重难点23：破解圆锥曲线的向量：圆锥曲线中向量类问题讲义-2026届高三数学一轮复习

重难点23：破解圆锥曲线的向量：圆锥曲线中向量类问题 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 2 题型一、利用向量条件判断轨迹或求方程 2 题型二、利用向量垂直求定点问题 3 题型三、利用向量平行/共线求参数 4 题型四、向量数量积的最值问题 5 题型五、向量数量积的取值范围问题 6 题型六、向量与“中点弦”问题 7 题型七、向量与“焦点弦”问题 8 题型八、向量与“双共线/双参数”问题 10 题型九、向量与“三点共线”问题 11 题型精析・方法突破提能力 12 知识网络・核心根基深扎牢 知识点1：利用向量条件求轨迹或求方程 1.设轨迹上动点为P(x,y)，根据向量关系（如相等、中点、数量积）建立x,y的等式，化简后结合圆锥曲线定义判断轨迹类型（圆、椭圆、双曲线、抛物线）。 2.根据圆、椭圆、双曲线、抛物线等定义将所给条件化简再排版。 知识点：利用向量垂直求定点问题 如图所示圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）向量垂直过定点问题。 解题策略：设斜边所在的直线为，联立圆锥曲线利用韦达定理得出根与系数的关系，利用数量积为0，即可得出定点。 知识点：利用向量平行/共线求参数 核心思路：向量共线转化为 “坐标交叉积为 0” 或 “斜率相等”，结合圆锥曲线方程，通过韦达定理（设直线与曲线交点，联立方程）求解参数（如离心率e、直线斜率k）。 向量平行（共线）：对于两个非零向量，若存在一个实数与。 设向量（平面向量），或，（空间向量），则平行（共线）的判定可转化为坐标关系： 核心公式：。 推导：由，消去。 知识点：向量数量积的最值问题 设两个非零向量（即两向量起点重合时所成的角，范围，则它们的数量积定义为： 若已知向量的坐标，可直接通过坐标运算求数量积，无需考虑夹角，是最常用的计算方法。 设，则： 计算出数量积后利用基本不等式或函数单调性求最值。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、利用向量条件判断轨迹或求方程 典例探究 【例题1】已知向量，，，当与垂直时，点的轨迹为（   ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 举一反三 【1-1】已知为圆上的动点，且动点满足：，记点的轨迹为，则（   ） A．为一条直线 B．为椭圆 C．为与圆O相交的圆 D．为与圆O相切的圆 【1-2】已知，，若点满足，则P点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．一条射线 【1-3】在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，点满足，当点在上运动时，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型二、利用向量垂直求定点问题 典例探究 【例题2】已知抛物线，直线l交该抛物线于M，N两点（直线l不过原点），若，则直线l经过定点 ． 举一反三 【2-1】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆交于两点，满足，证明：直线过定点． 【2-2】已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l交椭圆C于M，N两点（均异于点A），且，则直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【2-3】已知椭圆（）的左顶点为A，左、右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆上任一点，且的面积的最大值为． (1)求C的方程； (2)若直线l与C有两个不同的交点M，N（均不与点A重合），且，判断直线l是否恒过一个定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由； 题型三、利用向量平行/共线求参数 典例探究 【例题3】椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（    ） A． B． C． D．2 举一反三 【3-1】已知，是椭圆的两个顶点，直线与直线相交于点，与椭圆相交于，两点，若，则斜率的值为（    ） A． B． C．或 D． 【3-2】椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 【3-3】已知椭圆过点，离心率为，过点的直线l与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，且，求实数的值． 题型四、向量数量积的最值问题 典例探究 【例题4】设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 举一反三 【4-1】已知为椭圆 的右焦点，为椭圆上两个动点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【4-2】已知为双曲线上的动点，，，直线：与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【4-3】已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上． (1)求双曲线标准方程； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值． 题型五、向量数量积的取值范围问题 典例探究 【例题5】已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 举一反三 【5-1】已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为上顶点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【5-2】已知椭圆，O为坐标原点，，AB是椭圆C的一条弦，若弦AB的中点在线段OE（不含端点O，E）上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【5-3】已知椭圆上右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点； (3)在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于、两点，求的取值范围. 题型六、向量与“中点弦”问题 典例探究 【例题6】设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程． 举一反三 【6-1】若直线与椭圆交于两点，且，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【6-2】过点的直线交椭圆：于两点，若，则直线的斜率为（  ） A． B． C． D． 【6-3】设动点是圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，若点在线段上，且满足. (1)求点的轨迹的方程； (2)过点的直线与交于，两点，求面积的最大值，并求出此时直线的方程. 题型七、向量与“焦点弦”问题 典例探究 【例题7】设为双曲线的右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 举一反三 【7-1】过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【7-2】已知抛物线C：的焦点为F，且C的准线与x轴的交点为M．若直线l与C交于D，E两点，且，，则的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【7-3】已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，长轴长为，若为正三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长； (3)过点的直线与椭圆相交于，两点，，直线的方程． 题型八、向量与“双共线/双参数”问题 典例探究 【例题8】已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为.    (1)求椭圆的方程； (2)设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点. （i）求证点在定直线上； （ii）设，求的最大值. 举一反三 【8-1】设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为．设，求的值． 【8-2】已知点，以线段为直径的圆内切于圆． (1)求点的轨迹的方程； (2)当过点的动直线与轨迹相交于两点（可以相同）时，，．求动点的轨迹长度． 【8-3】已知椭圆：，过点的直线：与椭圆交于、两点（点在点的上方），与轴交于点． (1)当时，求的长； (2)设，，求证：为定值，并求出该值； (3)点和点关于坐标原点对称，若的内切圆面积等于，求直线的方程． 题型九、向量与“三点共线”问题 典例探究 【例题9】已知椭圆：（）的右焦点为，且点到长轴两个端点的距离分别为和，为坐标原点. (1)求的方程. (2)过点且不与轴重合的直线与交于两点. （ⅰ）若的面积为，求的方程； （ⅱ）若线段的中点为，在点处分别作的切线，两切线相交于点，求证：，，三点共线. 举一反三 【9-1】已知椭圆的右焦点为，A为C上一点，的最小值为1. (1)求C的方程； (2)设点，斜率不为0的直线与C交于另一点B. （i）若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率； （ii）若D为C上一点，且点D与点A关于x轴对称，证明：三点共线. 【9-2】已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，过点作一直线交椭圆于、两点，且坐标原点关于点的对称点记为. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值； (3)设点为点关于轴的对称点，求证：、、三点共线. 【9-3】若椭圆上的两个不同的点满足0，则称为该椭圆的一组“相伴点对”，记作.已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若，证明椭圆上存在两个点满足“相伴点对”，并求点的坐标； (3)设（2）中的两个点分别是，若直线与直线的斜率之积为，直线与椭圆交于两点，点，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，证明：三点共线. 题型精析・方法突破提能力 1．在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 2．若为两个定点且，动点满足，则点的轨迹是 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=2，则点C的轨迹为（    ） A．椭圆 B．射线 C．圆 D．直线 4．在平面直角坐标系中，已知向量与关于轴对称，若向量满足，记的轨迹为，则（    ） A．是一条垂直于轴的直线 B．是两条平行直线 C．是一个半径为1的圆 D．是椭圆 5．在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．圆 6．已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．已知是双曲线右支上的两点，为坐标原点，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 10．已知点，若为双曲线的右焦点，是该双曲线上且在第一象限的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 14．如图，已知抛物线，圆，，为抛物线上的两点，，则直线被圆所截的弦长最小值为 ．    15．已知是抛物线的焦点，直线与抛物线交于不同的两点，且，过作于，则的最大值等于 ． 16．已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 . 17．已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于不同于的两点，. (1)求的方程； (2)若. （i）证明：l恒过定点； （ii）求面积的最大值. 18．已知抛物线上一点是抛物线上另两点，且． (1)求点的轨迹方程； (2)问：直线是否过定点？ 19．如图，在平面直角坐标系中，已知点（异于点）在抛物线上，且满足. (1)证明：直线过定点； (2)若，分别以为直径作与，过点的直线与分别交于点，求的最大值； (3)在（2）的条件下，设是抛物线上的三个点，直线均与相切，判断直线与的位置关系，并说明理由. 20．已知抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为 (1)求抛物线C的方程; (2)若不过原点O的直线m与抛物线C交于A，B两点，且，求证：直线m过定点. 21．已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为. (1)求的离心率. (2)若过点且斜率为1的直线与交于两点（在左支上，在右支上），且. ①求的方程； ②已知不经过点的直线与交于两点，直线的斜率存在且直线与的斜率之积为1，证明：直线过定点. 22．焦点在x轴上的等轴双曲线E，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点A、B (1)求双曲线E的方程； (2)若，求直线AB的斜率； (3)若点B关于原点的对称点C在第三象限，且，求直线AB斜率的取值范围． 23．已知椭圆C：的离心率为，C的左焦点到右顶点的距离为3． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与x轴交于点Q，与C交于A、B两点，且，求直线l的方程． 24．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 25．已知中心为坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，且椭圆M过点． (1)求椭圆M的方程； (2)若过点的直线l与椭圆M交于A，B两点，，求直线l的方程． 26．已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 27．已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 28．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线，分别交直线于E，F两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 29．已知椭圆与椭圆有共同的焦点，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，为坐标原点，求的最小值. 30．已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 31．已知椭圆C:，其右焦点为，左焦点为F1，A在椭圆上且满足. (1)求的大小； (2)若是该椭圆上的一个动点，求的取值范围. 32．已知，，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)当时，求的面积. (3)求的取值范围. 33．已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线l与双曲线的一支交于两点，求的取值范围． 34．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点（点在轴的上方），且为椭圆的左顶点，若的面积为，求的值. 35．已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于两点，且，求直线的方程. 36．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，若点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过点的直线（斜率存在且不为）与曲线相交于，两点. ①若的中点为，设直线和的斜率分别为，，求的值； ②满足，求直线方程. 37．在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求直线的方程. 38．已知双曲线，抛物线的焦点F是双曲线M的右顶点，且以F为圆心，以b为半径的圆与直线相切． (1)求双曲线M的标准方程； (2)已知直线与双曲线M交于A、B两点，且双曲线M是否存在上存在点P满足，若存在，求出m的值，若不存在请说明理由． 39．已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，点P与C的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)经过点的直线与双曲线C交于E，F两点(异于点P)，过点F作平行于x轴的直线，直线PE与交于点D，且求直线AB的斜率． 40．已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的短轴长为，离心率为. 点为椭圆上的一个动点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，设，. (1)求椭圆的方程； (2)证明：为定值； (3)已知，用表示的面积，并求出的最大值. 41．已知椭圆经过，两点.为坐标原点，且的面积为，过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.且直线，分别与轴交于点，. (1)求椭圆的方程； (2)若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程； (3)设，，求的取值范围. 42．已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)设，，证明：为定值． 43．已知双曲线：的左、右焦点分别为，点是上不与顶点重合的一动点，直线、分别交于另一点、. (1)设， ①当时，求直线斜率的取值范围； ②求证：； (2)为坐标原点，问：直线与直线的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由. 44．已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 45．已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点的坐标为，过点作直线交于，两点（异于，），当垂直于轴时，. (1)求的标准方程； (2)直线交直线于点，证明：，，三点共线. 46．已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 . (1)求双曲线 的方程; (2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线. 47．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）记的左、右顶点分别为，过的直线交的右支于两点，连结交直线于点，求证：三点共线． 48．已知双曲线的离心率为，经过坐标原点O的直线l与双曲线Q交于A，B两点，点位于第一象限，是双曲线Q右支上一点，，设 (1)求双曲线Q的标准方程； (2)求证：C，D，B三点共线； (3)若面积为，求直线l的方程． 49．在平面直角坐标系中，点在椭圆 上，过点的直线的方程为． (1)求椭圆的离心率； (2)设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线． 50．已知点N(1，2)，过点N的直线交双曲线于A，B两点，且． (1)求直线AB的方程； (2)若过点N的直线交双曲线于C，D两点，且，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点23：破解圆锥曲线的向量：圆锥曲线中向量类问题 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 2 题型一、利用向量条件判断轨迹或求方程 2 题型二、利用向量垂直求定点问题 4 题型三、利用向量平行/共线求参数 7 题型四、向量数量积的最值问题 14 题型五、向量数量积的取值范围问题 17 题型六、向量与“中点弦”问题 22 题型七、向量与“焦点弦”问题 26 题型八、向量与“双共线/双参数”问题 30 题型九、向量与“三点共线”问题 36 题型精析・方法突破提能力 43 知识网络・核心根基深扎牢 知识点1：利用向量条件求轨迹或求方程 1.设轨迹上动点为P(x,y)，根据向量关系（如相等、中点、数量积）建立x,y的等式，化简后结合圆锥曲线定义判断轨迹类型（圆、椭圆、双曲线、抛物线）。 2.根据圆、椭圆、双曲线、抛物线等定义将所给条件化简再排版。 知识点：利用向量垂直求定点问题 如图所示圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）向量垂直过定点问题。 解题策略：设斜边所在的直线为，联立圆锥曲线利用韦达定理得出根与系数的关系，利用数量积为0，即可得出定点。 知识点：利用向量平行/共线求参数 核心思路：向量共线转化为 “坐标交叉积为 0” 或 “斜率相等”，结合圆锥曲线方程，通过韦达定理（设直线与曲线交点，联立方程）求解参数（如离心率e、直线斜率k）。 向量平行（共线）：对于两个非零向量，若存在一个实数与。 设向量（平面向量），或，（空间向量），则平行（共线）的判定可转化为坐标关系： 核心公式：。 推导：由，消去。 知识点：向量数量积的最值问题 设两个非零向量（即两向量起点重合时所成的角，范围，则它们的数量积定义为： 若已知向量的坐标，可直接通过坐标运算求数量积，无需考虑夹角，是最常用的计算方法。 设，则： 计算出数量积后利用基本不等式或函数单调性求最值。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、利用向量条件判断轨迹或求方程 典例探究 【例题1】已知向量，，，当与垂直时，点的轨迹为（   ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】C 【分析】利用向量的坐标运算即可求出轨迹方程即可得到结果. 【详解】由题，，当与垂直时，， ∴， 化简得，点的轨迹为椭圆， 故选：C． 举一反三 【1-1】已知为圆上的动点，且动点满足：，记点的轨迹为，则（   ） A．为一条直线 B．为椭圆 C．为与圆O相交的圆 D．为与圆O相切的圆 【答案】D 【分析】设点坐标为，设，由，可得，代入圆方程，可得到点的轨迹的方程，即可判断轨迹是圆，圆为与圆O相切. 【详解】设点坐标为，设，由，可得， 则， 所以，即， 把代入圆， 则点的轨迹的方程为：， 即是圆心为，半径为1的圆，则， 由于两圆的圆心距和两圆的半径和相等，因此两圆外切，即为与圆O相切的圆. 故选：D. 【1-2】已知，，若点满足，则P点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．一条射线 【答案】D 【分析】利用得到点P在段的延长线上，从而得到答案. 【详解】已知，，点满足，且，即，可知点在线段的延长线上， 故P的轨迹方程为一条射线． 故选：D． 【1-3】在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，点满足，当点在上运动时，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点并利用向量关系得出，代入椭圆方程替换即可得点的轨迹方程. 【详解】根据题意可设点，则， 又点在椭圆上，所以， 易知，由可得， 因此，代入即可得， 整理可得点的轨迹方程为. 故选：A 题型二、利用向量垂直求定点问题 典例探究 【例题2】已知抛物线，直线l交该抛物线于M，N两点（直线l不过原点），若，则直线l经过定点 ． 【答案】 【分析】由题意可设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据，可得，求出，即可得解. 【详解】由题意可设直线的方程为，， 联立，消得， 则， ， 因为，所以， 即， 即， 所以，所以， 又，所以， 所以直线的方程为， 所以直线l经过定点. 故答案为：.    【点睛】求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 举一反三 【2-1】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆交于两点，满足，证明：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由，及求解即可； （2）由，可得，设，则有，分直线垂直于轴和直线不垂直于轴，结合韦达定理求出直线的方程，即可得证. 【详解】（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为． 由已知，，即， 又，所以， 由，可得，所以， 因为的焦点在轴上，所以的标准方程是． （2）证明：由（1）知， 设， 将两边平方， 化简得， 所以， 即， 即． ①当直线垂直于轴时，且， 故，解得或（舍去）， 此时过点； ②当直线的斜率存在时，设， 联立方程， 得， 由， 得，且， 由， 得， 即． 将代入上式， 得， 即， 所以， 所以或， 当时，直线过点，不符合题意， 所以， 所以直线的方程为， 此时过点． 综上可知直线过定点． 【2-2】已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l交椭圆C于M，N两点（均异于点A），且，则直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆经过点，得到，再由离心率为求解； （2）当直线的斜率存在时，设直线方程为，与椭圆方程联立，由，然后根据韦达定理法求解；当直线的斜率不存在时，设直线方程为，设，由求解. 【详解】（1）因为椭圆经过点， 所以，又离心率为，即，解得， 所以椭圆C的方程为； （2）如图所示：    当直线的斜率存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程，消去y得：， 设，由韦达定理得， 则， 即， 将韦达定理代入得：， 化简整理，因式分解得， 当，即，直线过定点，不符合题意； 当，即，直线方程， 所以直线过定点， 当直线的斜率不存在时，设直线方程为，代入椭圆方程得， 设， 则， 即，将代入，化简得， 解得或（舍去），所以直线过定点， 综上：直线过定点. 【2-3】已知椭圆（）的左顶点为A，左、右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆上任一点，且的面积的最大值为． (1)求C的方程； (2)若直线l与C有两个不同的交点M，N（均不与点A重合），且，判断直线l是否恒过一个定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在定点 【分析】（1）利用三角形面积与椭圆性质，及离心率公式与基本关系式计算. （2）利用直线于椭圆联立方程，韦达定理与向量的数量积. 【详解】（1）设椭圆C的焦距为． 当P在短轴的端点处时，的面积最大，所以， 又C的离心率，所以，结合， 得，，所以椭圆C的方程为． （2）解法一：由题意知直线的斜率不为0，否则， 所以可设直线的方程为， 联立得， 所以， ， 所以， ， 由（1）知， 因为，所以， 所以，即， 即，解得或（舍去）， 又满足，故存在定点. 解法二：将椭圆方程向右平移2个单位，得 ， 即 ①，设直线MN方程为， 代入（1）得：， 即， ，两边同时除以得：  ②， 设， ，、是②式的两根， 得，，平移回去（向左平移2个单位）， 得直线过定点. 题型三、利用向量平行/共线求参数 典例探究 【例题3】椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由椭圆方程可知点的坐标，根据向量可得，，将代入椭圆方程运算求解即可. 【详解】椭圆的右顶点，上顶点， 设，则， 由可得，解得，即， 又由，则， 将代入椭圆方程，得， 即，解得或（舍），所以. 故选：A. 举一反三 【3-1】已知，是椭圆的两个顶点，直线与直线相交于点，与椭圆相交于，两点，若，则斜率的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据已知条件先求出椭圆的方程和的方程，然后联立直线与椭圆方程，由此求解出的横坐标，再结合向量共线以及在直线上分别求解出点横坐标，根据横坐标相等可求出的值. 【详解】由题可知，椭圆的方程为，直线，的方程分别为，. 设，，，其中， 联立，故. 由，得. 由点在直线上，得， 所以或. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是对于题设中点的坐标的表示，其中在直线上也在直线上是求解出的值的重要条件. 【3-2】椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由离心率得，，由得在圆上，解方程组求得点坐标，利用的横坐标即可求得． 【详解】，，则，所以，， 椭圆方程化为， ，因此在圆上， 由，解得，在第一象限，则， ，则， 故选：D． 【3-3】已知椭圆过点，离心率为，过点的直线l与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，且，求实数的值． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据和离心率得到方程组，求出，得到椭圆方程； （2）设直线，，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，根据得到方程，求出，分和两种情况，得到或，从而利用得到答案. 【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆C：； （2）由题知直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得，故， 且，，    故， 解得，所以， 若，则，，解得或， 因为，所以， 若，则，若，则， 若，同理可得或， 综上，或. 题型四、向量数量积的最值问题 典例探究 【例题4】设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】设点，则，且，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最大值和最小值. 【详解】在椭圆中，，，，则点、， 设点，则，且，则， 所以，，， 所以， ， 所以，当时，取最小值， 当时，取最大值. 故选：A. 举一反三 【4-1】已知为椭圆 的右焦点，为椭圆上两个动点，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面垂直向量的数量积表示可得，利用平面向量的线性运算将变形为，设()，利用两点坐标求出，结合二次函数的性质即可求出最小值. 【详解】由题意得，由,得， 则, 设()，由，得， 则， 又，由二次函数的性质可知， ， 所以的最小值为. 故选：C. 【4-2】已知为双曲线上的动点，，，直线：与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】先证明线是双曲线的切线，线段的中点为，再根据，结合双曲线的性质即可得解. 【详解】因为为双曲线上的动点， 所以，则，， 联立，消得， 因为， 且， 所以直线是双曲线的切线，切点为， 双曲线的渐近线方程为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 所以线段的中点为， 双曲线的渐近线方程为，实半轴长为，故， 则 （当且仅当时取等号） ， 由题意可得直线的斜率大于零或不存在， 故，当且仅当为右顶点时取等号， 所以， 所以的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：证明线是双曲线的切线，线段的中点为，是解决本题的关键. 【4-3】已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上． (1)求双曲线标准方程； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由渐近线设双曲线方程为，代入已知点坐标求出值，即得其方程； （2）设，用坐标表示并求出，然后利用二次函数的图像性质即得其最小值． 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，所以设双曲线方程为， 又点在双曲线上，所以， 故双曲线标准方程为； （2）由（1）知，，所以左顶点为，右焦点为， 为双曲线右支上任意一点，设，，则，即， 则 ， 因为，故当时，取得最小值． 题型五、向量数量积的取值范围问题 典例探究 【例题5】已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意画出图形，分直线的斜率不存在和存在两种情况求解，当直线斜率不存在时，求得，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立，由判别式大于0求得的范围，再结合根与系数的关系写出数量积，由得范围求得的范围． 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为，，， 此时； 当直线斜率存在时，设斜率为，设, 则直线方程为， 联立，得， ，得． ， ． ． ，，， 则， 综上，的取值范围是． 故选：D． 举一反三 【5-1】已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为上顶点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得线段的方程为，在线段上取一点，由已知可得关于的方程在时有两个不等的实根，根据二次方程根的分布可得出关于、、的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】易知点、、、，则线段的方程为， 在线段上取一点，满足，则， ，， 所以，， 整理可得， 由题意可知，关于的方程在时有两个不等的实根， 则，可得，可得， 所以，. 故选：D. 【5-2】已知椭圆，O为坐标原点，，AB是椭圆C的一条弦，若弦AB的中点在线段OE（不含端点O，E）上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点、的坐标为，，由中点在线段上， 得， 由点差法可得，设方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示可得答案. 【详解】设点、的坐标为，， 则中点在线段上，且， 则，又，， 由点差法可得两式相减得， 易知，，所以，则， 设方程为，代入， 并整理得， 由解得，因为的中点在线段（不含端点）上， 所以，， 由韦达定理得，，故 ， ∴的取值范围是． 故选：A. 【5-3】已知椭圆上右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点； (3)在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于、两点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据椭圆的性质列方程确定的值，即可得椭圆方程； （2）由题意，可设直线的方程为，，根据直线与椭圆交点坐标关系，确定直线的方程，从而可得直线与轴交点坐标，即可证得结论； （3）根据直线与椭圆交点坐标关系，结合数量积的坐标运算与函数求最值即可得结论. 【详解】（1）由题意可得 ：且， 解得：， 所以椭圆的方程为； （2）如图所示： 由题意，可设直线的方程为 ，， 联立方程组消去得方程：， ，所以， 所以直线的方程为：， 令，则 ， 故直线过定点； （3）①当直线与轴重合时，， ②当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 联立，消去得方程， 可知，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是， 综上可知，的取值范围是． 题型六、向量与“中点弦”问题 典例探究 【例题6】设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程． 【答案】 【分析】 设出直线的方程，A，B的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理表示出，利用直线方程表示出，然后利用，求得的坐标，设出P的坐标，然后联立方程消去参数k，求得x和y的关系式，即为P点轨迹方程． 【详解】 直线过点，设其斜率为k，则的方程为 记、 ，化简得，， 所以，， 于是 设点P的坐标为则，消去参数k得③ 当k不存在时，A、B中点为坐标原点，也满足方程③， 所以点P的轨迹方程为 举一反三 【6-1】若直线与椭圆交于两点，且，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点弦问题的点差法求解. 【详解】因为，所以为中点， 设， 因为在椭圆上，所以， 两式相减得，即 ，即， 因为直线过点，所以， 所以，经检验C、D不满足， A、B选项均满足，但在椭圆外，不符合条件， 故选：A. 【6-2】过点的直线交椭圆：于两点，若，则直线的斜率为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，M是线段AB 的中点，圆锥曲线中的中点弦问题常用点差法. 【详解】设， ∵    ∴M是线段AB 的中点 由中点坐标公式可得，      ① 又在椭圆上，        两式作差得， 将①式代入，可得：. 所以，直线的斜率为. 故选：B. 【6-3】设动点是圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，若点在线段上，且满足. (1)求点的轨迹的方程； (2)过点的直线与交于，两点，求面积的最大值，并求出此时直线的方程. 【答案】(1) (2)最大值为1，或 【分析】（1）由题意，设，则，，又点在圆上，将点M的坐标代入圆E的方程即可求解； （2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式求出的长，点到直线距离公式求出到的距离，从而可得，设，利用均值不等式即可求解. 【详解】（1）解：依题意，由知，点是线段的中点， 设，则，，又点在圆上， 所以，即， 所以点的轨迹的方程为：； （2）解：由题意，设直线的方程为，，， 由，得，即， 所以，则， 所以， 所以，而到的距离， 所以， 设，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为1， 此时直线的方程为或，即或. 题型七、向量与“焦点弦”问题 典例探究 【例题7】设为双曲线的右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的右焦点，求出的坐标，求出 的坐标，根据求出即得解. 【详解】设双曲线的右焦点， 则过点且斜率为的直线的方程为，渐近线方程是． 由，得， 由,得， 所以，． 由，得， 则，即，则， 则， 故选：D． 举一反三 【7-1】过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，由，得，设直线的方程为，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合可得到关于的式子，化简后可求得离心率. 【详解】设，由，得， 设直线的方程为， 由消去，得， 由根与系数的关系，得， 所以， 所以，化简得， 所以，得， 所以，可得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是由题意设出直线的方程为，代入双曲线方程化简整理利用根与系数的关系，考查计算能力，属于较难题. 【7-2】已知抛物线C：的焦点为F，且C的准线与x轴的交点为M．若直线l与C交于D，E两点，且，，则的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】根据题意，设l的倾斜角为，根据焦半径公式可推焦比公式，解出倾斜角，再回代可得，再利用求解即可. 【详解】由得直线l过焦点F，且． 由对称性可设点D在第一象限，则l的倾斜角为． 过点D，E作准线的垂线，垂足分别为H，I，过点D，E作x轴的垂线，垂足分别为G，K， 则，解得；，解得． 故由得，解得，所以． 又，解得， 所以． 故选：D. 【7-3】已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，长轴长为，若为正三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长； (3)过点的直线与椭圆相交于，两点，，直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出，即可得到椭圆方程； （2）依题意可得直线为，联立直线和椭圆方程，消元，求出交点的横坐标，直接利用弦长公式进行求解； （3）设，，直线为，联立直线和椭圆方程，结合韦达定理，列方程组求解. 【详解】（1）依题意可得，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，故该直线为， 由，消去可得， 故，所以.    （3）显然的斜率存在（否则轴，根据对称性，，与题设矛盾）， 设，，直线为， 由，消去得，显然， 由韦达定理可得：①，， 又，则，故②， 由①②得，，故， 即，化简可得，解得. 故直线为.    题型八、向量与“双共线/双参数”问题 典例探究 【例题8】已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为.    (1)求椭圆的方程； (2)设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点. （i）求证点在定直线上； （ii）设，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）1 【分析】（1）由题意求出的值，即得答案； （2）（i）设直线方程为，联立椭圆方程可得根与系数关系，写出直线，的方程，联立化简，即可证明结论；（ii）由可得的表达式，化简，即可求得答案. 【详解】（1）依题意，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为， 椭圆方程为 （2）（i）证明：由（1）知可设直线方程为， 联立和， 得，直线l过椭圆焦点，必有， ， ，直线方程为， 直线方程为， 联立两方程得， ，即点在定直线上； （ii）依（i）有.设，若， 则，则， . 故当时，的最大值为1. 举一反三 【8-1】设为椭圆上任一点，过焦点的弦分别为．设，求的值． 【答案】10 【分析】联立直线与椭圆的方程得韦达定理，进而根据向量的线性关系可得的表达式，代入化简即可求解. 【详解】如图，设，, 则，其中， 与椭圆方程联立可得，整理得． 故． 同理可得． 由于即可得 由于在椭圆上，故有． 从而 ． 【8-2】已知点，以线段为直径的圆内切于圆． (1)求点的轨迹的方程； (2)当过点的动直线与轨迹相交于两点（可以相同）时，，．求动点的轨迹长度． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）取，根据几何关系得出，即可得出点的轨迹为椭圆，进而求出其方程即可； （2）直线斜率不存在时求得，斜率存在时，设，根据，可求出，因点在直线上，则将值代入直线方程中即可求得点满足的方程，再根据求出，进而得出的范围，求出轨迹方程，即可求出轨迹长度. 【详解】（1）取，记线段的中点为，连接， 由于线段的中点为，则，， 设圆的半径为，圆与圆内切于，连接， 则三点共线，且， 于是， 又， 根据椭圆的定义可得点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 则轨迹的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，点重合， 则由，可得，，，则点三点重合， 此时点； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设，，， 由，得， 则， ，得， 由，，得，，， 故， 化简得， 所以，得， 又因为动点在直线上， 所以，化简得， 经检验符合上式， 所以动点的轨迹为线段， 线段端点为，所以动点的轨迹长度． 【8-3】已知椭圆：，过点的直线：与椭圆交于、两点（点在点的上方），与轴交于点． (1)当时，求的长； (2)设，，求证：为定值，并求出该值； (3)点和点关于坐标原点对称，若的内切圆面积等于，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3)． 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，求出交点的纵坐标，再利用弦长公式求解. （2）联立直线与椭圆方程，利用共线向量坐标关系及韦达定理计算得证. （3）根据给定条件，求出的面积，再结合椭圆定义及（2）求出直线方程. 【详解】（1）当时，直线，由消去并整理得， 解得或，所以. （2）直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，设， 由消去并整理得，， ，由，得，则，同理， 所以为定值，该定值为. （3）依题意，点是椭圆的左焦点，则是该椭圆的右焦点， 因此的周长为，由的内切圆面积等于，得该圆半径为， 则的面积，整理得， 即，由（2）得，解得，即， 所以直线的方程为. 题型九、向量与“三点共线”问题 典例探究 【例题9】已知椭圆：（）的右焦点为，且点到长轴两个端点的距离分别为和，为坐标原点. (1)求的方程. (2)过点且不与轴重合的直线与交于两点. （ⅰ）若的面积为，求的方程； （ⅱ）若线段的中点为，在点处分别作的切线，两切线相交于点，求证：，，三点共线. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）或或或； （ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，解得，从而可得，即可得椭圆方程； （2）（ⅰ）设直线，联立方程组，根据韦达定理计算的面积，可解得或，即可得直线方程； （ⅱ）利用中点坐标公式计算出点的坐标，即可得；设出以点为切点的切线方程，与椭圆方程联立，利用根的判别式可求出切线斜率，即可得出切线方程，同理可得点为切点的切线方程，联立两切线方程可求得点的坐标，即可得，由可证得三点共线. 【详解】（1）由题意可得，解得，则， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，设直线， 联立，可得， 则， 设，则. （ⅰ）， 则， 整理可得即，解得或，则或， 所以，直线的方程为或或或. （ⅱ）设点，则，，所以. 设以点为切点的切线方程为即， 联立，可得， 则， 整理得， 则， 因为点是椭圆上的点，所以，即， 则， 所以以点为切点的切线方程为. 同理可得，以点为切点的切线方程为. 联立两切线方程，消去，可得，整理得, 结合化简可得， 由题意，，故，代入直线方程，可得， 所以，则,其中， 故，，三点共线. 举一反三 【9-1】已知椭圆的右焦点为，A为C上一点，的最小值为1. (1)求C的方程； (2)设点，斜率不为0的直线与C交于另一点B. （i）若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率； （ii）若D为C上一点，且点D与点A关于x轴对称，证明：三点共线. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据题意列出关于的方程，求解即可； （2）设直线与椭圆方程联立，求得韦达定理.（i）由弦的中点坐标求得的值，即得弦的斜率；（ii）通过向量坐标计算证明，结合与有公共点即可证得. 【详解】（1）由题意得 解得， 所以的方程为. （2）由题可知直线的斜率存在且不为0， 设直线 ，则， 联立，消去，可得， 则，解得， 所以. （i）因为弦中点的纵坐标为， 所以， 解得或（舍）， 所以直线的斜率为. （ii）由题得， 因为 ， 所以， 又与有公共点，所以三点共线. 【9-2】已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，过点作一直线交椭圆于、两点，且坐标原点关于点的对称点记为. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值； (3)设点为点关于轴的对称点，求证：、、三点共线. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由焦点为，点在椭圆上，列方程组，解得a，b，即可得出答案； （2）由，得，设，，由条件可知，点.，由此能推导出的最大值；（3）验证与共线，设，则，，由，进而可得三点共线. 【详解】（1）根据题意可得，解得，，所以椭圆的方程为. （2）由题可得原点关于点的对称点的坐标为， 显然直线斜率不为零，故设过点的直线的方程为，，， 所以，得， 其中，，， 则， 所以， 令，，则， 所以，当且仅当，即，时取等号， 则直线的方程为时，面积的最大值为. （3）证明：设，则，， 由 ， 所以，与共线，即，，三点共线. 【点睛】关键点点睛：处理本题第二问的关键是，熟练掌握直线截椭圆所得三角形面积的求解，以及分式函数最值的求解；处理本题第三问的关键是通过证明与共线，进而证明，，三点共线；属综合中档题. 【9-3】若椭圆上的两个不同的点满足0，则称为该椭圆的一组“相伴点对”，记作.已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若，证明椭圆上存在两个点满足“相伴点对”，并求点的坐标； (3)设（2）中的两个点分别是，若直线与直线的斜率之积为，直线与椭圆交于两点，点，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，证明：三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意求出得椭圆方程； （2）根据新定义列方程组求解； （3）由（2）求得，设 ,求出方程，与椭圆方程联立方程组，消去后，利用是此方程的解得出，然后可得，同理得，由得出的关系式，用坐标法判断得出三点共线． 【详解】（1）由题，，即， 又，所以，， 所以椭圆方程为： （2）设“相伴点对”的坐标为， 根据定义： 点的坐标满足所以或 于是有两个点满足，且点的坐标为． （3）由（2），，所以， 设 , ,, 直线方程为， 由，得， 其中， 又，代入整理得， ，，所以， ， 同理， ， 由得， 由， ， 所以， 所以三点共线． 【点睛】方法点睛：涉及到直线与椭圆的交点问题可设出交点坐标，如题中，解决三点共线问题，可用坐标法证明两个向量共线，从而在证明平行的坐标表示中需要得出两点坐标关系，于是我们利用直线与椭圆相交解方程组的方程把的坐标用坐标表示，而利用得出所要关系式，完成证明． 题型精析・方法突破提能力 1．在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线 【答案】A 【分析】由平行四边形法则易得，可知，可判断点的轨迹为以线段为直径的圆. 【详解】设为线段的中点，.因为，所以，所以，所以，当点在点或时也满足，所以点的轨迹为以线段为直径的圆. 故选: A. 2．若为两个定点且，动点满足，则点的轨迹是 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【分析】由向量数量积的几何意义可知，结合圆的定义可得轨迹形状. 【详解】当与两点不重合的时，知， 则在以为直径的圆上； 而当与两点重合时，显然成立,则在以为直径的圆上； 综上，可知的轨迹为圆. 故选：A. 3．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=2，则点C的轨迹为（    ） A．椭圆 B．射线 C．圆 D．直线 【答案】C 【分析】建立合适的平面直角坐标系，设，根据以及向量数量积的坐标形式求解出满足的关系式，即可判断出轨迹形状. 【详解】因为点是两个定点，不妨设， 以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，    设，，，所以，， 由得：，即，所以点C的轨迹为圆. 故选：C. 4．在平面直角坐标系中，已知向量与关于轴对称，若向量满足，记的轨迹为，则（    ） A．是一条垂直于轴的直线 B．是两条平行直线 C．是一个半径为1的圆 D．是椭圆 【答案】C 【分析】由题意设，结合条件等式即可列式化简，从而判断求解即可. 【详解】不妨设点的坐标为，，，， 由可得，即. 故选：C. 5．在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．圆 【答案】D 【分析】根据题意求出动点的轨迹方程即可判断. 【详解】设点，点， 则，. 由可得：，即. 所以点的轨迹为圆. 故选：D 6．已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据得到，代入圆中，得到轨迹方程. 【详解】设，因为，所以， 又在圆：上， 故，即的方程为． 故选：C 7．已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，其中，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆， 则，，， 所以、， 设点，其中，且，故， 所以，， 故， 故当时，取最小值. 故选：A. 8．已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线方程可求得坐标，进而求得双曲线方程；设，利用平面向量数量积的坐标运算以及点在双曲线上可将表示为，由在轴上方知，由二次函数最值求法可求得结果. 【详解】由抛物线方程知：，，解得：； 设，，，， 在轴上方且在双曲线上，且， ， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 【点睛】易错点点睛：本题考查双曲线中的平面向量数量积的最值求解问题，易错点是容易忽略题目中双曲线位于轴上方的点的纵坐标的取值范围，从而造成最值点求取错误. 9．已知是双曲线右支上的两点，为坐标原点，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】设出点的坐标，根据并结合平方的非负性，计算出的最小值. 【详解】设，所以， 因为 当且仅当时，即关于轴对称时等号成立， 又因为渐近线方程为：，所以的夹角小于，所以， 所以， 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线中的向量数量积的最值计算，对于分析和转化计算能力要求很高，难度较难.解答问题的关键能将变形为可直接判断大小的式子. 10．已知点，若为双曲线的右焦点，是该双曲线上且在第一象限的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设，根据题中所给的双曲线方程，写出其右焦点坐标，之后求得，之后应用线性规划的思想，结合是该双曲线上且在第一象限的动点，从而求得其范围. 【详解】设，因为为双曲线的右焦点，所以， 所以， 令，则是与渐近线平行的直线， 直线过时，，直线为渐近线时，， 因为是该双曲线上且在第一象限的动点， 所以，即所求的取值范围为. 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的几何性质，向量数量积坐标运算式，应用线性规划的思想求范围，属于中档题目. 11．已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法一：由题知：，，不妨设点在第一象限，设，进而得，，故在中，由余弦定理得得， ，，由于， ，即 方法二：根据题意不妨设点在第一象限，则有正弦定理得在半径为的圆在第一象限的圆弧上，根据三角形面积公式得得，由于，进而得 . 【详解】解：方法一： 如图1，设椭圆方程为，双曲线方程为， 由题知：，， 不妨设点在第一象限，设， 所以在椭圆中，有，在双曲线中有， 所以，， 所以在中，由余弦定理得： ， 整理得，所以 所以， 由于， 所以，，故 所以，即 故选：D. 方法二： 如图2，不妨设点在第一象限，由正弦定理得三角形外接圆的半径为， 所以在半径为，圆心为的圆在第一象限的圆弧（不包含端点）上， 所以，所以， 所以， 由向量数量积定义得， 由三角形面积公式得： ， ， 所以， 所以， 所以 . 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆与双曲线的焦点三角形问题，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.解法一的关键是根据椭圆与双曲线的定义分别将，用椭圆的长半轴与双曲线的实半轴表示，并在焦点三角形中结合余弦定理得，故，再根据即可得范围；本题解题法二的关键是由已知条件可设点在第一象限，进而得在半径为，圆心为的圆在第一象限的圆弧（不包含端点）上，进而利用面积公式求解. 12．直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的性质结合，求出直线的斜率，再根据的坐标得出直线的斜率，从而得出的关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为，则， 所以直线的方程为，即， 所以直线的斜率为， 过作的垂线，则为的中点， ，，则， 又，所以是的中点， 所以直线的斜率， ，则， . 故选：D.    13．已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的倾斜角为，根据可得，利用同角三角函数的基本关系可求出直线的斜率. 【详解】 由题意得，， ∴椭圆的离心率为. 设直线的倾斜角为，根据焦比定理得， 由得，∴， ∵，∴， ∴，， ∴，即直线的斜率为. 故选：D. 14．如图，已知抛物线，圆，，为抛物线上的两点，，则直线被圆所截的弦长最小值为 ．    【答案】 【分析】设，，由得到方程，求出，设直线的方程，联立抛物线方程，得到，故，直线恒过定点，当直线与垂直时，弦长最小，由垂径定理求出弦长. 【详解】设，，则，， 由得，即，解得（舍去0）． 当直线的斜率为0时，此时直线与抛物线只有一个交点，不合要求， 直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立，消整理得， 则，所以，所以． 令，得，则直线恒过定点． 又当直线与垂直，即与轴垂直时，直线被圆所截的弦长最小， 最小值为． 故答案为： 15．已知是抛物线的焦点，直线与抛物线交于不同的两点，且，过作于，则的最大值等于 ． 【答案】 【分析】设直线的方程，联立方程由韦达定理得根与系数的关系，代入，可得，由此知直线过定点，由形可知的最大值为. 【详解】设直线， 联立， 消得， 所以， 则， 解得，且满足， 所以直线过定点，又 则，当且仅当重合，即直线垂直于轴时取到最大值. 故答案为：．    16．已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 . 【答案】/0.5 【分析】设直线，则，结合已知用表示出的坐标，消去参数即可得曲线的方程，由点差法即可得解. 【详解】 显然斜率均存在， 设直线，则，联立，得，同理， 设，则，化简可得，曲线. 设，则，两式相减可得，， 则. 故答案为：. 17．已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于不同于的两点，. (1)求的方程； (2)若. （i）证明：l恒过定点； （ii）求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组，求出，即可得出椭圆方程. （2）（i）设直线，与椭圆方程联立，利用向量垂直的坐标表示，结合韦达定理计算推理；（ii）结合（i）的结论求出三角形的面积的函数关系，再求出最大值. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）依题意，直线的斜率存在，设直线， 由，消去得， 则，即， ，而， 由，得，即， 整理得， 则，而， 于是，解得，且满足， 所以直线过定点. （ii）面积 ，令，则， 因此，函数在内单调递增， ，，当且仅当时等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】思路点睛：求解椭圆中三角形面积问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式、三角形面积公式等表示出三角形面积，再进行求解即可.有时也需要将三角形分割成小三角形，由小三角形的面积和表示出大三角形面积. 18．已知抛物线上一点是抛物线上另两点，且． (1)求点的轨迹方程； (2)问：直线是否过定点？ 【答案】(1)； (2)是. 【分析】（1）设且，，联立抛物线并应用韦达定理、的坐标表示得，再由得，进而得到关系式，即可得； （2）由（1）得，即可得. 【详解】（1）如图，设且，， 与联立，得，，所以，    因为，即， 所以，则， 所以， 因为，则， 所以，即， 所以，则，即为点的轨迹方程； （2）由（1）知， 所以直线过定点. 19．如图，在平面直角坐标系中，已知点（异于点）在抛物线上，且满足. (1)证明：直线过定点； (2)若，分别以为直径作与，过点的直线与分别交于点，求的最大值； (3)在（2）的条件下，设是抛物线上的三个点，直线均与相切，判断直线与的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)相切，理由见解析 【分析】（1）直线，与抛物线方程联立，韦达定理，利用数量积的坐标运算求得，即可求解定点. （2）利用几何关系得 ，则，即可求解面积最大值. （3）设点，则直线，利用与相切得，同理，最后通过的圆心到直线的距离等于半径即可判断. 【详解】（1）由题意可得，点和点在抛物线上，设， 则，得. 因为直线的斜率一定存在，所以设直线. 联立得，则，即， 所以直线过定点 （2）因为直线过定点，点分别在上， 所以，则 ， 所以. 又因为，所以. （3）设点， 则. 同理可得，. 令直线，整理得. 因为与相切，所以， 整理得. 同理可得，. 观察结构可得，直线， 所以的圆心到直线的距离为. 故直线与相切. 20．已知抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为 (1)求抛物线C的方程; (2)若不过原点O的直线m与抛物线C交于A，B两点，且，求证：直线m过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求得抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离求解； （2）当直线l的斜率存在，不妨设l的方程为：，与抛物线方程联立，由，结合韦达定理求解； 【详解】（1）解：抛物线的焦点F为， 双曲线的渐近线方程为：，即：， 则，解得， 故抛物线C的方程为： （2）证明：若直线l的斜率存在，不妨设为，则l的方程为：， 与抛物线方程联立得，消去y得：， ，即时， 设，，则，， 由可得：，即， 亦即：， 将，代入上式得：， 又即：， 所以直线l的方程为：，即，故直线l过定点， 若直线l的斜率不存在，设，，由可得：， 又，联立解得：或舍， 此时直线l的方程为，即直线l过点， 综上可得：直线l过定点 21．已知双曲线的两条渐近线的斜率之积为. (1)求的离心率. (2)若过点且斜率为1的直线与交于两点（在左支上，在右支上），且. ①求的方程； ②已知不经过点的直线与交于两点，直线的斜率存在且直线与的斜率之积为1，证明：直线过定点. 【答案】(1)2 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程和离心率公式，即可求解； （2）①直线方程与双曲线方程联立，根据向量共线的条件，结合韦达定理，即可求解； ②首先设直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，即可证明定点问题. 【详解】（1）由题意可知， 则. （2）①解：直线的方程为， 联立得， . 设，则， 由，得， 代入，得， 则的方程为. ②证明：设的方程为. 联立得， ，且， . 因为， 所以， 即， 则， 整理得， 即. 因为点不在直线上，所以，则， 则， 故直线过定点. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用直线与双曲线方程联立，利用韦达定理表示坐标运算. 22．焦点在x轴上的等轴双曲线E，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点A、B (1)求双曲线E的方程； (2)若，求直线AB的斜率； (3)若点B关于原点的对称点C在第三象限，且，求直线AB斜率的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，结合顶点到渐近线的距离为列方程，求解即可； （2）由向量共线得交点的坐标的数量关系，结合韦达定理列方程，进而解得直线的斜率； （3）将图形中三角形的面积关系转化为，即可得，结合根与系数的关系可解得斜率的取值范围. 【详解】（1）设等轴双曲线的方程为，其渐近线方程为， 故，解得，所以双曲线E的方程为. （2） 由题意，过点的直线斜率存在且不为0，可设其方程为， 设，由，得， 联立，整理得， 由韦达定理得：，， 联立解得，经验证均满足题意，所以直线的斜率为. （3） 点在第三象限，如图所示，故直线的斜率是正数， 由，得， 所以，则，则， 由，得， 所以，则， 又因为直线交两支两点，故直线的斜率， 所以. 23．已知椭圆C：的离心率为，C的左焦点到右顶点的距离为3． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与x轴交于点Q，与C交于A、B两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出的方程，求解即可； （2）设出直线l方程与椭圆联立，利用坐标表示出向量关系，结合韦达定理求解即可. 【详解】（1）依题意得解得 所以．所以C的方程为． （2）依题意可设直线l的方程为（k存在，且）， 联立消去y得， 设，，则，且， 因为，，所以，， 由，可得，所以， 由，解得， 所以直线l的方程为． 24．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)椭圆C的标准方程为； (2)直线l的方程为； (3)点N不在定直线上 【分析】（1）根据椭圆的性质确定a、c的值，即可求出椭圆方程. （2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，设，，结合韦达定理和共线向量坐标关系求解. （3）首先利用点差法求得直线的方程，然后分别取个不同的值，求解相应个点坐标，由向量不共线即可说明点N不在某条定直线上. 【详解】（1）根据椭圆的性质，椭圆，离心率（c为半焦距）， 且椭圆上一点到左焦点距离的最大值为． 由离心率，可得， 因为椭圆上一点M到的距离的最大值为3，即， 将代入，可得，解得，那么， 根据，可得． 所以椭圆C的标准方程为． （2）设，，，因为直线l过， 当直线l斜率不存在时，与方向相反，不满足， 所以直线l斜率存在，设直线l的方程为． 联立直线与椭圆方程，消去y可得： ， 由韦达定理得，． 因为，所以， 即，也就是． 将代入，可得，即 ，． 再代入，可得， 解得， 所以直线l的方程为． （3）由（2）知直线AB过，由题意其斜率存在， 设直线AB方程，令，得，所以． 由过点，且，则是PQ中点； 当时，直线即为轴，与轴交于原点即，与椭圆交于长轴两点， 此时不妨取， 则过原点的直线与椭圆交于两点，恒有， 由对称性可知，即两直线无交点，不符合题意， 故， 结合椭圆对称性可知，设，， 则，． 由，两式相减得： 将，代入上式，可得， 因为，所以，即PQ垂直于y轴，直线方程为． 联立，可得，，， 不妨设，,其中， 由（2）知，设，，不妨设， 由，． 故当时，则，又由， 可解得， 则，且， 此时交点； 故当时，则，又由， 可解得， ， 且， 此时交点； 当时，，则，， ，， 此时交点； ，， 因为， 所以不共线，故动点不在定直线上； 同理由对称性可知，当时，也不在定直线上， 综上可得，动点不在定直线上. 25．已知中心为坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，且椭圆M过点． (1)求椭圆M的方程； (2)若过点的直线l与椭圆M交于A，B两点，，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率和椭圆上的点得到方程组，求出，，得到椭圆方程； （2）设，，根据得到，，结合又，求出，分两种情况，求出直线l的方程. 【详解】（1）设椭圆M的方程为半焦距为c， 由题意知，解得，， 故椭圆M的方程为． （2）设，， ∵，∴，． 又，∴，． ∴，． 又， ∴． 又， ∴，，解得． 当时，；当时，． ∴直线l的方程为． 26．已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点、，则，根据中点坐标公式可得出，然后将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹的方程； （2）由已知可得，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据题意得出，结合韦达定理可得出关于、的等式，结合可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意，设点、，则， 因为点为线段的中点，则，即， 因为点在圆上，所以，即， 因此，点的轨迹的方程为. （2）由已知可得，设点、， 联立得， 由已知可得，得， 由韦达定理可得，， 因为，即，则，即， 所以，所以，即， 当时，不成立， 所以，代入得， 解得，因此，的取值范围是. 27．已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）结合题意得出几何关系，由抛物线定义即可得解； （2）一方面：设，，联立与抛物线的方程，由韦达定理得，设，，同理可得，，结合向量数量积的坐标运算、基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意， 如图， ∵， ∴， 又∵不在轴负半轴上， ∴与直线垂直， 又∵， ∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ∴点的轨迹方程为. （2） 由得， ∵与交于两点， ∴， 设，，则， 又∵， ∴， ∵的斜率为， ∴直线的方程为， 设，，同理得，， ∴ ， 当且仅当即时取到“=”， ∴的最小值为16. 28．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线，分别交直线于E，F两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设椭圆C的方程为，由两点得出椭圆C的标准方程； （2）联立直线l与椭圆方程，由直线的方程得出坐标，再由韦达定理以及数量积公式，得出的范围，进而得出的最值. 【详解】（1）设椭圆C的方程为且， 因为椭圆C过点与点，所以，解得. 所以椭圆C的标准方程为. （2）设直线， 由，得， 即，则. 直线的方程分别为. 令，则. 则， ， 所以 . 因为，所以. 即的取值范围为. 所以存在最小值，且最小值为. 【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键在于利用韦达定理将双变量变为单变量问题，从而由的范围，得出的取值范围. 29．已知椭圆与椭圆有共同的焦点，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，为坐标原点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的方程为，将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，即可得出椭圆的方程； （2）设点，则，且，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】（1）（1）由题可设椭圆的方程为， 由椭圆经过点，可得，解得或（舍）. 所以，椭圆的标准方程为. （2）解：易知，设点，则，且， ，， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 30．已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据椭圆定义得到，，故C的方程为； （2）（ⅰ）设直线l方程为，，，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，直线PM的方程为，代入两根之和，两根之积求出，故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ⅱ）计算出，得到的取值范围为. 【详解】（1）因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆， 其中，解得，，故C的方程为； （2）（ⅰ）依题意可设直线l的方程为，，，. 联立得， 由韦达定理得，， 则直线PM的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ⅱ）， ， 因为，所以，， 所以的取值范围为. 31．已知椭圆C:，其右焦点为，左焦点为F1，A在椭圆上且满足. (1)求的大小； (2)若是该椭圆上的一个动点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图像，利用椭圆的定义及余弦定理即可求得的余弦值，进而求得的大小； （2）设，则利用向量的数量积运算及代入法可得，结合由椭圆几何性质得到的的取值范围，利用二次函数的单调性即可求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，不妨设，则， 又因为椭圆C:，所以，故，，则， 所以由椭圆的定义可得，即， 当点在椭圆左右顶点位置时，，不满足题意，所以点是椭圆上异于左右顶点的点， 故在中，， 因为，所以. （2）依题意，设，则由椭圆的几何性质易知， 又由（1）得，， 所以 因为是该椭圆上的一个动点，则，即， 故， 因为开口向上，对称轴为，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值， 又当时，，所以的最大值为， 所以，即的取值范围为. 32．已知，，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)当时，求的面积. (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，可求得轨迹的方程； （2）由余弦定理得，给合，可求得的面积； （3）设，分别用向量表示，由题意可求得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以点的轨迹为以为焦点的双曲线， 设此双曲线方程为， 易知，又由，解得， 即轨迹的方程为：； （2）∵为双曲线E:上的一点， ∴，平方得 ①， 在中，由余弦定理，得， 即 ②， 由，得，即， 所以的面积.    （3）设，则，所以，. 所以的取值范围是. 33．已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线l与双曲线的一支交于两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程即可得，利用顶点坐标即可求得双曲线的标准方程； （2）根据题意设直线方程为并于双曲线联立，利用交点位置限定出的取值范围，表示出关于的表达式即可求得其取值范围． 【详解】（1）由渐近线方程为，所以， 右顶点为，所以，， 故双曲线的标准方程为． （2）如下图所示：    根据题意易知，直线斜率存在，并设直线l的方程为， 设， 则联立直线和双曲线消去可得． 因为直线与双曲线一支交于两点， 所以，解得， 因此 ． 因为，所以， 所以，所以， 故． 34．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点（点在轴的上方），且为椭圆的左顶点，若的面积为，求的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用椭圆上的点求出，，，可求椭圆的离心率； （2）设出直线方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理，根据的面积求出的值，再利用韦达定理和，求出的值． 【详解】（1）椭圆的离心率为，且过点， ，联立解得：. 椭圆的标准方程为：. （2）由（1）知：，记， 当直线的斜率为0时，三点共线，不合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：， 联立：，. ，. ， . 即， 整理得：， 令，即， 解得：（舍）或，即， . 由知：且， 当时，满足：，联立解得：， 当时，满足：，联立解得：， 综上，的取值为或. 35．已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设动圆的半径为，根据题意得到，再根据椭圆的概念即可得到答案. （2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设为，联立，得，根据题意得到，再利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）设动圆的半径为，由题意 又，故的轨迹为椭圆. 故的轨迹方程为 （2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设为 联立，得 设，则 由，得， 所以，消去得， 解得，所以直线的方程为. 36．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，若点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过点的直线（斜率存在且不为）与曲线相交于，两点. ①若的中点为，设直线和的斜率分别为，，求的值； ②满足，求直线方程. 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据双曲线的定义可得轨迹方程； （2）①利用点差法可得斜率乘积；②设直线方程为，联立直线与双曲线方程，根据，可得，结合韦达定理可得，即可得直线方程. 【详解】（1）由已知，，动点满足， 则动点满足到两定点的距离之差的绝对值为定值，满足双曲线定义， 即点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的双曲线， 即轨迹方程为； （2）    ①设点，，中点， 则，， 又点，在曲线上， 则，作差可得， 即， 则； ②设直线， 联立直线与双曲线，得， 恒成立， 且，， 又，，， 则， 则，， 所以， 解得，， 即直线方程为， 即或. 【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 37．在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线定义可知点的轨迹是双曲线的右支，由此即可得解； （2）由题意设直线的方程为，联立椭圆方程，由可知，结合韦达定理即可求解参数，由此即可得解. 【详解】（1）因为，且， 所以点的轨迹是双曲线的右支，可设其方程为， 所以， 所以其轨迹方程为. （2） 由题意可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立方程，消去得， 由题意， 设， 则， ， ， 且， ， 直线的方程. 38．已知双曲线，抛物线的焦点F是双曲线M的右顶点，且以F为圆心，以b为半径的圆与直线相切． (1)求双曲线M的标准方程； (2)已知直线与双曲线M交于A、B两点，且双曲线M是否存在上存在点P满足，若存在，求出m的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由题意得，由此可得，而为抛物线焦点到直线的距离，由点到直线的距离公式即可得解. （2）将直线与双曲线方程联立，由，解得或，结合韦达定理以及，求得参数，并注意检验，由此即可得解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点是双曲线M的一个顶点，即，， 所以双曲线M的方程是． （2）设，联立方程得消去y得， ∵，解得或（*）， 由韦达定理， ∵，∴即， 所以，解得， 不满足（*）式，所以不存在m符合题意． 39．已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，点P与C的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)经过点的直线与双曲线C交于E，F两点(异于点P)，过点F作平行于x轴的直线，直线PE与交于点D，且求直线AB的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为，将代入双曲线方程，然后根据直线斜率公式即可得到关于的两个方程，即可求解. （2）由题意设直线方程为，，，与双曲线联立后根据根与系数关系可以表示出与，分直线的斜率是否存在两种情况进行讨论，通过直线的方程表示出点的坐标，由已知条件可知点为中点，进而可将点坐标及直线斜率用表示，通过之前求得的与即可进行求解. 【详解】（1）第一步：根据点P在双曲线上得a，b的关系式 由题意设双曲线C的方程为()， 由点在C上，得．① 第二步：根据直线的斜率公式得a，b的关系式 设C的上、下焦点分别为，，则，解得， 所以．② 第三步：联立方程解得，的值 由①②得，， 第四步：得双曲线C的标准方程 故双曲线C的标准方程为． （2）第一步：设直线方程，联立方程得根与系数的关系由题意可知，直线EF的斜率不为0，设直线EF的方程为，，， 联立，得方程组 整理得 所以，，解得， 所以，， 则． 第二步：用，表示点D的坐标 当直线PE的斜率不存在时，易得，，，，此时直线AB的斜率为．当直线PE的斜率存在时，直线PE的方程为，所以点D的坐标为， 由，可得， 第三步：用，表示点B的坐标 由，得点B为DF的中点，所以 ， 则， 第四步：根据斜率的计算公式求直线AB的斜率． 所以 ． 故直线AB的斜率为． 【点睛】解决直线与双曲线的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件； （2）强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 40．已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的短轴长为，离心率为. 点为椭圆上的一个动点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，设，. (1)求椭圆的方程； (2)证明：为定值； (3)已知，用表示的面积，并求出的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）根据条件得到，求出，即可求出结果； （2）设，，利用条件得，，再利用，在椭圆上，即可得到，，从而证明结果； （3）利用，再根据条件得到，最后使用不等式求出最大值. 【详解】（1）由题知，得到，又，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，，设，， 则，，，， 由，得到，所以， 又在椭圆上，所以，即. 又，故，即. 将其展开，得到，即. 从而，即， 易知，所以，得到， 同理，由，得到，所以， 又在椭圆上，所以，即. 又，故，即. 将其展开，得到，即. 从而，即， 易知，所以，得到，所以， 即为定值. （3）因为， 又因为，，故，. 所以，，从而 . 又，故. 然后考虑的最大值. 首先，由于，故. 同时由可知， 故，从而，故. 这意味着； 另一方面，当的坐标是时，有，，此时. 所以的最大值是. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（3）问，利用，再结合条件得到，再利用不等式来求出最大值. 41．已知椭圆经过，两点.为坐标原点，且的面积为，过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.且直线，分别与轴交于点，. (1)求椭圆的方程； (2)若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程； (3)设，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点坐标代入椭圆的方程得，由的面积可得，解得，进而得椭圆的方程； （2）设直线的方程为，，．联立直线与椭圆的方程的关于的一元二次方程，由，进而解得的取值范围，再列出韦达定理，由，则，即可求出，从而得解； （3）因为，，，，写出直线的方程，令，解得．点的坐标为．同理可：点的坐标为．用坐标表示，，，代入，得，同理．由，，代入，化简再求取值范围． 【详解】（1）因为椭圆经过点， 所以解得（负值舍去）． 由的面积为可知，解得， 所以椭圆的方程为．    （2）设直线的方程为，，． 联立，消整理可得． 因为直线与椭圆有两个不同的交点， 所以，解得， 因为，所以的取值范围是， 所以，， 则 ， 因为以为直径的圆经过坐标原点，所以， 则，即，解得（负值舍去）， 所以直线的方程为.    （3）因为，，，， 所以直线的方程是：， 令，解得，所以点的坐标为． 同理可得点的坐标为． 所以，，． 由，， 可得，， 所以， 同理， 由（2）得， 所以 ， 因为，所以，所以， 则，所以， 所以的范围是．    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 42．已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：； (3)设，，证明：为定值． 【答案】(1)的方程为，的方程为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，，由焦距为4即可求出； （2）设点，，由直线的斜率之积为1以及点在双曲线上即可求证； （3）由题意，设点，，， 得，点在双曲线上，代入方程即可求解. 【详解】（1）设，， 因此，所以， 的方程分别为，； （2）设点，， 因此，，且，， 所以， 因此，，， 所以； （3）由题意，设点，，， 因此， 又，从而， 整理得， 由（2）可知，因此为定值． 43．已知双曲线：的左、右焦点分别为，点是上不与顶点重合的一动点，直线、分别交于另一点、. (1)设， ①当时，求直线斜率的取值范围； ②求证：； (2)为坐标原点，问：直线与直线的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由. 【答案】(1)①；②证明见解析； (2)为定值. 【分析】（1）①根据判断出交双曲线于左右支上，即可得解. ②设，，，由向量关系与双曲线方程得出，与，，坐标之间的关系，，两式加和即可得解. （2）由（1）②可得出点，点的坐标，求出直线的斜率.再写出直线的斜率，计算两者之积，即可得解. 【详解】（1）（1）①直线交双曲线于左右支上， 因为双曲线：的渐近线的斜率为， 所以直线斜率的取值范围为.                       ②设，，由双曲线方程知：，       ，又          两式相减得： ∴                          由同理      ，又       两式相减得： ∴ .                    可得：，所以. （2）由（1）②知：且 可得                                             同理又因为 且 可得                                      所以直线的斜率 又直线的斜率，所以为定值. 44．已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，结合即可求解, （2）根据向量共线的坐标关系可得坐标，进而得是一元二次方程的两个解，利用根的分布可得或，进而根据求解. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 由已知得， 解得或， 斜率为0时可得直线方程为：，代入双曲线方程可得：， ， 若，则可求得， 若，则代入得无实数解， 的方程为. （2）设点， 由可得 故：，代入双曲线方程得：， 同理，，代入双曲线方程得：， 是一元二次方程的两个解， ， 由题意可知，直线有斜率，设直线斜率为，则直线方程为：， 与双曲线联立得：， 由直线与双曲线交于右支得：， 解得：或， 又， 由于或，故或， . 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用 45．已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点的坐标为，过点作直线交于，两点（异于，），当垂直于轴时，. (1)求的标准方程； (2)直线交直线于点，证明：，，三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件及椭圆的性质，结合椭圆中三者的关系即可求解； （2）根据已知条件作出图形，设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理及两点的斜率公式，结合两直线平行的条件即可求解. 【详解】（1）如图所示， 由，可得， 所以， 即，因为， 所以，解得，， 所以的标准方程为. （2）由题意知，直线斜率不为，如图所示， 设，，而， 由，整理得， 显然，则, 因为， 所以，即. 则 ， 所以，又因为有公共点， 所以，，三点共线. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 46．已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 . (1)求双曲线 的方程; (2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 ，建立方程组求解即可； （2） 三点共线，即证，设出直线的方程联立双曲线的方程，由韦达定理，求出的坐标，由坐标判断，证明即可. 【详解】（1）由题意得，且 （2）由 (1) 得， 设直线 的方程为，则， 由 得， 直线 的方程为，令 ，则， ， 所以三点共线. 47．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）记的左、右顶点分别为，过的直线交的右支于两点，连结交直线于点，求证：三点共线． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据题意得 ，再根据即可求得答案； （2）由题知，，直线的斜率不为0，故设其方程为，，，进而结合直线的方程得，再根据向量共线的坐标表示判断，共线即可. 【详解】解:（1）依题意可得，， 解得，故的方程为. （2）易得， 显然，直线的斜率不为0，设其方程为，， 联立方程，消去整理得， 所以，． 直线，令得，故 ，， ，（*） 又 ，即的值为0． 所以故A、Q、N三点共线．﹒ 48．已知双曲线的离心率为，经过坐标原点O的直线l与双曲线Q交于A，B两点，点位于第一象限，是双曲线Q右支上一点，，设 (1)求双曲线Q的标准方程； (2)求证：C，D，B三点共线； (3)若面积为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据离心率即可求解， （2）利用坐标运算，结合点差法以及向量共线的坐标表示即可求解， （3）根据三角形面积公式，利用联立方程，韦达定理，代入化简即可得到关于的方程， 【详解】（1）由双曲线的离心率为，所以，解得， 所以双曲线Q的标准方程为 （2）由得,又，所以 ,， 由得①， 由于，在双曲线上，所以， 相减得② 由①②得③， 由于，所以， 将③代入得， 所以，因此C，D，B三点共线 （3）设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程为：， 故， 所以， 直线的方程为， 联立， 所以 由于轴，，所以， 所以， 由于，代入得， 令，则，化简得，由于， 所以， 因此，解得或 由于，所以， 故直线方程为 【点睛】方法点睛：解析几何中的弦长以及面积问题以及最值是常见的类型，对于这类问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 49．在平面直角坐标系中，点在椭圆 上，过点的直线的方程为． (1)求椭圆的离心率； (2)设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线． 【答案】(1) (2)证明详见解析 【分析】（1）根据求得椭圆的离心率. （2）求得点坐标，利用向量法证得三点共线. 【详解】（1）依题意，， 所以离心率. （2）直线的斜率为， 由（1）得， 设关于的对称点为， 线段的中点为， 所以， 整理得， 解得， 则 在椭圆上，所以， ， 则 ， 所以，所以三点共线. 【点睛】求解三点共线的问题，可以转化为来进行求解，也可以转化为来进行求解.求解点关于直线对称点的问题，关键点在于中点和斜率，根据这两个关键点可求得对称点的坐标. 50．已知点N(1，2)，过点N的直线交双曲线于A，B两点，且． (1)求直线AB的方程； (2)若过点N的直线交双曲线于C，D两点，且，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？ 【答案】(1)y＝x＋1 (2)四点共圆，原因见解析 【分析】（1）设直线的方程为，代入双曲线方程，设，，根据得是的中点，利用韦达定理求出可得直线的方程为； （2）直线的方程代入双曲线方程解得可得，坐标，根据得垂直，求出所在直线方程代入双曲线方程，令，及中点，根据韦达定理得弦长及，可得四点共圆. 【详解】（1）由题意知直线的斜率存在, 设直线：，代入， 得 (*)， 设，，则是方程(*)的两根， ∴且， ∵，∴是的中点，∴， ∴，解得， ∴直线的方程为； （2）共圆，理由如下， 将代入方程(*)得，解得或， ∴，，∵，∴垂直， ∴所在直线方程为，即， 代入双曲线方程整理得， 令，及中点，则，， ∴，，即， ， 所以，， 即到的距离相等，∴四点共圆.    1 学科网（北京）股份有限公司 $