精品解析：重庆市长寿实验中学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

实验中学校2023级九上数学第一次质量检测 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四种图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：根据题意可得：是中心对称图形的只有B， 故选：B． 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到关于a的不等式，解之即可. 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴系数不为0，即， ∴， 故选：A. 3. 若关于的方程的一个根是，则另一个根及的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程先求出的值，从而确定出方程，再解方程即可求出，理解方程的解并准确计算是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴, ∴， ∴方程为， 解得，， ∴另一个根为，的值为， 故选：． 4. 已知点和点B关于原点成中心对称，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点成中心对称的点坐标的关系，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆． 平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是． 【详解】解：根据中心对称的性质，得：点关于原点成中心对称的点B的坐标为． 故选：D． 5. 抛物线的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式，直接根据顶点式，得出二次函数的顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：D． 6. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为． 故选：D 7. 学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出个支干，每个支干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支，以及1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，列出一元二次方程即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：1个主干上有x个支干，x个支干上共有个小分支， ∴可列方程为：， 故选C． 8. 八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，得到，如图， 则下列结论不成立的是（ ） A. 点A与点是对称点 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；根据中心对称的性质判断即可，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 【详解】解：、关于点O成中心对称，A，B，C关于O的对称点分别为，则； 故选项A、B正确； 而是对顶角， 则， 故选项C正确； 的对应角是，不是， 故选项D错误； 故选：D． 9. 如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN， ∴AB=AC，AM=AN， ∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠ACN=∠B， 而∠CAB不一定等于∠B， ∴∠ACN不一定等于∠CAB， ∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B， ∴∠BAC=∠MAN， ∵AM=AN，AB=AC， ∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等， ∴∠B=∠AMN， ∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意； ∵AM=AN， 而AC不一定平分∠MAN， ∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键． 10. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则以下结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本次考查了二次函数图像与性质，准确的找出隐含的等量关系和利用数形结合的思想是解题关键．根据抛物线图像的性质得到的范围，根据对称轴和轴上的点可得到两个等量关系，变形替换从而可以判断①②，根据顶点最高可得到③符合题意，由数形结合可得到④不符合题意． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 抛物线顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， ， ，故①符合题意； 在抛物线上， ， ， ， 抛物线与轴的交点在，之间（包含端点）， ， ， ，故②符合题意； 顶点坐标，抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为， 对于任意实数，， ， ，故③符合题意； 顶点坐标，且抛物线开口向下， 直线与抛物线没有交点， 关于的方程没有实数根，故④不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 或 解得，． 故答案为：，． 12. 若是二次函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解决问题的关键． 根据二次函数的定义得：且，由此即可求出m的值． 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义得：且， 由解得：，由解得：， ． 故答案为：． 13. 关于x的一元二次方程化成一般形式为______。 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式． 直接去括号，然后移项，即可得到答案． 【详解】解：， ∴， 故答案为： 14. 已知点与点是关于原点的对称点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而得出答案，正确记忆横纵坐标的符号是解题的关键． 【详解】解：∵点与点是关于原点的对称点， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 抛物线的部分特征如图所示，则关于的方程的解是______． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与轴交点的坐标，根据抛物线对称性质得到当时所对应的的值，解题时，注意二次函数与方程之间的联系 【详解】解：根据图象可知，抛物线与的交点是，对称轴为， 根据对称性，当时，， ∴方程的解是． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，将绕原点O顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，得到；将绕原点O顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，得到，如此继续下去，得到，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的规律、旋转问题、特殊角三角函数值，准确计算分析是解题的关键． 先根据点，的坐标求出相关线段的长度和角度，再找出旋转的规律及线段长度变化规律，进而确定所求点的坐标． 【详解】点坐标分别为，， ，，轴， ， ， 每一次旋转角都是， 旋转6次后，正好旋转一周，点在轴正半轴上， ， 在第三象限， 每次旋转， ,，， 依此类推，， 当时，， 点在第三象限， 的横坐标为， 纵坐标为， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，17-18每题8分，19-25每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键： （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 . 18. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于点O成中心对称的； （2）写出坐标：________，________． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称，正确得出对应点位置是解题关键． （1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置，连线即可得出答案； （2）根据关于原点对称的性质得出对应点坐标即可． 【小问1详解】 解：关于点成中心对称的，如图即为所求； 【小问2详解】 解：关于点成中心对称的，，， ，． 故答案为：，． 19. 一条抛物线由抛物线平移得到，对称轴为直线，并且经过点． （1）求该抛物线的解析式，并指出其顶点坐标； （2）该抛物线由抛物线经过怎样平移得到？ 【答案】（1）抛物线为y =2（x+1）2-7，顶点坐标是（-1，-7）； （2）向左平移1个单位长度，再向下平移7个单位长度 【解析】 【分析】（1）根据平移的规律平移后的抛物线为y＝2（x+1）2+k，代入点（1，1），即可求出解析式； （2）由抛物线的顶点式，根据左加右减，上加下减可得出答案． 【小问1详解】 解：设所求抛物线为y =2（x+1）2+k过（1,1） 则1 =2（1+1）2+k ， 解得k=-7， ∴所求抛物线为y =2（x+1）2-7. 顶点坐标是（-1，-7） 【小问2详解】 解：所求抛物线y =2（x+1）2-7是由抛物线y =2x2 向左平移1个单位长度，再向下平移7个单位长度得到 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式及图象的平移，掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k对应的开口方向、对称轴、顶点坐标是解题的关键． 20. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，． （1）求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形性质，角的运算和勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据旋转的性质即可得到，再根据勾股定理即可解题； （2）根据旋转的性质即可得到，从而到，结合，可得到，从而得到的度数． 【小问1详解】 由旋转的性质可知：，， ； 【小问2详解】 解：由旋转的性质可知：，， ， ， ， ， ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上． （1）求出点的坐标； （2）求的最小值． 【答案】（1），，， （2）5 【解析】 分析】（1）令，分别求出，，； （2）过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，证明四边形是正方形，且，即有点O与点T关于直线对称，则有，当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为，问题随之得解． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， 当时，， 解得：，， ∴，， 【小问2详解】 由（1）知，，； 过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，如图， ∴，， ∵，， ∴四边形是正方形，且， ∴点O与点T关于直线对称， ∴， ∴， ∴当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为， ∵，， ∴的最小值． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，考查了二次函数与坐标轴交点的问题，轴对称的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，证明四边形是正方形，且，得出点O与点T关于直线对称，是解题的关键． 22. 解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： （1）若，则的值为___________； （2）解方程：． 【答案】（1）2 （2）或或或 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整． （1）根据题意，设，然后解关于k的一元二次方程，再根据取值即可； （2）设，然后解关于t的一元二次方程，然后再来求关于y的一元二次方程． 【小问1详解】 解：设， 原方程为：，即， ， ， 或， ， ， ， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：设， 原方程为：，即， ， 或， 当时，， ， 或； 当时，， ， 或； 综上，或或或． 23. 重庆中国三峡博物馆（重庆博物馆）是一座集巴渝文化、三峡文化、抗战文化、移民文化和城市文化等为特色的历史艺术类综合性博物馆，也是国家4A级风景名胜区．每到假期各地游客纷纷前来游玩．据统计，今年国庆小长假第一天的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到6050人次． （1）求今年国庆小长假第一天至第三天游客人数的平均日增长率； （2）博物馆附近某商店推出了木质旅游扇，每把扇子的成本为6元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降价1元，平均每天可多售出20把．设每把扇子降价x元，商店每天所获利润为w元，求每把扇子的定价为多少元时，商店每天所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率是 （2）每把扇子的定价为23元时，商店每天所获利润最大，最大利润是5780元 【解析】 【分析】本题考查了这周六，最大利润问题， （1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率是m， 由题意得：，求解即可； （2）设降价x元，则每把扇子盈利元，每天可售出千克，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，解之即可得出x的值即可求得． 【小问1详解】 设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率是m， 由题意得：， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率是； 【小问2详解】 设降价x元，则每把扇子盈利元，每天可售出千克，每天的总利润为w元，根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，最大为5780元， 此时 (元), 答：每把扇子的定价为23元时，商店每天所获利润最大，最大利润是5780元． 24. 如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． （1）当t为何值时，四边形的面积为？ （2）当t为何值时，线段的长为？ 【答案】（1）当t为5时，四边形的面积为 （2）当t为或时．线段的长为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确表示运动过程中的相关线段、灵活应用勾股定理构建方程是关键； （1）先表示，．再利用面积公式列方程解题即可； （2）过点Q作于点M，则，表示．．再利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：当运动时间时，，． 由题意得， 解得． 答；当t为5时，四边形的面积为． 【小问2详解】 如图，过点Q作于点M，则， 由题意知．． 在中．由勾股定理得， 即， 解得，．经检验符合题意； 答：当t为或时．线段的长为． 25. 已知平行四边形中， 对角线相交于点O， ． （1）如图1， 若 ，，求的长； （2）如图2，过点C作于点F， 连接， 过点 A作交于点E，求证： （3）如图3，在（1）的条件下，点P 是直线上的一个动点， 且 ，连接 ，当 的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，可得，进而得到平行四边形是菱形，再由勾股定理求出的长，即可求解； （2）过点C作，交于点G，证明，可得，，再证明，可得是等腰直角三角形，从而得到是等腰直角三角形，即可求证； （3）连接，，可得，再证明，可得，，即当点在时，的值最小，此时，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：过点C作，交于点G， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（1）得：， ∵且 ， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即当点在时，的值最小， 如图，此时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，三角形的全等、等腰三角形的性质以及勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学校2023级九上数学第一次质量检测 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四种图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 3. 若关于的方程的一个根是，则另一个根及的值分别是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点和点B关于原点成中心对称，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线顶点坐标为（　　） A B. C. D. 6. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出个支干，每个支干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，得到，如图， 则下列结论不成立的是（ ） A. 点A与点是对称点 B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则以下结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 方程的解为______． 12. 若是二次函数，则___________． 13. 关于x的一元二次方程化成一般形式为______。 14. 已知点与点是关于原点的对称点，则的值为_____． 15. 抛物线的部分特征如图所示，则关于的方程的解是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，将绕原点O顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，得到；将绕原点O顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，得到，如此继续下去，得到，则点的坐标是___________． 三、解答题（本大题共9小题，17-18每题8分，19-25每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于点O成中心对称的； （2）写出坐标：________，________． 19. 一条抛物线由抛物线平移得到，对称轴为直线，并且经过点． （1）求该抛物线的解析式，并指出其顶点坐标； （2）该抛物线由抛物线经过怎样平移得到？ 20. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，． （1）求的长； （2）若，求的度数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上． （1）求出点的坐标； （2）求的最小值． 22. 解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： （1）若，则的值为___________； （2）解方程：． 23. 重庆中国三峡博物馆（重庆博物馆）是一座集巴渝文化、三峡文化、抗战文化、移民文化和城市文化等为特色的历史艺术类综合性博物馆，也是国家4A级风景名胜区．每到假期各地游客纷纷前来游玩．据统计，今年国庆小长假第一天的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到6050人次． （1）求今年国庆小长假第一天至第三天游客人数平均日增长率； （2）博物馆附近某商店推出了木质旅游扇，每把扇子的成本为6元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降价1元，平均每天可多售出20把．设每把扇子降价x元，商店每天所获利润为w元，求每把扇子的定价为多少元时，商店每天所获利润最大？最大利润是多少元？ 24. 如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． （1）当t为何值时，四边形的面积为？ （2）当t为何值时，线段的长为？ 25. 已知平行四边形中， 对角线相交于点O， ． （1）如图1， 若 ，，求的长； （2）如图2，过点C作于点F， 连接， 过点 A作交于点E，求证： （3）如图3，在（1）的条件下，点P 是直线上的一个动点， 且 ，连接 ，当 的值最小时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $