1.2 一定是直角三角形吗（勾股定理逆定理判断直角三角形）（导学案）数学北师大版2024八年级上册

1.2 一定是直角三角形吗（勾股定理的逆定理） 导学案 （1）理解“直角三角形的判定定理”，能区分勾股定理及直角三角形的判定定理的条件和结论，体会数学知识之间的内在联系（勾股定理与直角三角形的判定定理的互逆关系）； （2）会根据三角形的边长判断一个三角形是否为直角三角形； （3）理解直角三角形的判定定理的证明思路和方法，提高演绎推理能力； （4）应用勾股定理及其逆定理，在会判定直角三角形的条件下，解决和直角三角形有关的实际问题，提高勾股定理的应用意识并形成直角三角形的模型观念 新知探究（一）实验操作，初步感知 下面每组数分别是三角形的三边长a、b、c： ① 3, 4, 5； ② 5, 12, 13； ③ 8, 15, 17； ④ 7, 24, 25； ⑤ 2, 3, 4。 问题1.计算三角形三边长的平方，判断是否满足a²+b²=c²？ 问题2.分别以每组数为边长画出三角形，并判断它们是直角三角形么？ （二）观察比较，提出猜想 问题1.哪些组能画出三角形？画出的三角形中，最大角是直角吗？此时三边平方有什么关系？ 问题2.哪些组画出的三角形最大角不是直角？此时三边平方有什么关系？ 问题3.满足a²+b²= c²（c最长）的几组数据，它们都能画出直角三角形，由此你能得出什么结论？ （三）推理论证，形成定理 问题1.我们的猜想（实验结论）一定正确吗？如何证明？（分层教学） 已知：在△ABC中，AB=c, AC=b, BC=a, 且 (假设c是最长边)。 求证：△ABC是直角三角形（即 ∠C = 90°）。 问题2.（启发构造）能否构造一个已知的直角三角形，使其与原三角形三边对应相等？ 形成定理：如果三角形的三边长a, b, c满足a²+ b²= c²，那么这个三角形是直角三角形。并指出其中 c 是斜边（最长边） 勾股数：满足a²+ b²= c²的三个正整数a、b、c，称为勾股数。 ·应用新知 例1.“埃及三角形”揭秘：绳子上打结将绳子分成3:4:5的三段，拉直后围成的三角形为什么是直角三角形？ 例2（课本P10例题）.一个零件的形状如图1-14所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图1-15所示，这个零件符合要求吗? 强调步骤： (1) 确定最长边（c）。 (2) 计算：两条较短边的平方和（a²+ b²）与最长边的平方（c²）。 (3) 比较：若 a²+ b²= c²，则是Rt△，最长边c所对的角是直角。若不等，则不是。 题型一.判断是否为直角三角形 1.（课本P11随堂练习1）下列几组数能否作为直角三角形的三边长?说说你的理由。 （1） 9，12，15；（2）12，18，22；（3）12，35，36；（4） 15，36，39。 2.（课本P11随堂练习2）如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形?你是如何判断的?与同伴进行交流。 3.如图，四边形是舞蹈训练场地，要在场地上铺上地胶．经过测量得知：，，，，．判断是不是直角，并说明理由． 题型二. 应用勾股定理及其逆定理求四边形面积 4．如图，在四边形中，，求这个四边形的面积． 5.如图，每个小正方形的边长为1，四边形是一个凹四边形，连接，是直角吗？ 求出凹四边形的面积． ·思考与讨论 辨析定理： 勾股定理：已知是Rt△（∠C=90°）→ 得到a²+b²=c² 勾股定理逆定理：已知 a²+b²=c²（c最长）→ 得到是Rt△（∠C=90°） 问题1.它们的条件和结论分别是什么？有什么关系？ 深化理解： 问题2.三角形的三边a、b、c满足 a²+c²= b² (b最长) 或 b²+c²=a² (a最长) 时，是否还是直角三角形？ 2.勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数，，当为偶数，，则，，为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的为偶数，且其中一个数为，则对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）． 补充练习： 1.如图，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求边上的高h． 2.阅读材料：勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格．（以下，，为的三边，且） 表1  表2                (1)请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、________、________； (2)当（为奇数，且）时，若________，________时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当或时，________．（写出所有满足条件的）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 一定是直角三角形吗（勾股定理的逆定理） 导学案 （1）理解“直角三角形的判定定理”，能区分勾股定理及直角三角形的判定定理的条件和结论，体会数学知识之间的内在联系（勾股定理与直角三角形的判定定理的互逆关系）； （2）会根据三角形的边长判断一个三角形是否为直角三角形； （3）理解直角三角形的判定定理的证明思路和方法，提高演绎推理能力； （4）应用勾股定理及其逆定理，在会判定直角三角形的条件下，解决和直角三角形有关的实际问题，提高勾股定理的应用意识并形成直角三角形的模型观念 新知探究（一）实验操作，初步感知 下面每组数分别是三角形的三边长a、b、c： ① 3, 4, 5； ② 5, 12, 13； ③ 8, 15, 17； ④ 7, 24, 25； ⑤ 2, 3, 4。 问题1.计算三角形三边长的平方，判断是否满足a²+b²=c²？ ①3²+4²=25=5²；②5²+12²=169=13²；③8²+15²=289=17²；④7²+24²=625=25²；⑤2²+3²=13≠16=4² 问题2.分别以每组数为边长画出三角形，并判断它们是直角三角形么？ ① ② ③ ④ ⑤ （二）观察比较，提出猜想 问题1.哪些组能画出三角形？画出的三角形中，最大角是直角吗？此时三边平方有什么关系？ 答：都能画出三角形，①②③④三角形的最大角为90°，是直角三角形，三边长的平方满足a²+b²=c²。 问题2.哪些组画出的三角形最大角不是直角？此时三边平方有什么关系？ 答：⑤的最大角不是直角，此时三边长的平方有：2²+3²=13＜16=4²，不满足a²+b²=c²。 问题3.满足a²+b²= c²（c最长）的几组数据，它们都能画出直角三角形，由此你能得出什么结论？ 答：如果三角形的三边长a, b, c满足 a²+ b²= c²（其中c是最长边），那么这个三角形是直角三角形。 （三）推理论证，形成定理 问题1.我们的猜想（实验结论）一定正确吗？如何证明？（分层教学） 已知：在△ABC中，AB=c, AC=b, BC=a, 且 a²+ b²= c² (假设c是最长边)。 求证：△ABC是直角三角形（即 ∠C = 90°）。 问题2.（启发构造）能否构造一个已知的直角三角形，使其与原三角形三边对应相等？ (1) 画Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b； (2) 根据勾股定理，A'B'²= B'C'²+ A'C'²= a²+ b²； (3) 已知 a²+ b²= c²，所以 A'B'²= c²，因此 A'B' = c (取正值)； (4) 在△ABC和△A'B'C'中，BC=B'C'=a, AC=A'C'=b, AB= A'B'= c。 (5) ∴ △ABC≌△A'B'C' (SSS)， ∴ ∠C = ∠C' = 90°， 即△ABC是直角三角形。 形成定理：如果三角形的三边长a, b, c满足a²+ b²= c²，那么这个三角形是直角三角形。并指出其中 c 是斜边（最长边） 勾股数：满足a²+ b²= c²的三个正整数a、b、c，称为勾股数。 ·应用新知 例1.“埃及三角形”揭秘：绳子上打结将绳子分成3:4:5的三段，拉直后围成的三角形为什么是直角三角形？ 答： 表示三角形三边边长和确定最长边：∵三边比为3:4:5，设最长边为5x，两直角边为3x、4x； 计算与比较：∵(3x)²+(4x)²=9x2+16x2=25x2=(5x)²，∴三边满足逆定理，它一定是直角三角形。 例2（课本P10例题）.一个零件的形状如图1-14所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图1-15所示，这个零件符合要求吗? 解题关键：在△ABD中BD是最长边，在△BCD中CD是最长边。 解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16= 25= BD2”，所以△ABD是直角三角形，边BD的对角∠A是直角。 在△BCD中，BD2+ BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD是直角三角形，边CD的对角∠DBC是直角。 因此，这个零件符合要求。 强调步骤： (1) 确定最长边（c）。 (2) 计算：两条较短边的平方和（a²+ b²）与最长边的平方（c²）。 (3) 比较：若 a²+ b²= c²，则是Rt△，最长边c所对的角是直角。若不等，则不是。 题型一.判断是否为直角三角形 1.（课本P11随堂练习1）下列几组数能否作为直角三角形的三边长?说说你的理由。 （1） 9，12，15；（2）12，18，22；（3）12，35，36；（4） 15，36，39。 解：（1）最长边c=15， ∵a²+b²=6²+ 8²=36+64=100=10²= c²， ∴ 9、12、15可以作为直角三角形三边长，且边长为15所对的角是直角； （2）最长边c=22，∵a²+b²=12²+ 18²=144+324=468，22²= 484，∴468≠484，∴不可以； （3）最长边c=36，∵a²+b²=12²+ 35²=144+1225=1369，36²= 1296，∴1369≠1269，∴不可以； （4）最长边c=39，∵a²+b²=15²+ 36²=225+1269=1521，39²= 1521，∴1521=1521，∴15、36、39可以作为直角三角形三边长，且边长为39所对的角是直角。 2.（课本P11随堂练习2）如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形?你是如何判断的?与同伴进行交流。解：观察所得直角三角形：Rt△ABE、Rt△DEF、Rt△CBF， 判断△BEF： ①最长边BF，直角边BE、EF ②计算：DE=4-AE=2，BE2=AB2+AE2=42+22=20，EF2=ED2+DF2=22+12=5， CF=4-DF=3，BF2=BC2+CF2=42+32=25 ③比较：BE2+EF2=20+5=25=BF2，∴△CBF是Rt△，∠BEF是直角。 3.如图，四边形是舞蹈训练场地，要在场地上铺上地胶．经过测量得知：，，，，．判断是不是直角，并说明理由． 分析问题：①辅助线：连接AC，构造三角形ADC；②最长边：在△ADC中，AC为最长边；③计算：求AC2、AD2和CD2；④比较：AC2和AD2+CD2。 解：∠D是直角，理由如下： 连接AC，如图所示： 在Rt△ABC中，∠B=90°， 由勾股定理得：AC2=72+242=625=252， 在△ADC中，AD2+DC2=625，AC2=625， ∴AD2+DC2=AC2， ∴△ADC是直角三角形，∠D=90°． 题型二. 应用勾股定理及其逆定理求四边形面积 4．如图，在四边形中，，求这个四边形的面积． 分析问题：①勾股定理求CB的长；②判断△ADC的形状；③分别求两个三角形的面积。 解：∵∠A=90°，AB=4，AC=3， ∴BC2=AC2+AB2=25， ∵CD=13，BD=12， ∴BC2+BD2=52+122=169=CD2， ∴∠CBD=90°， ∴． 5.如图，每个小正方形的边长为1，四边形是一个凹四边形，连接，是直角吗？ 求出凹四边形的面积． 分析问题：先求出AC2，CD2，AD2，再利用勾股定理的逆定理验证，再根据凹四边形ABCD的面积等于丙个三角形的面积差求解． 解：∵，，， ∴， ∴是直角， ∴凹四边形的面积等于 ． ·思考与讨论 辨析定理： 勾股定理：已知是Rt△（∠C=90°）→ 得到a²+b²=c² 勾股定理逆定理：已知 a²+b²=c²（c最长）→ 得到是Rt△（∠C=90°） 问题1.它们的条件和结论分别是什么？有什么关系？ 答：勾股定理的条件是直角三角形，结论是三边满足a²+b²=c²，勾股定理逆定理的条件是三边满足a²+b²=c²，结论是Rt△。（条件结论互换，互为逆定理） 深化理解： 问题2.三角形的三边a、b、c满足 a²+c²= b² (b最长) 或 b²+c²=a² (a最长) 时，是否还是直角三角形？ 答：是直角三角形， 满足a²+c²=b²时b为斜边，满足b²+c²=a²时a为斜边。 结论：只要有两边的平方和等于第三边（且该边是最长边）的平方，就可以判定是直角三角形，且直角就是最长边所对的角。 2.勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数，，当为偶数，，则，，为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的为偶数，且其中一个数为，则对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）． 解：当时，，解得：， ∴，，是勾股数，符合题意； 当时，，则， ∴，，是勾股数，符合题意； 当时，，则， ∴， 此时，不是正整数，不符合题意； 综上所述：对应的数为或，故答案为：（答案不唯一）． 补充练习： 1.如图，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求边上的高h． （1）解：是直角三角形， 理由：，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：， ∴ ∴， ∴． 2.阅读材料：勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格．（以下，，为的三边，且） 表1  表2                (1)请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、________、________； (2)当（为奇数，且）时，若________，________时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当或时，________．（写出所有满足条件的）． 【答案】(1)，；(2)，，证明见解析；(3)，， 【详解】（1）解：∵ ∴勾股数：，， （2）解：根据表，，，，…… ∴，且， ∴当时，又， ∴，， 故答案为：，． 证明：∵，， ∴ ∴ ∴； （3）解：当时，∵， ∵， ∴，，，，…… ∴，，，（舍去）， 当时， 同理可得，，， 故答案为：，，． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$