精品解析：陕西省汉中市多校联考2025-2026学年高二上学期10月阶段性检测（一）数学试题

2025-2026学年高二年级阶段性测试（一） 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与平行，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 在空间四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知三条直线交于一点，则实数=（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A. B. 2 C. 2 D. 4 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱，的中点，若直线与平面交于点，则线段的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. D. 10. 已知中，点和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 边所在直线的方程为 C. 边上的高所在直线的倾斜角为钝角 D. 若，则的面积为3 11. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若直线与平行，则 B. 若把绕其与轴的交点逆时针旋转，所得直线的斜率为2，则 C. 若与直线垂直，则 D. 对任意的，都存在定点，使得点到的距离为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，且，则___________． 13. 过点且在轴上的截距与在轴上截距相等的直线的方程为___________． 14. 已知在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．若平面的方程为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）若共面，求的值； （2）若，求的值． 16. 已知点，点为坐标原点． （1）若直线过点，且，求的方程； （2）若直线过点，与轴负半轴及轴负半轴分别交于点A，B，且，求的值． 17. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 在直角坐标系xOy中，直线l：与x，y轴分别交于点A，B，直线与线段AB交于点C，与x轴交于点D. （1）求与l平行且距离为2的直线的方程； （2）若△OCD与△AOB在某种对应方式下相似，求实数t的值； （3）若点满足△MCD为等腰直角三角形，求实数m的值. 19. 如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，． （1）用分别表示． （2）若，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二年级阶段性测试（一） 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，根据直线的方程求出直线的斜率 ，再由结合即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 由可得， 所以直线的斜率，则， 因为，所以， 故选：C. 2. 若直线与平行，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行可得，且，求解即可. 【详解】若直线与平行， 则，且，解得． 故选：A. 3. 在空间四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量加减法的坐标运算直接求解即可. 【详解】由题知，. 故选：A 4. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，点， 若点与点关于平面对称，可得， 则向量，所以. 故选：A. 5. 已知三条直线交于一点，则实数=（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可. 【详解】由，即两直线交点坐标为， 代入得：. 故选：C 6. 已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别将用表示，再根据空间向量数量积的运算律求解即可. 【详解】如图所示，设， 由题意知，且三向量两两夹角均为， ， ． 故选：B. 7. 设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A. B. 2 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两条直线的定点，再根据两点之间的距离公式求解即可. 【详解】直线过定点， 直线过定点， 则 故选：A 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱，的中点，若直线与平面交于点，则线段的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线可得，进而根据空间中点点距离即可求解. 【详解】如图，连接，因为直线与都在平面内， 所以直线与的交点即与平面的交点， 由于且，故由三角形相似，可得， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，所以，从而， 所以的坐标为，所以, 故选:B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由点坐标求向量的模，单位向量的定义求与同向的单位向量，坐标运算求数量积、夹角判断各项正误. 【详解】由题设，与同向的单位向量为，A、B正确； 由数量积的坐标运算得，C错误； 由，则，D正确． 故选：ABD 10. 已知中，点和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 边所在直线的方程为 C. 边上的高所在直线的倾斜角为钝角 D. 若，则的面积为3 【答案】AD 【解析】 【分析】A由两点距离公式判断；B将已知点代入验证即可；C两点式求的斜率，进而确定对应高的斜率，结合倾斜角与斜率关系判断；D点斜式写出的方程，求点到直线的距离、，应用三角形面积公式求面积. 【详解】由，故A正确； 将代入，则，故B错误； ，故边上的高所在直线的斜率为2，故C错误； 由C分析，边所在直线的方程为， 点到直线的距离为，又， 所以的面积为3，故D正确． 故选：AD 11. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若直线与平行，则 B. 若把绕其与轴的交点逆时针旋转，所得直线的斜率为2，则 C. 若与直线垂直，则 D. 对任意的，都存在定点，使得点到的距离为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出斜率计算判断A；利用斜率的定义，结合和角的正切公式计算判断B；由垂直关系求出斜率，结合同角公式计算判断C；求出点到直线距离判断D. 【详解】对于A，若直线与平行，则，所以，故A正确； 对于B，设的倾斜角为，则，所以， 解得，所以，故B错误； 对于C，若两条直线互相垂直，则， 即，可知为锐角，代入， 可得，故C正确； 对于D，考虑定点不在直线l上， 点到的距离为定值，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量共线的充要条件可得. 【详解】，且 ，解得 ． 故答案为：. 13. 过点且在轴上的截距与在轴上截距相等的直线的方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分直线过坐标原点和不过原点两种情况讨论求解即可. 【详解】当直线过坐标原点时，显然斜率存在， 设直线方程为，将代入，得，即， 所以直线方程为； 当直线不过坐标原点时，设直线方程为， 将代入，得，方程无解． 故满足题意的直线方程为． 故答案为：． 14. 已知在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．若平面的方程为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平面方程得平面的一个法向量，由直线与平面所成角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角余弦的绝对值可得． 【详解】由题意知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）若共面，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的基本定理计算即可求解； （2）根据空间向量数量积的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解. 【小问1详解】 与不平行， 共面， 存在实数，使得，即，解得， 故实数的值为8． 【小问2详解】 ，且， ， 即，解得． 16. 已知点，点为坐标原点． （1）若直线过点，且，求的方程； （2）若直线过点，与轴负半轴及轴负半轴分别交于点A，B，且，求的值． 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，由平行关系，结合直线的斜截式方程求出方程. （2）由给定条件，求出直线的斜率，由直线的点斜式方程求出直线方程，进而求出点的坐标即可得解. 【小问1详解】 直线的斜率为，由，则直线的斜率为，其方程为， 所以直线的方程. 【小问2详解】 依题意，直线的斜率为负，由，即，得直线的斜率为， 则直线的方程为，当时，，即， 过作轴于，则，而， 所以 17. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明:如图，连接，交于点，连接． 因为四边形为矩形，所以， 因为，分别为和的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，得到线面平行； （2）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的向量夹角公式进行求解. 【小问1详解】 如图，连接，交于点，连接． 因为四边形为矩形，所以， 因为，分别为和的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，， 因为四边形为矩形，所以， 以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则，令，则，得． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 在直角坐标系xOy中，直线l：与x，y轴分别交于点A，B，直线与线段AB交于点C，与x轴交于点D. （1）求与l平行且距离为2的直线的方程； （2）若△OCD与△AOB在某种对应方式下相似，求实数t的值； （3）若点满足△MCD为等腰直角三角形，求实数m的值. 【答案】（1）或 （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据直线平行，设出所求直线的方程，然后根据平行线间的距离公式，即可求解； （2）根据图形，△OCD与△AOB有两种相似情况，分别求解即可； （3）分三种情况利用向量表示直线垂直，以及线段相等列方程组，分别求解即得 【小问1详解】 设与l平行的直线方程为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 即所求的直线方程为或. 【小问2详解】 由l：，令得；令得 ∴ 由条件知CD与x轴垂直，所以，要使两个三角形相似，只需再确定另一组相等的角即可. ①若，则, ∴直线OC的方程为：， 由，解得，所以，此时. ②若，则 ∴直线OC的方程为：， 由，解得，所以，此时. 综上，或. 【小问3详解】 由题知，，点坐标为，则，,. 若为等腰直角三角形，且为直角，则，解得；若为等腰直角三角形，且为直角，则， 即，解得或（舍去） 若为等腰直角三角形，且为直角，则， 即，解得 综上，若满足△MCD为等腰直角三角形，则或或. 19. 如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，． （1）用分别表示． （2）若，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）连接，结合空间向量的线性运算以为基底表示向量即可； （2）确定空间基底向量的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解，即可得结论. 【小问1详解】 如图，连接， 因为六边形为正六边形， 所以，则， 所以，； 【小问2详解】 因为六边形为正六边形，所以， 又， 所以， （i）； （ii）因为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $