,“左、右”,“上、下”中各选取一条符合条件的棱,共有8中,故 故答案为 【点睛】本题考查组合数,考查线线异面关系,考查概率问题 【跟踪训练】 1．将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是（ ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 【答案】A 【解析】①对应图1，是平面外一点，在平面内，且不在直线上，因此与是异面直线，①正确； ②对应图2，重合，与是相交直线，②错； ③对应图3，由于由中位线定理得，都与棱平等，从而，③错； ④与图1类似得与是异面直线，④正确． 故选：A． 2.如图，在长方体中，，M、N分别是、的中点.则直线与是（       ） A．相互垂直的相交直线 B．相互垂直的异面直线 C．相互不垂直的异面直线 D．夹角为60°的异面直线 【答案】B 【解析】设，连接， 因为平面，平面，， 故直线与异面直线. 在矩形中，因为为所在棱的中点，故， 而，故， 故四边形为平行四边形，故， 所以或其补角为异面直线与所成的角， 在中，， 故，故， 故选：B 题型09：异面直线所成的角 【名师点拨】平移法求异面直线所成角的一般步骤 (1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角． (2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小． 【例18】（2024·上海杨浦·二模）正方体中，异面直线与所成角的大小为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】正方体中，，因此异面直线与所成的角或其补角， 而，因此. 所以异面直线与所成角的大小为. 故答案为： 【例19】如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为 . 【答案】2 【详解】连接，如图， 在直三棱柱中，， 则（或其补角）是异面直线与所成的角，所以， 设三棱柱的高为，在和中，， 所以是等腰三角形. 因为，所以， 所以，所以该三棱柱的高为2. 故答案为：2. 【跟踪训练】 1. 如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ． 【答案】/ 【解析】在正三棱柱中，连接交于O点，取的中点F，连接OF， 显然是的中点，则，是与所成的角或其补角， 在中，，，， ，， 所以直线与直线所成角的正切值为. 故答案为： 2．（24-25高三上·上海黄浦·期末）若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作图，根据正方体的几何性质，利用异面直线的夹角的定义，可得答案. 【详解】①由题意作图如下：    由图易知为等腰直角三角形，则直线与的夹角为； ②由题意作图如下：    由图易知为等边三角形，则直线与的夹角为； ③由题意作图如下：    由图易知，因为，则直线与的夹角为. 而不管怎么找顶点，都无法得到直线AB与CD所成角为. 故选：A. 3.（2019·徐汇·上海中学高三一模）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1异面且与AD1所成角为90的面对角线共有_______条． 【答案】1 【分析】在正方体的上、下面，左、右面，前、后面逐一去找出能与垂直的面对角线，得出结论. 【详解】与面对角线，异面，所成的角是，由于，又， 所以，而与正方体其它异面的面对角线都不垂直， 所以与AD1异面且与AD1所成角为90的面对角线共有1条， 故填：1. 【点睛】本题考查空间里的异面直线和其垂直关系，属于基础题. 4.（杨浦2023一模18）如图所示圆锥中，为底面的直径，分别为母线与的中点，点是底面圆周上一点，若，圆锥的高为. （1）求圆锥的侧面积； （2）求证：与是异面直线，并求其所成角的大小. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）设圆锥底面半径为，母线长为， 因为为直径，是的中位线，所以，..........2分 ，.........2分 所以侧面积；.........................2分 （2）因为、、在平面内且不共线，在平面外， 所以与是异面直线.........................2分 连接、，由、分别为、的中点，得， 所以为异面直线与所成的角或其补角........................2分 在中，，取中点为，连接， .........................2分 在中，， 所以异面直线与所成角的大小为 .........................2分 考点四 空间图形的平面直观图 题型10：斜二测画法的概念辨析 【例20】（2025高一·全国月考）利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图可能仍是正方形； ④菱形的直观图是一定是菱形． 以上结论，正确的是（    ） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据斜二测画法画直观图的画法规则，对各结论逐一判断，即可得到结果. 【解析】由斜二测画直观图的画法知：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变；已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半. 对于①：三角形的直观图是三角形，①正确； 对于②：平行四边形的直观图是平行四边形，②正确； 对于③：正方形的直观图是平行四边形，③错误； 对于④：菱形的直观图是平行四边形，④错误； 故选：A. 【例21】（2025高一·陕西宝鸡·期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．相等的角在直观图中不一定相等 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的作图规则结合反例，判断各选项. 【解析】如图：四边形为正方形， 由斜二测画法可得其直观图如下： 对于A，因为，而， 故相等的线段在直观图中仍然相等这种说法错误，A错误； 对于B，因为，而 故相等的角在直观图中不一定相等这种说法正确，B正确； 对于C，由斜二测画法性质可得平行的线段在直观图中仍然平行，C正确； 对于D，因为，而不垂直， 所以互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直这种说法正确，D正确. 故选：A. 【跟踪训练】 1．（2025高一·湖南·期中）下列关于平面图形的直观图的叙述中，正确的是（    ） A．等腰三角形的直观图仍是一个等腰三角形 B．若某一平面图形的直观图面积为，则原图形面积为 C．原图形中相等的线段，其直观图也一定相等 D．若三角形的周长为12，则其直观图的周长为6 【答案】B 【分析】 根据斜二测画法相关知识可解. 【解析】 等腰三角形的直观图仍是一个三角形，但不一定有两边相等，故A，C说法错误；原图形中，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半，故D说法错误；直观图的面积是原面积的倍，故B正确． 故选：B 2．（2025高一·四川成都·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的选项是（    ） A．三角形的直观图是三角形 B．平行四边形的直观图必为矩形 C．正方形的直观图是正方形 D．菱形的直观图是菱形 【答案】A 【分析】根据三角形特征可知A正确；通过反例可说明BCD错误. 【解析】对于A，三角形的三个顶点不共线，直观图中，三个顶点对应的点也必然不共线， 三角形的直观图依然是三角形，A正确； 对于B，如下图所示的平行四边形，其中， 其直观图为平行四边形，而非矩形，B错误；    对于C，正方形的直观图为平行四边形，如下图所示，C错误；    对于D，如下图所示的菱形，其中， 其直观图为平行四边形， 若，则，，即， 四边形不是菱形，D错误.    故选：A. 题型10、直观图的还原与计算 【例22】（2025高三·浙江·期末）已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，那么是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】B 【分析】根据斜二测直观图的画法判断． 【解析】在轴上，在轴，因此，在原图形中，，三角形为等边三角形． 故选：B． 【例23】（2025高一·福建宁德·期中）水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形，如图所示．其中，则原平面图形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据斜二测画法的图形性质可得原图形的形状，进而可得面积. 【解析】由直角梯形中，且，作于， 则四边形为正方形，为等腰直角三角形， 故，.    故原图为直角梯形，且上底，高， 下底. 其面积为.    故选：C 【例24】（2025高二·山东济宁·期中）如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 cm． 【答案】8 【分析】由斜二测画法的规则将图形还原为原图形，从而可求解. 【解析】由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在轴上， 可求得其长度为，故在原平面图中其在轴上，且其长度变为原来的倍，即长度为， 其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：． 故答案为：． 【跟踪训练】 1.（2025高二·上海月考）按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么的形状是（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．腰和底边不相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】A 【分析】根据直观图得原图，计算可得答案. 【解析】原如图所示： 由斜二测画法的规则可知，，，， 所以，故为等边三角形. 故选：A． 2．（2025高一·江西景德镇·期末）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（    ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】由斜二测画法的直观图，还原原图形为直角梯形，从而即可计算原图形的面积. 【解析】解：因为，，，， 所以由斜二测画法的直观图知可， 所以由斜二测画法的画法规则还原原图形，如图： 所以，，，，， 所以梯形的面积为． 故选：C． 3．（2025高一·湖南株洲·期中）如图，是水平放置的斜二测直观图，其中，则原图形的面积是 . 【答案】6 【分析】画出原图形，求出面积即可. 【解析】画出原图形如下： 其中，故. 故答案为：6 4．（2025高二·福建泉州月考）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中以下说法正确的是（    ）    A．是直角三角形 B．长为 C．长为 D．边上的中线长为 【答案】ACD 【分析】根据斜二测画法的规则，即可求解. 【解析】因为轴，由斜二测画法规则知，即为直角三角形，如图所示， 又因为，可得，，所以， 所以边上的中线长度为． 故选：ACD.      考点五 截面问题 题型11、截面作图 【名师点拨】（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 【例25】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面． 解　作法：①在底面AC内，过E，F作直线EF，分别与DA，DC的延长线交于L，M. ②在侧面A1D内，连接LG交AA1于K. ③在侧面D1C内，连接GM交CC1于H. ④连接KE，FH.则五边形EFHGK即为所求的截面． 【例26】作出过EFG三点的截面,EFG为所在棱上中点（三条边都在正方体内部） 【答案】 【第（2）问简析】 【例27】（2023·全国·高一专题练习）如图，正方体的棱长为6，是的中点，点在棱上，且.作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法； 【解析】如图所示，五边形即为所求截面. 作法如下：连接并延长交的延长线于点， 连接交于点，交的延长线于点， 连接交于点，连接，， 所以五边形即为所求截面. 题型12：截面图形的形状、面积及周长问题 【例28】（2022·上海黄浦·二模）如图，已知、、分别是正方体的棱、和的中点，由点、、确定的平面截该正方体所得截面为（       ）． A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【解析】如图，分别取的中点、、，连接， 由正方体性质，所以平面，且，又交于同一点，所以平面，所以点、、确定的平面即为六边形 故选：D． 【例29】在正方体中，和的中点分别为，．如图，若以，，所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为　　 A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【解答】解：在一个棱长为12的正方体中，和的中点分别为，， 如图，截面与交于点，且点不会为或点， 截面与交于点，且点不会为或点， 截面有，，，，共计5条边， 过，，三点的平面被正方体所截得的截面图形为五边形． 故选：． 【例30】（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题中正确命题的个数为（    ）                ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S与的交点满足； ④当时，S为六边形； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 先确定临界值点，当，即为的中点时， 截面交于，则界面为等腰梯形，故②正确； 对①当时，即移动到位置时， 截面交线段于，所以截面为四边形，故①正确； 对③，当时，在的位置，截面交的延长线于， 延长交在的延长线于点， 则， 由，则，，又有， 所以，又，所以，故③正确； 对④，，点移动到位置，从图上看，截面为五边形，故④错误； 共个正确， 故选：C 【跟踪训练】 1． 如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱上的一动点，过点，，作该正方体的截面，则该截面不可能是　　 A．平行四边形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 【解答】解：当，即与重合时，如图1，取的中点，截面为矩形； 当时，如图2，截面为平行四边形； 当时，如图3，截面为五边形， 当，即与重合时，如图4，截面为等腰梯形． 故选：． 2.在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为 【答案】 【详解】 采用延长交线法，连接，延长与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为， 因为E、F分别是棱的中点，由正方形的性质可得， 所以分别为三等分点， 所以， 所以截面的周长为. 故答案为：. 3.正方体外接球的体积为，、、分别为棱的中点，则平面截球的截面面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设正方体外接球的半径为，棱长为， 因为正方体外接球的体积为， 所以，则， 由，得， 设球心到平面的距离为，平面截球的截面圆的半径为， 设到平面的距离为, 因为、、分别为棱的中点， 所以是边长为的正三角形, 由,得, 则, 解得,又, 所以到平面的距离为， 则， ， 所以平面截球的截面面积为，. 故选：A. 3.（2023·全国·高一专题练习）如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（    ） A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形 C．当时，为六边形 D．当时，的面积为 【答案】C 【解析】当时，如下图1，是四边形，故A正确； 当时，如下图2，为等腰梯形，B正确： 当时，如下图3，是五边形，C错误； 当时，Q与重合，取的中点F，连接，如下图4，由正方体的性质易得，且，截面为为菱形，其面积为，D正确. 故选：C 4．（2023·四川成都·高二双流中学校考期中）已知正方体的棱长为,为线段上的动点，过点的平面截该正方体的截面记为，则下列命题正确的个数是（） ①当且时，为等腰梯形； ②当分别为的中点时，几何体的体积为； ③当为中点且时，与的交点为，满足； ④当为中点且时，为五边形. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①，当，即重合，且时，如下图所示， 过作，交于，连接， 根据正方体的性质可知，所以，所以四点共面， 在等腰直角三角形中，根据平行线分线段成比例的知识可知， 所以， 即截面为等腰梯形，①正确. ②，当分别为的中点时， 过作，垂足为，则， 由于平面，平面，所以， 由于平面， 所以平面，即平面. 所以，②正确. ③，当为中点且时，与的交点为，与的交点为， 由于平面平面， 平面，平面，所以， 同理可证得， ，设，则， 由，得， 即，所以， 同理，所以，解得. 即，③错误. ④，当为中点且时，重合，如下图所示， 截面是四边形，④错误. 所以正确的有个. 故选：B 1．【2022年上海市高考数学第15题】如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB1、CD的中点，连接A1S，B1D．空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D1可视的为（　　　　） A．点P B．点B C．点R D．点Q 【答案】D 【解答】解：线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，即直线MN与线段A1S、B1D不相交， 因此所求与D1可视的点，即求哪条线段不与线段A1S、B1D相交， 对A选项，如图，连接A1P、PS、D1S，因为P、S分别为AB、CD的中点， ∴易证A1D1∥PS，故A1、D1、P、S四点共面，∴D1P与A1S相交，∴A错误； 对B、C选项，如图，连接D1B、DB，易证D1、B1、B、D四点共面， 故D1B、D1R都与B1D相交，∴B、C错误； 对D选项，连接D1Q，由A选项分析知A1、D1、P、S四点共面记为平面A1D1PS， ∵D1∈平面A1D1PS，Q∉平面A1D1PS，且A1S⊂平面A1D1PS，点D1∉A1S， ∴D1Q与A1S为异面直线， 同理由B，C选项的分析知D1、B1、B、D四点共面记为平面D1B1BD， ∵D1∈平面D1B1BD，Q∉平面D1B1BD，且B1D⊂平面D1B1BD，点D1∉B1D， ∴D1Q与B1D为异面直线， 故D1Q与A1S，B1D都没有公共点，∴D选项正确． 故选：D． 2．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 ． 【答案】9 【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合三边的轮换对称性即可得解. 【详解】因为空间中有三个点，且， 不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种： 第一种：为正四棱锥的侧面，如图1， 此时分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的; 不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有6种；    第二种：为正四棱锥的对角面，如图2， 此时分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的; 不好以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有3种； 综上所述：总共有9种情况. 故答案为：9. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到为正三角形，从而考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，结合三边的轮换对称性即可得解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题20 空间点、直线、平面之间的位置关系 知识点一．平面的基本性质 1、平面的基本性质 公理 公理1 公理2 公理3 叙述 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图示 符号表示 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使 且 ⇒ l且 作用 确定一个平面或判断“直线共面”的方法 ①检验平面； ②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 ①判定两平面相交； ②作两平面相交的交线； ③证明多点共线 2.三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 3.平行公理 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 4.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识点二、空间两直线的位置关系 1.空间两条直线的三种位置关系 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面 图形 符号 a∥b 公共点个数 1 0 0 特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内 2.异面直线的概念与判定 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托. (3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交. 3.异面直线所成的角 （1）定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)； （2）取值范围： （3）求异面直线所成的角的三个步骤 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角是异面直线所成的角． 三求：解三角形，求出所作的角． 知识点三、共面、共线及共点问题证明 共面、共线、共点问题的证明 （1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内． （2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． （3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 知识点四、截面问题 （1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． （2）作交线的方法有如下两种：①利用公理3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 知识点五、斜二测画法的常用结论： 1、在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” 2、按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：. 考点一 平面的基本性质 题型01：三种语言的相互转换 【例1】试用集合符号表示命题“若直线l上两点A、B在平面上，则直线l在平面上”，应为 ． 【跟踪训练】 1.如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（       ） A．， B．， C．， D．， 2.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 3．如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（ ） A. B. C. D. 题型02：平面的概念及基本性质 【例2】（2025高二·上海浦东新·期末）下列条件不能确定一个平面的是（    ） A．不共线三点 B．直线和直线上一点 C．两条平行直线 D．两条相交直线 【例3】（2025七宝中学高三阶段练习）在空间中，下列命题不正确的是（ ） A. 若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点 B. 若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C. 若点既在平面内，又在平面内，且与相交于直线，则点在上 D. 用任意平面截一个圆锥，夹在这个平面和底面间的几何体是圆台 【跟踪训练】 1．（2021·上海市大同中学高三三模）下列命题正确的是（ ） A．三点确定一个平面 B．三条相交直线确定一个平面 C．对于直线、、，若，，则 D．对于直线、、，若，，则 2．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的个数是（       ） 两两相交的三条直线可确定一个平面 两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行 过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行 和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 A． B． C． D． 3.（2025闵行中学高三阶段练习）设有下列四个命题： ①若点直线a，点平面，则直线平面； ②过空间中任意三点有且仅有一个平面； ③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行； ④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 则上述命题中正确的序号是__________． 题型03：等角定理 【名师点拨】 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 【例4】（2025延安中学高三阶段练习）若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【跟踪训练】 1.（2024上海课时练习）若与的两边分别平行且方向相同，若，则 . 2.（2024上海课时练习）空间中两个角和，若，则的大小是 3.（2024上海课时练习）如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则 ． 4.（2024上海课时练习）如图所示，OA，OB，OC为不共面的三条线段，点，，分别是OA，OB，OC上的点，且成立.求证：. 5．（2024上海课时练习）已知空间中两个角，且，若，则 . 6.（2024上海课时练习）如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，，，，，分别为，，，，的中点.若，则 .    7.过正方体的顶点在空间作直线，使与平面和直线所成的角都等于，则这样的直线共有 条． A. 0 B. 1 C. 2 D.3 考点二 平面基本性质的应用 题型04：证明“点共面”、“线共面” 【名师点拨】证明点、线共面的方法 证明点、线共面的主要依据是公理1、公理2及其推论，常用的方法有: (1)辅助平面法,先证明有关点、线确定平面 ,再证明其余点、线确定平面 ,最后证明平面,重合; (2)纳入平面法,先由条件确定一个平面,再证明有关的点、线在此平面内 【例5】.(2024·衡水中学模拟)有下列四个命题： ①空间四点共面，则其中必有三点共线； ②空间四点不共面，则其中任意三点不共线； ③空间四点中有三点共线，则此四点共面； ④空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面． 其中真命题的所有序号有________． 【例6】如图，已知直线，，，．求证：a，b，c，l共面． 【例7】如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（   ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例8】如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面 【跟踪训练】 1.若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足．求证：四点共面. 题型:5：证明点共线 【名师点拨】证明点共线的方法 证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.此类问题的证明常用以下两种方法: (1)先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上; (2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上 【例9】已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线. 【跟踪训练】 1．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线． 2.如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 题型06：证明线共点 【名师点拨】证明三线共点的方法 证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点,再证明第三条直线也过该点.常结合公理3,证明该点在不重合的两个平面内，即该点在两个平面的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点 【例10】在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【跟踪训练】 1．三个平面两两相交于三条直线，即，，，若直线a和b不平行，求证：三条直线必相交于同一点. 2.如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 3.如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为，的中点．    (1)求证：直线、、交于一点； (2)若，求多面体的体积． 考点三 直线与直线的位置关系 题型07：判断两条直线的位置关系 【名师点拨】判断空间两条直线位置关系的决窍 (1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线. (2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系. 【例11】（2025高一·全国月考）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、相交或异面 【例12】（2025高二·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　） A．共面 B．平行 C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线 【例13】如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：    （1）直线A1B与直线D1C的位置关系是 ； （2）直线A1B与直线B1C的位置关系是 ； （3）直线D1D与直线D1C的位置关系是 ； （4）直线AB与直线B1C的位置关系是 ． 【跟踪训练】 1.空间两直线没有公共点，则这两条直线的位置关系为 ． 2．（2024·上海长宁·一模）已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 3．（2024·上海金山·二模）如图，点为正方形的中心，△为正三角形，平面⊥平面，是线段的中点，则以下命题中正确的是（    ）． A． B． C．A、、三点共线 D．直线与相交 4．如图，若P是所在平面外一点，，，N为垂足.M为AB的中点，求证：PN与MC为异面直线. 题型08：异面直线的判定 【名师点拨】判定或证明两条直线异面的常用方法 1.定义法:不同在任何一个平面内的两条直线异面 2.定理：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.我们称其为异面直线的判定定理. 3.推论法:-条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线. 4.证明立体几何问题的一种重要方法(反证法):第一步,提出与结论相反的假设;第二步,由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果;第三步,推翻假设,从而证明原结论是正确的.. 【例14】（2025高一·安徽合肥·期中）异面直线是指（    ） A．不同在任何一个平面内的两条直线 B．平面内的一条直线与平面外的一条直线 C．分别位于两个不同平面内的两条直线 D．空间中两条不相交的直线 【例15】（嘉定2023一模9）如图为正六棱柱，其个侧面的条面对角线所在直线中，与直线异面的共有______条. 【例16】下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(　　) A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【例17】（2019·上海松江·高三二模）在正方体的所有棱中，任取其中三条，则它们所在的直线两两异面的概率为________ 【跟踪训练】 1．将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是（ ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 2.如图，在长方体中，，M、N分别是、的中点.则直线与是（       ） A．相互垂直的相交直线 B．相互垂直的异面直线 C．相互不垂直的异面直线 D．夹角为60°的异面直线 题型09：异面直线所成的角 【名师点拨】平移法求异面直线所成角的一般步骤 (1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角． (2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小． 【例18】（2024·上海杨浦·二模）正方体中，异面直线与所成角的大小为 . 【例19】如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为 . 【跟踪训练】 1. 如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ． 2．（24-25高三上·上海黄浦·期末）若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（    ） A． B． C． D． 3.（2019·徐汇·上海中学高三一模）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1异面且与AD1所成角为90的面对角线共有_______条． 4.（杨浦2023一模18）如图所示圆锥中，为底面的直径，分别为母线与的中点，点是底面圆周上一点，若，圆锥的高为. （1）求圆锥的侧面积； （2）求证：与是异面直线，并求其所成角的大小. 考点四 空间图形的平面直观图 题型10：斜二测画法的概念辨析 【例20】（2025高一·全国月考）利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图可能仍是正方形； ④菱形的直观图是一定是菱形． 以上结论，正确的是（    ） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【例21】（2025高一·陕西宝鸡·期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．相等的角在直观图中不一定相等 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直 【跟踪训练】 1．（2025高一·湖南·期中）下列关于平面图形的直观图的叙述中，正确的是（    ） A．等腰三角形的直观图仍是一个等腰三角形 B．若某一平面图形的直观图面积为，则原图形面积为 C．原图形中相等的线段，其直观图也一定相等 D．若三角形的周长为12，则其直观图的周长为6 2．（2025高一·四川成都·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的选项是（    ） A．三角形的直观图是三角形 B．平行四边形的直观图必为矩形 C．正方形的直观图是正方形 D．菱形的直观图是菱形 题型10、直观图的还原与计算 【例22】已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，那么是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边互不相等的三角形 【例23】水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形，如图所示．其中，则原平面图形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【例24】如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 cm． 【跟踪训练】 1.按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么的形状是（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．腰和底边不相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 2．若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（    ） A．12 B．6 C． D． 3．如图，是水平放置的斜二测直观图，其中，则原图形的面积是 . 4．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中以下说法正确的是（    ）    A．是直角三角形 B．长为 C．长为 D．边上的中线长为 考点五 截面问题 题型11、截面作图 【名师点拨】（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 【例25】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面． 【例26】作出过EFG三点的截面,EFG为所在棱上中点（三条边都在正方体内部） 【例27】（2023·全国·高一专题练习）如图，正方体的棱长为6，是的中点，点在棱上，且.作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法； 题型12：截面图形的形状、面积及周长问题 【例28】（2022·上海黄浦·二模）如图，已知、、分别是正方体的棱、和的中点，由点、、确定的平面截该正方体所得截面为（       ）． A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【例29】在正方体中，和的中点分别为，．如图，若以，，所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为　　 A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【例30】（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题中正确命题的个数为（    ）                ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S与的交点满足； ④当时，S为六边形； A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练】 1． 如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱上的一动点，过点，，作该正方体的截面，则该截面不可能是　　 A．平行四边形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 2.在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为 3.正方体外接球的体积为，、、分别为棱的中点，则平面截球的截面面积为（ ） A． B． C． D． 3.（2023·全国·高一专题练习）如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（    ） A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形 C．当时，为六边形 D．当时，的面积为 4．（2023·四川成都·高二双流中学校考期中）已知正方体的棱长为,为线段上的动点，过点的平面截该正方体的截面记为，则下列命题正确的个数是（） ①当且时，为等腰梯形； ②当分别为的中点时，几何体的体积为； ③当为中点且时，与的交点为，满足； ④当为中点且时，为五边形. A．1 B．2 C．3 D．4 1．【2022年上海市高考数学第15题】如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB1、CD的中点，连接A1S，B1D．空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D1可视的为（　　　　） A．点P B．点B C．点R D．点Q 2．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$