专题11：函数与方程 （6大考点+12大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题11 函数与方程 知识点一、函数的零点 一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数． 知识点二、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的． “方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点； 知识点三、零点存在性定理 1、函数零点存在性定理： 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. （1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一． （2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点． （3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点． 2、函数零点个数的判断方法： （1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． （2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根． 知识点四、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 【重要结论】 函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 考点一 求函数的零点 题型01：求函数的零点 【名师点拨】求函数零点的方法： （1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数. 【例1】（2025上海高三阶段练习）函数的零点是_________． 【答案】1和3 【分析】直接利用对数函数的性质与零点的定义，令即可求解 【详解】依题意，令，解得：或， 故答案为：1和3. 【例2】（2025七宝中学高三阶段练习）已知是函数的一个零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，然后根据二倍角公式结合齐次式即得. 【详解】因为是函数的一个零点， 所以，即，故， 则． 故选：D． 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）函数的零点是（    ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】分和分别解方程，由零点定义可得出答案. 【详解】当时，，解得 当时，，解得 所以函数的零点为： 故选：B 2．（2023•青浦区校级模拟）设x∈R，求方程|x﹣2|+|2x﹣3|＝|3x﹣5|的解集 　　． 【分析】利用绝对值的定义去掉绝对值，分类讨论，分别求解即可． 【解答】解：当时，则方程为2﹣x+3﹣2x＝5﹣3x，解得； 当时，则方程为2﹣x+2x﹣3＝5﹣3x，解得x＝，舍去； 当时，则方程为2﹣x+2x﹣3＝3x﹣5，解得x＝2，舍去； 当x≥2时，则方程为x﹣2+2x﹣3＝3x﹣5，解得x≥2． 综上所述，方程的解集为． 故答案为：． 【点评】本题考查了含有绝对值得方程的求解，解题的关键是利用绝对值的定义去掉绝对值，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 3．（2023·全国·高三专题练习）若函数的零点为，则（    ）． A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由已知有，根据零点得到，利用指对数的关系及运算性质得到关于t的表达式，进而由指数函数的单调性确定t值即可. 【详解】由题设，由得：， 若，可得， 若，可得， 综上，，故. 故选：B 考点二 确定零点所在的区间 题型02：确定零点所在的区间 【名师点拨】确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用函数的零点存在性定理确定零点 所在的位置，是零点问题中最常见的一类题型，其要点是要保证函数在某个区间内是连续 的，且在这个区间两端点处的函数值为异号，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与轴的交点来确定． 【例3】（2025上海高三阶段练习）函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 答案　B 解析　函数f(x)＝ln x－在(1，＋∞)上是增函数，且在(1，＋∞)上连续．因为f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>0，所以f(2)f(3)<0，所以函数的零点所在的区间是(2,3)． 【例4】（2022秋•杨浦区校级期末）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（　　） A．（a，b）和（b，c）内 B．（﹣∞，a）和（a，b）内 C．（b，c）和（c，+∞）内 D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内 【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出． 【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）＝（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）＝（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）＝（c﹣a）（c﹣b）＞0， 由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点； 又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点， 因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内． 故选：A． 【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键． 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间为（    ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理，在为单调递减函数，结合，即可求解. 【详解】依题意，函数的定义域为， 而在为单调递减函数， 在为单调递减函数， 因为，所以，即 所以， ， 所以， 所以由零点存在性定理可知， 函数在区间有零点. 故选：C. 2．（2022秋•松江区校级期末）函数的零点所在的区间为（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 【分析】显然，f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，再结合零点存在性定理判断即可． 【解答】解：因为y＝x2与y＝在（0，+∞）上都是增函数， 故在（0，+∞）上是增函数， 因为f（0）＝＜0，f（1）＝1﹣＞0，所以f（0）f（1）＜0， 故f（x）只在（0，1）上存在唯一零点． 故选：A． 【点评】本题考查函数的单调性以及函数零点存在性定理，属于基础题． 考点三 判断函数零点个数 题型03：判断函数零点个数 【名师点拨】函数零点个数的判断方法 （1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质． （3）数形结合法：一种是转化成函数图像与轴的交点个数，另一种是转化成两个函数的交点个数。如判断型函数的零点个数问题时，可采用数形结合的方法．转化为两个函数和的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【例5】（2025上海高三阶段练习）函数的零点有 （ ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 y x 【点评】（1）本题主要考察零点的个数，但是方程也不好解，直接研究函数的单调性不是很方便，所以先令,可化为,再在同一直角坐标系下画出 和的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用. 【例6】（2025上海高三阶段练习）已知函数的图象是连续不断的，其部分函数值对应如下表： 1 2 3 4 5 0.37 2.72 0 则函数在区间上的零点至少有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】函数的图象在上是连续不断的，且，函数在上至少有一个零点，根据表格函数值判断即可. 【详解】根据表格中的数据，结合零点存在性定理， 可以发现， 所以函数在区间和区间上至少有一个零点，以及4是函数的一个零点， 所以函数在区间上的零点至少有3个， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关函数零点的个数问题，涉及到的知识点有函数零点存在性定理，属于简单题目. 【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】令得，根据分段函数性质可在同一直角坐标系中作出，的大致图象，由图象可知，函数与的图象有3个交点，即可得出答案． 【详解】解：令得， 在同一直角坐标系中作出（图中细实线所示），（图中粗实线所示）的大致图象如下： 由图象可知，函数与的图象有3个交点， 即函数有3个零点， 故选：C. 【跟踪训练】 1．（2024·上海崇明·一模）已知，关于的方程的解 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的形式分段求解即可. 【详解】等价于或， 故， 故答案为： 2．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用辅助角公式可得，令，从而解得在的零点个数. 【详解】由， 得，又，所以， 所以或 解得或. 所以函数在的零点个数是2. 3．（2023春•宝山区校级月考）已知函数f（x）＝sin2x+2sinx﹣1，则f（x）在x∈[0，2023π]上的零点个数是（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【分析】先确定函数的周期，求导可得函数在∈[0，2π]上的单调性，进而可得f（x）在x∈[0，2023π]上的零点个数． 【解答】解：∵函数f（x）＝sin2x+2sinx﹣1，∴f（x）是周期函数，且最小正周期为2π， ∴f′（x）＝2cos2x+2cosx＝4cos2+2cosx﹣2＝（2cosx﹣1）（2cosx+2）， 当x∈[0，2π]时，在x∈[0，]上单调递增，在x∈[，]上单调递减，在x∈[，2π]上单调递增， 则f（x）max＝f（）＝﹣1＞0，又f（0）＝f（π）＝f（2π）＝﹣1， ∴当x∈[0，2π]时，f（x）＝sin2x+2sinx﹣1有两个零点， 故f（x）在x∈[0，2023π]上的零点个数是2024个． 故选：B． 【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，属中档题． 4．（2023·四川德阳·统考一模）已知奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若，则函数在区间内的零点个数至少为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义域为R可得，由和奇函数的性质可得、，利用零点的存在性定理即可得出结果. 【详解】奇函数的定义域为R，其图象为一条连续不断的曲线， 得，由得， 所以，故函数在之间至少存在一个零点， 由奇函数的性质可知函数在之间至少存在一个零点， 所以函数在之间至少存在3个零点. 故选：C 5．（2025上海高三阶段练习）函数的零点个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，分析可知函数的零点个数即为函数与的图象的交点个数，数形结合可得出结果. 【详解】由可得，作出函数与的图象如下图所示： 由图可知，函数与的图象的交点个数为， 故函数的零点个数为. 故选：C. 考点四 函数零点的应用 题型04：根据零点所在的区间求参数 【名师点拨】根据函数零点所在的区间求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性； ②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式； ③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． 【例8】（2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】由零点的存在性定理求解即可 【详解】因为在单调递增，且有零点， 所以，解得， 故答案为： 【例9】（2023·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答. 【详解】由得，， 因函数在内有极值，则时，有解， 即在时，函数与直线y=a有公共点， 而，即在上单调递减，，则，显然在零点左右两侧异号， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【点睛】结论点睛：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同． 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的范围是____ 【分析】根据初等函数的单调性判断函数的单调性，根据零点存在定理可得，从而可得结果. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数的一个零点在区间内， 得， 解得, 2.（2025上海高三阶段练习）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】, 函数在上存在极值，在该区间有变号零点. 即, ,单调递减,设， 单调递增; 单调递减; , , . 故选:B. 题型05：根据函数零点的个数求参数 【名师点拨】已知零点个数求参数范围问题的主要解法：直接法、分离参数法、数形结合法.一般情况下，常利用数形结合法，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两函数图象的交点问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果． 【例10】（2024·上海杨浦·一模）已知，其中实数.若函数有且仅有2个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可知有两根，通过方程求解即可. 【详解】由题意可知：有两根，结合在和都是单调递增， 所以有一解，解得：， 有一解，解得：， 所以， 故答案为：. 【例11】（2025·天津武清区·一模）函数  关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图画出函数的图象， 直线表示过点的直线，表示直线的斜率， ，，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为1， 如图，若与，有一个交点，则， ，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为， 如图，若与，有一个交点，则， 如图，当时，与有两个交点， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2023春•闵行区校级期中）已知f（x）满足f（x）＝f（x+8），当x∈[0，8]，，若函数g（x）＝f2（x）+af（x）﹣a﹣1在x∈[﹣8，8]上恰有八个不同的零点，则实数a的取值范围为 　　． 【分析】由已知可得，f（x）周期是8，然后根据函数周期性，作出函数f（x）在x∈[﹣8，8]上的图象．然后由由g（x）＝0可推得，f（x）＝1或f（x）＝﹣a﹣1．根据f（x）＝1根的个数，结合图象，即可得出实数a的取值范围． 【解答】解：因为f（x）＝f（x+8），所以f（x）为周期是8的周期函数， 作出函数f（x）在x∈[﹣8，8]上的图象，如图所示： 因为g（x）＝f2（x）+af（x）﹣a﹣1＝[f（x）﹣1][f（x）+（a+1）]， 所以由g（x）＝0可得，f（x）＝1或f（x）＝﹣a﹣1． 根据图象可知方程f（x）＝1，有六个实根， 所以f（x）＝﹣a﹣1时，应该有两个实根， 根据图象可得，4＜﹣a﹣1＜8，得﹣9＜a＜﹣5， 即实数a的取值范围为（﹣9，﹣5）． 故答案为：（﹣9，﹣5）． 【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题． 2．（2024·上海青浦·二模）对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将方程有两个不同的根，转化为函数图象有两个不同的交点，观察图象可得答案. 【详解】将函数向右平移1个单位得到， 作出函数的图象如下： 要关于的方程有两个不同的根， 则函数和函数有两个不同的交点， 当过点时，， 所以当函数和函数有两个不同的交点时，. 故答案为：. 3．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知函数有且只有1个零点，则实数的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据函数的最值即可求解. 【详解】依题意， 因为函数有且只有1个零点， 所以有且仅有一个解， 即有且仅有一个解， 转化为与有且仅有一个交点， 当时，与没有交点，所以； 当时，因为，所以， 当时，有最小值1，有最小值， 此时与没有交点， 由于与都是偶函数， 若在除去之外有交点，则交点必为偶数个，不符合题意， 所以不符合题意； 当时，因为，所以， 又因为， 所以当且仅当时，此时有唯一的交点. 故选：B. 题型06：根据函数有无零点求参数 【名师点拨】（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【例12】若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是________． 答案　(－8,1] 解析　m＝－x2＋2x在(0,4)上有解，又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y＝－x2＋2x在(0,4)上的值域为(－8,1]，∴－8<m≤1. 【例13】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的范围是_____ 【分析】由题意设，则在上， 与有相同的零点，即讨论在区间内没有零点，求出其导函数，分析其单调性，得出其最值情况，从而结合其大致的图形可得出答案. 【详解】，设 则在上， 与有相同的零点. 故函数在区间内没有零点,即在区间内没有零点 当时，在区间上恒成立,则在区间上单调递增. 所以，显然在区间内没有零点. 当时, 令，得，令，得 所以在区间上单调递减增.在区间上单调递增. 所以 设，则 所以在上单调递减,且 所以存在，使得 要使得在区间内没有零点，则 所以 综上所述，满足条件的的范围是 由选项可知：选项ABC可使得在区间内没有零点，即满足题意. 【跟踪训练】 1.已知函数区间内有零点，求实数的取值范围. 【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法. 2.（2022秋•奉贤区校级月考）若函数在区间[1，2]上有零点，则实数a的取值范围为 　　．（结果用区间表示） 【分析】先将问题转化为研究f（x）＝0的零点问题，再分离参数，最终转化为函数的值域问题求解． 【解答】解：函数在区间[1，2]上有零点， 即f（x）＝0在[1，2]上有实数根，即a＝，x∈[1，2]有解， 易知y＝x2+x在[1，2]上单调递增，故2≤y≤6， 故a＝∈即为所求． 故答案为：． 【点评】本题考查函数的零点的概念与性质，属于中档题． 题型07：与零点相关的比较大小问题 【名师点拨】与函数零点有关的函数值比较大小，可以通过函数性质结合零点存在性定理确定，也可考虑在同一平面直角坐标系中画出图象，根据交点及图象位置关系确定. 【例14】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，，的零点看成函数分别与，，的交点的横坐标，分别画出这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解. 【详解】由已知条件得 的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标， 在同一坐标系分别画出，，，的函数图象，如下图所示, 可知， 故选：. 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解. 【详解】函数，，的零点，即为与，，的交点， 作出与，，的图象， 如图所示，可知 故选：C 2．（2023·全国·高三专题练习）已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x， 由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x， 作出函数y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的图象如图： ∵函数f（x）＝ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b， ∴y＝ex与y＝2﹣x的交点的横坐标为a，y＝lnx与y＝2﹣x交点的横坐标为b， 由图象知a＜1＜b， 故选A． 考点：函数的零点 3．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理计算出、的取值范围，利用对数函数的单调性可得出，即可得出、、的大小关系. 【详解】构造函数，因为函数、在上均为增函数， 所以，函数为上的增函数，且，， 因为，由零点存在定理可知； 构造函数，因为函数、在上均为增函数， 所以，函数为上的增函数，且，， 因为，由零点存在定理可知. 因为，则，因此，. 故选：B. 题型08：求零点的和或代数式的范围 【例15】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令求解即可. 【详解】时，由得， 时，由得或， 所以四个零点和为． 故选：D． 【例16】（2022秋•浦东新区校级期末）已知函数f（x）＝|3x﹣3|+3，若f（a）＝f（b）（a≠b），则a+b的取值范围是 　　． 【分析】画出函数f（x）的大致图像，不妨设a＜b，则a＜1，b＞1，得出3a+3b＝6，利用基本不等式即可求出结果． 【解答】解：画出函数f（x）的大致图像，不妨设a＜b，如图所示， 由图像可知，a＜1，b＞1， 所以3b﹣3+3＝﹣（3a﹣3）+3， 解得3a+3b＝6， 又因为3a+3b＞2＝2， 所以2＜6， 解得a+b＜2， 所以a+b的取值范围是（﹣∞，2）， 故答案为：（﹣∞，2）． 【点评】本题考查了函数图像的应用问题，也考查了基本不等式以及数形结合的数学思想，是中档题． 【跟踪训练】 1．（2022春•浦东新区校级月考）设f（x）＝，方程f（x）＝m有四个不相等的实根xi（i＝1，2，3，4），则x12+x22+x32+x42的取值范围为　　． 【分析】不防令x1＜x2＜x3＜x4，由题意f（x）的图象是关于x＝2对称的，可得x1+x4＝x2+x3＝4．助于|lnx|的图象可以得到x1，x2之间的关系，最终将x12+x22+x32+x42表示成x2的函数，再借助于换元法最终将问题转化为二次函数的最值问题． 【解答】解：∵2＜x＜4时，f（x）＝f（4﹣x）， ∴f（x）在（2，4）与（0，2）上的图象关于x＝2对称． 做出图象如右：不防令x1＜x2＜x3＜x4，可得x1+x4＝x2+x3＝4，﹣lnx1＝lnx2，∴x1x2＝1． ∴， ∴x12+x22+x32+x42 ＝ ＝，x2∈（1，2）， 令 则原式化为：， 其对称轴t＝2，开口向上，故h（t）在（2，）递增， ∴20＜h（t）＜20.5， ∴x12+x22+x32+x42的取值范围是（20，20.5）． 故答案为：（20，20.5）． 【点评】本题考查利用函数图象研究函数零点的问题，以及构造函数求值域的思路．体现了对数形结合、函数思想以及运算能力的考查． 2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则________ 【答案】2 【分析】由题可得，进而可得，然后结合条件即得. 【详解】因为函数的两个零点为，， 则，即， 又， 则，即， 所以. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用同构函数可得，可得，结合条件即得. 考点五 嵌套函数的零点问题 题型09：嵌套函数的零点问题 【名师点拨】①求嵌套函数的零点个数 关于嵌套函数方程的零点个数问题,可先换元解套,则,从而先由确定的解(或取值范围),再由通过数形结合确定的解的个数 ②求分段函数中参数的取值范围 ③求嵌套函数(或方程)中参数的取值范围 【例17】（2023·全国·模拟预测）已知则函数的零点个数是______． 【答案】7 【分析】作出函数的图像，然后分解因式得到或，数形结合分析零点个数 【详解】函数的零点即为方程的根，解方程得或． 作出函数的图像，如图所示． 由图像知直线与的图像有4个交点，直线与的图像有3个交点． 因此函数的零点有7个． 故答案为：7 【例18】（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】令，结合题意得到的两根为，，然后根据函数的单调性和最值进而求解. 【详解】令，则，当时，由可得或（舍去）；当时，由可得，所以的两根为，， 则或，因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，若，易知方程无解， 若，当时，由，得或（舍去）， 此时方程有唯一的解； 当时，由，得，此时方程有唯一的解， 综上所述可知函数的零点个数为个， 故选：A. 【跟踪训练】 1．（2022秋•浦东新区校级期中）已知函数，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+2m+3＝0有三个不相等的实数解，则实数m的取值范围为　　． 【分析】分析f（x）的图象，可知关于f（x）的二次方程有2根，范围分别为（0，1）和（1，+∞），在按二次方程根的分布处理． 【解答】解：画出函数的图象，如图所示， 令y＝f（x），则y2+my+2m+3＝0有2个不相等的实数解， 其范围分别为（0，1）和[1，+∞）， 则解得＜m≤﹣ 故答案为：（﹣，﹣]． 【点评】考查含有绝对值函数的图象，复合函数根的个数问题的处理，属于拔高题； 2．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可先做出函数的大致图象，利用数形结合和分类讨论，即可确定m的取值范围. 【详解】当时，．由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增，故的大致图象如图所示． 设，则，由图可知当时，有且只有1个实根， 则最多有3个不同的实根，不符合题意． 当时，的解是，．有2个不同的实根，有2个不同的实根， 则有4个不同的实根，不符合题意． 当时，有3个不同的实根，，，且，，． 有2个不同的实根，有2个不同的实根，有3个不同的实根， 则有7个不同的实根，不符合题意． 当时，有2个不同的实根，，且，． 有2个不同的实根，有3个不同的实根， 则有5个不同的实根，符合题意． 当时，有2个不同的实根，，且，， 有2个不同的实根，，有2个不同的实根，则有4个不同的实根，不符合题意． 当时，有且只有1个实根，则最多有3个不同的实根，不符合题意， 综上，m的取值范围是． 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于函数零点问题，若能够画图时可作出函数图像，利用数形结合与分类讨论思想，即可求解.本题中，由图看出，m的讨论应有，，，，这几种情况,也是解题关键. 考点六：函数零点的综合应用 题型10：用二分法求方程的近似解 【名师点拨】(1)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. ②求区间(a，b)的中点c. ③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (i)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (ii)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (iii)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. ④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②～④. 【例19】（2022秋•浦东新区校级期末）用“二分法”求方程x2﹣2x﹣5＝0在区间（2，4）内的实根，首先取区间中点x0＝3进行判断，那么下一个有根区间是 　　． 【分析】根据方程的实根是对应函数的零点，由零点存在性定理计算端点处的函数值，即可得出零点所在的区间． 【解答】解：设f（x）＝x2﹣2x﹣5， 计算f（2）＝﹣5＜0，f（4）＝3＞0，f（3）＝﹣2＜0， 所以f（x）零点所在的区间为（3，4）， 方程x2﹣2x﹣5＝0有根的区间是（3，4）． 故答案为：（3，4）． 【点评】本题考查了用二分法求方程根所在的区间问题，是基础题． 【跟踪训练】 1．（2023·广东梅州·统考二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案. 【详解】令， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， ， 所以函数在区间上有唯一零点， 所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是. 故选：B. 2．（2022秋•闵行区期末）已知函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝x﹣4log2x，用二分法计算此函数在区间[1，3]上零点的近似值，第一次计算f（1）、f（3）的值，第二次计算f（x1）的值，第三次计算f（x2）的值，则x2＝　　． 【分析】根据二分法的定义，求解即可． 【解答】解：二分法计算此函数在区间[1，3]上零点的近似值， 第一次计算f（1）、f（3）的值， f（x）＝x﹣4log2x，则f（1）＝1＞0，f（3）＝3﹣4log23＜0， 故零点所在区间为（1，3）， 第二次计算f（2）的值， f（2）＝2﹣4log22＝﹣2＜0， 故零点所在区间为（1，2）， 所以第三次计算f（）的值，即x2＝． 故答案为：． 【点评】本题考查二分法的定义，属于基础题． 题型11：函数的对称问题 【名师点拨】函数的对称问题转化为零点问题 【例20】（2023崇明二模） 若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】由题意将问题转化为在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，即转化为方程在上有两根，孤立参数为在上有两根，求导确定函数的单调性与取值情况，作出大致图象，即可求得实数的取值范围. 【详解】若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点． 由时，；得其关于原点对称后的解析式为． 问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根， 化简得，即与在上有两个交点． 对于，求导，令，解得：， 即：当时，单调递增； 令，解得：． 即：当时，单调递减， ∴为其极大值点，，时，；画出其大致图像： 【例21】若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图像上；②点A、B关于原点对称，则点是函数的一个“姊妹点对”.点对与可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】 根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称，作出函数的图像关于原点对称的图像，再作出函数，由图像可得结论 【详解】 解：根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称. 可作出函数的图像关于原点对称的图像，看它与函数交点个数即可.如图所示： 当x=1时， 观察图象可得：它们有2个交点. 故选：C. 【例22】若直角坐标平面内，两点满足：①点，都在函数的图象上；②点，关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”点对与可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数恰有两个“姊妹点对”，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题意转化为函数与函数的图象恰好有两个交点，即方程在上有两个不同的解，构造函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】 由题意知函数恰有两个“姊妹点对”， 等价于函数，与函数，的图象恰好有两个交点， 所以方程，即在上有两个不同的解， 构造函数，则， 当时，，函数区间上单调递增，不符合题意； 当时，令，解得，所以函数在区间上单调递增， 令，解得，所以函数在区间上单调递减， 所以，解得， 又由，所以函数在上有且仅有一个零点， 令，则， 令，解得，所以函数在区间上单调递增， 令，解得，所以函数在区间上单调递减， 所以， 所以，即， 又由， 所以函数在上有且仅有一个零点． 综上可得：，即实数的取值范围是． 故选：A. 【点睛】 对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大. 题型12：等高线问题 【例23】已知函数，若方程的个不同实根从小到大依次为，，，，有以下三个结论：①且；②当时，且；③．其中正确的结论个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 绘制出函数与有四个交点的图像，然后依次判断三个结论的对错即可. 【详解】 由题绘制函数如图所示， 可知函数的图象关于直线对称， 又，可得且， 故结论①正确， 当时，由解得， 即或，解得，，，， 此时和均成立， 故结论②正确， 由图可知， 则由得， 解得，即， 同理可得， 由①有，， 则， 解得， 则结论③正确. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了函数图像的绘制，方程根与函数图像交点横坐标之间的关系，属于中档题. 【例24】已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 作出函数图象，根据图象关系，得出，，即可求解的取值范围. 【详解】 作出函数的图象，如图所示： 方程有四个不同的实根，，，，满足， 则， 即：，所以， ，所以，根据二次函数的对称性可得：， ， 考虑函数单调递增， ， 所以时的取值范围为. 故选：A 【点睛】 此题考查函数零点的综合应用，涉及分段函数，关键在于根据对数函数和二次函数的图象性质找出零点的等量关系，构造函数关系求解取值范围. 1．（2024上海春考）现定义如下：当x∈（n，n+1）时（n∈N），若f（x+1）＝f′（x），则称f（x）为延展函数．现有，当x∈（0，1）时，g（x）＝ex与h（x）＝x10均为延展函数，则以下结论（　　） （1）存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝g（x）有无穷个交点 （2）存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝h（x）有无穷个交点 A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立 【分析】根据题意，对于①，由“延展函数”的定义，分析可得g（x）是周期为1的周期函数，结合一次函数的性质可得①错误，对于②，举出例子，可得②正确，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，当x∈（0，1）时，g（x）＝ex与h（x）＝x10均为延展函数， 对于①，对于g（x）＝ex，g（x+1）＝g′（x）＝ex， 则g（x）是周期为1的周期函数，其值域为（1，e）， 因为k≠0，y＝kx+b与y＝g（x）不会有无穷个交点，所以（1）错； 对于②，当k＝10!时，存在b使得直线y＝kx+b可以与h（x）在区间（9，10）的函数部分重合，因而有无穷个交点，所以（2）正确． 故选：D． 【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的图象，关键理解“延展函数”的定义，属于基础题． 2．（2023•上海秋考）已知函数f（x）＝2﹣x+1，且g（x）＝，则方程g（x）＝2的解为 　　． 【分析】分x≥0和x＜0分别求解即可． 【解答】解：当x≥0时，g（x）＝2⇔log2（x+1）＝2，解得x＝3； 当x＜0时，g（x）＝f（﹣x）＝2x+1＝2，解得x＝0（舍）； 所以g（x）＝2的解为：x＝3． 故答案为：x＝3． 【点评】本题考查了分段函数的性质、对数的基本运算、指数的基本运算，属于基础题． 3．（2022·上海数学春考））已知 为奇函数，当 时， ，且 关于直线 对称，设 的正数解依次为 、 、 、 、 、 ，则 　 　 【答案】2 【知识点】函数的图象与图象变化；极限及其运算 【解析】【解答】解：因为 为奇函数， 所以关于原点对称， 又 关于直线 对称， 则函数的周期为T=4(1-0)=4， 又因为 当 时， ， 作出函数的图象，如图所示， 则由题意知， 的几何意义是相邻两条渐近线之间的距离2，即 . 故答案为：2 【分析】根据函数的图象与性质，结合极限的几何意义，运用数形结合思想求解即可. 4．（2020•上海秋考）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件： （1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02； （2）关于x的方程f（x）＝a无实数解， 则a的取值范围是　　． 【分析】根据条件（1）可知x0＝0或1，进而结合条件（2）可得a的范围 【解答】解：根据条件（1）可得f（0）＝0或f（1）＝1， 又因为关于x的方程f（x）＝a无实数解，所以a≠0或1， 故a∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）， 故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）． 【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题． 5．（2022•上海秋季）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数． （1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2； （2）设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）； （3）设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增． 【分析】（1）推导出g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，由此能求出x． （2）推导出x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，由此能求出f（x）≥h（x）的解集． （3）先求出u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），从而h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，先求出v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，从而h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，由h1（x）＝h2（x），得|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，再由f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，能证明函数f（x）在R上单调递增． 【解答】解：（1）∵f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，g（x）＝2， ∴g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2， 解得x＝2． （2）∵f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，f（x）≥h（x）， ∴x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|， 当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立； 当x＞﹣时，2tx+t2≤x2， 解得x≥（1+）t，或x≤（1﹣）t， 综上，不等式：f（x）≥h（x）的解集为（﹣∞，（1﹣）t]∪[（1+）t，+∞）． （3）证明：f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）， ∴u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|， f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）， ∴v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|， ∵h1（x）＝h2（x），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增， ∴|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|， ∴对t＞0恒成立， ∴函数f（x）在R上单调递增． 【点评】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 6．（2019•浙江）设，，函数若函数恰有3个零点，则　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】当时，，得；最多一个零点； 当时，， ， 当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意； 当，即时，令得，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点； 根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点， 如右图： 且， 解得，，． ， 故选：． 7．（2019•上海）已知，与轴交点为，若对于图象上任意一点，在其图象上总存在另一点、异于，满足，且，则　　． 【解析】由题意，可知： 令，解得：， 点的坐标为：，． 则． 大致图象如下： 由题意，很明显、两点分别在两个分段曲线上， 不妨设点在左边曲线上，点在右边曲线上． 设直线的斜率为，则． 联立方程：， 整理，得：． ． ， ． 再将代入第一个方程，可得： ． 点的坐标为：，． ． ， 直线的斜率为，则． 同理类似求点的坐标的过程，可得： 点的坐标为：． ，及的任意性，可知： ，解得：． 故答案为：． 8．（2019•上海）已知，． （1）当时，求不等式的解集； （2）若在，时有零点，求的取值范围． 【解析】（1）． 当时，． 所以：转换为：， 即：， 解得：． 故：． （2）函数在，时，有零点， 即函数在该区间上有解， 即：， 即求函数在，上的值域， 由于：在，上单调递减， 故：，， 所以：， 故： 9.(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知函数，．若存在个零点，则的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：由得，作出函数和的图象如图 当直线的截距，即时，两个函数的图象都有2个交点，即函数存在2个零点，故实数的取值范围是，故选C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题11 函数与方程 知识点一、函数的零点 一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的__________．函数的零点不是一个点，而是一个实数． 知识点二、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的． “方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点； 知识点三、零点存在性定理 1、函数零点存在性定理： 如果函数在区间上的图像是____________的一条曲线，并且有____________，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. （1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一． （2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点． （3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点． 2、函数零点个数的判断方法： （1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． （2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根． 知识点四、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 【重要结论】 函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 考点一 求函数的零点 题型01：求函数的零点 【名师点拨】求函数零点的方法： （1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数. 【例1】（2025上海高三阶段练习）函数的零点是_________． 【例2】（2025七宝中学高三阶段练习）已知是函数的一个零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2025上海高三阶段练习）函数的零点是（    ） A． B． C． D．9 2．（2023•青浦区校级模拟）设x∈R，求方程|x﹣2|+|2x﹣3|＝|3x﹣5|的解集 　　． 3．（2023·全国·高三专题练习）若函数的零点为，则（    ）． A． B．1 C． D．2 考点二 确定零点所在的区间 题型02：确定零点所在的区间 【名师点拨】确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用函数的零点存在性定理确定零点 所在的位置，是零点问题中最常见的一类题型，其要点是要保证函数在某个区间内是连续 的，且在这个区间两端点处的函数值为异号，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与轴的交点来确定． 【例3】（2025上海高三阶段练习）函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 【例4】（2022秋•杨浦区校级期末）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（　　） A．（a，b）和（b，c）内 B．（﹣∞，a）和（a，b）内 C．（b，c）和（c，+∞）内 D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间为（    ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 2．（2022秋•松江区校级期末）函数的零点所在的区间为（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 考点三 判断函数零点个数 题型03：判断函数零点个数 【名师点拨】函数零点个数的判断方法 （1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质． （3）数形结合法：一种是转化成函数图像与轴的交点个数，另一种是转化成两个函数的交点个数。如判断型函数的零点个数问题时，可采用数形结合的方法．转化为两个函数和的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【例5】（2025上海高三阶段练习）函数的零点有 （ ） A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个 【例6】（2025上海高三阶段练习）已知函数的图象是连续不断的，其部分函数值对应如下表： 1 2 3 4 5 0.37 2.72 0 则函数在区间上的零点至少有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练】 1．（2024·上海崇明·一模）已知，关于的方程的解 ． 2．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2023春•宝山区校级月考）已知函数f（x）＝sin2x+2sinx﹣1，则f（x）在x∈[0，2023π]上的零点个数是（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 4．（2023·四川德阳·统考一模）已知奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若，则函数在区间内的零点个数至少为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025上海高三阶段练习）函数的零点个数是（    ） A． B． C． D． 考点四 函数零点的应用 题型04：根据零点所在的区间求参数 【名师点拨】根据函数零点所在的区间求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性； ②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式； ③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． 【例8】（2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________． 【例9】（2023·全国·高三专题练习）函数在内有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的范围是____ 2.（2025上海高三阶段练习）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型05：根据函数零点的个数求参数 【名师点拨】已知零点个数求参数范围问题的主要解法：直接法、分离参数法、数形结合法.一般情况下，常利用数形结合法，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两函数图象的交点问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果． 【例10】（2024·上海杨浦·一模）已知，其中实数.若函数有且仅有2个零点，则的取值范围为 . 【例11】（2025·天津武清区·一模）函数  关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 【跟踪训练】 1．（2023春•闵行区校级期中）已知f（x）满足f（x）＝f（x+8），当x∈[0，8]，，若函数g（x）＝f2（x）+af（x）﹣a﹣1在x∈[﹣8，8]上恰有八个不同的零点，则实数a的取值范围为 　　． 2．（2024·上海青浦·二模）对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是 ． 3．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知函数有且只有1个零点，则实数的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型06：根据函数有无零点求参数 【名师点拨】（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【例12】若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是________． 【例13】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的范围是_____ 【跟踪训练】 1.已知函数区间内有零点，求实数的取值范围. 2.（2022秋•奉贤区校级月考）若函数在区间[1，2]上有零点，则实数a的取值范围为 　　．（结果用区间表示） 题型07：与零点相关的比较大小问题 【名师点拨】与函数零点有关的函数值比较大小，可以通过函数性质结合零点存在性定理确定，也可考虑在同一平面直角坐标系中画出图象，根据交点及图象位置关系确定. 【例14】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则（    ）． A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是 A． B． C． D． 3．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型08：求零点的和或代数式的范围 【例15】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 【例16】（2022秋•浦东新区校级期末）已知函数f（x）＝|3x﹣3|+3，若f（a）＝f（b）（a≠b），则a+b的取值范围是 　　． 【跟踪训练】 1．（2022春•浦东新区校级月考）设f（x）＝，方程f（x）＝m有四个不相等的实根xi（i＝1，2，3，4），则x12+x22+x32+x42的取值范围为　　． 2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则________ 考点五 嵌套函数的零点问题 题型09：嵌套函数的零点问题 【名师点拨】①求嵌套函数的零点个数 关于嵌套函数方程的零点个数问题,可先换元解套,则,从而先由确定的解(或取值范围),再由通过数形结合确定的解的个数 ②求分段函数中参数的取值范围 ③求嵌套函数(或方程)中参数的取值范围 【例17】（2023·全国·模拟预测）已知则函数的零点个数是______． 【例18】函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪训练】 1．（2022秋•浦东新区校级期中）已知函数，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+2m+3＝0有三个不相等的实数解，则实数m的取值范围为　　． 2．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点六：函数零点的综合应用 题型10：用二分法求方程的近似解 【名师点拨】(1)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. ②求区间(a，b)的中点c. ③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (i)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (ii)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (iii)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. ④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②～④. 【例19】（2022秋•浦东新区校级期末）用“二分法”求方程x2﹣2x﹣5＝0在区间（2，4）内的实根，首先取区间中点x0＝3进行判断，那么下一个有根区间是 　　． 【跟踪训练】 1．（2023·广东梅州·统考二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋•闵行区期末）已知函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝x﹣4log2x，用二分法计算此函数在区间[1，3]上零点的近似值，第一次计算f（1）、f（3）的值，第二次计算f（x1）的值，第三次计算f（x2）的值，则x2＝　　． 题型11：函数的对称问题 【名师点拨】函数的对称问题转化为零点问题 【例20】（2023崇明二模） 若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是____________． 【例21】若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图像上；②点A、B关于原点对称，则点是函数的一个“姊妹点对”.点对与可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例22】若直角坐标平面内，两点满足：①点，都在函数的图象上；②点，关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”点对与可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数恰有两个“姊妹点对”，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型12：等高线问题 【例23】已知函数，若方程的个不同实根从小到大依次为，，，，有以下三个结论：①且；②当时，且；③．其中正确的结论个数为（ ） A． B． C． D． 【例24】已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 1．（2024上海春考）现定义如下：当x∈（n，n+1）时（n∈N），若f（x+1）＝f′（x），则称f（x）为延展函数．现有，当x∈（0，1）时，g（x）＝ex与h（x）＝x10均为延展函数，则以下结论（　　） （1）存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝g（x）有无穷个交点 （2）存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝h（x）有无穷个交点 A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立 2．（2023•上海秋考）已知函数f（x）＝2﹣x+1，且g（x）＝，则方程g（x）＝2的解为 　　． 3．（2022·上海数学春考））已知 为奇函数，当 时， ，且 关于直线 对称，设 的正数解依次为 、 、 、 、 、 ，则 　 　 4．（2020•上海秋考）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件： （1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02； （2）关于x的方程f（x）＝a无实数解， 则a的取值范围是　　． 5．（2022•上海秋季）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数． （1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2； （2）设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）； （3）设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增． 6．（2019•浙江）设，，函数若函数恰有3个零点，则　　 A．， B．， C．， D．， 7．（2019•上海）已知，与轴交点为，若对于图象上任意一点，在其图象上总存在另一点、异于，满足，且，则　　． 8．（2019•上海）已知，． （1）当时，求不等式的解集； （2）若在，时有零点，求的取值范围． 9.(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知函数，．若存在个零点，则的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$