精品解析：重庆市育才中学校2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

高2028届2025－2026学年（上）10月月考 数学试题 本试卷为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效； 3.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可直接写出答案. 【详解】的否定为 故答案为：A. 2. 已知函数，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，再代入即可求解. 【详解】因为函数， 所以可得， 则， 故选：B 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集补集运算即可求解. 【详解】由条件可得， 则， 故选：B 4. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合不等式性质举出反例可得A、B、D错误，借助不等式的同向可加性可得C. 【详解】对A：若，则，故A错误； 对B：若，则，故B错误； 对C：由，则有，，则，故C正确； 对D：若，则有，， 则，即，故D错误. 故选：C. 5. 若集合，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由时，得或，即可判断. 【详解】当时，，得， 当时，可得，或， 故“”是“”的充分且不必要条件， 故选：A 6. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合复合函数定义域相关知识可得答案. 【详解】因定义域为：，则的定义域满足：， 解得：，即定义域为：. 故选：D 7. 集合，则能使成立的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，解出分式不等式后，分及两种情况讨论即可得. 【详解】由，可得，解得，故， 由，则， 当时，，解得； 当时，，解得； 故能使成立的实数的取值范围是. 故选：C. 8. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦达定理求解，进而利用基本不等式即可求解. 【详解】由于的解集为，故是一元二次方程的两个实数根，故且，故， 则， 由于同号，当，均为正数，则，当且仅当时取等号，故， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数的解析式和定义域逐个判断即可. 【详解】对于A，由可得定义域为， 由可得的定义域为，故不是同一函数，错误； 对于B，，定义域都是，解析式一样，故是同一函数，正确， 对于C，由可得定义域为，的定义域为，故不是同一函数，错误； 对于D，，两个函数定义域都是，解析式一样，同一函数，正确， 故选：BD 10. 已知，则下列结论成立的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值为3 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由基本不等式判断ABC，利用二次函数知识判断D. 【详解】对A，，当且仅当时取等号，A正确； 对B，结合A，有，时取等号，B错； 对C，，当且仅当即时取等号，C正确； 对D，因为，所以， 所以，D正确. 故选：ACD. 11. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 对任意整数，有 C. 设函数，则的值域为 D. 的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合所给新定义逐项判断即可得. 【详解】对A：，故A错误； 对B：设，则，对任意整数，， 则，故B正确； 对C：由，且，则，即， 故的值域为，故C正确； 对D：由，则，则有， 即， 又，故，则，即，故， 即的解集为，故D正确. 故选：BCD. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】直接利用配凑法，求解函数的解析式即可． 【详解】解：函数，，故答案为 【点睛】本题考查函数的解析式的求法，配凑法的应用，考查计算能力． 13. 已知实数满足，则的最大值为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】由不等式的性质求解. 【详解】因为，所以， 所以，当时，， 故答案为：2 14. 已知命题，命题.若命题为真命题，则实数的取值范围是_____；若命题和有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空一：由题意可得小于等于的最小值，计算即可得；空二：分别计算出命题与命题为真时的的取值范围，再分真假与假真进行讨论即可得. 【详解】若命题为真命题，则，即； 若命题为真命题，则当时，， 当时，，解得， 又，故，综上可得； 由命题和有且仅有一个是真命题， 则当真假时，； 当假真时，； 故命题和有且仅有一个是真命题时，. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求实数的值； （2）集合，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由元素与集合的关系计算即可得； （2）结合交集定义可得、，即可解出、，从而可得集合、，再利用并集定义即可得解. 【小问1详解】 由，则，解得； 【小问2详解】 由，则，， 故，，解得，， 由，解得或，故， 由，解得或，故， 故. 16. 设集合，函数的定义域为集合. （1）求集合、. （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；或 （2） 【解析】 【分析】（1）解出一元二次不等式可得集合，借助定义域的定义解出绝对值不等式可得集合； （2）由题意可得，再利用集合间基本关系计算即可得. 【小问1详解】 ，解得或， 则或； 由可得，则或， 故或； 【小问2详解】 由题意可得，则有，解得， 故实数的取值范围为. 17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）利用利润销售收入－成本公式计算即可得； （2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 故； 【小问2详解】 当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元； 当时， 万元， 当且仅当时等号成立， 故当时，万元； 故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集是，求的值； （2）若，讨论不等式的解集； （3）若对于任意，恒成立，求参数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，该不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或； （3） 【解析】 【分析】（1）利用根与系数的关系即可求解， （2）利用含参一元二次不等式的解法分类讨论求解； （3）利用分离参变量，结合二次函数的单调性求解最值，即可得解. 【小问1详解】 由可得， 故是方程的两个实数根， 故且，解得，故， 【小问2详解】 若不等式，即， ①当时，不等式，解得，该不等式的解集为； ②当时，因式分解可得，不等式的解集为或； 当时，不等式可变为， 由于，故，此时不等式的解集为； 综上所述：当时，该不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或；. 【小问3详解】 对于，恒成立， 化简得在上恒成立， 设，该函数是开口向上的二次函数，对称轴， 所以在上单调递增，，所以， 则的取值范围为 19. 已知集合为至少含有两个元素的数集.对于集合中任意两个不同元素相加得到的和取绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，我们将其定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”.若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”同理.我们可以定义出“的1次自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：. （1）已知集合，集合，判断集合是否是完美自相加集合，集合是否是完美自相减集合，只需判断无需证明； （2）对（1）中的集合进行次自相加操作后，求：集合的次自相加集合的元素个数； （3）若且，集合，，求：的最小值. 【答案】（1）是完美自相加集合，不是完美自相减集合 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用自相加的概念与自相减的概念计算即可得； （2）连续的正整数组成的集合，在自相加后，形成的新集合中的元素必然是连续的正整数，且得到的新集合的元素的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，得到新集合的元素的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，所以只需要找到进行次自相加后集合的元素的最大值和最小值与的关系，即可得到集合的次自相加集合的计算元素个数； （3）由第二问的结论，可得，因为集合由连续自然数组成，所以其自相减集合中的最小数是，最大数是最大数与最小数的差，即，所以，然后利用集合计算公式计算参数范围即可. 【小问1详解】 是完美自相加集合，不是完美自相加集合，理由如下： 因为集合 ，所以， 由此可知集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和， 所以显然集合的最小两个元素为， 所以中的最小元素为， 同理，2次自相加后得到的集合中的最小元素是. 依照这样的规律，对集合进行任意次自相加操作后，最小值总在变大， 故不可能有相等集合，所以是完美自相加集合； 因为集合表示所以奇数构成的集合， 任何两个奇数之差的绝对值都是偶数， 所以，为所有偶数构成集合； 所以对，再进行一次自相减操作， 任意两个偶数之差的绝对值还是偶数， 故集合“的1次自相减集合”与“的2次自相减集合”都为， 故不是完美自相减集合； 【小问2详解】 由自相加性质可知，对于集合，进行一次自相加， 得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和， 得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素； 所以对集合进行1次自相加之后， 得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第2次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第3次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 故进行第次自相加，得到的集合最小两个元素为， 最大的两个元素为； 故集合的次自相加集合的元素个数为个； 【小问3详解】 因为且，集合， 所以，， 要使，须使，所以， 又因为，故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2028届2025－2026学年（上）10月月考 数学试题 本试卷为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效； 3.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 8 B. C. D. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若集合，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 集合，则能使成立的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列结论成立的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值为3 D. 的取值范围为 11. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（ ） A. B. 对任意整数，有 C. 设函数，则的值域为 D. 的解集为 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________ 13. 已知实数满足，则的最大值为_____. 14. 已知命题，命题.若命题为真命题，则实数的取值范围是_____；若命题和有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求实数的值； （2）集合，且，求. 16. 设集合，函数的定义域为集合. （1）求集合、. （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集是，求的值； （2）若，讨论不等式的解集； （3）若对于任意，恒成立，求参数的取值范围. 19. 已知集合为至少含有两个元素的数集.对于集合中任意两个不同元素相加得到的和取绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，我们将其定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”.若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”同理.我们可以定义出“的1次自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：. （1）已知集合，集合，判断集合是否是完美自相加集合，集合是否是完美自相减集合，只需判断无需证明； （2）对（1）中的集合进行次自相加操作后，求：集合的次自相加集合的元素个数； （3）若且，集合，，求：的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $