精品解析：广东省广州市培正中学2025-2026学年上学期九年级数学阶段性练习

2025学年第一学期初三级数学科阶段性练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根的情况是（ ）． A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 3. 用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣5）2＝4 B. （x+5）2＝4 C. （x﹣5）2＝121 D. （x+5）2＝121 4. 若关于一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 5. 社区医院十月份接种了新冠疫苗100份，十二月份接种了392份．设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. 100（1+x）2＝392 B. 392（1﹣x）2＝100 C. 100（1+2x）2＝392 D. 100（1+x2）＝392 6. 关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（　 　 ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线x=l C. 顶点坐标为（1，2） D. 当x＞1时，y随x的增大而减小 7. 抛物线y＝（x+2）2+1可由抛物线y＝x2平移得到，下列平移正确是（　　） A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 B. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 8. 设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 若，是方程的两个实数根，则的值为 A. 2015 B. C. 2016 D. 2019 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线：，下列说法：①；②（t为全体实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ③④ D. ①② 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若的其中一个根为2，则的值为__________． 12. 抛物线的顶点坐标是________． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 14. 已知、是方程的两个根，则________． 15. 已知点在二次函数（a为常数）的图像上．若，则m______n．（填“”、“ ”或“”）． 16. 飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行时间（单位：s）的函数解析式是，在飞机着陆滑行中，最后10s滑行的距离是___________m． 三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴相交于点A，y与x的部分对应值如表： x ﹣1 0 1 2 3 y 0 ■ ﹣4 ﹣3 0 （1）直接写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点A的坐标； （2）在给出的坐标系中画出该函数图象的草图． 19. 如图，抛物线 交x轴于A、B两点，交y轴于点C． （1）求点A、B、C坐标； （2）若直线经过B、C两点，直接写出不等式的解集． 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值． 21. 受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由40000元/平方米，下降到32400元/平方米． （1）求房价年平均下降率； （2）按照这个年平均下降率，预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？ 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+m与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于A，B两点，点A（1，4）为二次函数图象的顶点，点B在x轴上． （1）求二次函数的解析式； （2）根据图象，求二次函数的函数值大于0时，自变量x的取值范围． 23. 大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为2米，且点离地面的高度为3.75米． 请尝试数学建模解决以下问题： （1）在图1中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式； （2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，交于点．为不影响耕作，将点到地面的距离定为1.5米．求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度． 24. 已知点在正方形内，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接，． （1）如图1，若的延长线经过点D，，求的长； （2）如图2，点F是的延长线与的交点，连接． ①求证：； ②如图3，设，相交于点G，连接，，．若，判断形状，并说明理由． 25. 设二次函数（、是实数）. ⑴甲求得当时，；当时，，乙求得当时，.若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由； ⑵写出二次函数的对称轴，并求出该函数的最小值（用含、的代数式表示）； ⑶已知二次函数的图像经过，两点（m、n是实数），当时，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期初三级数学科阶段性练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C. ，最高次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； D. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2. 方程的根的情况是（ ）． A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先求出根的判别式Δ的值，再判断出其符号即可得到结论． 【详解】解：∵x2+8x+17=0， ∴Δ=82-4×1×17=-4＜0， ∴方程没有实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac的关系是解答此题的关键． 3. 用配方法解一元二次方程x2﹣10x+21＝0，下列变形正确的是（　　） A. （x﹣5）2＝4 B. （x+5）2＝4 C. （x﹣5）2＝121 D. （x+5）2＝121 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可求解． 【详解】解：x2﹣10x+21＝0， 移项得： ， 方程两边同时加上25，得： ， 即 ． 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握利用配方法，需要方程的两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键． 4. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义与解，解一元二次方程，将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，据此可得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为0，， ∴将代入，得：， 解得，． ∵方程是一元二次方程， ， ． ∴ 故选：C． 5. 社区医院十月份接种了新冠疫苗100份，十二月份接种了392份．设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. 100（1+x）2＝392 B. 392（1﹣x）2＝100 C. 100（1+2x）2＝392 D. 100（1+x2）＝392 【答案】A 【解析】 【分析】设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x，根据该社区医院十二月接种疫苗的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x， 根据题意得：100（1+x）2=392． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（　 　 ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线x=l C. 顶点坐标为（1，2） D. 当x＞1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】开口方向由a决定，看a是否大于0，由于抛物线为顶点式，可直接确定对称轴与顶点对照即可，由于抛物线开口向上，在对称轴左侧函数值随x的增大而减小，在对称轴右侧 y随x的增大而增大即可． 【详解】关于抛物线y=3（x－1）2＋2， a=3>0，抛物线开口向上，A正确， x=1是对称轴，B正确， 抛物线的顶点坐标是（1，2），C正确， 由于抛物线开口向上，x<1，函数值随x的增大而减小，x>1时，y随x的增大而增大，D不正确． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线的性质问题，由具体抛物线的顶点式抓住有用信息，会用二次项系数确定开口方向与大小，会求对称轴，会写顶点坐标，会利用对称轴把函数的增减性一分为二，还要结合a确定增减问题． 7. 抛物线y＝（x+2）2+1可由抛物线y＝x2平移得到，下列平移正确的是（　　） A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 B. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的规律“左加右减，上加下减”，将y＝x2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y＝（x+2）2+1，即可求得答案 【详解】解：根据题意将y＝x2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y＝（x+2）2+1， 故选C 【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键，理解题意弄清是谁平移到谁． 8. 设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小，由题意可得对称轴为轴，则关于轴的对称点为，根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线解析式为， 对称轴为轴 ∵关于对称轴轴对称点为， ∴是抛物线上点， 又∵， 当时，随的增大而减小， ，点，，是抛物线上的三点， ， 故选：D． 9. 若，是方程的两个实数根，则的值为 A. 2015 B. C. 2016 D. 2019 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的解得概念可得，由根与系数的关系可得，再代入即可得出结论． 【详解】是方程的两个实数根，，即，则． 故选C． 【点睛】本题考查了方程的解的概念及韦达定理，熟练掌握韦达定理是解题的关键． 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线：，下列说法：①；②（t为全体实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ③④ D. ①② 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识． ①分别判断a、b、c的符号，再判断的符号； ②当时，y有最大值，当时，，可得到关于t的不等式，整理后即可判断； ③由对称轴为直线，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断的符号； ④利用二次函数的性质得，解不等式即可． 【详解】解：①因图象开口向下，可知：； 又∵对称轴为直线， ∴，整理得：，即a、b同号， 由图象可知，当时，， 又∵对称轴为直线， ∴当时，； 即； ∴，故①错误； ②当时，y有最大值， 当时，， ∴， ∴，即， 故②错误； ③由①得：， 代入原解析式得：， 由图象可知，当时，， 即：， 整理得：，故③正确； ④由题意得，抛物线上的点到对称轴直线的距离越近，函数值越大， ∵和为图象上两点，且， ∴，即， 解得， 故④正确． 综上所述，正确的有③④． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若的其中一个根为2，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程的根代入方程即可求出m的值． 【详解】解：方程一个根为2， ∴， ∴， 故答案为：3． 12. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】(2, 1) 【解析】 【分析】利用配方法得出二次函数顶点式形式，即可得出二次函数顶点坐标． 【详解】 = ， 抛物线开口向上，当x= 2时，y最小= 1， 顶点坐标是：(2, 1)， 故答案为：(2, 1)． 【点睛】此题主要考查了配方法求二次函数顶点坐标，根据题意正确的将二次函数进行配方是解决问题的关键． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】且， 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有2个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 14. 已知、是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接进行解答即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 15. 已知点在二次函数（a为常数）的图像上．若，则m______n．（填“”、“ ”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可判定． 【详解】解：二次函数的解析式为， 该抛物线对称轴为， ． 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键． 16. 飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行时间（单位：s）的函数解析式是，在飞机着陆滑行中，最后10s滑行的距离是___________m． 【答案】150 【解析】 【分析】先利用二次函数的性质求出飞机滑行20s停止，此时滑行距离为600m，然后再将代入求得10s时滑行的距离，即可求出最后10s滑行的距离． 【详解】解；∵飞机着陆后滑行距离（单位：m）关于滑行时间（单位：s）的函数解析式是， ∴飞机着陆后滑行20s时停止，且滑行距离为， 当时，， ∴，即最后10s滑行的距离是150m， 故答案为：150． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练应用二次函数的性质解决问题． 三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； 【小问1详解】 解∶ ， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解∶， ， 或， ∴，． 18. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴相交于点A，y与x的部分对应值如表： x ﹣1 0 1 2 3 y 0 ■ ﹣4 ﹣3 0 （1）直接写出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及点A的坐标； （2）在给出的坐标系中画出该函数图象的草图． 【答案】（1）二次函数图象开口向上，对称轴为，顶点坐标为(1，-4)，点A的坐标为(0，-3)； （2）图象见解析． 【解析】 【分析】（1）根据表格可知因变量y的值随自变量x的值的增大而先减小在增大，即可知该二次函数图象开口向上；根据表格可知该二次函数图象与x轴的交点坐标，再根据二次函数的对称性即可求出其对称轴；根据二次函数的顶点在对称轴处，即可得出答案；根据二次函数的对称轴结合表格数据即可求出A点坐标． （2）在坐标系中描绘出各点，再用光滑的曲线顺次连接即可． 【小问1详解】 解：根据表格可知该二次函数自变量x的值逐渐增大的过程中，因变量y的值先减小后增大， ∴该二次函数图象开口向上； ∵该二次函数图象与x轴的交点坐标为 (-1，0)、(3，0)， ∴该二次函数的对称轴为； ∴该二次函数在时，有最小值，且根据表格可知当时，， ∴该二次函数的顶点坐标为(1，-4)； ∵该二次函数的对称轴为：直线， ∴当和时，y的值相等，且根据表格可知此时y=-3， ∴点A的坐标为(0，-3)． 【小问2详解】 该函数图象如图， 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，画二次函数图象．熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键． 19. 如图，抛物线 交x轴于A、B两点，交y轴于点C． （1）求点A、B、C坐标； （2）若直线经过B、C两点，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，根据交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键． （1）令，解一元二次方程，得出的坐标，令，得出点的坐标； （2）根据的横坐标，结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：令，则，即， 解得或， 点坐标为，点坐标为， 令，则， 点坐标为； 【小问2详解】 解：由图象可得，时，抛物线在直线上方， 的解集为． 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值． 【答案】（1）m≤ （2）-1 【解析】 【分析】（1）利用判别式得到Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=2m-4，（x1-3）（x2-3）=m2-1变形得到x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值． 【20题详解】 解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0， 解得m≤； 【21题详解】 根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4， ∵（x1-3）（x2-3）=m2-1， ∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1， ∴2m-4-3×1+9=m2-1， ∴m2-2m-3=0， 解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）． 故m的值是-1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1•x2=．也考查了根的判别式． 21. 受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由40000元/平方米，下降到32400元/平方米． （1）求房价年平均下降率； （2）按照这个年平均下降率，预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？ 【答案】（1）10% （2） 【解析】 【分析】（1）设年平均下降率为，可得今年的房价＝去年的房价×（1-x），去年的房价＝前年的房价×（1-x），由此列方程求解即可． （2）由（1）得年平均下降率为10%，根据题意计算即可． 【小问1详解】 设年平均下降率为，根据题意，得. 解得，（不合题意，舍去）， 答：年平均下降率10%； 【小问2详解】 （元）， 答：按照这个平均下降率，预计下一年房价每平方米元． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：若变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b． 22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+m与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于A，B两点，点A（1，4）为二次函数图象的顶点，点B在x轴上． （1）求二次函数的解析式； （2）根据图象，求二次函数的函数值大于0时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）把点A代入一次函数解析式，求出一次函数解析式和点B的坐标，然后设出二次函数顶点式，把点B代入即可求出二次函数解析式； （2）由图像可知，x轴上面部分的二次函数值都大于0，根据二次函数与x轴的交点特征求得二次函数与x轴的交点即可得出答案． 【详解】解：（1）∵点A（1，4）在一次函数y＝﹣2x+m上， ∴把点A（1，4）代入y＝﹣2x+m， 得，4＝﹣2×1+m， 解得：m＝6， ∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+6， 令y＝0时，则﹣2x+6＝0，解得：x＝3， ∴点B的坐标为：（3，0）， ∵点A（1，4）为二次函数图象的顶点，点B在x轴上， ∴设二次函数解析式为：， 把点B（3，0）代入， 解得：a＝﹣1， ∴二次函数的解析式为：； （2）由（1）求得二次函数解析式为， 令y＝0，即， 解得：，， 由图像可知x轴上面部分的二次函数值都大于0，且二次函数与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0）， ∴自变量x的取值范围：． 【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质，根据顶点坐标设出二次函数顶点式是求出二次函数的关键． 23. 大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为2米，且点离地面的高度为3.75米． 请尝试数学建模解决以下问题： （1）在图1中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式； （2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，交于点．为不影响耕作，将点到地面的距离定为1.5米．求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度． 【答案】（1） （2）做这一个支架所需铝合金材料的最大长度为米． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数关系式及勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）设与之间的函数关系式，将点代入，用待定系数法求解即可； （2）先求得，再求出，然后求得直线的函数关系式为，设，则，可得出，最后由二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， 设与之间函数关系式，将点代入， 得，解得． 水流所在抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：点到地面的距离定为1.5米， 将代入得： ， 解得：， ， ， 设直线的函数关系式为，将点，代入得， ，解得：， 直线的函数关系式为， 设， ， ， ， ， 当时，有最大值，为1， 做这一个支架所需铝合金材料的最大长度为米． 24. 已知点在正方形内，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接，． （1）如图1，若的延长线经过点D，，求的长； （2）如图2，点F是的延长线与的交点，连接． ①求证：； ②如图3，设，相交于点G，连接，，．若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）详见解析；为等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得出，，证明，得出，结合正方形的性质可判断是等腰直角三角形，求出，然后根据勾股定理求出，即可求解； （2）①由正方形的性质和线段的垂直平分线的性质得出，根据等边对等角以及三角形内角和定理可求出，即可求解； ②（方法一）作交于点M，交于点N．根据三线合一的性质得出M为的中点．可证，根据平行线分线段成比例判断出N是的中点，根据三角形中位线定理得出．根据证明，得出，则E为的中点．结合，根据三角形中位线定理和平行线的性质得出．同理可证，得出，即可得出结论； （方法二）设，则．根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理求出，由（1）中，得出，则．根据等边对等角得出．根据三角形内角和定理求出，由角的和差关系求出，，根据证明，得出，．结合①中求出，则，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，的延长线经过点D， ∴，，， 由垂直平分线的性质知，，， 又， ∴， ∴． 又， ∴等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①证明：由题意知，， ∴，． ∴ ， ∴． ②解：是等腰直角三角形． 理由如下： （方法一）作交于点M，交于点N． ∵， ∴M为的中点． 又， ∴， ∴， ∴N是的中点， ∴是的中位线，． ∵，，且， ∴， ∴， 即E为的中点． 又， ∴， ∴． 同理可证， ∴． ∴是等腰直角三角形． （方法二）设，则． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴， 又，， ∴． ∴，． 由①知， ∴． 又， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 25. 设二次函数（、是实数）. ⑴甲求得当时，；当时，，乙求得当时，.若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由； ⑵写出二次函数的对称轴，并求出该函数的最小值（用含、的代数式表示）； ⑶已知二次函数的图像经过，两点（m、n是实数），当时，求证：. 【答案】（1）乙求得的结果不正确，理由见解析；（2）对称轴为，；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）将当时，；当时，的数据代入二次函数，列方程得到二次函数解析式，再代入乙得数据，即可得出答案； （2）根据二次函数轴对称公式，判断函数最低点，即可解答； （3）由题意得到，，则得到的等式，由，并结合函数的图象，得到. 【详解】（1）乙求得的结果不正确，理由如下： 根据题意，知图象经过点（0，0），（1，0）， 所以， 当时，， 所以乙求得的结果不正确. （2）函数图象的对称轴为， 当时，函数有最小值M， （3）因为， 所以，， 所以 因为，并结合函数的图象， 所以， 所以， 因，所以 【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的相关概念和计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $