精品解析：江苏省扬州市七校联盟2025-2026学年高三上学期10月联考数学试题

七校联盟2025-2026学年第一学期第一次联考 高三数学 2025.10.15/16 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “x>1”是“x>0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件间的推出关系，判断“x>1”与“x>0”的关系. 【详解】“x>1”，则“x>0”，反之不成立. ∴“x>1”是“x>0”的充分不必要条件. 故选：A. 2. 已知，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的正弦值以及余弦值可直接写出角的取值. 【详解】依题意若，则可得，或， 若，则，或，； 因此当，时，则，； 故选：B 3. 设集合，，则集合中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式和分式不等式求出集合，再由交集定义求出即可求解. 【详解】由题集合或， 集合 所以集合或， 所以集合中的元素个数为4. 故选：C 4. 已知函数是周期为2的奇函数，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意求得，再由奇函数性质即可求解. 【详解】由题函数是周期为2的奇函数，且， 所以. 故选：A 5. 已知四个数，，，，其中最大是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式可比较，再比较即可得解. 【详解】因，且， 所以， 又，所以， 故最大的是d. 故选：D 6. 已知命题：“，”为假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先写出其否定，再讨论当时与时的情况即可得到结果. 【详解】命题“，”为假命题， 可得，为真命题， 当时，不等式显然成立． 当时，由题可得函数图象恒在x轴下方， 则，解得． 综上可得，即的取值范围是． 故选：B. 7. 下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质求出的估计值，即可判断. 【详解】因为，又， 所以， 所以， 因为指数与选项A、B、C、D的指数相比较，与的差的绝对值最小， 所以与最接近的是. 故选：C 8. 已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，求导确定函数单调性，再根据，从而根据不等式列不等式组，即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，恒成立， 所以在上单调递增，又， 若满足，则，解得， 故实数的取值范围是. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一分析即可. 【详解】若，，则，A正确； 当，满足，，但，B错误； 若，因为，则， 则，与矛盾，故，C正确； 当，满足，但，D错误. 故选：AC 10. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列选项中正确的有（ ） A. 函数必有极值 B. 函数必有最值 C. 函数必有零点 D. 函数必为非奇非偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图得出导数正负情况，进而可得函数单调性情况，再结合极值、最值、奇偶函数和零点定义即可得解. 【详解】由图可知，，当且仅当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有极大值和最大值均为，且导函数图象不关于原点对称也不关于y轴对称， 故函数必为非奇非偶函数， 导数反映的是函数单调性，无条件可明确函数值正负情况，故函数零点情况不确定. 故选：ABD 11. 已知函数，下列选项中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在唯一一组实数a，b的值，使得函数在区间上的值域为 D. 存在唯一一组实数a，b的值，使得不等式的解集为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于AB选项，可以举反例判断；对于CD选项，根据二次函数性质进行讨论即可. 【详解】A选项，当时，，，故A选项错误； B选项，当时，，此时，不满足，故B选项错误； C选项，当时，在上单调递增， 若值域为则，解得符合题意； 当时， ，此时值域不可能为； 所以C选项正确； D选项，若不等式的解集为，则， 即且（或），由于，则， 所以恒成立，则的解集为， 即的解集为， 则的两根为和， 代入得，解得或， 若，则代入得，或（舍）； 若，则代入得，（舍）； 综上，当且仅当符合题意，故D选项正确； 故选：CD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的增区间是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得，所以函数的增区间是. 故答案为： 13. 的最小值是_______. 【答案】9 【解析】 【分析】由并根据基本不等式中“1”的应用计算即可. 【详解】依题意易知，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为9. 故答案为：9 14. 已知定义在上的函数具有下列性质： ①对任意非零实数，，都有， ②在区间上，单调递增； ③是偶函数. 写出函数可能的一个解析式：________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据性质①可知满足对数运算性质，由性质②可知对数函数的底数应大于1，再由偶函数性质可限定0处的函数值，得出结果. 【详解】根据性质①知满足对数运算性质，因此该函数可以是对数函数， 由性质②在区间上单调递增，知该对数函数的底数应大于1， 再由偶函数性质，知：若为对数函数，真数为形式即可， 由定义域为，需单独说明0处的函数值即可. 因此函数可以是. 故答案为：（答案不唯一） 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 （1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）6；（2）4 【解析】 【分析】（1）由对数运算法则和性质即可求解； （2）先由诱导公式化简题设条件得，再弦化切即可求解. 【详解】（1） ； （2）， 故. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的最小值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）求导，可得，再由以及点斜式方程即可得解； （2）令，易知函数在上单调递增，由此可得的单调性，进而求得最值. 【小问1详解】 ，则， 又， 则所求切线方程为，即； 【小问2详解】 令，则恒成立， 则在上单调递增， 又， 则当，，单调递减，当，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值1. 17. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点. （1）若平面，求的值； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】）（1）先证明平面，得到，若平面，只需，用空间向量法计算解得参数的值. （2）根据空间向量法计算二面角的余弦值. 【小问1详解】 由于平面平面，为等边三角形，为的中点，， 根据面面垂直的性质定理，所以平面，平面，则， 因为，，，可知四边形为等腰梯形， 若平面，只需， 取的中点，连接，在等腰梯形为的中点，可知， 因为平面，平面，则， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ， ，解得或，由于，则 小问2详解】 如上建立空间直角坐标系，，由于平面与轴垂直， 则设平面的法向量为， 设平面的法向量为， ，则， 二面角的余弦值， 由二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为． 18. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球. （1）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，判断并说明事件A与B是否相互独立； （2）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，只要白球个数是3个，则获奖，否则不获奖，该同学放置白球的数量n为多少时，参与者获奖的可能性最大? 【答案】（1）不独立，说明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依次求出即可由独立事件的定义分析求解； （2）先由题意得到获奖概率为，接着计算分析与1的大小关系即可求解. 【小问1详解】 事件A与B不相互独立，理由如下： 当时，由题可得，， ， 所以，所以事件A与B不相互独立. 【小问2详解】 由题可得从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率为， 则， 又， 所以当时，当时， 所以， 所以当时，参与者获奖的可能性最大. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求的取值集合； （3）若，求证：有且仅有两个零点. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数工具分和两种情况讨论的正负情况即可得解； （2）先由时和时得到，接着由（1）得时，接着利用导数工具研究函数的性质得到当且仅当时取等号即可得解； （3）先由（1）知得在上单调递减，在上单调递增，接着由（2）得，进而得，再依次研究分析得到和即可得证有且仅有两个零点. 【小问1详解】 由题可得在上单调递增， 时，，在上单调递增； 时，令，， 所以时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 时，，舍去； 时，，舍去： 时，由（1）知，（*）， 记，则单调递减， 令得，所以当时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以当且仅当时取等号， 结合（*）式可知，a的取值集合为. 【小问3详解】 证明：因为，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 所以最多两个零点.① 由（2）知，， 所以， 又，， 因为在上图象不间断，， 所以在上存在零点.② 因为，所以， 且 记，则， 记，则， 所以在上单调递增， 所以，所以，所以， 因为在上图象不间断，， 所以在上存在零点.③ 综合①②③，有且仅有两个零点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七校联盟2025-2026学年第一学期第一次联考 高三数学 2025.10.15/16 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “x>1”是“x>0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设集合，，则集合中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知函数是周期为2的奇函数，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知四个数，，，，其中最大的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题：“，”为假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：，） A B. C. D. 8. 已知函数，则满足实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中正确有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列选项中正确的有（ ） A. 函数必有极值 B. 函数必有最值 C. 函数必有零点 D. 函数必为非奇非偶函数 11. 已知函数，下列选项中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 存在唯一一组实数a，b的值，使得函数在区间上的值域为 D. 存在唯一一组实数a，b的值，使得不等式的解集为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的增区间是________. 13. 的最小值是_______. 14. 已知定义在上的函数具有下列性质： ①对任意非零实数，，都有， ②在区间上，单调递增； ③偶函数. 写出函数可能的一个解析式：________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，求的值. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的最小值. 17. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为中点. （1）若平面，求的值； （2）求二面角的余弦值. 18. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球. （1）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，判断并说明事件A与B是否相互独立； （2）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，只要白球个数是3个，则获奖，否则不获奖，该同学放置白球的数量n为多少时，参与者获奖的可能性最大? 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求的取值集合； （3）若，求证：有且仅有两个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $