精品解析：浙江省嘉兴市海宁市南苑高级中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷

浙江省嘉兴市海宁市南苑高级中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷 2025年10月 考生须知：全卷分试卷和答卷．试卷共4页，有4大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 命题p：“”，命题q：“”，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 下列各组集合中，表示同一集合的是（ ） A. M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B. M＝{3，2}，N＝{2，3} C. M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D. M＝{3，2}，N＝{(3，2)} 5. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. 10 D. 20 7. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 8. 已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，少选得部分分，多选错选不得分） 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C. “且”是“”的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 10. 若，，且，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（ ） A. 若m=1，则 B. 若，则≤n≤1 C. 若，则 D. 若n=1，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 方程的解集用列举法表示为_____________. 13. 已知函数满足，则________ 14. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是_____________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 解下列不等式： （1）； （2） 16. 设集合，集合． （1）当时，求； （2）当时，求实数的取值范围． 17. 求下列函数的值域. （1）; （2）; （3）,. 18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为，宽为． （1）若菜园面积S为，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小? （2）若使用的篱笆总长为，求的最小值． 19. 设非空数集M，对于任意，如果满足：①属于M ②属于M.③属于M ④（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. （1）判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； （2）若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； （3）设，证明A是数域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省嘉兴市海宁市南苑高级中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷 2025年10月 考生须知：全卷分试卷和答卷．试卷共4页，有4大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用并集的运算即可求解. 【详解】. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】特称量词命题的否定为全称量词命题. 【详解】命题“，”的否定为 ，. 故选：C. 3. 命题p：“”，命题q：“”，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合方程的根进行判断即可. 【详解】由，或， 因此p是q的必要不充分条件， 故选：B 4. 下列各组集合中，表示同一集合的是（ ） A. M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B. M＝{3，2}，N＝{2，3} C. M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D. M＝{3，2}，N＝{(3，2)} 【答案】B 【解析】 【分析】根据同一集合的概念进行判断即可． 【详解】对于A：M，N都是点集，与是不同的点则M，N是不同的集合，故不符合； 对于B：M，N都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，复合要求； 对于C：M是点集，表示直线上所有的点，而N是数集，表示函数的值域，则M，N是不同的集合，故不符合； 对于D：M是数集，表示1，2两个数，N是点集，则M，N是不同的集合，故不符合； 故选：B． 【点睛】本题考查集合的概念和同一集合的意义，解题的关键在于分析集合的意义，认清集合中元素的性质． 5. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【详解】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，AC选项错误， 对称轴为，D选项错误. 所以B选项正确. 故选：B 6. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. 10 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】方程两边同时除以得，利用“1的代换”即可求解. 【详解】为正实数，方程两边同时除以得， ， 当且仅当即时等号成立， 故 的最小值为. 故选：B. 7. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】解：因为，所以， 所以； 故选：D 8. 已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次不等式解集转化为一元二次方程的解，根据韦达定理求出，，再用基本不等式求出最值 【详解】的解集为，则是方程的两个根，故，，故 因为，所以有基本不等式得：，当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，少选得部分分，多选错选不得分） 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C. “且”是“”的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断ACD的真假；根据一元二次方程根的分布判断B的真假. 【详解】对A：由可得，所以成立，所以“”是“”的充分条件； 由可得或，所以“”是“”的不必要条件. 综上可得：“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对B：“二次方程有一正根一负根”等价于“”，故B正确； 对C：由“且”可得“”，但“”时，如，，此时“且”不成立，故C错误； 对D：因为：推不出，但，所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确. 故选：ABD 10. 若，，且，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AB：根据不等式的性质分析求解即可；对于CD：根据基本不等式分析求解即可. 【详解】因为，，且，即， 对于选项A：可得，解得，故A正确； 对于选项B：由选项B可知， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立，故D错误； 故选：ABC. 11. 设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（ ） A. 若m=1，则 B. 若，则≤n≤1 C. 若，则 D. 若n=1，则 【答案】BC 【解析】 【分析】先由非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可 【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S. ∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或； 同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得： . 对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误； 对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确； 对于C: 若，有，解得：，故C正确； 对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 方程的解集用列举法表示为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先解方程组，再按列举法表示点集的形式写出即可. 【详解】方程，两式相加得，所以， 代入原式得， 所以原方程组的解为， 解集用列举法表示为. 故答案为：. 13. 已知函数满足，则________ 【答案】 【解析】 【分析】 由，可得，两式联立，消去，可求出的解析式 【详解】解：因为①，所以用替换， 得 ② 由得 故答案为：， 【点睛】此题考查利用构造法求函数解析式，属于基础题. 14. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的定义域为,转化为恒成立,然后通过分类讨论和两种情况分别求得a的取值范围，可得解. 【详解】的定义域为，是使在实数集上恒成立. 若时,要使恒成立,则有 且, 即,解得. 若时，化为，恒成立，所以满足题意， 所以 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 解下列不等式： （1）； （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法解不等式即可； （2）根据分式不等式的求解，移项得，即，等价于，再求解即可． 【小问1详解】 ， 解得或， 所以不等式的解集为或； 【小问2详解】 先移项，即， 则，解得， 所以不等式的解集为． 16. 设集合，集合． （1）当时，求； （2）当时，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入化简集合，从而利用集合的并集运算即可得解； （2）由题设条件得到，从而分类讨论与，结合集合的包含关系即可得解. 【小问1详解】 当时，集合， 又集合，所以. 所以当时，. 【小问2详解】 因为等价于， 当时，，得，满足题意; 当时，则， 则，得，解得， 综上，实数的取值范围是. 17. 求下列函数的值域. （1）; （2）; （3）,. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用换元法,设,将求解函数的值域问题转化为当时函数的值域问题,根据二次函数的图像和性质求解即可; (2)利用分离常数法求解即可; (3)先找到函数的对称轴,再根据二次函数的图像和性质求解即可. 【小问1详解】 设,则, 所以, 根据二次函数的图像和性质,函数的值域为. 【小问2详解】 函数的定义域为, , 所以函数的值域为. 【小问3详解】 因为函数的对称轴为, 所以函数在单调递减,单调递增, 所以函数的值域为. 18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为，宽为． （1）若菜园面积S为，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小? （2）若使用的篱笆总长为，求的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，代入，根据基本不等式即可得出答案； （2）由已知可得，进而根据“1”的代换，结合基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，， 所以，. 又， 所以，， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以，菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小. 【小问2详解】 由已知可得，， 所以，， 所以， 所以，， 当且仅当，且，即，时等号成立， 所以，的最小值为. 19. 设非空数集M，对于任意，如果满足：①属于M ②属于M.③属于M ④（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. （1）判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； （2）若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：； （3）设，证明A是数域. 【答案】（1）自然数集不是数环；整数集是数环，不是数域；有理数集、实数集、复数集是数环也是数域； （2）证明：若，则，即； 若，，则，即 （3）证明：设，则，，， 则， 因为，所以，， 所以，满足条件①. ，因为， 所以，，所以，满足条件②. ，因为， 所以，，所以，满足条件③. ， 因为，，所以，， 所以，满足条件④. 综上所述，A是数域. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由数环与数域的定义判断即可； （2）根据题意，由数域的定义即可证明； （3）根据题意，设，，，然后分别验证①②③④，即可证明. 【小问1详解】 自然数集N不是数环，例如； 整数集Z是数环，不是数域，例如； 有理数集Q、实数集R、复数集C是数环也是数域. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了集合新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解数环与数域的定义，并且应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $