精品解析：广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题 命题人：何深立 审题人：黄黎明 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. -2N+ B. Z C. πQ D. 5N 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，则集合的所有非空子集的个数为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 5. 已知，则的最小值是（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 6. 已知均为的子集，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如果，是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 实数，，满足：，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 下列命题中，是真命题的有（ ） A. 有理数集可以表示为 B. 若（其中），则 C. D. 10. 下列命题为真命题的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 如果，那么 D. 若，则 11. 下列命题正确的有（ ） A. 若方程有两个根，一个大于1另一个小于1，则实数的取值范围为 B. 设，若且，则 C. 设，命题是命题的充分不必要条件 D. 若集合和至少有一个集合不是空集，则实数的取值范围是或 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分）. 12. 因式分解：_________________ 13. 设全集，集合，集合，则如图阴影部分表示的集合为__________.（可用区间表示） 14. 若 ，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是___． 四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解下列不等式： （1）； （2） 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题为假命题且命题为真命题，求实数的取值范围. 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 19. 已知下列不等式：（i）；（ii）；（iii）． （1）若，求这三个不等式的解集的交集． （2）若，解（ⅲ）这个不等式； （3）存在使不等式（i）和（ii）同时成立中的，且这些使不等式（ⅲ）不成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题 命题人：何深立 审题人：黄黎明 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. -2N+ B. Z C. πQ D. 5N 【答案】C 【解析】 【分析】根据自然数集、正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合关系. 【详解】对于A，-2是负整数，则-2N+，A错误； 对于B，是分数，则Z，B错误； 对于C，π是无理数，则πQ，C正确； 对于D，5是正整数，则5N，D错误； 故选：C 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全称命题的否定为存在量词命题,改写量词，否定结论即得. 【详解】由全称命题的否定为特称命题知：原命题的否定为：. 故选：B. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解绝对值不等式，再利用交集定义求解即得. 【详解】因，又， 故. 故选：A. 4. 已知集合，则集合的所有非空子集的个数为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的描述可得，由非空子集个数与集合元素个数的关系求的所有非空子集的个数. 【详解】由题设，，即8可被整除且，， ∴，故集合的所有非空子集的个数为. 故选：C 5. 已知，则的最小值是（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式中“1”的代换技巧求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值是4. 故选：A 6. 已知均为的子集，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出Venn图，结合Venn图即可确定集合的运算结果. 【详解】解法一：,，据此可得. 故选：B. 解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R， 矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合， 矩形区域CDFG表示集合N，满足， 结合图形可得：. 故选：B. 7. 如果，是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件． 【详解】当时，满足，而，则充分性不成立； 当时，若，则， 所以，而，则； 若，则， 所以，而，则，则必要性成立． 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 8. 实数，，满足：，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用立方和公式和完全平方公式将用与表示，再分离出，使用基本不等式求解即可. 【详解】∵，∴， ∴，∴， ∴， ∵，，令，则 易知与均不为且符号相同，∴，解得或. （此时，可通过验证时，满足题意，，结合选项确定选项D正确.） 又∵，，，， ∴由基本不等式，，当且仅当时，等号成立， ∴， 又∵， ∴，（当时，）， ∴解得，即，当且仅当时，等号成立. ∴综上所述，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】易错点睛：本题若忽视中的与同号，直接使用基本不等式求解，就容易错解，而优先考虑与同号，并结合选项进行特值验证，则可以很轻松的选出正确选项. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 下列命题中，是真命题的有（ ） A. 有理数集可以表示为 B. 若（其中），则 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例判断A；根据集合相等求解判断B；根据空集是任何集合的子集判断C；根据数集关系判断D. 【详解】对于A，是有理数，而，A为假命题； 对于B，由，得，则，B为真命题； 对于C，方程的解为，集合是非空集合， 则，C为真命题； 对于D，，则，D为假命题. 故选：BC 10. 下列命题为真命题的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 如果，那么 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举反例证明其错误；对于B，证明即可；对于C，首先有，若要成立，只需即可，只需，这显然成立；对于D，首先有，若要，只需即可，只需，这显然成立. 【详解】对于A，令，，则，故A错误. 对于B，因为，所以，故B正确. 对于C，由于 ，同乘以， 得，又，所以，故C正确. 对于D，若，则，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 下列命题正确的有（ ） A. 若方程有两个根，一个大于1另一个小于1，则实数的取值范围为 B. 设，若且，则 C. 设，命题是命题的充分不必要条件 D. 若集合和至少有一个集合不是空集，则实数的取值范围是或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用三个二次的关系，数形结合列出不等式求解即可；对于B，利用不等式的性质求解即得；对于C，利用充要条件的判断方法，从两个方向进行分类讨论，推理即可判断；对于D，先考虑两集合均为空集，求出参数的范围，依题再求其补集即得. 【详解】对于A，依题意，函数有两个零点，， 因两根中一个大于1另一个小于1， 则有或， 解得，即实数的取值范围为，故A正确； 对于B，令，则. 由可得 则. 因为，则，即，故B正确： 对于C，① 若，则，故有； 若，显然有； 若，则，且，则得，故有， 故当时，都可推出； ② 若，当时，如果，不等式显然成立，此时有； 如果，则可得，从而，即，故有 ； 当时，，此时有，即，故. 故当时，都可以推出. 综上，可知是的充要条件，故C不正确： 对于D，假设两个方程无实根（即A，B均是空集），则有 ，解得. 则当或时，两个方程至少有一个方程有实根，即两个集合至少有一个不是空集. 故实数的取值范围为或，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分）. 12. 因式分解：_________________ 【答案】 【解析】 【分析】利用拆项分组法即可分解因式. 【详解】. 故答案为：. 【点睛】 13. 设全集，集合，集合，则如图阴影部分表示的集合为__________.（可用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】将如图阴影部分表示的集合记为，由图得且，接着求出即可求解阴影部分表示的集合. 【详解】将如图阴影部分表示的集合记为， 则由图可知且， 又，， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 若 ，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】对不等式进行因式分解，，利用分离变量法转化为对应函数最值，即得到答案. 【详解】， 即：恒成立 所以 故答案为 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，因式分解是解题的关键. 四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解下列不等式： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三个二次的关系，配方后结合图象求得解集； （2）将分式不等式化成一元二次不等式组求解即得. 【小问1详解】 由得， 即，解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式等价于 解得或 故不等式的解集为 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，得到集合B，再结合集合的补集和交集运算，即可求解； （2）由可得，分类讨论，结合集合的包含关系即可求解. 【小问1详解】 当，此时，则 所以 【小问2详解】 若，则 ①当，则，解得，符合题意； ②当，即时，须满足： ，解得，所以. 综上，实数m的取值范围为. 17. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题为假命题且命题为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据恒成立问题得，求得，解不等式即可得解； （2）根据有解问题得，利用二次函数单调性求得最小值列不等式得，然后根据命题为假命题且命题为真命题列不等式组求解即可. 【小问1详解】 因为为真命题，所以对任意，不等式恒成立， 所以，其中， 所以，即，解得， 则的取值范围. 【小问2详解】 若为真命题，即存在，使得不等式成立， 则. 因为，且单调递减， 所以， 所以，故解得； 若为假命题，为真命题，则或，所以. 综上可得的取值范围为. 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】（1）采用方案二；理由如下： 方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）24 【解析】 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 采用方案二，花费更少，理由略； 【小问2详解】 由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 19. 已知下列不等式：（i）；（ii）；（iii）． （1）若，求这三个不等式的解集的交集． （2）若，解（ⅲ）这个不等式； （3）存在使不等式（i）和（ii）同时成立中的，且这些使不等式（ⅲ）不成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. （3）存在，且实数的取值范围是 【解析】 【分析】（1）当时，解出三个不等式，利用交集的定义可得出三个不等式解集的交集； （2）将所求不等式变形为，分、、三种情况讨论，利用一次不等式或二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （3）设不等式、、的解集分别为、、，求出集合，考虑时实数的取值范围，可得出当时，实数的取值范围，然后分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 设不等式、、的解集分别为、、， 当时，， 由可得，解得， 即， （iii）中的不等式即为，即，即， 解得或，即， 所以，. 【小问2详解】 （iii）中的不等式即为， 即， 当时，原不等式即为，解得； 当时，，解原不等式可得； 当时，因为，即， 解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 【小问3详解】 设不等式、、的解集分别为、、， 解不等式，可得，解得， 则，且， 下面考虑当时，实数的取值范围， 则或，解得或， 所以，当时，， 因为满足不等式，则， 即，所以，或，解得或， 所以，或， 当时，，此时，， 由题意可得，所以，，可得， 解得或，此时，； 当时，，此时，或， 由题意可得，则，该不等式组无解. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键在于分析出以及，由此列出关于实数的不等式进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $