精品解析：河南省郑州市枫杨外国语、朗悦慧外国语等五校联考2025-2026学年上学期九年级第一次月考数学试题

2025－2026学年上期九年级数学随堂练习与课后作业题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列关于的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一元二次方程有三个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、整理得，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、是一元二次方程，原选项中没有给出二次项系数不为0，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 下列各组线段中，成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】解：A、由于，所以不成比例，不符合题意； B、由于，所以不成比例，不符合题意； C、由于，所以不成比例，不符合题意； D、由于，所以成比例，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 3. 在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（ ） A. 2 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据用频率估计概率可知: 摸到白球的概率为0.25,根据概率公式即可求出小球的总数,从而求出红球的个数. 【详解】解:小球的总数约为:6÷0.25=24(个) 则红球的个数为:24－6=18(个) 故选C. 【点睛】此题考查的是用频率估计概率和根据概率求小球的总数,掌握概率公式是解决此题的关键. 4. 下列说法不正确的是 （ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 有一个角为直角的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查矩形、菱形、正方形的判定及性质定理．学生需熟记课本中的基本定义．熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理是解答此题的关键． 根据菱形、正方形、平行四边形及矩形判定方法，对选项一一分析，即可解答． 【详解】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以 A 选项正确，不符合题意； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项正确，不符合题意； 有一个角为直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），所以C选项不正确，符合题意； 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以D选项正确，不符合题意． 故选： C． 5. 已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A. 6 B. 12 C. 6或 D. 12或 【答案】C 【解析】 【分析】先用因式分解法解一元二次方程，再由三角形的形状分别求出三角形的面积． 【详解】解：∵x2−8x＋15＝0， ∴（x−5）（x−3）＝0， ∴x1＝3，x2＝5． 当x1＝3时，与另两边组成等腰三角形，可求得底边4上的高AD＝， 所以该三角形的面积是：4×÷2=2 当x2＝5时，与另两边组成直角三角形， 即3，4，5符合直角三角形， ∴该三角形的面积＝3×4÷2＝6． 综上所述，该三角形的面积是2或6． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，综合性比较强，结合等腰三角形的面积和直角三角形的判定得出答案是解决问题的关键． 6. 我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法.以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图（1），大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则图（2）是下列哪个方程的几何解法？（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案． 【详解】解：中间小正方形的边长为，其面积为9， 大正方形面积为，边长为7， ∴图2是，即的几何解法， 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键． 7. 如图，一个中号唢呐的长约为，点是唢呐上的一个黄金分割点（），则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点．根据黄金分割点得，进而可得出． 【详解】解：∵点P为靠近点B的黄金分割点， ∴，即， ∴， 故选：A． 8. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件得到AD′=AD=4，AO=AB=2，根据勾股定理得到OD′= ，于是得到结论． 【详解】∵AD′=AD=4， AO=AB=2， ∴OD′=， ∵C′D′=4，C′D′∥AB， ∴C′（4，2）， 故选C． 【点睛】考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 9. 如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为，面积为．则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质得，然后利用三角形面积公式，由，得到，再整理即求解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为菱形，菱形的周长为， ， ， ， ． 10. 如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点、；第二步，过、两点作直线分别交、于点、；第三步，连接、．若，，，则的长是（ ） A. 6 B. 5.5 C. 6.5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知得出是线段的垂直平分线，推出，，求出，得出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可． 【详解】解：∵根据作法可知：是线段的垂直平分线， ， ， 平分， ， ， ，， ∴四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，判定四边形是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为： 12. 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为24，则这个多边形的最短边的长度为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质．该多边形的最短边长为．利用相似多边形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：该多边形的最短边长为． 由相似多边形的性质可知：， ， 故答案为：8． 13. 若关于x 的方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式即可得． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， 方程根的判别式，且， 解得且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 14. 如图，菱形中，，垂足为点，分别与、及的延长线交于点、、，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质与判定． 连接，如图，利用菱形的性质得，，，再证明，接着判断四边形为平行四边形得到，设，，，所以，然后证明得到，最后利用比例的性质得到的值． 【详解】解：连接，如图， 四边形为菱形， ，，， ， ， ∵， 四边形为平行四边形， ， 由，可设，，则， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即的值为． 故答案为：． 15. 如图，中，，，，将折叠，使点落在射线上的点处，折痕为，其中点在边上，点在边上，当______时，与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的性质及判定，勾股定理的应用，正确画出示意图，利用相似三角形性质进行分类讨论是解决本题的关键．根据题意分两种情况讨论：当时，以及当时，画出相应的示意图，利用相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，如图， 则， 设， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 即时，与相似； 当时，如图， 则，， ∵折叠， ∴， ∴， 解得， ∴， 在中，， ， ∵折叠， ∴设，则， 在中，， 即， 解得， 即时，与相似； 综上，当或时，与相似． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用公式法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ 或； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ 则或， 解得或． 17. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独：．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为___________，并补全条形统计图：（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1） 解：本次调查总人数为（人）， 选择D类的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）估计该校参加魔方游戏的学生人数为人 （3）恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人； 【小问3详解】 解：画树状图如下图： 由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】（1） 证明：， 该方程总有两个实数根； （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）先解方程得出，，再分两种情况：当时，当时，分别列出方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 解得：，， 方程的一个根是另一个根的3倍， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 19. 如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B． （1）求证：AC•CD=CP•BP； （2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长． 【答案】 （1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵∠APD=∠B， ∴∠APD=∠B=∠C． ∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC， ∴∠BAP=∠DPC， ∴△ABP∽△PCD， ∴， ∴AB•CD=CP•BP． ∵AB=AC， ∴AC•CD=CP•BP （2）. 【解析】 【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP； （2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长． 【详解】解：（1）略 （2）∵PD∥AB， ∴∠APD=∠BAP． ∵∠APD=∠C， ∴∠BAP=∠C． ∵∠B=∠B， ∴△BAP∽△BCA， ∴． ∵AB=10，BC=12， ∴， ∴BP=． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键． 20. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据，得到，即可得证； （2）勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活应用，是解题的关键． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守一盔一带的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意得：，即可求解； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元个，则，即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， ， ， 解得：，（舍， 该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：该品牌头盔的实际售价应定为元个， 则， ， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元个． 22. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以， 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为__________； （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 如图，中，，，，点、分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，值为多少？ 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： ∵，， ， ， ， ． （3）当时，的面积最大，且最大面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法求最值、非负数的性质等知识点，根据阅读材料、理解配方法是解答本题的关键． （1）根据阅读材料提供的方法解答即可； （2）先列出甲乙两块菜地的面积的代数式，然后作差比较即可； （3）先用t表示出，然后表示出的面积，然后用配方法求得面积的最大值即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， 当时，，因此有最小值，最小值为， ∴ A的最小值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得：，， ， ， 当时，的面积最大，且最大面积为． 23. 综合与实践． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接，．若，则当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）由证明，可得结论； （2）通过证明，可得； （3）求出，设则，分三种情况解答，由相似三角形的判定和性质和勾股定理即可求出答案． 【详解】解：（1）与的数量关系是，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 根据直径所对的圆周角是，可得点，点，点，点在以为直径的圆上， ∴点，点，点，点四点共圆，且， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①当在线段上时，由（2）知， ∵， ∴在含的中，， ∵为斜边的中点， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得或， 当时，，不符合题设，舍去， ∴此时； ②如图，当在延长线上时， 由（2）可证：， ∴ ∵， ∴， 同（3）①可证：， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， 当时，，不符合题设，舍去； ∴此时； ③如图，当点在延长线上时， 同（2）可证，， ∴， ∵， ∴， 同（3）①可证：， ∴当是直角三角形时，只能是，此时 ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得或，均不符合题设，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上期九年级数学随堂练习与课后作业题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列关于的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，成比例的是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（ ） A. 2 B. 12 C. 18 D. 24 4. 下列说法不正确的是 （ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 有一个角为直角的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 5. 已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A. 6 B. 12 C. 6或 D. 12或 6. 我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法.以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图（1），大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则图（2）是下列哪个方程的几何解法？（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个中号唢呐的长约为，点是唢呐上的一个黄金分割点（），则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为，面积为．则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 10. 如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点、；第二步，过、两点作直线分别交、于点、；第三步，连接、．若，，，则的长是（ ） A. 6 B. 5.5 C. 6.5 D. 7 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知，则的值为________． 12. 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边的长度为24，则这个多边形的最短边的长度为_______． 13. 若关于x 的方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_______． 14. 如图，菱形中，，垂足为点，分别与、及的延长线交于点、、，且，则的值为______． 15. 如图，中，，，，将折叠，使点落在射线上的点处，折痕为，其中点在边上，点在边上，当______时，与相似． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 17. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独：．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为___________，并补全条形统计图：（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 19. 如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B． （1）求证：AC•CD=CP•BP； （2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长． 20. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守一盔一带的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 22. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以， 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为__________； （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 如图，中，，，，点、分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，值为多少？ 23. 综合与实践． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接，．若，则当是直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $