17.2 用公式法分解因式-【名师学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

素养提升 15.解：(1)(ax-3)(2x+4)-x2-b=2ax2+4ax-6x-12-x2-b=(2a-1)x +(4a-6)x+（-12-b).·式子(ax-3)(2x十4)-x2-b化简后不含x2项和 常数项，∴2a-1=0,-12-6=0.解得a=2,6=-12.(2)原式=a2-6+d+ 2a6+8-2a-b=ab,当a=2,6=-12时，原式=号×(-12)=-6. 16.(1)是(2)证明：设较小的偶数为2k,则较大的偶数为2k十2..(2k十2)2 (2k)2=8k十4=4(2k十1).，k为非负整数，.2k十1为正整数..“神秘数”一定 是4的倍数.17.解：(1)(a-b)22ab(2)根据题意，得(a-b)2=4,2ab=16. ∴.a2+b=(a-b)2十2ab=4+16=20.∴.正方形A,B的面积之和为20；(3)由 (2)知，(a-b)2=4,2ab=16,:a>b,.ab=8,a-b=2.∴.(a十b)2=(a-b)2+ 4ab=4十32=36.：a十b>0,∴a十b=6.∴.图丙中阴影部分的面积为(2a十b)2一 3a2-2b=a2-b+4ab=(a+b)(a-b)+4ab=6×2+4×8=44. 第十七章因式分解 17.1用提公因式法分解因式 知识储备 1.几个整式分解因式2.公共3.公因式乘积 基础练综合练素养练 1.C2.B3.B4.B5.C6.(1)x(2x+y)(2)3a(a-3)(3)(m-n)(3a +2b)7.(1)a3b1a-3b+1(2)①解：原式=x(m十n)；②解：原式= 3x2(1-2x)；③解：原式=(x+y)(2x-3y).8.B9.(1)解：原式=(y-1) (x-4)(2)解：原式=(a-2)2十6(a-2)=(a-2)(a-2+6)=(a-2)(a+4). 10.解：原式=(x-2)(2a-3),当a=1,x=4时，原式=(4-2)×(2×1-3)= 2.11.A12.413.2514.(1)獬：原式=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+ c);(2)解：原式=3a(a-2b)-6b(a-2b)=3(a-2b)2.15.(1)解：原式=2 023×(1+2023-2024)=2023×0=0;(2)解：原式=38×(32-6)=38×3 =316.解：△ABC是等腰三角形.理由：a十2ab=c十2bc,.(a-c)十2b(a 0=0.“(a-c)1+20)=0,故a=c或1+26=0.显然6≠-号，故a=c,此 三角形为等腰三角形.17.解：(1)提公因式法2(2)原式=(1十x)[1+x+ x(1+x)+x(1+x)2]=(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x)]=(1+x)(1+x)(1+ x)(1+x)=(1+x);(3)(1+x)+1 17.2用公式法分解因式 第1课时运用平方差公式分解因式 知识储备 (a十b)(a-b)和差 基础练综合练素养练 1.A2.D3.(1)6b6b(2)①解：原式=(2ab+3)(2ab-3)；②解：原式 (9a+7b)(9a-7b)；③解：原式=(a+b2)(a-b)；④解：原式=(m-1+5) (m-1-5)=(m十4)(m-6)；⑤解：原式=(a+b十a+c)(a+b-a-c)=(2d +b+c)(b-c)4.C5.D6.x2-1(答案不唯一)7.(1)a2-M(2)解：：B 中能使用的面积为b2-M,.A比B多出的使用面积为a2-M-(b-M)=a2一 b..a十b=10,a-b=5,.a2-b2=(a十b)(a-b)=10×5=50.答：A比B多出 的使用面积为50. 第2课时运用完全平方公式分解因式 知识储备 (a+b)2(a一b)2和（或差）的平方 基础练综合练素养练 1.C2.(1)16(2)±63.D4.(1)2x2xyy2x+y(2)①解：原式= (号+10、@解：原式=(x-》-2×2(x-)+2=(x-y一2)；③解：原 式=(2a-b-c)2④解：原式=-(x2-2xy十y)=-(x-y)2.5.D6.4 7.(1)a2+b(2)48.解：原式=(x+1-2)2=(x-1)2.当x-1=√3时，原式 =(x-1)2=(3)2=3. 第3课时较复杂的因式分解 知识储备 基础练综合练素养练 1.(1)4a29b24a29b4a29b4a29b2a3b4a29b22a3b 2a3b(2)①解：原式=(a2+b2)(a2-b)=(a2+b)(a+b)(a一b)②解：原 式=(9x2+y2)(9x2-y2)=(9x2+y)(3x+y)(3x-y)2.(1)x2-4y2(x+ 2y)(x-2y)(2)a2abba22abba-b3.C4.B5.(1)解：原式 =b(a2-16)=b(a+4)(a-4);(2)解：原式=3a(a2-9)=3a(a-3)(a+3); (3)解：原式=(r+2x+1)=号(x十1).6.解：(1)不正确，正确的结果是 16一b=(4+b2)(2+b)(2一b):(2)不正确，正确的结果是4x2一36=4(x+3) (x-3).7.B8.B9.a(a+5)(a-5)10.(1)解：原式=3a2(6a-9a2-1)= -3a2(9a2-6a+1)=-3a(3a-1)2;(2)解：原式=(2m-n)2-[13(m+n)]2 =[2m-n+13(m+)][2m-n-13(m+n)]=(15m+12n)(-11m-14n)=-3 (5m+4n)(11m+14).11.解：原式=(3)2-1=(3°-1)(3+1)=(33-1) (38+1)(3+1),33-1=26,38+1=28,.这个数是26或28.12.(1)C (2)(x-2)(3)解：设x2+2x=y,则原式=y(y+2)+1=y+2y+1=(y十 1)2=(x2十2x+1)2=(x十1)4. 重点强化专题（三）因式分解五点关注 1.解：(1)原式=x·x十x·（-2y)+x·1=x(x-2y十1).(2)原式=(m-2) (m2-2m+1)=(m-2)(m-1)2.2.解：(1)原式=[2(a+b)]2-12=(2a+2b +1)(2a+2b-1).(2)原式=4(9x2-12xy+4y)=4[(3x)2-2×3x·2y+ (2y)2]=4(3x-2y)2.3.解：(1)原式=-4mn(m2十4n2十4mn)=-4mn(m 十2)2.(2)原式=(b-1)2(6a-2)=2(b-1)2(3a-1).4.解：(1)原式=[(5a +3b)+(3a+5b)][(5a+3b)-(3a+5b)]=(8a+8b)(2a-2b)=16(a+b)(a b).(2)原式=(a+1)[(a+1)2-2(a+1)+1]=(a+1)[(a+1)-1]=a2(a+ 1).5.解：(1)原式=x2(y-x)=x2(y2十x2)(y2-x2)=x2(y2+x2)(y十x)(y -x).(2)原式=(m2)2-2·m2·9+92=(m2-9)2=[(m+3)(m-3)]=(m+ 3)2(m-3)2.(3)原式=(x-y)(x2-9)=(x-y)(x十3)(x-3). 阅读与思考：特殊的因式分解法 1.【问题解决】(x+1)(x+4)(x-4)(x一2)【拓展应用】解：(1)原式=(2x+ 1)(x+3).(2)原式=(3a+8)(a-1).2.解：(1)原式=(x-y)2-9=(x-y+ 3)(x-y-3).(2)原式=m2(m-2)-4(m-2)=(m-2)(m2-4)=(m-2)2(m +2).3.解：4x+1=4x+4x2+1-4x2=(2x2+1)2-4x2=(2x2+1+2x) (2x2+1-2x). 数学活动（五）我们身边的因式分解 1.(1)解：(10a+5)2=100a(a+1)+25(0<a<10);(2)证明：(10a+5)2=(10a) +2·10a·5+5=100a2+100a+25=100a(a+1)+25(0<a<10);(3)解： (10a+b)(10a+10-b)=100a2+10ab+100a+10b-10ab-b=100a2+100a+ 10b-b=100a(a+1)+b(10-b)(0<a<10,0<b<10,a,b均为正整数).，∴.48 ×42=100×4×(4+1)+8×2=2016,93×97=100×9×(9+1)+7×3=9 021.2.A3.1230424.(1)解：x3-xy2=x(x-y)(x+y).当x=21,y=7 时，x-y=14,x+y=28.可得数字密码为211428,212814,142128,142821， 282114,281421(写出三个即可).(2)解：密码为2434，.当x=27时，x2+(m 一3n)x-7n=（x-3)（x+7),即x2+(m-3n)x-7n=x2+4x-21. m3n=4；解得m=18, -7n=-21. n=3. 第十七章大单元整合与素养提升 典例导航 【例】(1)C (2)不彻底(x-3)(3)解：设x2-2=y.则原式=y(y-4)+4= y2-4y+4=(y-2)2=(x2-2-2)2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2. 考点过关 1.D2.D3.B4.D5.C6.B7.368.x(答案不唯一)9.(1)150 (2)3600(3)13210.（1)解：原式=x2(1-x2)=x2(1+x)(1-x);(2)解： 原式=-a(a2-2a+1)=-a(a-1)2.(3)解：原式=[3(x+y)]2-6(x+y)十 1=(3x+3y-1)2.(4)解：原式=992+2×99×1+1=(99+1)2=100= 10000.11.解：(1)(x2y-xy)-(x-y)=28xy(x-y)-(x-y)=28(x-y) (xy-1)=28.:xy=15,.14(x-y)=28..x-y=2;(2)x2+y2=(x-y)2+ 2xy=22+2×15=34;(x+y)2=x2+2xy+y2=34+2×15=64,.x+y=±8. 12.(1)n+6n+4(2)①S=(n+2)(n+6)=n2+8n+12,S2=(n+8)(1十 4)=n2+12n+32.②S2+4=n2+12n+32+4=2+12n+36,:n2+121+36= n+121十62=(n+6)2,.S2十4可以化为一个完全平方式. 素养提升 13.解：(1)132-102=(13+10)(13-10)=69.69÷3=23，.能被3整除；(2)(2n 十3)2-(2n)2=(2n+3十2n)(2m+3-2n)=3(4n+3),∴.能被3整除；(3)设这 个数为n,比n大9的数为n+9.(n十9)2-n2=(n十9+n)(n十9-n)=9(2n十 9),.能被9整除 2317.2用公式法分解因式 第1课时运用平方差公式分解因式 知识储备 02综合练 拿关健能力提升 用平方差公式分解因式：a一b2 4.小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了 ,即两个数的平方差，等于这两个数的 二项式x2一口y2中“☐”的部分，若该二项式 与这两个数的 的积. 能分解因式，则“口”不可能是 01基础练 缨必备知识梳理口 A.x B.4 C.-4 D.9 5.【数形结合思想】如图，从边长为a的大正方 知识点 运用平方差公式分解因式 形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影 1.【教材P129练习T1变式】下列各多项式中， 能用平方差公式分解因式的是 部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变 () 化过程写出的一个正确的等式是 () A.-x2+9 B.-x2-9 C.x2+9 D.z2+2y2 2.下列单项式中，使多项式16a2+M能用平方 差公式因式分解的M是 () A.a B.62 C.-16aD.-b2 A.（a-b)2=a2-2ab+b2 3.(1)(答题模板)分解因式：25a一36b. B.a(a-b)=a2-ab 解：原式=(5a)2-(6b)2 C.(a-b)2=a2-b =(5a+ )(5a- D.a2-62=(a+b)(a-b) (2)【针对练习】分解因式： 6.【新中考·结论开放】一个多项式，把它因式 ①4a2b2-9; 分解后有一个因式(x十1)，请写出一个符合 条件的多项式： 7.如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为 ②81a2-49b; a,b的正方形秧田A,B,其中不能使用的面 积（阴影部分）为M, (1)用含a,M的式子表示A中能使用的面 ③a2-b; 积： (2)若a+b=10,a-b=5,求A比B多出的 使用面积. ④(m-1)2-25; ⑤(a+b)2-(a+c)2. 93八年级数学·上册 第2课时运用完全平方公式分解因式 知识储备 ③4a2-4a(b+c)+(b+c)2; 式子a2+2ab+b= ,a2-2ab b2= ,两个数的平方和加上（或减去） 这两个数的积的2倍，等于这两个数的 ④-x2-y2+2xy. 十十十”十十十 +十十十十十十十十”十十十 01基础练 必备知识梳理 知识点一 完全平方式 02综合练 身关锭能力提升一 1.下列各式中，是完全平方式的是 ( 5.将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它成 A.x2-x+4 B.x2-2x+4 为一个整式的完全平方式，那么加上的单项 C.x2-4x+4 D.x2-4x+2 式可以从①4x;②-4x;③4x中选取（) 2.填空： A.①②B.①③ C.②③ D.①②③ (1)若x2-8x十a是一个完全平方式，则a= 6.若a-2b=一2，则a2-4ab十4的值是 7.【数形结合思想】现有甲、乙、丙三种不同的长 (2)【T2(1)变式】若x2+bx+9是一个完全平 方形纸片（边长如图）. 方式，则b= b 知识点二运用完全平方公式分解因式 3.下列各式中，能用完全平方公式因式分解的 甲 丙 是 ( A.y2-x2+2xy B.y2+x2+xy (1)取甲、乙纸片各1块，其面积和为 C.25y2+15y+9 D.4x2-12x+9 (2)乐乐要用这三种纸片紧密拼接成一个大 4.(1)(答题模板)完成下列填空， 正方形，先取甲纸片1块再取乙纸片4 分解因式：4x2+4xy+y. 块，还需取丙纸片 块 解：原式=( )2十2· 8.已知x-1=√3，求式子(x+1)2-4(x+1)+ ( )2=( )2: 4的值； (2)【针对练习】分解因式： ①1+x+: ②(x-y)2-4(x-y)+4; 助学助觳优质高敦94 第3课时 较复杂的因式分解 知识储备 3.把2a2一8分解因式，结果正确的是( 对于一些较复杂的因式分解问题，有时需要多次 A.2(a2-4) B.2(a-2) 运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和 C.2(a+2)(a-2) D.2(a+2)2 公式法 4.因式分解x2y-2xy十y的结果为 ( A.(xy-1)2 B.y(x-1)2 01基础练 必备知识梳理一 C.y(x2-2x+1) D.y(x+1)2 知识点一 多次运用公式法分解因式 5.【教材P132练习T1变式】分解因式： 1.(1)(答题模板)分解因式：16a一81b. (1)a2b-16b: 解：原式=( 2 )2 =( (2)3a3-27a; )2 (2)【针对练习】分解因式： (3)22+x+2 ①a-b; ②81x4-y. 易错点○ 因没把多项式分解到不能分解为止 致错 6.判断下列分解因式是否正确，若不正确，请写 知识点二先提公因式，再运用公式法分解因式 出正确的结果， 2.(答题模板)分解因式： (1)16-b=(4+b)(4-b); (1)x3-4xy2; (2)4x2-36=(2x+6)(2x-6). 解：原式=x( =x (2)3ma2-6mab+3mb2. 解：原式=3m· —3m· +3m =3m( =3m( )2 95八年极数学·上册 03素养练 手李科在茶路方一 元)，不仅可以简化要分解的多项式的结构， 而且能使式子的特点更加明显，便于观察如 7.若多项式(2x)”-81能分解成(4x2+9)(2x 何进行因式分解，我们把这种因式分解的方 +3)(2x-3),则n= () 法称为“换元法”.下面是小涵同学用换元法 A.2 B.4 C.6 D.8 对多项式(x2-4x+1)(x2-4x+7)十9进 8.(2024·哈尔滨期末)若a,b,c是三角形的三 行因式分解的过程. 边之长，则代数式a2+2bc一c2一b的值() 解：设x2一4x=y,则 A.小于0 B.大于0 原式=(y十1)(y十7)十9…第一步 C.等于0 D.以上三种情况均有可能 =y2+8y十16…第二步 9.【新中考·新运算型阅读理解题】对于非零的 =(y十4)2…第三步 两个实数a,b,规定a☒b=a3-一ab,那么将a =(x2一4x十4)2.…第四步 ☒25进行分解因式的结果为 请根据上述材料回答下列问题： 10.【教材P132习题T3变式分解因式： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运 (1)18a3-27a-3a2; 用了因式分解的 A.提公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻 (2)(2m-n)2-169(m+n)2. 底，请你写出该因式分解的最后结果： (3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+ 2x+2)+1进行因式分解. 11.【教材P132习题T7变式】32-1可以被22 和30之间的整数整除，求这个数. 少解题妙招 因式分解注意事项 因式分解时，先看是否有公因式，若有公因式 就先提公因式，然后观察分解后的各因式是否可 03素养练 》学科素养培育一 以用公式法分解.若能用公式法分解就继续分解 12.【新中考·解题方法型阅读理解题】 因式.此外应注意，分解因式时，必须分解到各因 在因式分解中，把多项式中某些部分看 式均不能分解为止.如T6,T10,T12. 作一个整体，用一个新的字母代替（即换 助学助款优质高数96