17.1 用提公因式法分解因式&17.2 用公式法分解因式（高效学习手册）-【名师学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

第6课时多项式除以单项式 【典例导学】 解：原式=2x2-4y2.当x=1,y=-3时，原式=2x2-4y2=2×12-4×(-3)2= 2-36=-34. 【堂清练习】 1.D2.A3.x2-2y+34.(1)解：原式=3mn-2mn+1;(2)解：原式= -3x2+2x-1.5.解：(1)这个二次三项式为(3x3-6r2+3x)÷3x=x2-2x十 1.(2)当x= 号时，这个二次三项式的值为(-合)”一2×（一宁）+1-是 16.3乘法公式 16.3.1平方差公式 【典例导学】 解：原式=2×(9x2-1)-3×(4x2-9)=18x2-2-12x2+27=6x2+25. 【堂清练习】 1.B2.C3.C4.85.(1)解：原式=(3x)2-(2y)2=9x2-4y;(2)解：原 式=(-3a)2-(4b)2=9a2-16b.6.(1)解：原式=(80-1)(80+1)=802-1 =6399;(2)解：原式=2012-(201+1)(201-1)=201-2012+1=1. 16.3.2完全平方公式 第1一2课时完全平方公式、添括号法则 【典例导学】 解：(1)根据题意，得-a3+2a2-a十1=-(a3-2a+a-1).(2)根据题意，得- a+2a2-a+1=-(a3+a)+(2a2+1). 【堂清练习】 1.C2.B3.C4.A5.146.97.68.(1)解：原式=16+40p+25p; (2)解：原式=9a2一6ab+b;(3)解：原式=(200+1)2=40401；(4)解：原式 =x2+4x十4-x2+x=5x十4. 第十七章因式分解 17.1用提公因式法分解因式 【典例导学】 【例】解：原式=2m(m-3n)-6n(m-3m)=2(m-3n)(m-3n)=2(m-3n)2 【变式】解：原式=(2a+b)(2a-3b)-8a(2a+b)=(2a+b)(2a-3b-8a)=(2a+ b)(-6a-3b)=-3(2a+b)2 【堂清练习】 1.B2.C3.A4.365.(1)解：原式=2xy(4xy-2x+1)；(2)解：原式= (p+q)(p一q)；(3)解：原式=(x-y)(m-n).6.解：原式=2016×(1+2 016-2017)=0. 17.2用公式法分解因式 第1课时运用平方差公式分解因式. 【典例导学】 解：原式=(a-3b)2-[2(a+b)]=[a-3b+2(a+b)][a-3b-2(a+b)]=(3a -b)(-a-5b)=-(3a-b)(a+5b) 【堂清练习】 1.B2.A3.C4.B5.B6.B7.248.(1)解：原式=(1+x)(1-x). (2)解：原式=(2x)-y=(2x十y)(2x-y).(3)解：原式=(a-2b+2a)(a 2b-2a)=(3a-2b)(-a-2b)=-(3a-2b)(a+2b).(4)解：原式=(a+b+ 2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a). 第2课时运用完全平方公式分解因式 【易错警示】 7或-5士4x或4x 【堂清练习】 1.D2.C3.A4.165.16.D7.1)解：原式=(a+b)；(2)解：原 式=（号x-)；(3)解：原式=(a-b-3).8.解：原式=992+2×99×1+1 =(99+1)2=1002=10000. 32 第3课时较复杂的因式分解 【典例导学】 解：△ABC是等边三角形，证明如下：，a2+c2=2b(a-b+c),∴.a2-2ab+b+ b-2bc+c2=0..(a-b)2+(b-c)2=0..a=b,b=c..∴.a=b=c.∴.△ABC是 等边三角形 【堂清练习】 1.C2.B3.44.215.(1)解：原式=(a+b)(a+b)(a-b)；(2)解：原式 =a(x2-6x十9)=a(x-3)2；(3)解：原式=-3(x2-2xy十y2)=-3(x-y)2。 (4)解：原式=(m2+n2)2-(2mn)2=(m2+n2+2mn)(m2+n-2m)=(m十n)2 (m-n)2. 第十八章分式 18.1分式及其基本性质 18.1.1从分数到分式 【易错警示】 【堂清练习】 1.D2.D3B4I2(2)=55马（答案不唯-）6 a 7.②⑤⑥⑧ 18.1.2分式的基本性质 第1课时分式的基本性质 【名师讲坛】 D 【堂清练习】 1.A2.B3.B4.C5.(1)mn分式的分子和分母同时乘以不为0的整式 ,分式的值不变(2)a一3分式的分子和分母同时除以不为0的整式a+3, 分式的值不变 第2课时分式的约分和通分 【典例导学】 0 【堂清练习】 1B2A3B+①-一多(2)5.1解：原式=亦2)解：原式 1 5y 4b+3c 6.(1)解：最简公分母是(n-2)(n+3.n2=m2m十3)= 2. 2(n+3) 22+6n3n3m(n-2)_3n2-6n (2)解：最简公分母是12xy.4 y n2+n-6'n+3(n-2)(n+3)n2+n-6 3y510x =12y'6y121 18.2分式的乘法与除法 第1课时分式的乘除 【易错警示】 解：原式“0·0-当。取01，-1 (a+1)2 时，原式无意义，当a=3时，原式=子（答案不唯-） 【堂清练习】 1,D2.D3.A4.A5.(1)解：原式=3xy·6=2 x (2)解：原式= +2y-2》.4y=,2y.6.解：原式=a+3)a3》.aa2). 8xy x+2y 2y (a-2)2 a-3 0千a”2当a=1时原式-a22十2-1 第2课时分式的乘方与乘除混合运算 【堂清练习】 1.C2.A3.C415.解：该同学的求解不正确，分式乘除混合运算应先 把除法化为乘法，再计算，正确的解答过程如下：x÷(x一1)·1 x-1 片D6解：原式-480.22·号2 (a十2)2第十七章因式分解 17.1用提公因式法分解因式 名师讲坛 堂清练习 1.下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是 01要点领悟 ( 1.多项式分解因式与多项式乘法 A.ab+ac+d=a(b+c)+d 是互为逆运算的过程. 2.在因式分解的过程中，要注意 B.a2-1=(a+1)(a-1) 观察各项的特征，准确识别公 C.(a+b)2=a2+2ab+b2 因式 D.a2b=ab·a 02方法技巧 2.多项式8a3b2+12ab3c的公因式是 确定公因式的方法：(1)定系数： A.abc B.ab C.4ab2 D.4ab2c 取多项式各项系数的最大公因数 3.把多项式a2十2a分解因式得 ) 作为公因式的系数；(2)定字母： A.a(a+2) B.a(a-2) 公因式中的字母是各项的相同字 C.(a+2)2 D.(a+2)(a-2) 母；(3)定指数：公因式中字母的 指数是各项相同字母的最低 4.若ab=3,a十b=4,则3a2b十3ab2的值是 指数 5.用提公因式法分解下列多项式： 03典例导学 (1)8.x2y2-4x2y+2xy; 【例】分解因式：2m(m-3n)+6n (3n-m). (2)(p+q)-q+q); 【变式】分解因式：(2a+b)(2a (3)x(m-n)+y(n-m). 3b)+8a(-b-2a). 6.用提公因式法计算： 2016+20162-2016×2017. 33 17.2用公式法分解因式 第1课时 运用平方差公式分解因式 名师讲坛 堂清练习 1.下列各式中，能运用平方差公式分解因式的是 01要点领悟 A.x2+y2B.1-x2 C.-x2-y2 D.x2-xy 1.能用平方差公式因式分解的式 2.下列多项式不能使用平方差公式分解因式的是 子特点：多项式是二项式，两项 ( 都能写成平方的形式，且符号 A.-m2-n2 B.-16.x2+y2 相反 C.62-a2 D.4a2-49n2 2.运用平方差公式因式分解时应 3.下列各式是多项式x2一36的因式的是 ( 注意以下问题： A.x-3 B.x-4C.x-6 D.x-9 (1)认准公式的形式，必须准确 4.计算852一152的结果正确的是 ( 识别公式a2-b2=(a+b)(a A.6300 B.7000 C.7400 D.8200 b)的结构特征； 5.小君在抄题目时，不小心漏抄了二项式a一☐b (2)确定a与b,比如4x2一9y 中“☐”的部分，若该二项式能分解因式，则“口” () 中，a=2x,b=3y; 的部分不可能是 A.4 B.-9 C.25 D.a2 (3)分解要彻底，分解后要检查 6.把(a十b)2-100进行因式分解，其结果是() 各因式是否还能继续分解； A.(a+b+10)2 B.(a+b+10)(a+b-10) (4)注意符号问题. C.(a+b-10)2 D.(a+b+10)(a-b-10) 02典例导学 7.已知x十y=4,x-y=6,则x2-y2= 【例】分解因式：(a-3b)2-4(a+ 8.分解因式： b)2. (1)1-x2; (2)4x2-y2; (3)(a-2b)2-4a2; (4)(a+b)2-4a2. 34 第2课时运用完全平方公式分解因式 名师讲坛 堂请练习 1.下列式子中，是完全平方式的是 01要点领悟 A.x2+3x+1 B.x2-4xy+y2 能用完全平方公式分解的式子特 C.-9x2+1 D.x2-2x+1 点：多项式是三项式，其中首尾两 2.把多项式x2一6x十9分解因式，结果正确的是 项分别是两个数（或两个式子）的 平方，且这两项符号相同，中间一 A.(x十3)(x-3) B.(x-9)2 项是这两个数（或这两个式子）的 C.(x-3)2 D.(x+9)(x-9) 积的2倍，符号正负都可以. 3.把4x2-12xy十9y2进行因式分解，结果正确的 02方法技巧 是 () A.(2x-3y)2 B.(2x十3y)2 点拨：只要符合两个数的平方和 C.(2x+3y)(2x-3y)D.(-x-3y)2 加上（或减去）这两个数的积的2 4.若实数a,b满足a十b=4,则a2+2ab十b的值是 倍的特点的式子，就是完全平方 式，因此在首平方和尾平方确定 时，二倍乘积的结果有两个，正负 5.若9x2-6x十c是完全平方式，则c= 都可以. 6.若关于x的多项式x2-4mx+16能用完全平方 公式进行因式分解，则常数的值为 () 03易错警示 A.2 B.-2 C.4 D.±2 易错点考虑问题不全面而漏解 7.分解因式： 【例】已知16x2+4(k-1)xy+ 9y2是完全平方式，则的值 aa+6+: (2)1 x2-xy+y2; 为 【变式】多项式4x2+1加上一个 单项式后，使它能成为一个整式 (3)(a-b)2-6(a-b)+9. 的完全平方，则加上的单项式可 以是 【点津】完全平方公式有两个 8.利用因式分解计算：99+198+1. 35 第3课时较复杂的因式分解 名师讲坛 堂请练习 1.把8a3一8a2+2a进行因式分解，结果正确的是 01要点领悟 因式分解的四大步： A.2a(4a2-4a+1) B.8a2(a-1) 1.提2.看3.套4.分 C.2a(2a-1)2 D.2a(2a+1)2 02方法技巧 2.下列因式分解正确的是 利用因式分解判断三角形形状的 A.x2-xy十x=x(x-y) B.a3-2a2b+ab2=a(a-b)2 步骤：(1)观察条件中的式子结 C.x2-2x+4=(x-1)2+3 构；(2)根据式子特征联想完全平 D.ax2-9=a(x+3)(x-3) 方式或平方差公式；(3)分组分解 3.若x+y十z=2,x2-(y+z)2=8,则x-y-之的 式子；(4)应用非负性求出三边关 值为 系；(5)判断三角形的形状. 4.如果y+x2=一3，y一x2=7,那么x一y2的值为 03典例导学 【例】已知△ABC的三边长分别 5.分解因式： 为a,b,c,且满足a2+c2=2b(a （1)a4-b; b+c),试判断△ABC的形状，并 证明你的结论. 【点拨】把等号右边去括号后移到 (2)ax2-6ax+9a; 等号左边，利用分组分解法分解 因式，再根据非负数的性质求解 (3)-3.x2+6xy-3y2; (4)(m2+n2)2-4n2n2. -36