河南省新乡市河南师范大学附属中学2025-2026学年高三实验班上学期10月月考数学试题

河师大附中实验班2025-2026学年10月月考 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知集合A={xlx2-4<0},B={c1<x+1<4},则 A.A∩B=(2,3) B.A∩B=(0,3) C.AUB=(-0,3)D.AUB=(-2,3) 2.已知复数满足(1-i)z=a-i(其中i是虚数单位)，且复数z的实部和虚部互为相反数，则实数a的 值为 A.0 B.1 C.-1 D.2 3.已知a6=0,d=2l6=2,则|a-= A.2 B.√5 C.2√2 D.3 4.已知双曲线C的顶点为A1,A2,虚轴的一个端点为B,若△AA,B为直角三角形，则C的离心率为 A.√2 B.√3 C.2 D.√5 5.已知实数a,b满足3=4，则下列不等式可能成立的是 A.b<a<0 B.2b<a<0 C.0<a<b D.0<2b<a 6.已知等差数列{an}的公差d>0,a1=1,a号-a3=9,则d= A.4 B.3 C.2 D.1 7在2+2如+护的展开式中，的系数是 A.11 B.15 C.20 D.25 8.数学中的玫瑰线是一种具有周期性的曲线，常见的玫瑰线有三叶玫瑰线、四叶玫瑰线和六叶玫瑰 线，已知一个四叶玫瑰线的方程为x+=4y,其图象如图所示.若将 满足x∈Z,y∈Z的点(c,y)称为整点，则满足x+≤4xy的整点有 A.9个 B.17个 C.25个 D.33个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.已知在正四面体A一BCD中，M,N分别是AB,CD的中点，平面《与直线AB,CD都平行，则 A.MN∥ B.MN⊥ C.直线AC与平面α所成角为60° D.平面ABC与平面a的夹角的余弦值为5 10.己知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-=f(xf(y),f1)=1,则 A.f(0)=2 B.f(x)关于(3,0)中心对称 C.f(x)是周期函数 D.f(x)的解析式可能为f(c)=2cos交x 11.已知三次函数f(x)=ac(x-b)2,则 A.函数f(x)一定有两个极值点 B.当a<0<b时，fa)>fa+b) C.当ab>0时，f(x)的极小值为0 D.3a,b∈R,f(x)在区间[a,b]上的值域为[a,b] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知抛物线y=子2上的点P到其焦点的距离为4，则点P的纵坐标为 13.已知圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，且球的表面积是圆柱的表面积的2倍，则球的体积与 圆柱的体积的比值是 14.在△ABC中，若A、B是锐角，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=4,3sinA+4sinB =c,则△ABC的面积是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若C-吾，a-by=2ab, (1)求证：a+b=√2c (2)若角A是锐角，求角A的大小. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD,PA =4.点E在侧棱PC上（端点除外），平面ABE交PD于点F. (1)求证：四边形ABEF为直角梯形； (2)若PF=3FD,求直线PC与平面ABEF所成角的正弦值. AL 17(5分)已如销厨号1号-1a60的上点A右焦点点线号青)满起防-2证 (1)证明点B在椭圆上： 2)若直线y=kc+是与曲线C有两个不同的交点P,Q,O是坐标原点，求△OPQ的面积的最大 值. 1s.(17分)已知函数f@)=(ar-a+1e,gfa)=a2+x-a,其中a∈R 1)当a=0时，求函数F()=f)-(c-1P在R上的零点个数： (2)对任意的x≥1，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围. 19.(17分)甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式，当 球在甲手中时，若骰子点数大于3，侧甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留，当球在乙手中时， 若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙，当球在丙手中时，若骰子点数 大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中，设投掷n次后 (n∈N*),球在乙手中的概率为Pn (1)求P和： (2)求数列{P}的通项： B)设，=二-8mm2,数列b.}的前n项和为3，若公-上S,证明：<星 11河南师大附中高三10月月考 数学详解 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请 把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知集合A={xx2-4<0},B={x1<x+1<4},则 A.A∩B=(2,3)B.A∩B=(0,3)C.AUB=(-∞，3)D.AUB=(-2,3) D.【解析】A={xx2-4<0}=(-2,2),B={x1<x+1<4}=(0,3),所以A∩B=(0,2), AUB=(-2,3),故选D. 2.已知复数满足(1-)：=a-i(其中i是虚数单位)，且复数二的实部和虚部互为相反数，则实数a的值为 A.0B.1C.-1D.2 A【解析1由Q-0:=a-1,得三=a--a+a1,因为复数：的实部和虚部互为相反数，所以a+1+0,1 一十 1-i2 2 20, 2+ 解得a=0,故选A 3.已知ab=0,同=2=2，则a-b=() A.2 B.5 C.2W2 D.3 B【详解】(a-b)=a-2a.i+b=4+1=5,故a-=5.故选：B. 4.己知双曲线C的顶点为A,A,虚轴的一个端点为B,若△AA,B为直角三角形，则C的离心率为() A.√2 B.5 C.2 D.5 A【详解】不纺设双由线方程为若芳=1a>0,0>0,不纺取4（-a0.么a0,B0小. 因为△AA,B为直角三角形，且BA=BA,则△AA,B为等腰直角三角形， 所以∠AB4-子，所以∠084=牙则o=D1,所以a=b, ,b2 双曲线c的离心率e=c=,l+b =√2.故选：A aa 5.已知实数，b满足3=4，则下列不等式可能成立的是() A.b<a<0 B.2b<a<0 C.0<a<b D.0<2b<a B【详解】设函数f(x)=3,8(x)=4,h(x)=2, 试卷第1页，共11页 作出函数图象如下，设3=4=t, y=t /=f y=g(x)- 对A,当0<t<1时，直线y=t与函数f(x)=3,8(x)=4的 图象交点的横坐标 y=t 为a,b, ab O ba 由函数图象可知，a<b<0,A错误： y=t 对C,当t>1时，直线y=t与函数f(x)=3,g(x)=4“的图 y=f(x) 象交点的横坐标 为a,b,由函数图象可知，0<b<a,C错误： y=h(x) y=t 因为3°=4°，所以3°=22b,设3°=226=t, 2b aO a 2b 作出函数f(x)=3,h(x)=2的图象如下， 对B,当0<t<1时，直线y=t与函数f(x)=3,h(x)=2的图象交点的横坐标为a,2b,由函数图象可知， 2b<a<0,B正确： 对D,当t>1时，直线y=t与函数f(x)=3,h(x)=2的图象交点的横坐标为a,2b,由函数图象可知，0<a<2b, D错误；故选B. 6.己知等差数列{an}的公差d>0,4=1,c-4=9,则d=() A.4 B.3 C.2 D.1 B【详解】由等差数列通项公式a.=a+-1)d可得：a2=4+d,已知a=1,所以a2=1+d;4=a+2d=1+2d. 将a=1+d,4=1+2d代入4-4=9可得：1+d)2-Q+2d)=9, 则1+2d+d-1-2d=9,化简可得：d2=9,解得d=3或d=-3.因为已知公差d>0,所以舍去d=-3,得到d=3. 故选：B 7.在(+2)x+ 的展开式中，x3的系数是() A.11 B.15 C.20 D.25 C【详解】(c+)展开式的通项公式为：IH=Cx =Cx5-x=C5x2r(r=01,2,3,4,5). 情况一：x2与(x+)展开式中x的项相乘令5-2=1，解得r=2. 将2代入到CG中，可利c心310，所以：与展开式中：的项相乘行到：的系数为1x010 情况二：2与(x+)展开式中x的项相乘令5-2r=3,解得r=1. 将？-1代入到C中，可得C-月-5，所以2与+展开式中的项相乘得到的系数为2x5=10, 试卷第2页，共11页 将两种情况得到的x的系数相加，可得10+10=20，即(x2+2(+的展开式中x的系数是20.故选：C 8.数学中的玫瑰线是一种具有周期性的曲线，常见的玫瑰线有三叶玫瑰线、四叶玫瑰线 22 和六叶玫瑰线.已知一个四叶玫瑰线的方程为x2+y'=4xy,其图象如图所示若将满足 xe乙，少eZ的点c,)称为整点，则满足x+y≤4xv的整点有（) A.9个 B.17个 C.25个 D.33个 c【详解】由x2+y≤4，得(x2+≤64xy,则(0.0)满足x2+y≤4v, 22 因为x2y2≤ ，所以-16，+s16 则第一象限内满足x2+y2≤16的整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)， 22 其中满足x2+y2≤4xy的有(1,1).(2)，(2,1)，(2,2).(2,3)，(3,2)共6个， 22 所以满足x2+y2≤4x5y的整点有6×4+1=25个故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.已知在正四面体A-BCD中，MN分别是AB,CD的中点，平面a与直线AB,CD都平行，则() A.MN∥a B.MN⊥a C.直线AC与平面a所成角为60°D.平面ABC与平面a的夹角的余弦值为 3 BD【详解】如图，把正四面体放入正方体中，易知平面a与平面ABE平行， 因为M,N分别是AB,CD的中点，所以C=MD,所以MN⊥CD,同理可得MN LAB, 又因为CD/ME,所以MW⊥ME,又因为ME交AB于M,所以MW⊥平面ABE, 所以MN⊥a,故A错误，B正确； 直线AC与平面所成的角为∠CAB=45°，故C错误： 平面ABC与平面的夹角为∠CMB,设正方体的边长为2，由正方体的性质可得 ME=√2，CM=V6, 由余弦定理可得0∠C.(5+6广-45，枚D正稀 B 2×√2x√6 3 故选：BD 10.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)fy),f(1)=1,则() A.f(0)=2 B.f(x)关于(3,0)中心对称 试卷第3页，共11页 C.f(x)是周期函数 D.f(y的解析式可能为f)-2co子 ACD【详解】由f(x+)+f(x-y)=f(x)f(),且函数f(x)的定义域为R, 对于选项A:令x=1,y=0,可得fI)+)=f1)f(0),且f(1)=1,可得f(0)=2,故A正确： 对于选项C:令x=0,则fy)+f(-y)=f(0)f)=2f(y),则fy)=f(y),即fx)=f(-x),可知f(x)为偶 函数，令y=1,则f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(I)=f(x), 可知f(x+2)+f(x)=f(x+1),f(x+3)+f(x+1)=f(x+2),可得f(x+3)+f(x)=0,则f(x+6+f(x+3)=0,所 以f(x+6)=f(x),可知f(x)周期为6，故C正确： 对于选项B:因为由于f(x)为偶函数且周期为6，则f(I)=f(-1)=∫(5)=1，不满足f(1)+f(5)=0,所以f(x) 不关于(3,0)中心对称，故B错误： 对于选项D:因为fN)=2cosx的定义域为R, 且x+pw+-0-2ao5r+v42ca5-明2o〔2cor学-fs/0, 即f(x)=2cosx符合腮意，所以f(x)的解析式可能为f(x)=2cosx,故D正确： 故选：ACD 11.已知三次函数f(x)=ax(x-b)2,则() A.函数f(x)一定有两个极值点B.当a<0<b时，f(d>f(a+b) C.当ab>0时，f(x)的极小值为0D.3a,b∈R,f(x)在区间[a,]上的值域为[a,b] BCD【详解】对于A,当b=O,a=1时，f(x)=x,该函数在R上为增函数，无极值点，故A错误： B,f(a)-f(a+b)=a'(a-b)-a(a+b)=a'b(b-3a), 而a<0<b,故ab>0,(b-3a)>0,故ab(b-3a)>0,所以f(a>f(a+b),故B正确： 对于c.f)-ax-b+2ax(x-b)-3a(x-)-号） 若a>0,则0，比时当x<号政b时，了)>0，当智<6时，了)<0，故国在x=0处取极小值0=0： 若a<0,则b<0,此时当t<b或x>时，了)0，当6<x<名时，了(>0，放/()在x=b处取极小值f)=0: 故C正确； 对于D,当a<0,b>0时，则当x<号或x>b时，f)0,当号<b时，)>0， 上为增函数， 试卷第4页，共11页 考方程x-32-32-0在(0)上是否有解 设：6=-3232,则0=-320 (列-93+32-39320：由专点存在定理可得问在(0上存在零点，设该零点为，则 f(a=b>0,则f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],故D成立， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12,己知抛物线y=子上的点P到其焦点的距离为4，则点P的纵坐标为 1 3.【详解】抛物线y=x2的标准方程为x2=4y,则抛物线的焦点坐标为F(0,1),准线方程为y=-1,设抛物线上 一点P(x,y,),则由抛物线的定义可得PF=y。+1=4,解得y。=3,所以点P的纵坐标为3 13.已知圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，且球的表面积是圆柱的表面积的2倍，则球的体积与圆柱的体积的 比值是 5【详解】设球的半径为R,圆柱底面的半径为，圆柱的母线长为1，则球的表面积为S=4机R,圆柱的表面 3 积为212，所以登-20-2，得+1①. 又圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，所 +2=R②， 由①②解得1=4，R=√5r,所以球的体积为V= 4R_20W5o 3 20W57m3 圆柱的体积为2=π21=4扣3，所以 -3 5.故答案为：5V5 V43 3 3 14.在△ABC中，若A、B是锐角，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=4,3sinA+4sinB=c,则△4BC 的面积是 6.【解析】3sin4+4sinB=c,a=3,b=4,得asin A+bsinB=c,根据正弦定理a sinA sin B sinC asinA+bsinB=c可化为in2A+sinB=inC, 试卷第5页，共11页 在△4BC中，根据A+B+C=π，得C=π-(A+B),所以，simC=sin(A+B)，于是原式可化为 sin2A+sin2B=sin Acos B+cos Asin B 即sinA(simA-cosB)=sinB(cosA-sinB).记为等式(*)， 若4+8~分又4小、B是锐角，则号480，所以m4,血气-coB 2 cosA<co(5-B)=sinB,即sn4-cosB>0,cosA-sinB<0.又sin4>0,sinB>0,因此等式(*)不 成立 若A+B分又4、B足角，则0A号-月：行所以mAm写)=coB, 2 2 coA>co8(号)=nB,即sm4-csB<0,cosA-nB>0.又m40,6nB,0,因北等式()不 成立 若4+8=了则4合8,4=mr兮列=co8,coA=60号的=m8, 因此等式(*)成立此时Cx-(A+B)所以A4BC的面积是abO 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) △BC中，角A,B,C的对边分别是ab,c,若C=,a-b2 (1)求证：a+b=√2c: (2)若角A是锐角，求角A的大小 解析：(1)解法一：根据C=元，以及余弦定理，得c2=ad2+b2-2 bcos=a2+b2-b, 3 3 2分 (a-b)2=2ab,得a2+b2=4ab,所以c2=3ab,…4分 a+4-。+6+2b_6b-2,所以a+b-=5,a+h=Vc6分 3ab C (2)由正弦定理a三b一c 1n6nC,得na+6 C sin A+sin B sinC' sinA+sin B=a+bs bsinc-atbsinBatb -sin 32c2 ，8分 山C=号以及4+B+C-不，得8号数-A,m4+m写-山-5如450 2 3 试卷第6页，共11页 2 8in4+ 1 2 2，sn(A+)=V2 62 11分 4+2=石，或A+匹-3弧， 64 64,A=2,或Aπ 12 ,根据角A是锐角，可得A= 12 13分 16.（15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD,PA=4.点E在侧棱PC上（端点 除外)，平面ABE交PD于点F. (1)求证：四边形ABEF为直角梯形： (2)若PF=3FD,求直线PC与平面ABEF所成角的正弦值. 【详解】(I)证明：因为AB/CD,CDC平面PCD,ABI平面PCD,则AB/1平面PCD. 因为ABC平面ABEF,平面ABEF平面PCD=EF,则AB/IEF. 又EF<CD=AB,所以四边形ABEF为梯形....3分 因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,则AB⊥PA, 又AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,所以AB⊥平面PAD 又AFC平面PAD,则AB⊥AF,所以四边形ABEF为直角梯形.....6分 (2)解法一：以A为原点，向量AB,AD,AP的方向分别为x轴，y轴，二轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0),D0,4,0),P(0,0,4), AB=(4,0,0),AP=(0,0,4),PD=(0,4,-4),PC=(4,4,-4)....7分 因为PF=3FD,则4F=AP+PF=AP+PD=(0,0,4)+(0,3,-3)=(0,31)....8分 mAB=0,「4x=0, 设m=(x,y,)为平面ABEF的法向量，则 即 m:AF=0,3y+z=0,.10分 取y=1,则==-3，所以m=(0,1,-3).…11分 ZA 因为cosm,PC=mPC 4+122W30 mpc43x1015’…13分 所以直线PC与平面AB8F所成角的正弦值为2√3@ .....15分 15 解法二：因为AB⊥平面PAD,ABC平面ABEF,则平面ABEF⊥平面PAD. 平面ABEF平面PAD=AF,作PM⊥AF,垂足为M, PMc平面PAD,则PM⊥平面ABEF. 试卷第7页，共11页 连接EM,则∠PEM为直线PC与平面ABEF所成的角....11分 在Rt△PAD中，因为PA=AD=4,则PD=4N2.因为PF=3FD,则PF=3N2 在△APF中，因为∠APF=45, 由余弦定理，得AF2=42+(3√2)2-2×4×3W2cos45=10,则AF=√10 由；xAFxPM=)×PA×PFsin45,得MOPM=4x3V2×5,则 2 2 PM=12 10…….13分 因为EF//AB //CD,AB⊥PD,所以CD⊥PD, PE-3EC-PC-PD+CD-3. 4 4 在Rt△PME中，sin∠PBM=PM-12_2W3o PEV10x35-151 所以直线PC与平面ABB所成角的正弦值为2√30 15 .15分 17.(15分) 已知椭版二+卡=1a>6>0的上顶点4，右焦点P,点B写争满足3丽=2亚 d (1)证明点B在椭圆上： (2)若直线y=+与曲线C有两个不同的交点P,9,O是坐标原点，求△OP巴的面积的最大值 【解新】圆号茶-1a>办>0的上限点40)，右长点e0:店-争：FB-写-6号， 亚-6，摆0-20.同所8-21，=6e-5,超方在 x2.y2 +4 =1,4分 因为 3 5+ 号1，所以点以写-骨本精国上6分 499 (2陵K,0.0飞，，架y-代入号+号-1，得(-4+10x是-20-0，自 k 54 5 10 045-4320=86+4>0,有F6除+9>0.575E 52+4'8 4W5,52+4- 分PO=V1+x-x=V1+Vx,+x2)2-4x5,=1+k2 4 5k2+4 -,10分 试卷第8页，共11页 点0到直线y=+上的距离d= ,.11分 VR2+1 45,52+4- 5k2+4- oPQ的面积sPa= 5k2+4 -25kV √k2+1 5k2+4 EV (52+4-1 1 -=251 5k2+4 E-25 (5k2+4)2 Vk4(52+4)2 ，13分 令t=(5k2+4)k2,则 s-25F-25925255, 当-，即t=2,(5+4k:=2时，等号成立，此时满足△>0，因此△OPQ的面积的最大值为 t √5.15分 18.(17分) 已知函数f0-a-a1e&6的号+x a,其中aeR. 1)当a=0时，求函数F()=f)-与x-在R上的零点个数： (2)对任意的x≥1，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】(1)a=0时， F=f-6x-1=e1号e-2,F=e1-xtl,…2分 令G(x)=e1-x+1,则G(x)=e1-1,当x<1时，G(x)<0,当x>1时，G(x)>0,所以G(x)在-o,1 是减函数，在1，+o0是增函数，G(x)≥G1)=1,·...4分 所以F(x)>0,F(x)在(-o,+o)是单调增函数， 由于F0=君0,0=10，所以（在(0四）只有一个零点8分 G了)-g)=(a-a+Dexx+a,则对任意的x之1，h()20,注意 hi(w=ae1+(ar-a+10e1-ax-1=(cx+10e1-ax-1=(ax+1)(e1-1)..…10分 因为x≥1，所以e1-1≥0 当a≥0时，在x≥1时，x+1>0,h(x)>0,所以h(x)在1，+oo是增函数，当x≥1时，h(x)≥h(1)=0,符 试卷第9页，共11页 合题意 ..12分 当a≤-1时，在x>1时，ax+1<0,h(x)<0,所以h(x)在1，+o是减函数，当x>1时，h(x)<h(1)=0, 与h(x)≥0矛盾，不符合题意...13分 当-1<a<0时， 由①如，F)=ex-小在(+)是搭函数，且只有一个零点，设要点为，则eQ),当x>1 时，P>P0F)=0,即x1时，e-0,am-, (10分) -c-a+De--x+a-(@-aI)e-a(-D-+x+a 1 2 <(a-a+1e-ae1-(a+x+a=(a-2a+1e1-a+Dxta,当m-2a+l<0,即x>2-1>1时. a (ax-2a+l)e1<0,又当-1<a<0,x>1时，有-(a+1)x+a<0成立，所以x>2-L时，)<0，与hg)≥0 a 矛盾，不符合题意 故实数a的取值范围是0，+o0·...17分 19.(17分) 甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式，当球在甲手中时，若骰子点 数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留，当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给 甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙，当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大 于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.设投掷n次后(n∈N),球在乙手中的概率为. (1)求P2和： (2)求数列{}的通项： (设6811器A,数列私}的前项和为8，若-公51，正明：工< 9”11 11_1 详解1)当投掷2次骰子后，球在乙手中，英有1种情脱：甲→甲→乙，其概率为，，4放乃2 分 当投掷3次骰子后，球在乙手中，共有3种情况： @:甲→乙甲乙，关凝率为号立 @:甲→乙→丙→乙，其概率为2X号×2言 ,1211 ③：甲→甲→甲→乙，其概率为22×行8 111_1 试卷第10页，共11页