1.3 勾股定理的应用 讲义（基础篇）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

勾股定理的应用 1.3勾股定理的应用 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 勾股数 2 课前复习 勾股定理的逆定理 新课探索 勾股定理的应用解释 3 应用解释 勾股定理的应用体现 已知直角三角形的两边，求第三边 3 应用体现 解决与距离、高度、长度相关的实际问题 题型练习 勾股定理与网格问题 4 题型练习 勾股定理与折叠问题 求梯子滑落高度 解决水杯中筷子问题 解决航海问题 求河宽 求台阶上地毯长度 判断汽车是否超速 判断是否受台风影响 选址使到两地距离相等 求最短路径 易错点 25 易错点 总结 26 总结 课前复习 勾股数 勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数. 说明： (1)三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a²+b²=c²,但它们不是正整数，所以它们 不是勾股数. (2)一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数. (3)记住常用的勾股数，在做题过程中，可以提高做题速度.如： 3、4、5; 6、8、10; 5、12、13;…… 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a,b,c满足：a²+b²=c²,那么这个三角形就是直角三角形. 运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角，然后进一步结合其他 已知条件来解决问题. 新课探索 一、勾股定理的应用解释 ①勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体. ②通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二 者相辅相成，以解决问题.常见图形： 二、勾股定理的应用体现 ①已知直角三角形的两边，求第三边。 若已知两条直角边 (a)、(b)，求斜边 (c)，则。 若已知一条直角边 (a) 和斜边 (c)，求另一条直角边 (b)，则。 若已知一条直角边 (b) 和斜边 (c)，求另一条直角边 (a)，则。 ②解决与距离、高度、长度相关的实际问题。 在解决实际问题时，关键在于： 审题：仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。 构建模型：从实际问题中抽象出直角三角形模型，确定直角三角形的直角边和斜边（或 待求的边）。这一步是解决问题的核心。 运用公式：根据勾股定理列出关系式。 计算求解：进行必要的计算，注意单位的统一和结果的合理性。 作答：写出明确的答案。 注意： ①勾股定理只有在直角三角形中适用 ②在应用时，要准确判断哪条边是斜边（直角所对的边） 题型练习 1、 勾股定理与网格问题 1、如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的 距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即 可． 【详解】解：A、，本选项结论正确，不符合题意； B、，，， ， ， 本选项结论正确，不符合题意； C、，本选项结论错误，符合题意； D、点A到的距离，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 2、如图，在边长为1的正方形网格中，分别在格点（网格线的交点）上，连接，．试说明：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握这两个定理是解题的关键；利用勾股定理 分别求出，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断． 【详解】解：由勾股定理，得． 因为， 所以， 所以是直角三角形． 2、 勾股定理与折叠问题 1、如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽 ，长，求的长．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据长方形的性质，折叠的性质，勾股定理求出 的长，进而求出的长，在中，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解∶∵四边形是长方形， ∴， 由折叠得， ∴ ∴BF=8 ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长是． 2、如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点，， ， 在中，， 解得． 即． 故选：C． 3、 求梯子滑落高度 1、．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的上，这时点B到墙底端C的距离为米．如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么点B是否也向外移动米？请通过计算说明． 【答案】点B不是向外移动米，说明见解析 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正 确运用，本题中求出的长度是解题的关键． 在中，利用勾股定理可得米，从而得到米，然后在 中，利用勾股定理可得的长度，即可求解． 【详解】解：点B不是向外移动米，说明如下： 根据题意得：米，米，米， 在中 ∴AC=2.4米 ∴（米）， 在中， ∴=1.5（米） ∴（米）， 即点B向外移动米， ∴点B不是向外移动米． 2、如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯足将滑动（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴=-= AB=12 ∴ ∴=-= BE=12 ∴； 故选A． 4、 解决水杯中筷子问题 1、如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管长（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱体的性质，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据圆柱体 的性质，结合勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意，得圆柱底面半径为，    故底面直径为，高为， 则 ∴AB=13 故圆柱内部吸管长， 又露出的部分至少为， 故吸管长． 故选：A． 2、如图，一枝长的花插在圆柱形花瓶中（壁厚不计），花瓶底面直径为，高为，则这枝花露在花瓶外面部分的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据花瓶内这枝花的长度取值范围得出花瓶外面长 度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将一枝长的花插在底面直径为，高为的圆柱形花瓶中， ∴在花瓶中花最短是等于花瓶的高，最长是等于花瓶斜边长度， ∴当花瓶中花最短是等于花瓶的高时，， 最长时等于花瓶斜边长度的平方是 ， ∴斜边的长度为25 此时， ∴h的取值范围是， 即h的最小值是． 故选：C． 5、 解决航海问题 1、如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为 海里/时． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理，方向角的概念，关键是应用勾股定理求出的长．由勾股定理 求出的长，即可解决问题． 【详解】解：由条件得：(海里)，(海里)， 而， ∴ ∴OM=30(海里) ∴乙船的速度是(海里/时)． 故答案为：15． 2、如图，甲乙两船从港口P同时出发，甲船以16海里/小时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行．3小时后，甲船到达A岛，乙船到达B岛．若A、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 【答案】12 海里/小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在图形中找出直角三角形是解题的关键． 计算得出，从而说明是直角三角形，再利用勾股定理求出的长，再 求乙船的航速． 【详解】由题知，， 海里， 海里， 由勾股定理得， ∴PB=36海里， 乙船的航速是 海里/小时． 6、 求河宽 1、如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问 题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度． 【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得： ∴该河流的宽度为． 故选：C． 2、某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 【答案】(1)见解析 (2)60米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：由题意知，，，， 在中，由勾股定理得 AB=60 答：该河流的宽度为60米． 7、 求台阶上地毯长度 如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度是，则两 点之间的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不 大．作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得 斜边的长． 【详解】解：如图， 由题意得：， 故， 故选：B． 2、如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 （ ） 米． 【答案】7 【分析】本题考查了平移的性质、勾股定理在实际生活中的应用，把求地毯长转化为求两直角 边的长是解题的关键．将楼梯表面向下和向右平移，则地毯的总长等于两直角边的和， 已知斜边和一条直角边，据勾股定理可求另一直角边． 【详解】解：如图： （米），（米）， ∴ ∴BC=4米 ∴地毯长（米）． 故答案为：7． 8、 判断汽车是否超速 1、交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得 ，再求出小汽车的速度为，然后由，即 可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得： ∴BC=40m 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 2、滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 【答案】没有超速，理由见详解 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 利用勾股定理求出然后求出速度进行比较即可． 【详解】解：根据题意得，由勾股定理得， ∴BC=30米 ∴小车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车没有超速． 答：这辆小汽车超速了． 9、 判断是否受台风影响 1、2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2)8小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）过点C作于点D，利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用 三角 形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）在直线取点E，F使，则台风中心在线段上时，影响C港口，利用 勾股定理得出的长，可得到的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图，过点C作于点D， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，且， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图，在直线上取点E，F使，则台风中心在线段上时， 影响 C港口， ∵ ， ∴， ∴ ∴ED=100km ∴， ∵台风中心的移动速度为， ∴ 小时． 即台风影响该海港持续的时间为8小时． 2、今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴ ∴BD=96Km ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 10、 选址使到两地具体相等 1、如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 （ ）． 【答案】 【分析】本题考查了选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)，解题关键是掌握勾股定理． 连结，利用勾股定理列出关于待求线段的方程求解． 【详解】解：连结， ∵停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等， ∴， ∴， ∵商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N）， 车站距商场（）为， ∴，， ∴（），（）， 解得：，， ∴停靠站到车站的距离（）为． 故答案为：． 2、如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识． 先设，则，再根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得： 在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以， 解得： 即的长为． 11、 求最短路径 1、如图，有一圆柱，其高为15，它的底面周长为10，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B，其中B离上沿3，则蚂蚁经过的最短路程为 ． 【答案】13 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的 长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图， 则A，H所在的长方形的长为圆柱的高15，宽为底面圆周长的一半，，蚂 蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，得到长方形， 连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中C，H分别是，的 中点， ∵底面周长是10， ∴， ∵，， ∴， ∴∴ ∴AB=13 ∴蚂蚁经过的最短距离为13． 故答案为：13． 2、中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣 母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示， 每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙 从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 （   ） A．4米 B．米 C．5米 D．6米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧 面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算 即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约4米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， ∴BE=2.5(米) 故雕刻在木柱上的巨龙至少为（米）， 故选：C． 易错点 1. 误用在非直角三角形中； 2. 直角边与斜边混淆； 3. 边长单位未统一； 4. 实际问题中模型构建错误（未正确确定直角或对应边）； 5. 逆定理应用时未验证最大边平方是否等于另两边平方和 总结 一、勾股定理的应用解释 ①勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体. ②通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二 者相辅相成，以解决问题.常见图形： 二、勾股定理的应用体现 ①已知直角三角形的两边，求第三边。 若已知两条直角边 (a)、(b)，求斜边 (c)，则。 若已知一条直角边 (a) 和斜边 (c)，求另一条直角边 (b)，则。 若已知一条直角边 (b) 和斜边 (c)，求另一条直角边 (a)，则。 ②解决与距离、高度、长度相关的实际问题。 在解决实际问题时，关键在于： 审题：仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。 构建模型：从实际问题中抽象出直角三角形模型，确定直角三角形的直角边和斜边（或 待求的边）。这一步是解决问题的核心。 运用公式：根据勾股定理列出关系式。 计算求解：进行必要的计算，注意单位的统一和结果的合理性。 作答：写出明确的答案。 3、 勾股定理的应用题型 1、 勾股定理与网格问题 2、 勾股定理与折叠问题 3、 求梯子滑落高度 4、 解决水杯中筷子问题 5、 求河宽 6、 求台阶上地毯长度 7、 判断汽车是否超速 8、 判断是否受台风影响 9、 选址使到两地距离相等 10、 求最短路径 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理的应用 1.3勾股定理的应用 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 勾股数 课前复习 勾股定理的逆定理 新课探索 勾股定理的应用解释 应用解释 勾股定理的应用体现 已知直角三角形的两边，求第三边 应用体现 解决与距离、高度、长度相关的实际问题 题型练习 勾股定理与网格问题 题型练习 勾股定理与折叠问题 求梯子滑落高度 解决水杯中筷子问题 解决航海问题 求河宽 求台阶上地毯长度 判断汽车是否超速 判断是否受台风影响 选址使到两地距离相等 求最短路径 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 勾股数 勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数. 说明： (1)三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a²+b²=c²,但它们不是正整数，所以它们 不是勾股数. (2)一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数. (3)记住常用的勾股数，在做题过程中，可以提高做题速度.如： 3、4、5; 6、8、10; 5、12、13;…… 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a,b,c满足：a²+b²=c²,那么这个三角形就是直角三角形. 运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角，然后进一步结合其他 已知条件来解决问题. 新课探索 一、勾股定理的应用解释 ①勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体. ②通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二 者相辅相成，以解决问题.常见图形： 二、勾股定理的应用体现 ①已知直角三角形的两边，求第三边。 若已知两条直角边 (a)、(b)，求斜边 (c)，则。 若已知一条直角边 (a) 和斜边 (c)，求另一条直角边 (b)，则。 若已知一条直角边 (b) 和斜边 (c)，求另一条直角边 (a)，则。 ②解决与距离、高度、长度相关的实际问题。 在解决实际问题时，关键在于： 审题：仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。 构建模型：从实际问题中抽象出直角三角形模型，确定直角三角形的直角边和斜边（或 待求的边）。这一步是解决问题的核心。 运用公式：根据勾股定理列出关系式。 计算求解：进行必要的计算，注意单位的统一和结果的合理性。 作答：写出明确的答案。 注意： ①勾股定理只有在直角三角形中适用 ②在应用时，要准确判断哪条边是斜边（直角所对的边） 题型练习 1、 勾股定理与网格问题 1、如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 2、如图，在边长为1的正方形网格中，分别在格点（网格线的交点）上，连接，．试说明：是直角三角形． 2、 勾股定理与折叠问题 1、如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽 ，长，求的长．    2、如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 3、 求梯子滑落高度 1、．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的上，这时点B到墙底端C的距离为米．如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么点B是否也向外移动米？请通过计算说明． 2、如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯足将滑动（   ）． A． B． C． D． 4、 解决水杯中筷子问题 1、如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管长（    ）    A． B． C． D． 2、如图，一枝长的花插在圆柱形花瓶中（壁厚不计），花瓶底面直径为，高为，则这枝花露在花瓶外面部分的长度最短为（   ） A． B． C． D． 5、 解决航海问题 1、如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为 海里/时． 2、如图，甲乙两船从港口P同时出发，甲船以16海里/小时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行．3小时后，甲船到达A岛，乙船到达B岛．若A、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？ 6、 求河宽 1、如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 2、某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 7、 求台阶上地毯长度 如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度是，则两 点之间的距离是（　　） A． B． C． D． 2、如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 （ ） 米． 8、 判断汽车是否超速 1、交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    2、滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 9、 判断是否受台风影响 1、2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 2、今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 10、 选址使到两地具体相等 1、如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 （ ）． 2、如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 11、 求最短路径 1、如图，有一圆柱，其高为15，它的底面周长为10，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B，其中B离上沿3，则蚂蚁经过的最短路程为 ． 2、中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣 母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示， 每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为米的木柱上，有一条雕龙 从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 （   ） A．4米 B．米 C．5米 D．6米 易错点 1. 误用在非直角三角形中； 2. 直角边与斜边混淆； 3. 边长单位未统一； 4. 实际问题中模型构建错误（未正确确定直角或对应边）； 5. 逆定理应用时未验证最大边平方是否等于另两边平方和 总结 一、勾股定理的应用解释 ①勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体. ②通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二 者相辅相成，以解决问题.常见图形： 二、勾股定理的应用体现 ①已知直角三角形的两边，求第三边。 若已知两条直角边 (a)、(b)，求斜边 (c)，则。 若已知一条直角边 (a) 和斜边 (c)，求另一条直角边 (b)，则。 若已知一条直角边 (b) 和斜边 (c)，求另一条直角边 (a)，则。 ②解决与距离、高度、长度相关的实际问题。 在解决实际问题时，关键在于： 审题：仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题。 构建模型：从实际问题中抽象出直角三角形模型，确定直角三角形的直角边和斜边（或 待求的边）。这一步是解决问题的核心。 运用公式：根据勾股定理列出关系式。 计算求解：进行必要的计算，注意单位的统一和结果的合理性。 作答：写出明确的答案。 3、 勾股定理的应用题型 1、 勾股定理与网格问题 2、 勾股定理与折叠问题 3、 求梯子滑落高度 4、 解决水杯中筷子问题 5、 求河宽 6、 求台阶上地毯长度 7、 判断汽车是否超速 8、 判断是否受台风影响 9、 选址使到两地距离相等 10、 求最短路径 1 学科网（北京）股份有限公司 $