精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区集宁亿利东方学校三校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

亿利东方学校2025～2026学年第一学期学科素养综合评价 九年级数学试卷 分值：100分 时间：90分钟 一、选择题（本题包括8个小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题意，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念求解．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，轴对称图形：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、把图形绕着某个点旋转后，能与原来的图形重合，是中心对称图形，沿任意一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，不是轴对称图形； B、绕着中心旋转后能与自身重合，是中心对称图形；多条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，也是轴对称图形； C、绕着中心旋转后能与自身重合，是中心对称图形；沿多条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，也是轴对称图形； D、绕着中心旋转后能与自身重合，是中心对称图形；沿多条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，也是轴对称图形； 综上，是中心对称图形但不是轴对称图形的是选项A． 故选：A． 2. 下列函数中，属于二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】A. ，是一次函数，不是二次函数； B. ，是一次函数，不是二次函数； C. ，是二次函数； D.，不是二次函数； 故选：C． 3. 用配方法解方程时，配方后得到的方程是：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 【详解】解：， 将常数项移到方程右边，； 两边同时加得： 配方得： 故选：D 4. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 5. .对抛物线图象性质描述错误的是（ ）． A. 开口向下 B. 时，y随x的增大而减小 C. 有最大值 D. 对称轴是直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握这些知识是关键；根据二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：∵二次项系数，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴抛物线的开口向下，有最大值，当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， ∴选项A、C、D都正确，选项B错误， 故选：B． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和（a是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误，不符合题意； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，和x轴的负半轴相交，故选项错误，不符合题意； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，和x轴的负半轴相交，故选项正确，符合题意； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 7. 已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，开口方向，再判断点关于对称轴的对称点，最后根据抛物线的性质得出答案． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为. 由点关于对称轴的对称点是， 在对称轴的左侧，y随x得增大而减小， ∵（时，y最小）， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像和性质，掌握对称轴左右的性质是解题的关键． 8. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝1，现有下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④a＋b＞n（an＋b）n≠1）；⑤2c＜3b．正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】由函数图象可得，，即可判断①；根据对称轴即可判断②；当时，从函数图象即可判断③；考虑当，时的函数值，结合图象即可判定④；当时，从函数图象可得函数值小于0，将代入化简即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 对称轴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①错误； 当时，代入解析式可得： ， 从函数图象可得：， 即，故③错误； 当时，， 当时，，且， 根据图象可得：当时，y取到最大值， ∴， 即，故④正确； 当时，从函数图象可得函数值小于0，， ∵，即，代入 可得， ， ，即，故⑤正确； 综合可得：②④⑤正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了抛物线图象和二次函数系数之间的关系，熟练掌握二次函数基本性质并结合图象是解题关键． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题3分，共12分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程．） 9. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． 根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即可求解． 【详解】解：依题意可得： ， ， 故答案为：4． 10. 设方程的两个根为，，那么的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值；由一元二次方程根与系数的关系得，然后整体代入即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 等腰三角形一边长是3，另两边长是关于x的方程的两个根，则k的值为_______． 【答案】3或4． 【解析】 【分析】分等腰三角形的腰长为3和底边为3两种情形求解即可． 【详解】当等腰三角形的腰长为3时，则另一边长为3， ∵另两边长是关于x的方程的两个根， ∴x=3是方程的根， ∴， ∴k=3, ∴， ∴x=3或x=1， ∴等腰三角形的三边为3,3,1，存在， 当等腰三角形的底边为3时，则两腰为方程的根， ∵另两边长是关于x的方程的两个根， ∴， ∴k=4, ∴， ∴， ∴等腰三角形的三边为2,2，3，存在， 综上所述，k=3或k=4， 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与等腰三角形的边长之间的关系，灵活运用分类思想，根的定义，根的判别式是解题的关键． 12. 如图，在平行四边形中，，，点E为射线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为边向下作等边，连接，在上取一点式的，证明，推出，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，利用勾股定理求解即可求解． 【详解】解：如图，以为边向下作等边，连接，在上取一点使得， ∵，， ∴ ∴ ∴ 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵四边形时平行四边形 ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得 ∴ 即的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（本题包括6个小题，共64分．解答题应写出文字说明，计算过程或演算步骤．） 13. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选取解一元二次方程的方法是关键； （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴； 【小问2详解】 解：， 即， 则或， 解得：． 14. 如图所示，将置于平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于原点对称的，并写出的顶点坐标． （2）求的面积． 【答案】（1） 解：由题意可得： ，，； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键． （1）根据关于原点对称的坐标特点找出对应点的坐标画出图形即可； （2）利用长方形的面积减去三个三角形的面积即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 15. 关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且（1+x1）（1+x2）＝3，求k的值． 【答案】（1）；（2）k的值为3． 【解析】 【分析】（1）根据“一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根”，得到△＞0，根据判别式公式，得到关于k的不等式，解之即可， （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x1+x2和x1x2关于k的等式，代入（1+x1）（1+x2）＝3，得到关于k的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案． 【详解】（1）∵一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝（2k+1）2﹣4k2＞0， 解得：k， 即k的取值范围为：k>-； （2）方程的两个实数根分别为x1，x2， （1+x1）（1+x2） ＝1+（x1+x2）+x1x2 ＝3， x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k2， 则1﹣（2k+1）+k2＝3， 整理得：k2﹣2k﹣3＝0， 解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去）， 即k的值为3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握根的判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系公式． 16. 如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． （1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 【答案】（1）； （2）要围成面积的花圃，的长是． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，找准等量关系，正确列出二次函数的关系式是解题的关键． （1）设花圃的宽为，面积为，则的长为，然后根据长方形的面积公式，即可求解； （2）根据题意，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设花圃的宽为，面积为，则的长为， ∴， ∵， ∴． ∴S与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 即， 解得：，， ∵， ∴． 答：要围成面积的花圃，的长是． 17. 抖音直播带货的兴起，越来越多的商家都开启了抖音直播带货的模式．某商家在直播间销售某种商品，每件售价为90元，每周可卖200件．为了促销，商家决定降价销售，据市场大数据显示：销售单价每降价1元，每周可多卖20件，商品成本单价为70元．设商品销售单价为x（元），每周的销售量为y（件）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，每周销售该商品获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为85元时，每周销售该商品获利最大，最大利润是4500元． 【解析】 【分析】本题主要考查了列一次函数解析式、二次函数的性质等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键． （1）设商品销售单价为x（元），则降价为，每周销售量为，然后化简即可解答； （2）先根据题意写出利润w和单价x之间的函数关系式，然后利用二次函数的性质，即可求得利润的最大值即可解答． 【小问1详解】 解：设商品销售单价为x（元），则降价为，每周销售量， ∴y与x之间的函数关系式是． 【小问2详解】 解：设每周销售利润为w元， 由题意可得：， ∴当时，w取得最大值，此时． 答：当销售单价定为85元时，每周销售该商品获利最大，最大利润是4500元． 18. 如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点D在直线上方时，作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标； （3）点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3），，， 【解析】 【分析】（1）将B，C两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可求出直线的解析式，由可证明，作于H，则，设点D的横坐标为t，分别表达和，建立方程即可得出结论； （3）若四边形为正方形，则是等腰直角三角形，且，根据题意画出对应图形，利用全等三角形建立方程，即可得出结论． 【小问1详解】 经过点，点 解得 抛物线的函数解析式为： 【小问2详解】 轴， 轴， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得其解析式得， ， 解得，， ∴直线的解析式为 作于H，如图，则 设点D的横坐标为t， 则，， ， 解得（舍）， 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的对称轴为， 若四边形为正方形，则是等腰直角三角形，且， 设点D的横坐标为n，则， 如图2，过点D作于点M，设直线l与x轴交于点N， 则，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，点D与点A重合，如图3，，则或，则； 当时，则； 如图4，过点D作于点M，设直线l与x轴交于点N， 同理可证，， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，点D与点A重合，同上； 当时，，则； 综上，点Q的坐标为：或或或 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法，等腰三角形的性质与判定，正方形的性质与判定等相关知识，解题关键是利用转化思想对已知信息进行转化，将转化为，将正方形的存在性转化为等腰直角三角形的存在性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 亿利东方学校2025～2026学年第一学期学科素养综合评价 九年级数学试卷 分值：100分 时间：90分钟 一、选择题（本题包括8个小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题意，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，属于二次函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，配方后得到的方程是：（ ） A. B. C. D. 4. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. .对抛物线图象性质描述错误的是（ ）． A. 开口向下 B. 时，y随x的增大而减小 C. 有最大值 D. 对称轴是直线 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和（a是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝1，现有下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④a＋b＞n（an＋b）n≠1）；⑤2c＜3b．正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④⑤ 二、填空题（本题包括4个小题，每小题3分，共12分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程．） 9. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，______． 10. 设方程的两个根为，，那么的值等于______． 11. 等腰三角形一边长是3，另两边长是关于x的方程的两个根，则k的值为_______． 12. 如图，在平行四边形中，，，点E为射线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本题包括6个小题，共64分．解答题应写出文字说明，计算过程或演算步骤．） 13. 解方程 （1）； （2）． 14. 如图所示，将置于平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于原点对称的，并写出的顶点坐标． （2）求的面积． 15. 关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且（1+x1）（1+x2）＝3，求k的值． 16. 如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． （1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 17. 抖音直播带货的兴起，越来越多的商家都开启了抖音直播带货的模式．某商家在直播间销售某种商品，每件售价为90元，每周可卖200件．为了促销，商家决定降价销售，据市场大数据显示：销售单价每降价1元，每周可多卖20件，商品成本单价为70元．设商品销售单价为x（元），每周的销售量为y（件）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，每周销售该商品获利最大，最大利润是多少元？ 18. 如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点D在直线上方时，作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标； （3）点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $