精品解析：辽宁省丹东市宽甸县第一初级中学2025-2026学年八年级上学期第一次质量监测数学试卷

2025-2026学年度上学期 第一次学业质量监测 八年级数学试卷 （时间：110分钟 满分：120分） 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，11 2. 如果电影票上的“3排1号”记作，那么表示（ ） A. 3排5号 B. 5排3号 C. 4排3号 D. 3排4号 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点与点关于x轴对称，则的值为（ ） A. 7 B. C. 1 D. 5. 估算的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 6. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ） A. B. C. 1 D. 7. 若，且点在第二象限，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为，之间的距离为，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点D，E分别在边上，且，平分，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 11. 点在第________象限． 12. 已知点A坐标，在点A左侧有一点，若，则______ 13. 比较大小：________．（用、或连接） 14. 的立方根与的算术平方根的和是_____． 15. 如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为______． 三、解答题（9小题，共75分） 16. 计算题 （1） （2） （3） （4） 17. 已知正数m的两个平方根分别是和，的立方根是． （1）求a和正数m及b的值； （2）求的算术平方根． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并直接写出点的坐标； （2）求的面积； （3）若点与点关于轴对称，，求出点的坐标． 19. 如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 20. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 21. 某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． （1）求长方形绿地的周长； （2）除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 22. 如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． （1）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． （2）如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 23. 我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： （1）化简：________； （2）比较大小：________；（用“>”、“=”或“<”填空） （3）设有理数满足：，则________； （4）已知，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期 第一次学业质量监测 八年级数学试卷 （时间：110分钟 满分：120分） 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，11 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项计算可得. 【详解】选项A，12+12=（）2； 选项B，22+32≠42； 选项C，42+52≠62； 选项D，62+82≠112； 根据勾股定理的逆定理，只有选项A符合条件， 故答案选A． 考点：勾股定理的逆定理． 2. 如果电影票上的“3排1号”记作，那么表示（ ） A. 3排5号 B. 5排3号 C. 4排3号 D. 3排4号 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了有序数对的实际应用，根据“3排1号”记作求解即可． 【详解】解：“3排1号”记作， 表示4排3号． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，二次根式的减法运算，二次根式的性质，据此相关性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 已知点与点关于x轴对称，则的值为（ ） A. 7 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由关于x轴对称的点的坐标特点得出m−1＝2， n＋1＝－3，求出m、n的值后代入即可得出结果． 【详解】解：∵点A（m−1，3）与点B（2，n＋1）关于x轴对称， ∴m−1＝2，则m＝3 n＋1＝－3，则n＝−4 ∴m＋n＝3＋（−4）＝−1． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称对与坐标变化，解答此题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中两个关于坐标轴对称的点的坐标特点． 5. 估算的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，先化简表达式，再利用夹逼法估算其数值范围． 【详解】解：， ，，， ， ， 即的值应在4和5之间， 故选A． 6. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与数轴的综合应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数． 【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为． ∴， 又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点， ∴点表示的数． 故选：． 7. 若，且点在第二象限，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，平方根，点的坐标， 熟记坐标系中各象限点的坐标符号特征是解题的关键；根据绝对值和平方根的定义分别求出a，b值，再根据第二象限点的坐标特征求解即可． 【详解】解：， ， 点在第二象限， ， ， 故选：B． 8. 若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 9. 如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为，之间的距离为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，作于，作于，可证，得到，再利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作于，作于， 则，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，在中，，，，点D，E分别在边上，且，平分，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，熟知相关性质是正确解决本题的关键． 由中，，，可求出的长，由及平分，可证明，再利用相似三角形的性质和判定即可求出的长． 【详解】解：中，，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，即， ， 故答案为：C． 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 11. 点在第________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】∵， ∴， ∴点在第四象限． 故答案为：四． 12. 已知点A坐标，在点A左侧有一点，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等是解题的关键，根据点A和点B的纵坐标相等，得到轴，再根据A、B两点间的距离求出点B的横坐标，即可得解． 【详解】解：点A坐标，在点A左侧有一点， 轴， ， ， 故答案为：． 13. 比较大小：________．（用、或连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式 的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键．将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，即可得到答案． 【详解】解：，，且， ，即， 故答案为：． 14. 的立方根与的算术平方根的和是_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根，熟练掌握立方根、算术平方根的概念是解决本题的关键．根据算术平方根、立方根的概念解决此题． 【详解】解：因为，所以的立方根是． ， 所以的算术平方根是 3 ， 所以． 故答案为：0． 15. 如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为______． 【答案】20米## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， 底面周长约为6米，柱身高约16米， ， ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故答案为：20米． 三、解答题（9小题，共75分） 16. 计算题 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）0 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算及分母有理化的知识． （1）先化简二次根式，分母有理化，再进行合并即可； （2）先根据二次根式的乘除法法则和完全平方公式进行计算，再进行合并即可； （3）先化简二次根式，分母有理化，再进行合并即可； （4）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再进行加减计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 已知正数m的两个平方根分别是和，的立方根是． （1）求a和正数m及b的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根和立方根： （1）正数有两个互为相反数的平方根，可得，可求得a的值，由的立方根为可求得b的值； （2）由（1）知a和b的值，得的值，进而得的算术平方根． 【小问1详解】 解：∵正数m的两个不同平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）有， ∴， ∴的算术平方根为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并直接写出点的坐标； （2）求的面积； （3）若点与点关于轴对称，，求出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， 点的坐标为 （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，依次连接即可； （2）把三角形的面积看成矩形面积减去三个三角形面积即可； （3）根据题意可知的纵坐标到轴的距离为，即可列出关于的方程，解方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：点与点关于轴对称，， ， 或， 点的坐标为或． 19. 如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 【答案】 （1）△ABC是直角三角形， 理由如下： ∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）甲方案所修的水渠较短 【解析】 【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形； （2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果． 【详解】解：（1）略 （2）甲方案所修的水渠较短； 理由如下： ∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC， ∴CH＝（m）， ∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m）， ∴AC+BC＜CH+AH+BH， ∴甲方案所修的水渠较短． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键． 20. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； 【小问1详解】 解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 21. 某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． （1）求长方形绿地的周长； （2）除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 【答案】（1） （2）2240元 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意，长方形绿地的周长为： ， 答：长方形绿地的周长为； 【小问2详解】 解： ， ， 答：铺地砖需要花费2240元． 22. 如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． （1）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． （2）如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵折叠， ∴，在中，∵，， ∴ ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： 即 23. 我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： （1）化简：________； （2）比较大小：________；（用“>”、“=”或“<”填空） （3）设有理数满足：，则________； （4）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （2）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （3）先利用有理化因式的定义进行化简，根据化简结果列一元二次方程组求解即可； （4）设，，根据有理化因式的定义计算出的值，根据的值得出的值，即是结果． 【小问1详解】 解：的有理化因式是， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， ， 而， ∴， ∵和都是大于0的数， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【小问4详解】 解：设，， 则， ∵， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $