精品解析：四川省成都市石室天府中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

成都石室天府中学2025－2026学年度上期第次素养检测数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，只将答题卡交回） A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. （，，为常数） D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组线段中，能成比例的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知四边形是平行四边形，与相交于点O，下列结论正确的有（ ） ①当时，它是菱形；②时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A. B. C. D. 7. 如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( ) A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标（　　） A. （﹣3，4） B. （﹣2，3） C. （﹣5，4） D. （5，4） 二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知是方程的一个根，则的值是________． 10. 已知，则_____． 11. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，已知，，，则的长为_____． 12. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中同一个主题的概率是______． 13. 在平行四边形中，以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧交于点P；作射线交边于点E，若，则________． 三．解答题（共5小题，共48分） 14. 用适当的方法解下列各题 （1）； （2）； （3）计算：． 15. 已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2=0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个根． 16. “岁岁春草生，踏青二三月”，又到了阳光明媚，适合春季研学的季节．某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“A：非遗博览园：B：武侯祠：C：杜甫草堂；D：大熊猫繁育基地：E：金沙遗址博物馆”．实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”（每人必选且只选一个地点）调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有_____人，在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角是_____度； （2）补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图； （3）若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率． 17. 中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：__________，__________（用含的代数式表示）； （2）是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求比此时的值；若不存在，请说明理由． （3）是否存在的值，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 18. 如图1，在平行四边形中，是上一点，连结，使，是上一点，满足． （1）求证：． （2）如图2，连结，过点作交于点，连结． ①求证：四边形为菱形． ②若，，，求的长． B卷（50分） 一．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则代数式的值是______． 20. 若、是方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 21. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 22. 如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，点Q是线段上的动点（点Q不与点O，A重合），连结，并延长交边于点E，过点Q作交于点F，分别连结与，交对角线于点G，过点C作交于点H，连结．以下四个结论：①；②周长为8；③，④线段的最小值为．其中正确的结论是 _____．（填序号） 23. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若，为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“合成矩形”．如图为点，的“合成矩形”的示意图．若点坐标为，当点坐标为时，点，的“合成矩形”的面积是______；点的坐标为，点为直线上一动点，若，的“合成矩形”为正方形，且此正方形面积不小于时，则的取值范围是______． 二、解答题（本大题共小题，共分） 24. 直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个． （1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出______个水杯，月销售利润是______元． （2）若每个水杯售价上涨x元，每月能售出______个水杯（用含x的代数式表示）． （3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点和点，直线与轴，轴分别交于点和点，直线与交于点，． （1）求直线的解析式； （2）连接，，点在直线上，若的面积为，四边形的面积为，当时，求点的坐标； （3）直线上有一点，平面直角坐标系内是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 26. 已知正方形与正方形，点是的中点，连接，． （1）如图1，点在上，点在的延长线上，请判断，的数量关系与位置关系，并直接写出结论； （2）如图2，点在的延长线上，点在上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论； （3）将图1中的正方形绕点旋转，使，，三点在一条直线上，若，，请直接写出的长____________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室天府中学2025－2026学年度上期第次素养检测数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，只将答题卡交回） A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. （，，为常数） D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 直接利用一元二次方程的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、，最高次数为3次，故此选项不符合题意； B、，是一元二次方程，故此选项符合题意； C、（，、、为常数），故此选项不符合题意； D、该方程不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 3. 已知，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， 即，故选项错误，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，故选项正确，符合题意； 、∵， ∴，故选项错误，不符合题意； 、∵， ∴，故选项错误，不符合题意； 故选：． 4. 下列各组线段中，能成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，根据成比例线段的定义，若四条线段满足最小与最大的乘积等于中间两数的乘积，则它们成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、，不能成比例，不符合题意； B、，不能成比例，不符合题意； C、，不能成比例，不符合题意； D、，能成比例，符合题意； 故选D． 5. 已知四边形是平行四边形，与相交于点O，下列结论正确的有（ ） ①当时，它是菱形；②时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊四边形的判定．利用菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当时，对边相等，无法证明平行四边形是菱形，①结论错误； 当时，对角线垂直，即平行四边形是菱形，②结论正确； 当时，有一个角是直角，即平行四边形是矩形，③结论正确； 当时，对角线相等，即平行四边形是矩形，④结论错误； 结论中正确的是②③，共2个， 故选：C． 6. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解，理解频率和概率之间的关系是解题的关键． 【详解】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于， 故选：． 7. 如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴＝，BD≠BC， ∴≠，选项A不正确； ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴＝，EF=BD，＝， ∵≠， ∴≠，选项B不正确； ∵EF∥AB， ∴＝，选项C正确； ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴＝，=，CE≠AE， ∴≠，选项D不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，在解答时寻找对应线段是关键． 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标（　　） A. （﹣3，4） B. （﹣2，3） C. （﹣5，4） D. （5，4） 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标． 【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上， ∴AB＝5， ∴DO＝4， ∴点C的坐标是：（﹣5，4）． 故选C． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键． 二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知是方程的一个根，则的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得， 故答案为：4． 10. 已知，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．根据比例的性质可得出，，，代入中，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 11. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，已知，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，先求得，根据平行线分线段成比例得出，代入数据即可求解，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 12. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中同一个主题的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用树状图或列表法求概率，设“”“豆包”“”三个主题分别用表示，根据题意画出树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：设“”“豆包”“”三个主题分别用表示， 画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，其中她们恰好选中一个主题的结果有种， ∴她们恰好选中一个主题的概率是， 故答案为：． 13. 在平行四边形中，以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧交于点P；作射线交边于点E，若，则________． 【答案】##145度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的尺规作图，熟练掌握平行四边形的性质及角平分线的尺规作图是解题的关键．角平分线的尺规作图可得，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】解：由作图可知，平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 故答案为：． 三．解答题（共5小题，共48分） 14. 用适当的方法解下列各题 （1）； （2）； （3）计算：． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（）利用公式法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）利用算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂分别化简，再相加减即可； 本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，正确计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：，，， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：原式 ． 15. 已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2=0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个根． 【答案】（1）m≥；（2）m的值为1， 另一根为3 【解析】 【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2 ）设x1为方程x2﹣2（m+1）x+m2+2=0的另一个根，根据根与系数的关系可得出x1+1=2（m+1），1×x1=m2+2，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2=0总有两个实数根，∴△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+2）=8m﹣4≥0，解得：m≥． （2）∵x1为方程x2﹣2（m+1）x+m2+2=0的另一个根，∴x1+1=2（m+1），1×x1=m2+2． 解得：m=1，x1=3，∴m的值为1，另一个根为3． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系求解． 16. “岁岁春草生，踏青二三月”，又到了阳光明媚，适合春季研学的季节．某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“A：非遗博览园：B：武侯祠：C：杜甫草堂；D：大熊猫繁育基地：E：金沙遗址博物馆”．实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”（每人必选且只选一个地点）调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有_____人，在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角是_____度； （2）补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图； （3）若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率． 【答案】（1）200， （2） 条形统计图补充为： （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，统计图． （1）用B组人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用D组人数所占的百分比乘以得到在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角； （2）先求出C组人数，再计算出A组人数，然后补全条形统计图； （3）画树状图展示12种等可能的结果，再找出一名男同学和一名女同学的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：调查的总人数为（人）， 在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角为； 故答案为：200，36； 【小问2详解】 解：∵C组人数为（人）， ∴A组人数为（人）； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男同学和一名女同学的结果数为8种， 所以恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率=． 17. 中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）填空：__________，__________（用含的代数式表示）； （2）是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求比此时的值；若不存在，请说明理由． （3）是否存在的值，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或2 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值． （2）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值． （3）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值． 【小问1详解】 由题意，得 ，． 故答案为：，． 【小问2详解】 由题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积等于． 【小问3详解】 在中，由勾股定理，得 ， 解得：，． 或2时，． 18. 如图1，在平行四边形中，是上一点，连结，使，是上一点，满足． （1）求证：． （2）如图2，连结，过点作交于点，连结． ①求证：四边形为菱形． ②若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， 又∵ ∴ ∵， ∴， ∴； （2） ①证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由(1) 知：， :∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； ② 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2） ①利用平行四边形的性质，等式的性质得到，利用全等三角形的判定与性质得到，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理得到，则四边形为平行四边形，再利用菱形的判定定理解答即可得出结论； ②连接交于点O，过点G作于点H，利用全等三角形的性质定理得到，利用平行四边形的性质得到，利用等腰直角三角形的性质得到，利用菱形的性质得到；利用等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质得到，利用等式的性质求得，则，利用等腰直角三角形的性质求得，则可求，利用即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②连接交于点O，过点G作于点H，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 由 (2) ①知：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵是等腰直角三角形斜边上的高线， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握实数性质是解题的关键． B卷（50分） 一．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．设，，代入即可求解． 【详解】解：∵，即 ∴设，， ∴． 故答案为：． 20. 若、是方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是、，那么，． 根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系可知，，将变形后得到，代入求值即可． 【详解】解：、是方程的两个实数根， ，， ， ， 故答案为：． 21. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 过点D作交于H，根据平行线分线段成比例定理推出，计算即可． 【详解】解：过点D作交于H， ∴，， ∵D是的中点，，， ∴，， ∴1，4， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：． 22. 如图，在正方形中，，点O是对角线的中点，点Q是线段上的动点（点Q不与点O，A重合），连结，并延长交边于点E，过点Q作交于点F，分别连结与，交对角线于点G，过点C作交于点H，连结．以下四个结论：①；②周长为8；③，④线段的最小值为．其中正确的结论是 _____．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】通过证明点B，点C，点F，点Q四点共圆，可得，，可证，故①正确；由“”可证，，可得，由线段的和差关系可得的周长为8，故②正确；由题意可得点H在以为边的圆上运动，则当点H在上时，有最小值为，故④正确；通过证明点E，点F，点G，点Q四点共圆，可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∴点B，点C，点F，点Q四点共圆， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 如图，延长至N使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长，故②正确； ∵， ∴， ∴点H在以为边的圆上运动， 如图，以为直径作圆，取BC的中点P，连接， ∴， ∴， 在中，， ∴当点H在上时，AH有最小值为，故④正确； 如图，连接， ∵， ∴点A，点B，点F，点E四点共圆， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴点E，点F，点G，点Q四点共圆， ∴，故③不正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若，为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“合成矩形”．如图为点，的“合成矩形”的示意图．若点坐标为，当点坐标为时，点，的“合成矩形”的面积是______；点的坐标为，点为直线上一动点，若，的“合成矩形”为正方形，且此正方形面积不小于时，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了矩形和正方形的性质，一次函数的几何应用，由“合成矩形”的定义求出矩形的边长，可求出点，的“合成矩形”的面积；分别讨论点位于轴上下方时，根据正方形的面积求出正方形的边长，进而得出点的坐标，再根据正方形的面积不小于可求出的取值范围，理解题意是解题的关键． 【详解】解：当点坐标为时， ∵点坐标为， ∴点的“合成矩形”的边长分别为， ∴点，的“合成矩形”的面积是； 如图，的“合成矩形”为正方形时，且点在轴上，点在轴上， 当点在轴的上方，且正方形面积等于时， ， ∴，把点代入直线得，， ∴， ∵正方形面积不小于， ∴的取值范围为， 同理可得， 当点在轴下方时，的取值范围为， ∴的取值范围是或， 故答案为：，或． 二、解答题（本大题共小题，共分） 24. 直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个． （1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出______个水杯，月销售利润是______元． （2）若每个水杯售价上涨x元，每月能售出______个水杯（用含x的代数式表示）． （3）若月销售利润恰好为10000元，且尽量减少库存，求每个水杯的售价． 【答案】（1）550，8250 （2） （3）50元 【解析】 【分析】（1）根据题意，当每个水杯的售价为45元时月销量就减少个，进而求得平均每月售出的水杯个数，根据销售量乘以利润即可求得月销售利润； （2）根据题意，列出代数式即可； （3）设每个水杯售价上涨x元，根据题意列一元二次方程，解方程求解即可． 【小问1详解】 解∶ 依题意，（个）；（元）； 故答案为：550，8250； 【小问2详解】 解：依题意：若每个水杯售价上涨x元，每月能售出个水杯， 故答案为：； 【小问3详解】 设每个水杯售价上涨x元，根据题意，得 解得，， ∵要尽可能使顾客得到优惠 ∴， ∴， 答：每个水杯的售价为50元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出一元二次方程是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点和点，直线与轴，轴分别交于点和点，直线与交于点，． （1）求直线的解析式； （2）连接，，点在直线上，若的面积为，四边形的面积为，当时，求点的坐标； （3）直线上有一点，平面直角坐标系内是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（）求出点坐标，进而得出点的坐标，再利用待定系数法解答即可； （）求出点和点坐标，可得，设点，分点在点的下方和点在点的上方两种情况解答即可求解； （）分为菱形的对角线；菱形的边，点在点左边；菱形的边，点在点右边三种情况，画出图形，利用菱形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，菱形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 把，代入直线得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由，解得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设点， 当点在点的下方时，如图， 则， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点在点的上方时，如图， 则， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：当为菱形的对角线时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，即此时点与点重合， ∵点与点关于轴对称， ∴； 当菱形的边，点在点左边时，如图①，设与轴相交于点，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴或， ∴或； 当为菱形的边，点在点右边时，如图②， ∵， ∴此时点与点重合，四边形是正方形， ∴； 综上，平面直角坐标系内存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或． 26. 已知正方形与正方形，点是的中点，连接，． （1）如图1，点在上，点在的延长线上，请判断，的数量关系与位置关系，并直接写出结论； （2）如图2，点在的延长线上，点在上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论； （3）将图1中的正方形绕点旋转，使，，三点在一条直线上，若，，请直接写出的长____________________． 【答案】（1）， （2） 结论仍然成立，，． 证明：如图中，延长交的延长线于点． 四边形是正方形，四边形是正方形， ，， ， ． ，， ， ，， ． ， ，； （3）或 【解析】 【分析】（1）延长交于K，由，M是中点，可证，有，，可得，故是等腰直角三角形，即知，； （2）延长交的延长线于点，证明，可得，，即可得，结合，即可证明，； （3）连接，过M作于R，延长至H，使，连接，，分两种情况；当F在右侧时，由，得，，可证，得，有，，可得，，在中，，即得．在中，；当F在左侧时，． 【小问1详解】 解：，，理由如下： 延长交于K，如图， ∵， ∴，， ∵M是中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形，而， ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接．延长到点，使得，连接，．作于点． ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ，， ， ， ，． 在中，， ，， ，，，． 在中，； 如图，作于点．同法可得，，可得． 在中，． 故满足条件的的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及正方形性质及应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质及应用等，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $