精品解析：江西省南昌市第二中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

南昌二中2025-2026学年度上学期高三数学月考（一） 命题人：游佳 审题人：游佳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数单调性得到，即可求解集合的交集. 【详解】集合，集合，所以， 故选:C. 2. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可. 【详解】因为角的终边过点，所以，所以. 故选：A 3. 已知，均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】∵，则，∴，同向， 但当时不满足，因此充分性不成立. ∵，∴， 即，即， 从而，同向，，由此可知必要性成立. 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：C. 4. 已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），满足（）•（2）＝0，则△ABC必定是（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】取边中点，把向量数量积为0转化为两直线垂直． 【详解】如图，取中点，连接， 则，， ∴，∴，即， ∴，∴是等腰三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查向量的数量积与垂直之间的关系，考查向量的线性运算．解题关键是取中点，由已知得出． 5. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解. 【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A； 对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C，，则， 当时，，与图象不符，排除C. 故选：D. 6. 已知双曲线的左、右焦点分别是为坐标原点，以为直径的圆与双曲线交于点，且在上的投影向量为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到点坐标关于的表示，再将其代入双曲线方程得到关于的齐次方程，从而得解. 【详解】不妨设点在第二象限，如图， 因为在上的投影向量为，则， 又，所以， 又在双曲线上，，则， 即，整理得， 所以，解得或（舍去），. 故选：D. 7. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理及三角恒等式化简即可得出结果. 【详解】在中，， 由正弦定理可得：， 所以 即 即 又因为，得： 在中，，， 所以. 故选：C 8. 设有复数，，令，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数三角形式的乘方运算，化简计算即可得到答案. 【详解】根据复数的三角形式，复数，模为，极角为， 则.又因为， 所以， 所以， ，所以. ， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. （多选）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合“巧值点”的定义，逐个求解是否有解即可. 【详解】对于A: ，令，得或，有“巧值点”，A满足； 对于B: ，令，得，有“巧值点”，B满足； 对于C: ，令，结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”，C满足； 对于D: ，令，得，与矛盾，没有“巧值点”，D不满足. 故答案为：ABC. 10. 已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 复数在复平面内对应的点为，若，则点的轨迹是一个椭圆 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数的四则运算与的乘方性质判断A，举反例排除B，利用复数的四则运算与模的运算判断C，利用复数的几何意义，结合两点距离公式判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，令，满足，但，故B错误； 对于C，设且不同时为， 则 ，故C正确； 对于D，设复数，则点， 由，得， 则点到点与点的距离和为， 故点的轨迹是线段，故D错误. 故选：AC. 11. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 若的最小正周期为，则 B. 若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则 C. 若在上恰有4个极值点，则的取值范围为 D. 存在，使得在上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式先化简函数式，再利用三角函数的图象与性质一一判定选项即可. 【详解】由， 对于A，若的最小正周期为，则，故A正确； 对于B，若的图象向左平移个单位长度后得，其图象关于纵轴对称， 则有，显然，故B正确； 对于C，， 根据题意有，故C正确； 对于D，， 显然，，即该区间为包含的连续区间， 根据正弦函数的单调性可知：该区间不可能单调递减，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若集合恰有两个元素，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】解二次不等式化简集合，再利用二次不等式解的形式与交集的结果即可得解. 【详解】因为， ， 又集合恰有两个元素， 所以恰有两个元素1和2，所以. 故答案为：. 13. 方程的实数解的个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，则方程的实数解个数等价于的实数根个数，借助导数求出函数的单调性，即可得出结果. 【详解】设， 因为 ，所以是偶函数， 当时， 因为，所以时，恒成立. 因此，在上单调递增. 因为； . 由单调性可知，在上有且仅有一个零点. 因为是偶函数，图像关于轴对称， 所以时也有一个零点. 因此共有个实数根. 综上，方程的实数解个数为. 故答案为： 14. 数列共有项，，，且，（，，，，则满足这种条件的不同数列的个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先确定数列中的个数，再利用组合知识，即可得到结论． 【详解】， 或， ， 设上式中有个，则有个， ，解得：， 这样的数列个数有. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是各项都为正数的等比数列，数列满足：，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若对任意的都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用题设条件求得，再利用等比数列的通项公式求得，进而求得； （2）将问题转化为恒成立，再利用作差法求得的最大值，从而得解. 【小问1详解】 因为，，， 所以，则， ，则， 因为是各项都为正数的等比数列，所以，即， 所以，则. 【小问2详解】 因为恒成立，所以恒成立， 设，则， 当时，，则； 当时，，则； 所以，则. 16. 在直角梯形中，，点为中点，沿将折起，使， （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值， 【答案】（1）在梯形中，， 所以， 又，所以，， 又平面，故平面， 平面， 又平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面几何的知识证得，再利用线面垂直的判定与性质定理即可得证； （2）根据题意建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量法即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，由于，则，， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 以分别为轴、轴建立如图空间直角坐标坐标系， 则， 设平面的法向量为， 又， ，令，则， 易知平面的一个法向量为， 设二面角为， 所以， 故二面角的余弦值为. 17. 记中角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）记的外接圆半径为，内切圆半径为r，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式整理得到结合角的范围即可求解； （2）根据正弦定理确定的外接圆半径为，根据等面积确定内切圆半径为，从而可得的不等式，进而可求其取值范围． 【小问1详解】 ， ，则， ， ，解得， ； 【小问2详解】 根据正弦定理得：， 设的内心为，易知， 由，则， 由余弦定理得：， 即，当且仅当时取等号， ， ， ， ． 18. 已知抛物线：，焦点为，过作两条关于直线对称的直线分别交于，两点． （1）判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． （2）若直线：与抛物线相交于，两点，且抛物线上存在点满足，求的取值范围． 【答案】（1）是定值， （2） 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理代入，整理计算可得答案； （2）利用坐标计算，直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理可得点坐标，代入抛物线方程结合判别式可得其横坐标的范围. 【小问1详解】 由题意不妨设直线的方程为，设， 联立，消去得，， 所以， 因为直线与关于直线对称， 所以，且， 所以，即， 即，将代入得 解得，所以直线的斜率为定值； 【小问2详解】 由已知， 因为，， 所以，所以， 直线的方程为，联立，消去得，， 所以，所以， 所以，即点的坐标为， 又点在抛物线上所以，得， 又，所以，解得， 所以点的横坐标， 所以的取值范围. 19. 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得． （1）运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得． （2）已知函数，若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围． （3）证明：当时，有． 【答案】（1）令，则， 令函数，则， 显然在上连续，且在上可导，由罗尔定理，存在，使得， 即，所以. （2）； （3）令函数，显然函数在上可导， 由（1），存在，使得， 又，则， 因此，而，则，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，构造函数，利用导数结合罗尔定理推导即得. （2）求出函数的导数，利用（1）的结论建立恒成立的不等式，再利用导数求出函数的值域即得. （3）构造函数，求出导数结合（1）的结论，借助不等式性质推理即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，， 不妨令，则恒成立， 由（1）得，于是，即， 因此，令， 求导得，函数在上单调递增，则， 而函数在上单调递增，其值域为， 则，所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，构造函数，转化、抽象为相应的函数问题作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2025-2026学年度上学期高三数学月考（一） 命题人：游佳 审题人：游佳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），满足（）•（2）＝0，则△ABC必定是（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 5. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的左、右焦点分别是为坐标原点，以为直径的圆与双曲线交于点，且在上的投影向量为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设有复数，，令，则复数（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. （多选）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 复数在复平面内对应的点为，若，则点的轨迹是一个椭圆 11. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 若的最小正周期为，则 B. 若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则 C. 若在上恰有4个极值点，则的取值范围为 D. 存在，使得在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若集合恰有两个元素，则实数的取值范围是________. 13. 方程的实数解的个数为__________． 14. 数列共有项，，，且，（，，，，则满足这种条件的不同数列的个数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是各项都为正数的等比数列，数列满足：，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若对任意的都有，求实数的取值范围. 16. 在直角梯形中，，点为中点，沿将折起，使， （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值， 17. 记中角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）记的外接圆半径为，内切圆半径为r，若，求的取值范围． 18. 已知抛物线：，焦点为，过作两条关于直线对称的直线分别交于，两点． （1）判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． （2）若直线：与抛物线相交于，两点，且抛物线上存在点满足，求的取值范围． 19. 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得． （1）运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得． （2）已知函数，若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围． （3）证明：当时，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $