17.2.2 公式法分解因式——完全平方公式 学案 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案围绕完全平方公式分解因式展开，通过课前预习回忆整式乘法完全平方公式，逆向思考引出因式分解公式，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生理解公式原理与结构特征。 资料以口诀“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”帮助记忆公式结构，通过公式辨析与识别训练培养推理意识，典例精析渗透整体思想提升抽象能力，分层练习结合实际问题体现模型意识，步骤归纳规范思维，助力学生熟练掌握分解因式技能，发展数学核心素养。

用公式法分解因式—完全平方公式 一、学习目标 1. 理解完全平方公式法分解因式的原理，掌握公式的结构特征。 2. 能够准确识别符合运用完全平方公式因式分解的多项式。 3. 熟练运用完全平方公式将多项式分解因式，并能综合运用提公因式法进行因式分解。 4. 体会“整体思想”和“数形结合”思想在数学中的应用。 二、课前预习 1.回忆旧知： 计算下列各式（整式乘法）： (a + b)² = ______________ (a - b)² = ______________ 以上两个公式属于整式乘法计算里的完全平方公式。 2. 逆向思考： 如果把上面的过程反过来，就得到了因式分解的完全平方公式： a² + 2ab + b² = ______________ a² - 2ab + b² = ______________ 3尝试练习:下列多项式是哪个式子的平方？ x²+4x+4 是 ______ 的平方. 9m²-12mn+4n² 是 ______ 的平方. 3、 新课讲解 活动一：认识完全平方公式 1. 公式结构剖析： a² + 2ab + b² = (a + b)² a² - 2ab + b² = (a - b)² 2. 口诀记忆：“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”. 3. 公式辨析： “a”和“b”可以代表什么？ 它们可以代表一个数字、单项式，也可以是多项式（即一个整体）。 活动二：核心技能——识别完全平方公式 例： 下列多项式能用完全平方公式分解因式吗？为什么？如果能，请指出公式中的 a 和 b 分别是什么。 (1)x² +2xy+ 4y² (2)x² + y² (3) x² -2xy+ 4 (4)9+ m² -6m (5)x²+y² -xy (6) (m+n)²-2(m2- n2)+(m-n)² 【判断口诀】（三个特点）首平方，尾平方，首尾两倍在中央。 （三） 典例精析，掌握步骤 例1 用完全平方公式分解. (1)x² + 10x + 25 (2) 16y² - 24y + 9 (3) -x² + 4xy - 4y² (1)分析 第一步：观察是否符合平方差公式。 x² 是 (x)²，25 是 5²,10x是x和5积的2倍.符合！ 第二步：确定公式中的 a 和 b。 a = x，b =5 第三步：套用公式分解。 解:原式 = (x + 5)2 第四步：查验,检查是否还能分解。 (2) 16y² - 24y + 9 分析：分析 第一步：观察是否符合平方差公式。 16y² 是 (4y)²，9是 3², 24y²是(4y)和3积的2倍.符合！ 第二步：确定公式中的 a 和 b。 a =4y，b =3第三步：套用公式分解。 解:原式 = (4y - 3)2 第四步：查验,检查是否还能分解。 (3) -x² + 4xy - 4y² 分析：多项式首项为负，所以 第一步:先提取负号-x² + 4xy - 4y²=-(x² - 4xy+4y²); 第二步：观察是否符合平方差公式。 第三步：确定公式中的 a 和 b. 第四步：套用公式分解. 解:原式 = -(x - 2y)2 第五步：查验,检查是否还能分解。 例2 分解因式：3ax² + 6axy + 3ay² 分析：多项式有公因式,所以 第一步:先提取公因式3ax² + 6axy + 3ay²=3a(x²+2xy+y²); 第二步：观察是否符合平方差公式。 第三步：确定公式中的 a 和 b. 第四步：套用公式分解. 解:原式 =3a(x+y)²; 第五步：查验,检查是否还能分解。 【归纳】因式分解的一般步骤 一提：首先考虑提取公因式； 二套：然后考虑套用公式（平方差、完全平方）； 三查：最后检查每个因式是否分解彻底。 例2 分解因式： (1)(a+b)2-12(a+b)+36 (2)16x4-8x2+1 (1)(a+b)2-12(a+b)+36 分析:把(a+b)看成一个整体 第一步:观察是否符合平方差公式。 第二步：确定公式中的 a 和 b. 第三步：套用公式分解. 解:原式 =(a+b-6)²; 第四步：查验,检查是否还能分解. (2)16x4-8x2+1 分析: 第一步:观察是否符合平方差公式。 第二步：确定公式中的 a 和 b. 第三步：套用公式分解. 解:原式 =(4x2-1)²; 第四步：查验,检查是否还能分解. 所以 原式=(4x2-1)² =[(2x+1)(2x-1)]2 =(2x+1)2(2x-1)2 提醒:一定要注意因式分解和整式乘法的区别; 本题千万别画蛇添足—— 原式=(4x2-1)² =[(2x+1)(2x-1)]2 =(2x+1)2(2x-1)2 =（4x2+4x+1）（4x2-4x+1） 4、 课堂练习——学以致用 （一）填空题 1. x² - ______ + 16 = (x - 4)² 2. 4m² + 12mn + ______ = (2m + ____)² 3. 多项式 x²y² - 6xy + 9y² 分解因式的结果是 ______。 4. 若 x² + kx + 36 是一个完全平方式，则常数 k = ______。 5. 若 a² - ma + 是一个完全平方式，则 m = ______。 （二）选择题 1. 下列各式是完全平方式的是（ ） A. x²-x+ B. 1+x² C. x2+xy+1 D. x²+2x-1 2. 把多项式 (x² + 1)² - 4x² 分解因式，结果正确的是（ ） A. (x²+1-2x)² B. (x²-1)² C. (x+1)²(x-1)² D. (x²+1)² 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. -a²+2ab -b² = -(a-b)² B. x²-4y² = (x-4y)(x+y) C. x²+2xy-y² = (x-y)² D. a³ - ab² = a(a-b)² 4. 已知 a² + b² = 10, ab = 3，则 a³b + 2a²b² + ab³ 的值是（ ） A. 39 B. 45 C. 57 D. 90 （三）解答题 1. 分解因式： (1) a² - 14a + 49 (2) -9x² + 12xy - 4y² (3) (x-y)² + 10(y-x) + 25 2. 分解因式： (1) 2x² - 4x + 2 (2) -3a²x² + 24a²x - 48a² 3. 用简便方法计算：2023² - 4046 × 2022 + 2022² 4. 已知 x + y = 3，xy = 2，求 x³y + 2x²y² + xy³ 的值。 5. 已知一个正方形的面积是 (9a² + 12ab + 4b²) cm² (a>0, b>0)，求它的边长。 5、 课后练习——巩固提升 （一）填空题 1. a² + ______ + = (___a + )² 2. ______ - 10xy + 25y² = (___ - 5y)² 3. 分解因式：m² - m + = ___________ 4. 若 x² - 8x + k 是一个完全平方式，则 k = ______; 5. 若 x² + 2(m-3)x + 16 是完全平方式，则 m = ______; （二）选择题 1. 下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. -a²-2ab-b² B. x²-6x+9 C. x²-4x+16 D. 4m²+12mn+9n² 2. 把 (x²+4)² - 16x² 分解因式，结果为（ ） A. (x²+4x+4)² B. (x+2)⁴ C. (x²-4)² D. (x-2)²(x+2)² 3. 下列因式分解中，错误的是（ ） A. 3x² - 6xy + 3y² = 3(x-y)² B. x⁴ - 2x²y² + y⁴ = (x² - y²)² C. a²b - 2ab + b = b(a-1)² D. -2x³ + 24x² - 72x = -2x(x-6)² 4. 已知三角形的三边 a, b, c 满足 a² + 2b² + c² - 2ab - 2bc = 0，那么这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 （三）解答题 1. 分解因式： (1) 4p² - 20pq + 25q² (2) -a² - 4b² + 4ab (3) (m²+1)² - 4m² 2. 分解因式： (1) 5x³y - 20x²y² + 20xy³ (2) (a²+4)² - 16a² (3) x²(x-y) + (y-x) 3. 利用因式分解说明：对于任意正整数 n，(3n+1)² - (3n-1)² 一定能被12整除。 4. 已知 a+b=5, ab=6，求 a³b + 2a²b² + ab³ 的值。 5. 【综合与探究】阅读下列材料，解决问题。 配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法。 例如：x² + 2x - 3 = x² + 2x + 1 - 1 - 3 = (x+1)² - 4 =(x+1+2)(x+1-2) =(x+3)(x-1) (1)请利用配方法解决下列问题： 分解因式：x² + 6x + 5。 (2)已知 a, b, c 是三角形的三边长，且满足 a² + b² + c² = ab + bc + ac，判断此三角形的形状. 学科网（北京）股份有限公司 $