精品解析：河北省保定市清苑区2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

河北省2026届九年级阶段评估（一） 数学 ◆上册第二十一~二十二章◆ 注意事项：共8页，总分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，不是一元二次方程，不符合题意； B．，是一元二次方程，符合题意； C．，不是一元二次方程，不符合题意； D．，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 2. 二次函数的图象如下图所示，则的值可以是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． 根据二次函数的图象和性质，可得的取值范围，结合选项进行分析，即可得的可能取值． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 只有选项A符合， 故选：A． 3. 用配方法解方程时，方程的两边需同时加上的常数是（ ） A. B. 1 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程． 要使方程左边配成一个完全平方式，需要方程的两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴用配方法解方程时，方程的两边需同时加上的常数是． 故选：B． 4. 二次函数的图象的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． 根据二次函数的顶点式，即可得对称轴直线． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线． 故选：C． 5. 新一轮家电国补大潮来袭，补贴范围由2024年的8类拓展到2025年的12类．某款洗碗机的原价为3400元，享受国补和平台补贴后的价格为2176元，若两次补贴的百分率相同，设每次补贴的百分率为，由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．设每次补贴的百分率为，那么第一次补贴后的售价是原来的，那么第二次补贴后的售价是原来的，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设每次补贴的百分率为， 根据题意列方程得：； 故选：D． 6. 点和点均落在抛物线（为常数，且）上，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是求二次函数的解析式，二次函数的性质，把点代入抛物线，可得抛物线为，再将点A代入求解即可． 【详解】解：∵点落在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线为， ∵点落在抛物线上， ∴． 故选：A 7. 将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规则，上加下减，左加右减，即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线：，即， 故选C． 【点睛】此题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规则，上加下减，左加右减，是解题的关键． 8. 如图，已知抛物线与的形状相同，顶点分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与图形的面积． 用割补法，将阴影部分的面积转化为平行四边形的面积，计算即可． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同，顶点分别为和，，， ∴阴影部分的面积等于底为，高为的平行四边形的面积， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 故选：C． 9. 点和点在抛物线上，下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．首先确定二次函数图像的对称轴为直线，根据抛物线的对称性知，当和时，函数值相等，即图像过，再根据二次函数的增减性逐项判断即可。 【详解】解：， ∴抛物线对称轴为直线， 根据抛物线的对称性知，当和时，函数值相等，即，即图像过， 故B选项正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小， ∴当，， 故A选项正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小， ∴当时，， 故C选项正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大， ∴当时，， 故D选项错误； 故选：D． 10. 如图，二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点坐标为，则关于的一元二次方程（为常数）的实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意得，抛物线的对称轴为直线，则二次函数（为常数）的图象与x轴的另一个交点为，即可得关于x的一元二次方程（为常数）的两实数根是，． 【详解】解：二次函数（为常数）的图象的对称轴为直线， 二次函数（为常数）的图象与x轴的一个交点为， 二次函数（为常数）的图象与x轴的另一个交点为， 关于x的一元二次方程（为常数）的两实数根是，． 故选：B． 11. 已知，，若对于所有的实数，的值始终比的值大，则整数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是熟记二次函数与x轴的交点情况和的关系．本题只需根据题意列出一元二次不等式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得： A的值始终比B的值大， ∴， 即， 即的函数图象与x轴无交点， ∴， ∴， ∴整数的最小值为． 故选：C． 12. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 抛物线与y轴交点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据与y轴交点坐标为直接求解，即可解题． 【详解】解：抛物线与y轴交点坐标为， 故答案为：． 14. 将一元二次方程化成一般形式之后，一次项系数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为 (其中a、b、c是常数，)，其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项．根据一元二次方程的一般式可得答案． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式， 可得：． 一次项系数为： 故答案为：． 15. 若和为方程的两个不相等的实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握两根之和等于，两根之积等于是解题的关键．由根与系数的关系可得，，再求解，进一步即可求解． 【详解】解：m、n为方程的两个实数根， ，， ， ∵ ∴． 故答案为：． 16. 如图，正方形关于轴对称，边在轴上，正方形的顶点在的延长线上，顶点在的延长线上，．若抛物线经过点和点，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，轴对称，二次函数的解析式． 根据题意，可得，，代入，即可得的值． 【详解】解：∵正方形关于轴对称，边在轴上，，， ∴， ∴， ∵正方形的顶点在的延长线上，顶点在的延长线上，，． ∴， ∴， ∵抛物线经过点和点， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用因式分解法解答即可． （）把常数移到右边，再利用配方法解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，． 18. 已知是二次函数． （1）求的值． （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，求解二次函数值． （1）根据二次函数的定义可得，进一步求解即可． （2）把代入，进一步可得答案． 【小问1详解】 解：∵是二次函数， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：当时，二次函数为：， 当时，． 19. 下面是嘉嘉同学解一元二次方程的过程： ， ， 第一步 解得． 第二步 （1）嘉嘉同学从第 步开始出现错误． （2）请写出正确的求解过程． 【答案】（1）一 （2），，过程见解析 【解析】 【分析】本题考查等式的基本性质，解一元二次方程． （1）依据等式的基本性质判断即可； （2）移项，用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵当时，不能两边同时除以得出， ∴嘉嘉同学从第一步开始出现错误． 故答案为：一． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 20. “千载竹艺，万缕竹篾”满载着手艺的传承和传统民族文化的魅力．图1是用细竹篾编织的罩子，横截面可以近似看成一个抛物线形状，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知其宽度，最高点（抛物线的顶点）到的距离为． （1）求抛物线的解析式． （2）罩子紧贴桌面，罩子内放一纵截面为长方形的盘子，盘子的高为，上边缘恰好与罩子接触，盘子关于抛物线的对称轴对称，求的值． 【答案】（1） （2）20厘米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的解析式． （1）根据题意，可以写出点和点的坐标，再根据点为拋物线的顶点，可以设抛物线的顶点式，再将点的坐标代入解析式，即可得到抛物线的表达式； （2）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的的值，再求出这两个横坐标间的距离，再根据对称性即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 则， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 解：将代入， ， 解得：， ∴厘米． 21. 新定义：为二次函数的“图象指令”，如的“图象指令”为．根据以上信息回答下列问题： （1）若二次函数的“图象指令”为，求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （2）已知二次函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且函数的图象经过点，求二次函数的“图象指令”． （3）已知二次函数的“图象指令”为，且函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 ． 【答案】（1）二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为 （2）二次函数的“图象指令”为： （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，一元二次方程的解法． （1）由“图象指令”为，可得二次函数解析式为：，再进一步可得答案． （2）求解二次函数的对称轴为直线，结合函数的图象经过点，再进一步求解即可． （3）由二次函数的“图象指令”为，可得二次函数为：，结合函数的图象与轴只有一个交点，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的“图象指令”为， ∴二次函数解析式为：， ∴该二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵二次函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∵函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴二次函数为， ∴二次函数的“图象指令”为：． 【小问3详解】 解：∵二次函数的“图象指令”为， ∴二次函数为：， ∵函数的图象与轴只有一个交点， ∴且， 解得：或． 22. 请根据表格中的素材一和素材二完成任务一和任务二． 背景 嘉嘉所在的学校计划为福利院儿童送上一批礼物，礼物由长方体包装盒包装 素材一 制作纸盒的纸板的长为，宽为（图1），将阴影部分裁去，恰好折成如图2所示的长方体盒子，盒子的底面积为 素材二 为了美观，在盒子（图2）的上表面设计如图3所示的花纹 任务一 求纸盒的高 任务二 若花纹设计区域的面积为盒子上表面的，求图3中的值 【答案】任务一：纸盒的高为．任务二：的值为 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用． 任务一：分别表示底面的长与宽，可得，进一步解方程即可． 任务二：由任务一可得：盒子的上表面是边长为的正方形，如图，标注字母，可得，，，再进一步建立方程即可． 【详解】解：任务一：由题意可得：， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验：不符合题意，舍去， ∴纸盒的高为． 任务二：由任务一可得：盒子的上表面是边长为的正方形，如图，标注字母， ∴，，， ∴， 整理得：， 解得：，， 经检验不符合题意，舍去， ∴的值为． 23. 一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． （1）小球的滚动速度平均每秒少 ． （2）已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【小问1详解】 解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． 【小问2详解】 解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 24. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，．为抛物线的对称轴，为对称轴右侧抛物线上一点，且点在直线的下方． （1）求点的坐标及抛物线的解析式． （2）过点作于点，过点作，交于点，求的最大值． （3）过点作，且直线与抛物线有唯一公共点，请直接写出以，，为顶点的三角形的面积． 【答案】（1）点的坐标为，抛物线的解析式为； （2）的最大值为； （3）以，，为顶点的三角形的面积为． 【解析】 【分析】（1）在中，当时，，可得点的坐标，从而可得，结合已知，可得，，从而可得点和点的坐标，代入，可得和，即可得抛物线的解析式； （2）设直线的解析式为，把点和点的坐标代入，可得和，从而可得直线的解析式，，则，，可得，从而可得的最大值； （3）当，且直线与抛物线有唯一公共点时，点在第四象限，且的面积取得最大值，作轴于点，作，交延长线于点，可得，，，从而可得，求最大值，即为以，，为顶点的三角形的面积． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∵二次函数的图象与轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为，抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵为抛物线的对称轴， ∴直线为， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵为对称轴右侧抛物线上一点，且点在直线的下方， 设，则，， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值， ∴的最大值为． 【小问3详解】 解：当，且直线与抛物线有唯一公共点时，点在第四象限，且的面积取得最大值， 作轴于点，作，交延长线于点， 设，，则 ， ， ， ， ∴， ， ， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积取得最大值， 此时，，且直线与抛物线有唯一公共点， ∴以，，为顶点的三角形的面积为． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点坐标，求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，求二次函数的最大值，二次函数与图形的面积，一次函数与二次函数的综合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省2026届九年级阶段评估（一） 数学 ◆上册第二十一~二十二章◆ 注意事项：共8页，总分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象如下图所示，则的值可以是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 3. 用配方法解方程时，方程的两边需同时加上的常数是（ ） A. B. 1 C. 4 D. 4. 二次函数的图象的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 新一轮家电国补大潮来袭，补贴范围由2024年的8类拓展到2025年的12类．某款洗碗机的原价为3400元，享受国补和平台补贴后的价格为2176元，若两次补贴的百分率相同，设每次补贴的百分率为，由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 点和点均落在抛物线（为常数，且）上，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知抛物线与的形状相同，顶点分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 9. 点和点在抛物线上，下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 如图，二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点坐标为，则关于的一元二次方程（为常数）的实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 已知，，若对于所有的实数，的值始终比的值大，则整数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 抛物线与y轴交点坐标为___________． 14. 将一元二次方程化成一般形式之后，一次项系数为_______． 15. 若和为方程的两个不相等的实数根，则______． 16. 如图，正方形关于轴对称，边在轴上，正方形的顶点在的延长线上，顶点在的延长线上，．若抛物线经过点和点，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知是二次函数． （1）求的值． （2）当时，求的值． 19. 下面是嘉嘉同学解一元二次方程的过程： ， ， 第一步 解得． 第二步 （1）嘉嘉同学从第 步开始出现错误． （2）请写出正确的求解过程． 20. “千载竹艺，万缕竹篾”满载着手艺的传承和传统民族文化的魅力．图1是用细竹篾编织的罩子，横截面可以近似看成一个抛物线形状，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知其宽度，最高点（抛物线的顶点）到的距离为． （1）求抛物线的解析式． （2）罩子紧贴桌面，罩子内放一纵截面为长方形的盘子，盘子的高为，上边缘恰好与罩子接触，盘子关于抛物线的对称轴对称，求的值． 21. 新定义：为二次函数的“图象指令”，如的“图象指令”为．根据以上信息回答下列问题： （1）若二次函数的“图象指令”为，求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （2）已知二次函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且函数的图象经过点，求二次函数的“图象指令”． （3）已知二次函数的“图象指令”为，且函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 ． 22. 请根据表格中的素材一和素材二完成任务一和任务二． 背景 嘉嘉所在的学校计划为福利院儿童送上一批礼物，礼物由长方体包装盒包装 素材一 制作纸盒的纸板的长为，宽为（图1），将阴影部分裁去，恰好折成如图2所示的长方体盒子，盒子的底面积为 素材二 为了美观，在盒子（图2）的上表面设计如图3所示的花纹 任务一 求纸盒的高 任务二 若花纹设计区域的面积为盒子上表面的，求图3中的值 23. 一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． （1）小球的滚动速度平均每秒少 ． （2）已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 24. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，．为抛物线的对称轴，为对称轴右侧抛物线上一点，且点在直线的下方． （1）求点的坐标及抛物线的解析式． （2）过点作于点，过点作，交于点，求的最大值． （3）过点作，且直线与抛物线有唯一公共点，请直接写出以，，为顶点的三角形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $