第1章 集合 能力提升专项练习-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

1.1　集合的概念与表示 一、集合中元素特性的应用 1.已知a∈R,b∈R,集合A=,B={a2,a+b,0},若A=B,则a2 024+b2 024=(　　) A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2 二、元素与集合的关系 2.(多选题)已知集合M={x|x=m2-n2,m,n∈Z},则(　　) A.26∈M B.32∈M C.当a=4k-1,k∈Z时,a∈M D.若p,q∈M,则pq∈M 三、集合的综合问题 3.已知m∈R,集合A={x|m<x<3m-1}中的元素恰有2个整数,则实数m的取值范围为　　　　.  1.2　子集、全集、补集 一、子集、真子集 1.已知集合M满足{1,2}⫋M⫋{1,2,3,4,5},则所有满足条件的集合M的个数是　　(　　) A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8 2.已知集合U={x∈N*|x≤7},A⊆U,且同时满足:①若x∈A,则2x∉A;②若x∈∁UA,则2x∉∁UA.则集合A的个数为(　　) A.8　　　　B.16　　　　C.20　　　　D.24 3.已知集合M={x∈Z|a≤x≤2a-1},若集合M有15个真子集,则实数a的取值范围为(　　) A.{a|4≤a<6} B. C. D. 二、集合关系中的参数问题 4.(多选题)已知非空集合A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,x∈A},C={z|z=x2,x∈A},且C⊆B,则实数a的值可能为(　　) A.　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4 5.已知A={x|-1<x≤3},B={x|m≤x<3m+1}.若B⊆∁RA,则实数m的取值范围为　　　　.  1.3　交集、并集 一、集合的综合运算 1.(多选题)已知全集U={x|x<10,x∈N},A⊆U,B⊆U,A∩(∁UB)={1,9},(∁UA)∩(∁UB)={4,6,7},A∩B={3},则下列说法正确的是(　　) A.8∈B　　　　 B.A的子集的个数为8 C.{9}⊆A　　　　D.6∉∁U(A∪B) 2.已知集合A中有10个元素,B中有6个元素,全集U中有18个元素,A∩B≠⌀.设集合(∁UA)∩(∁UB)中有x(x∈N*)个元素,则x的取值范围是(　　) A.{x|3≤x≤8,x∈N*} B.{x|2≤x≤8,x∈N*} C.{x|8≤x≤12,x∈N*} D.{x|10≤x≤15,x∈N*} 3.(多选题)设U为全集,集合A,B,C满足A∪B=A∪C,则下列各式中不一定成立的是(　　) A.B⊆A B.C⊆A C.A∩(∁UB)=A∩(∁UC) D.(∁UA)∩B=(∁UA)∩C 4.某校高中部举行数学、物理、化学三科竞赛,参赛学生中至少参加一科竞赛的有:数学807人,物理738人,化学437人;至少参加其中两科的有:数学和物理593人,数学和化学371人,物理和化学267人;三科都参加的有213人.则该校参加竞赛的学生总人数为　　　　.  二、集合运算中的参数问题 5.已知集合A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+2x+b)=0},且A∩B=A,则集合B的子集个数为(　　) A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　D.32 6.已知全集U={x|x=3n,1≤n≤5且n∈N},A={x|x2-px+27=0,p∈N},B={x|x2-15x+q=0,q∈N},且A∪∁UB={3,9,12,15},则p+q=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1　集合的概念与表示 一、集合中元素特性的应用 1.已知a∈R,b∈R,集合A=,B={a2,a+b,0},若A=B,则a2 024+b2 024=(　　) A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2 解析：C　由题意得0∈A,a≠0,所以=0,所以b=0,此时集合A={a,0,1},B={a2,a,0},所以a2=1,所以a=1(舍去,不满足集合A,B中元素的互异性)或a=-1,所以a2 024+b2 024=(-1)2 024+02 024=1. 二、元素与集合的关系 2.(多选题)已知集合M={x|x=m2-n2,m,n∈Z},则(　　) A.26∈M B.32∈M C.当a=4k-1,k∈Z时,a∈M D.若p,q∈M,则pq∈M 解析：BCD　x=m2-n2=(m+n)(m-n).易知m+n,m-n同为奇数或同为偶数,所以x为奇数或4的整数倍,故A错误,B正确. 对于C,4k-1=(2k)2-(2k-1)2,所以当a=4k-1,k∈Z时,a∈M,故C正确. 对于D,因为p,q∈M,所以p,q为奇数或4的整数倍.当p,q中至少有一个为4的整数倍时,pq为4的整数倍,所以pq∈M;当p,q都为奇数时,令p=2k1+1,q=2k2+1,k1,k2∈Z,则pq=(2k1+1)(2k2+1)=2(2k1k2+k1+k2)+1,k1,k2∈Z,所以pq∈M,故D正确. 解题模板　　　集合{x∈A|P(x)}中的P(x)为集合A中元素x的共同特征,若a∈A,则a满足P(x);反过来,若a满足P(x),则a∈A. 三、集合的综合问题 3.已知m∈R,集合A={x|m<x<3m-1}中的元素恰有2个整数,则实数m的取值范围为　　　　.  解析：　 　因为集合A中的元素恰有2个整数,所以1<3m-1-m≤3,解得1<m≤2. 当1<m<2时,集合A中的2个整数为2,3,所以3<3m-1≤4,解得<m≤. 当m=2时,集合A={x|2<x<5},此时集合A中的2个整数为3,4,满足题意. 综上,实数m的取值范围为. 1.2　子集、全集、补集 一、子集、真子集 1.已知集合M满足{1,2}⫋M⫋{1,2,3,4,5},则所有满足条件的集合M的个数是　　(　　) A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8 解析：B　由题意知,M中必含有元素1,2,且含有元素3,4,5中的一个或两个,∴集合M的个数等价于集合{3,4,5}的非空真子集的个数,为23-2=6. 2.已知集合U={x∈N*|x≤7},A⊆U,且同时满足:①若x∈A,则2x∉A;②若x∈∁UA,则2x∉∁UA.则集合A的个数为(　　) A.8　　　　B.16　　　　C.20　　　　D.24 解析：B　易得集合U={1,2,3,4,5,6,7}. 由题意知,当2∈A时,1∉A,4∉A,当2∉A时,{1,4}⊆A,当3∈A时,6∉A,当3∉A时,6∈A,元素5与7没有限制,则满足条件的集合A可以为{2,3},{2,6},{2,3,5},{2,3,7},{2,6,5},{2,6,7},{2,3,5,7},{2,6,5,7},{1,4,3},{1,4,6},{1,4,3,5},{1,4,3,7},{1,4,6,5},{1,4,6,7},{1,4,3,5,7},{1,4,6,5,7},共16个. 3.已知集合M={x∈Z|a≤x≤2a-1},若集合M有15个真子集,则实数a的取值范围为(　　) A.{a|4≤a<6} B. C. D. 解析：D　因为集合M有15个真子集,所以集合M中有4个元素.由集合M可知,a<2a-1,解得a>1. (1)当1<a<4时,2a-1-a=a-1<3,此时集合M中不可能有4个元素. (2)当a=4时,集合M={4,5,6,7},满足题意. (3)当a>4时,2a-1-a=a-1>3. ①若3<a-1<4,则4<a<5,所以7<2a-1<9. 若2a-1是整数,则2a-1=8,得a=,此时集合M={5,6,7,8},满足题意. 若2a-1不是整数,需满足4<a<5且8<2a-1<9,解得<a<5. ②若a=5,则集合M={5,6,7,8,9},与题意不符. ③若a>5,则a-1>4,此时集合M只能为{6,7,8,9},所以2a-1<10,解得a<,所以5<a<. 综上,实数a的取值范围是｛a|≤a<5或5<a<或a=4｝. 二、集合关系中的参数问题 4.(多选题)已知非空集合A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,x∈A},C={z|z=x2,x∈A},且C⊆B,则实数a的值可能为(　　) A.　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4 解析：ABC　易得B={y|-1≤y≤2a+3}. 当-2≤a<0时,C={z|a2≤z≤4},由C⊆B得a2≥-1且2a+3≥4,解得a≥,与-2≤a<0矛盾,舍去. 当0≤a<2时,C={z|0≤z≤4},由C⊆B,得2a+3≥4,解得a≥,所以≤a<2. 当a≥2时,C={z|0≤z≤a2},由C⊆B得a2≤2a+3, 解得-1≤a≤3,所以2≤a≤3.综上,实数a的取值范围为≤a≤3. 结合选项知,实数a的值可能为,1,2. 5.已知A={x|-1<x≤3},B={x|m≤x<3m+1}.若B⊆∁RA,则实数m的取值范围为　　　　.  解析：m>3或m≤- 　因为A={x|-1<x≤3},所以∁RA={x|x≤-1或x>3}. 当B=⌀时,m≥3m+1,解得m≤-,符合题意; 当B≠⌀时,因为B⊆∁RA,所以或所以m>3. 综上,实数m的取值范围为m>3或m≤-. 1.3　交集、并集 一、集合的综合运算 1.(多选题)已知全集U={x|x<10,x∈N},A⊆U,B⊆U,A∩(∁UB)={1,9},(∁UA)∩(∁UB)={4,6,7},A∩B={3},则下列说法正确的是(　　) A.8∈B　　　　 B.A的子集的个数为8 C.{9}⊆A　　　　D.6∉∁U(A∪B) 解析：ABC　易得U={x|x<10,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. 因为A∩(∁UB)={1,9},所以1和9在集合A中,不在集合B中. 因为(∁UA)∩(∁UB)={4,6,7}=∁U(A∪B),所以4,6,7既不在集合A中,也不在集合B中. 因为A∩B={3},所以3既在集合A中又在集合B中. 所以在集合B中,不在集合A中的元素为0,2,5,8. 如图. 易得8∈B,9∈A⇒{9}⊆A,6∈∁U(A∪B),故A,C正确,D错误. 因为集合A中有3个元素,所以A的子集的个数为8,故B正确. 2.已知集合A中有10个元素,B中有6个元素,全集U中有18个元素,A∩B≠⌀.设集合(∁UA)∩(∁UB)中有x(x∈N*)个元素,则x的取值范围是(　　) A.{x|3≤x≤8,x∈N*} B.{x|2≤x≤8,x∈N*} C.{x|8≤x≤12,x∈N*} D.{x|10≤x≤15,x∈N*} 解析：A　因为集合A中有10个元素,B中有6个元素,A∩B≠⌀,所以A∩B中至少有1个元素,至多有6个元素, 所以A∪B中至多有15个元素,至少有10个元素, 因为集合(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)中有x个元素,所以18-15≤x≤18-10,且x∈N*,即3≤x≤8,x∈N*, 即x的取值范围是{x|3≤x≤8,x∈N*}. 3.(多选题)设U为全集,集合A,B,C满足A∪B=A∪C,则下列各式中不一定成立的是(　　) A.B⊆A B.C⊆A C.A∩(∁UB)=A∩(∁UC) D.(∁UA)∩B=(∁UA)∩C 解析：ABC　取U={1,2,3},A={1},B={2,3},C={1,2,3},满足A∪B=A∪C,但B,C不是A的子集,故A,B不一定成立. 由上述假设易得∁UB={1},∁UC=⌀,所以A∩(∁UB)={1},A∩(∁UC)=⌀,故C不一定成立. 对于D,若x∈(∁UA)∩B,则x∉A,x∈B,则x∈A∪B,又A∪B=A∪C,所以x∈C,所以x∈(∁UA)∩C,所以(∁UA)∩B⊆(∁UA)∩C.同理,若x∈(∁UA)∩C,则x∈(∁UA)∩B,所以(∁UA)∩C⊆(∁UA)∩B.所以(∁UA)∩B=(∁UA)∩C,故D一定成立. 4.(教材深研拓展)某校高中部举行数学、物理、化学三科竞赛,参赛学生中至少参加一科竞赛的有:数学807人,物理738人,化学437人;至少参加其中两科的有:数学和物理593人,数学和化学371人,物理和化学267人;三科都参加的有213人.则该校参加竞赛的学生总人数为　　　　.  解析：964 解法一:只参加物理和数学的人数为593-213=380,只参加数学和化学的人数为371-213=158, 只参加物理和化学的人数为267-213=54, 画出Venn图如图所示: 所以参加竞赛的学生总人数为56+91+12+380+158+54+213=964. 解法二:设集合A={x|x为参加数学竞赛的学生},集合B={x|x为参加物理竞赛的学生},集合C={x|x为参加化学竞赛的学生},则card(A)=807,card(B)=738,card(C)=437,card(A∩B)=593,card(B∩C)=267,card(A∩C)=371,card(A∩B∩C)=213,利用容斥原理得,该校参加竞赛的学生总人数为card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)=807+738+437-593-267-371+213=964. 二、集合运算中的参数问题 5.已知集合A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+2x+b)=0},且A∩B=A,则集合B的子集个数为(　　) A.4　　　　B.8　　　　C.16　　　　D.32 解析：C　因为A∩B=A, 所以A⊆B. 令x2+ax=0,得x=0或x=-a. 若-a=1,则2一定是方程x2+2x+b=0的根, 所以4+4+b=0,解得b=-8, 所以x2+2x-8=0,解得x=2或x=-4, 所以B={-4,0,1,2}, 所以集合B的子集个数为24=16. 若-a=2,则1一定是方程x2+2x+b=0的根, 所以1+2+b=0,解得b=-3, 所以x2+2x-3=0,解得x=1或x=-3, 所以B={-3,0,1,2}, 所以集合B的子集个数为24=16. 若-a≠1且-a≠2,则1,2必是方程x2+2x+b=0的根,无解,舍去. 综上,集合B的子集个数为24=16. 6.已知全集U={x|x=3n,1≤n≤5且n∈N},A={x|x2-px+27=0,p∈N},B={x|x2-15x+q=0,q∈N},且A∪∁UB={3,9,12,15},则p+q=　　　　.  解析：66 　易得U={3,6,9,12,15}. 因为A∪∁UB={3,9,12,15},所以6∈B, 所以62-15×6+q=0,解得q=54, 则B={x|x2-15x+54=0}={6,9}, 所以∁UB={3,12,15},所以9∈A, 所以92-9p+27=0,解得p=12, 则A={x|x2-12x+27=0}={3,9}. 经检验,符合题意, 所以p+q=12+54=66. 学科网（北京）股份有限公司 $