精品解析：广西名校高考模拟2025-2026学年高三上学期第二次摸底考试数学试题

广西名校高考模拟试卷第二次摸底考试 数学 （本卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的实部为（ ）． A. 2 B. 5 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数的乘法化简，即可得. 【详解】由，故实部为. 故选：D 2. 已知集合，，则集合中元素个数为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】解绝对值不等式求集合，再应用集合的交运算求，即可得元素个数. 【详解】由， 所以，故有2个元素. 故选：C 3. 已知双曲线的焦距是虚轴的2倍，则的离心率为（ ）． A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设，结合双曲线参数关系得，再求离心率. 【详解】由题设，双曲线的焦距是虚轴的2倍，则，故， 由，则，故离心率. 故选：D 4. 若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得函数的对称中心的表达式，然后求得的最小值. 【详解】根据余弦函数的性质的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是，即， 又，则时最小，为． 故选：B 5. 已知定义在上的函数满足，，当时，，则等于（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知可得得，结合奇函数性质得，即可得. 【详解】由已知可得，函数为R上的奇函数，且周期. 则，又， 所以，则. 故选：A. 6. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出，，，四点坐标，利用坐标进行向量的坐标运算即可求解. 【详解】 以点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系， 在平面直角坐标系下，，,，， 所以,， ，． 故选：B 7. 已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 设圆心为，半径为，则，， 所以由垂径定理可得，故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为， 故选：A 8. 若x，y，z∈R+，且3x=4y=12z，∈（n，n+1），n∈N，则n的值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设，用表示出，然后根据对数的运算性质和换底公式进行变形求解可得所在的范围，进而得到答案． 【详解】设，则， ∴． ∵， ∴； 又， ∴，即． ∴． 故选C． 【点睛】本题考查对数的换底公式、对数的性质以及基本不等式，具有一定的灵活性和难度，解题的关键是用参数表示出，考查变换和计算能力． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，，分别是正四面体的棱，，的中点，则下列结论正确的有（ ）． A. 平面 B. C. 平面与平面夹角为 D. 平面平面 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：根据线面平行分析判断；对于C：首先找到两个平面所成角的平面角，再分析相关边所在三角形的性质即可判断；对于B、D：根据线面、面面垂直的判定定理分析判断. 【详解】 对于A：因为，分别是，的中点，则， 平面，平面，所以平面，正确； 对于B：因为，分别是，的中点，则， 由都是等边三角形，则， 所以，且平面， 所以平面，平面，则，正确； 对于C：因为是的中点，且是等边三角形， 所以，则是平面与平面夹角的平面角， 若正四面体的棱长为2，则，易知，错误； 对于D：取底面的中心，连接，则平面， 但平面，所以平面与平面不垂直，错误； 故选：AB 10. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，则下列结论正确的有（ ）． A. 线段的长度的最小值为4 B. 为钝角 C. 若直线的斜率为1，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用过抛物线的焦点弦中通径最短判断A；利用以AB为直径的圆与准线相切，知点的位置判断B；利用点差法判断C；三角形相似判断D. 【详解】对于A，如图①，易知抛物线C的焦点为，准线方程为，点， 过焦点的弦中通径最短，所以，正确； 对于B，如图，若是中点，也是以为直径的圆的圆心， 结合抛物线的定义知，若垂直抛物线准线于， 又，故到准线的距离为， 所以，故以AB为直径的圆与准线相切， 所以点在圆外或圆上，则，错误； 对于C，由，两式相减，得，又，所以，正确； 对于D，设直线的方程为：， 由得，， 所以，， ， 所以，正确． 故选：ACD 11. 定义：为一组数据相对于常数的“正弦方差”．若，一组数据0，相对于的“正弦方差”为，则的取值可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据“正弦方差”的定义写出的解析式，利用和角公式和辅助角公式，将其化成正弦型函数，结合正弦函数的图象性质求得的取值范围. 【详解】依题意， ， ，得，故，即. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 曲线与直线相切，则______. 【答案】 【解析】 【分析】 先求的导函数，根据切线的斜率等于切点处的导数值，求得切点坐标，代入切线方程，求得的值. 【详解】∵，∴,切线的斜率为, 设切点P(x0,y0), 令，解得,代入函数解析表达式得, ∴切点坐标为代入切线方程中得到,解得, 故答案为：. 【点睛】本题考查导数的运算和导数的几何意义，关键是掌握函数在某点处的导数的几何意义是该点处切线的斜率，切点坐标,切线的斜率为,则满足：. 13. 已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由和两类情况，结合等比数列前项和的性质求解. 【详解】由，可得， 当时，，所以， 当时，，所以. 故答案为： 14. 游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为，停在不同区域的概率为，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为，若开始时指针停在红色区域，则______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意画出数形图，即可求出的分布列，即可求出数学期望； 【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下： 则的分布列如下： 0 1 2 3 故. 故答案为： 【点睛】本题考查概率的计算，随机变量的分布列和数学期望，解答的关键是画出树形图. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果： 职业 买食品时是否看营养说明 合计 不看营养说明 看营养说明 从事与医疗相关行业 12 28 40 从事与医疗无关行业 18 22 40 合计 30 50 80 （1）从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率； （2）依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？ 参考公式： 独立性检验中常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）无差异 【解析】 【分析】（1）根据条件概率及古典概型计算即可； （2）代入公式计算的值，结合临界值判断即可. 【小问1详解】 用A表示事件“受访者在购买食品是要看营养说明”， B表示事件“受访者从事医疗无关行业”，“已知此人在购买食品时要看营养说明， 求这名受访者从事与医疗无关行业”的概率就是在“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为， ，，所以； 【小问2详解】 零假设为：职业与看营养说明相互独立，即两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异， 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以可以认为成立， 即认为两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异. 16. 欧拉函数以数学家欧拉命名，其定义为：对于正整数，欧拉函数表示小于或等于的正整数中与互质的数的个数．例如（1，3，5，7与8互质）． （1）求，，的值； （2）已知数列满足，求的前项和． 【答案】（1），，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可； （2）利用错位相减法求和，即可得出结果. 【小问1详解】 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以; 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以; 所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即. 【小问2详解】 由（1）可知， 两式相减得 . 17. 如图，直四棱柱的下底面为菱形，，是上底面内两个不同的动点． （1）若为正方体，为上底面的中心，求异面直线与所成角的余弦值； （2）若恰好是二面角的平面角．证明：在动点运动过程中，三棱锥的体积保持不变． 【答案】（1）； （2）证明：由于是二面角的平面角，则， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，则， 因为直四棱柱，所以且， 所以四边形是平行四边形，则，所以， 又因为在直四棱柱中，可得平面， 因为平面，则， 又因为，且平面，所以平面， 由平面且平面，平面平面， 所以平面与平面重合，点M在平面内，又点M在平面内， 所以平面平面，故M在上，而， 由平面，平面，则平面， 所以到平面的距离恒定不变，又一定，则恒定，得证. 【解析】 【分析】（1）根据异面直线的定义得与所成角的平面角为，再根据已知有，并设正方体的棱长为2求出相关线段长，即可得； （2）根据二面角的定义得，结合线面垂直的判定和性质及平面的基本性质得到M在上，最后证明平面，应用等体积法及棱锥体积公式即可证. 【小问1详解】 由正方体的结构特征知，则异面直线与所成角的平面角为， 又平面，平面，则， 所以为直角三角形，则， 若正方体的棱长为2，则，故， 所以； 【小问2详解】 略 18. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，.如图，点、、分别是相应椭圆的焦点，、和、分别是“果圆”与x轴、y轴的交点. （1）若是边长为 1 的等边三角形，求 “果圆” 的方程; （2）在（1）条件下，为半椭圆上的任意一点，点坐标为，求最大值以及最小值； （3）当 时，求的取值范围. 【答案】（1）， （2），最大值为3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据是边长为1的等边三角形可得的值，结合的关系即可得结果； （2）由两点间距离公式结合二次函数最值计算可求最小值，结合椭圆的定义可求的最大值； （3）将和分别用表示，结合即可得结果； 【小问1详解】 因为是边长为1的等边三角形， 所以，，， 所以，， 故“果圆”的方程为，； 【小问2详解】 由（1）可知：， 可设，满足， 则， 因为，由二次函数的性质易知：当时，取得最小值， 即， 因为，所以，当三点共线取等号， 又，所以，即最大值为3； 【小问3详解】 又，，，因此， 因为，所以，即，即， 因为，所以， 所以，化简得， 所以. 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若在区间上恰有一个零点，求的取值范围； （3）当时，解方程． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，研究导数的符号确定函数的单调性； （2）首先应用导数研究时函数单调性判断零点情况，从而有，再根据函数零点所在区间求参数的取值范围； （3）明确的解析式，分析其单调性，得到方程解得个数，再结合二次方程的根的情况进行验证即可. 【小问1详解】 因为（），所以（）， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 因为（），所以（）， 当时，，即，在定义域内单调递增； 注意到，因此在区间上无零点； 当时，由，得仅有一解， 记，则仅有一解， 令，则直线与的图象仅有一个交点， 因为，且直线过点， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且，， 所以，结合，则的取值范围为． 【小问3详解】 由题，，记上式为， 由，则在定义域内单调递减， 因此，仅有一个解， 注意到待求方程， 对中含的部分单独考察，令，解得， 因此时可消去． 当时，有，满足题意； 当时，显然不在函数的定义域内，不符合； 综上，原方程的解为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西名校高考模拟试卷第二次摸底考试 数学 （本卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的实部为（ ）． A. 2 B. 5 C. 6 D. 2. 已知集合，，则集合中元素个数为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知双曲线的焦距是虚轴的2倍，则的离心率为（ ）． A. B. 2 C. D. 4. 若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知定义在上的函数满足，，当时，，则等于（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 6. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 （ ） A. B. C. D. 7. 已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若x，y，z∈R+，且3x=4y=12z，∈（n，n+1），n∈N，则n的值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知，，分别是正四面体的棱，，的中点，则下列结论正确的有（ ）． A. 平面 B. C. 平面与平面夹角为 D. 平面平面 10. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，则下列结论正确的有（ ）． A. 线段的长度的最小值为4 B. 为钝角 C. 若直线的斜率为1，则 D. 11. 定义：为一组数据相对于常数的“正弦方差”．若，一组数据0，相对于的“正弦方差”为，则的取值可能是（ ）． A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 曲线与直线相切，则______. 13. 已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为________． 14. 游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为，停在不同区域的概率为，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为，若开始时指针停在红色区域，则______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果： 职业 买食品时是否看营养说明 合计 不看营养说明 看营养说明 从事与医疗相关行业 12 28 40 从事与医疗无关行业 18 22 40 合计 30 50 80 （1）从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率； （2）依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？ 参考公式： 独立性检验中常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 欧拉函数以数学家欧拉命名，其定义为：对于正整数，欧拉函数表示小于或等于的正整数中与互质的数的个数．例如（1，3，5，7与8互质）． （1）求，，的值； （2）已知数列满足，求的前项和． 17. 如图，直四棱柱的下底面为菱形，，是上底面内两个不同的动点． （1）若为正方体，为上底面的中心，求异面直线与所成角的余弦值； （2）若恰好是二面角的平面角．证明：在动点运动过程中，三棱锥的体积保持不变． 18. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，.如图，点、、分别是相应椭圆的焦点，、和、分别是“果圆”与x轴、y轴的交点. （1）若是边长为 1 的等边三角形，求 “果圆” 的方程; （2）在（1）条件下，为半椭圆上的任意一点，点坐标为，求最大值以及最小值； （3）当 时，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若在区间上恰有一个零点，求的取值范围； （3）当时，解方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $