重难点20：破解圆锥曲线定直线：圆锥曲线中过定直线问题（培优固本提能讲义）-2026届高三数学一轮复习

重难点20：破解圆锥曲线定直线：圆锥曲线中过定直线问题 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 6 题型一、“弦中点”模型中点过定直线 6 题型二、“相交弦”模型交点过定直线（外） 11 题型三、“相交弦”模型交点过定直线（内） 16 题型四、“夹丸子”模型内心过定直线 22 题型五、“糖葫芦”模型分点过定直线 27 题型六、“切点弦”模型交点过定直线 37 题型精析・方法突破提能力 41 知识网络・核心根基深扎牢 题型归纳 题型1：“弦中点”模型中点过定直线（弦所在直线斜率为定值） A B N x y 若直线AB斜率一定且与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于A和B，AB中点为N，证明点N过定直线。 注意：高考中常考的情况如上图，其中直线斜率为定值，AB中点N点过定直线。或者看作两“定”一中点问题：条件是一直线定斜率，N为AB中点，求中点在定直线上，其中两定点可任意变换证明。 题目特征：直线斜率为定值，弦AB中点为N，证明N在定直线上（它的变式情况可能为两平行直线的弦中点连线在定直线上）。 解题方法（以上图椭圆为例）：若直线AB斜率一定且与椭圆（0）交于A和B，AB中点为N，证明点N过定直线。 步骤1：设直线，找根与系数关系：设A，B，设直线（其中已知，为参数），与椭圆方程（0）联立得出：+，，步骤2：利用中点坐标公式求中点坐标：由，（这两个坐标都只含参数） 步骤3：根据中点N的坐标求定直线：消去参数即可得出定直线。 题型2：“相交弦”模型交点过定直线——定直线在圆锥曲线外（三定点） 若过定点P的直线与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于C,D两点，若过定点的直线AB与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于A,B两点，证明直线AC,BD的交点Q在定直线上。（该定点P处于圆锥曲线内部，定直线在圆锥曲线外部） 注意：高考中常考的情况如上图，其中一条直线过定点P，以及两定点A，B（通常为圆锥曲线顶点）。或者看作三“定”点问题：条件是过三定点的直线，求其中两条直线交点在定直线上，其中定直线与定点可任意变换证明（这种情况下的定直线与x轴或y轴垂直）。 题目特征：直线过定点，A，B为定点，AC,BD的交点在定直线上。 解题方法（以上图椭圆为例）：若过定点P（t，0）<a的直线与椭圆（0）交于C,D两点，已知A，B为椭圆左右顶点，证明直线AC,BD的交点Q在定直线上。 步骤1：设直线，找根与系数关系：设C，D，设直线，与椭圆方程（0）联立得出：+，，再得出+，之间的倍数关系（非对称韦达定理需要使用；这一步是重点步骤，后面需要用到这个关系） 步骤2：用点斜式写出直线AC,BD方程：直线AC：，直线BD：， 步骤3：联立直线AC,BD方程：消去，得到：，将，代入得到（1） 步骤4：消参得出定直线：将步骤1得出的+，之间的倍数关系代入（1）即可消去参数求出定直线。 题型3：“相交弦”模型交点过定直线——定直线在圆锥曲线内（三定点） 若过定点M的直线与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于P,Q两点，若过定点的直线AB与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于A,B两点，证明直线AQ,BP的交点N在定直线上。（该定点M处于圆锥曲线外部，定直线在圆锥曲线内部） 注意：高考中常考的情况如上图，其中一条直线过定点M，以及两定点A，B（通常为圆锥曲线顶点）。或者看作三“定”点问题：条件是过三定点的直线，求其中两条直线交点在定直线上，其中定直线与定点可任意变换证明（这种情况下的定直线与x轴或y轴垂直）。 题目特征：直线过定点，A，B为定点，AQ,BP的交点在定直线上。 解题方法（以上图椭圆为例）：若过定点M（t，0）<a的直线与椭圆（0）交于P,Q两点，已知A，B为椭圆左右顶点，证明直线AQ,BP的交点N在定直线上。 步骤1：设直线，找根与系数关系：设Q，P，设直线，与椭圆方程（0）联立得出：+，，再得出+，之间的倍数关系（非对称韦达定理需要使用；这一步是重点步骤，后面需要用到这个关系） 步骤2：用点斜式写出直线AQ,BP方程：直线AQ：，直线BP：， 步骤3：联立直线AQ,BP方程：消去，得到：，将，代入得到（1） 步骤4：消参得出定直线：将步骤1得出的+，之间的倍数关系代入（1）即可消去参数求出定直线。 题型4：“夹丸子”模型内心过定直线（弦过定点或斜率为定值） 过一定点E（或者斜率为定值）的直线与圆锥曲线交于M,N两点，且平面内存在一定点F，证明三角形MNF内接圆的圆心在定直线上（此类型题目主要是证明直线NF，MF的斜率之和为0，从而确定定直线）。 注意：高考中常考的情况如上图，直线MN过定点E点（一般在坐标轴上），与椭圆交于M，N两点，有一定点F，则三角形MNF内心过定点。 题目特征：一定点，一过定点直线（或一定点，一定斜率直线），一内切圆。 解题方法（以上图椭圆为例）：若过定点E（t，0）的直线与椭圆（0）交于M,N两点，已知F（c，0），证明三角形MNF内接圆的圆心在定直线上。 步骤1：设直线，找根与系数关系：设M，N，设直线，与椭圆方程（0）联立得出：+， 步骤2：写出直线NF,MF的斜率：，， 步骤3：求直线NF,MF的斜率和： 再化简分子部分：，再代入根与系数关系消参得出0 步骤4：判断对称性得出定直线：。根据斜率和为0知两直线倾斜角互补，从而IF垂直x轴，则三角形MNF内接圆的圆心过定直线 题型5：“糖葫芦”模型分点过定直线（距离“乘积型”或“比值型”） 过椭圆外一定点P的直线AB交圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）于A、B两点，在弦AB之间存在一点Q使得（或），则Q在定直线上。 题目特征：直线AB过定点圆锥曲线外一定点，弦AB上存在点Q使得（或，注意能够化简为这样形式的也是“糖葫芦”模型）。 解题方法（以椭圆为例）：过椭圆外一定点P(m,n)的直线AB交椭圆（0）于A、B两点，在弦AB之间存在一点Q使得，证明Q在定直线上。 步骤1：设直线，找根与系数关系：设A，B，设直线，与椭圆方程（0）联立得出：+， 步骤2：利用距离比值表示Q点横坐标：设Q，则，，根据则，进一步化简得到 步骤3：代入根与系数关系化简：代入+，化简（化简后只含一个参数） 步骤4：将化简后的代入直线AB求出Q纵坐标：将化简的代入直线得到（注意，都只含一个参数），最后利用+f=0，求出，f的值，即可求出定直线。 题型6：“切点弦”模型交点过定直线（切点弦所在直线过定点） 若定点M的直线与圆锥曲线交于A、B两点，过A、B引出两条直线分别与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）于相切，切点为A、B，则N过在定直线上。 题目特征：直线AB过定点，过A,B的切线交于T点（此题型高考常考题型为抛物线） 解题方法（以抛物线为例）：已知抛物线(p>0)，若定点M的直线与圆锥曲线交于A、B两点，过A、B引出两条直线分别与抛物线于相切，切点为A、B，则N过在定直线上。 步骤1：设直线，找根与系数关系：设A，B，设直线，与抛物线(p>0)联立得出：+，（焦点在y轴，找+，） 步骤2：表示切线方程：直线（用化简）；直线（用化简）。 （注意：这里求切线方程可以设直线，与抛物线联立，利用判别式为0求切线方程。） 步骤3：联立切线方程化简：联立：与得出N点横坐标为（抛物线焦点在y轴，则需要求N点纵坐标）：（注意这里得出的是定值），即可得出定直线 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、“弦中点”模型中点过定直线 典例探究 【典型例题】已知椭圆，一组平行直线的斜率为，经计算当这些平行线与椭圆相交时，被椭圆截得的线段的中点在定直线l上，则直线l的方程为 . 【答案】 【分析】设这组平行直线的方程为，并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系、判别式，求得中点坐标，由此求得定直线的方程. 【详解】设这组平行直线的方程为，联立， 整理得， ，解得. 且，， 所以这组平行直线与椭圆交点的中点坐标为， ，， 所以这些点均在上. 故答案为：. 举一反三 【1-1】动点到定点的距离与到定直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，为的中点． ①求实数的取值范围； ②证明：点在定直线上． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）根据题设的距离关系列方程并整理得曲线方程； （2）①联立直线与曲线，根据求参数范围；②应用韦达定理求的中点的坐标，即可得定直线，证结论. 【详解】（1）由题设，则，整理得； （2）①联立与，整理得， 所以，则，所以； ②由①知，，则， 所以的中点为，显然点在定直线上，得证. 【1-2】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，其离心率为，焦距为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线：与椭圆交于，两点，为弦的中点，证明：点在定直线上； (3)求椭圆的内接菱形边长的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)由椭圆的基础知识即可求出，，的值可写出椭圆的标准方程. (2)先设出，两点坐标，再把直线方程与椭圆方程联立方程组，消元，写出根与系数的关系然后写出的坐标即可证明在定直线上. (3)先分析出菱形中心在坐标原点再用斜截式设出菱形一条边所在直线方程，联立方程组，消元写出根与系数的关系继续根据菱形的对角线相互垂直写出两参数的关系式，继续用两参数写出弦长公式结合基本不等式求出最值. 【详解】（1）因为焦距为，所以，所以，又因为所以 所以，又因为所以 又因为椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的标准方程为． （2）证明：设，， 联立直线与椭圆方程 整理得， ， 解得：， ，，则，所以． 显然点在直线上，得证． （3）解：由（2）知，菱形的中心在坐标原点，且有， 菱形不论怎样运动，直线和总有一条斜率存在，不妨设直线的斜率存在且直线方程为，，， 联立得，，， ， 由于，于是， 即，， 化简整理得：， 从而，． 即， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号． 综上，，因此，菱形边长的最大值为． 【1-3】已知双曲线的实轴长为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求； (3)若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，将点的坐标代入得，即可求解. （2）由（1）得，进而得直线的方程为，设，联立双曲线方程，利用韦达定理即可求解. （3）利用点差法即可证明. 【详解】（1）根据题意可得，则， 将点的坐标代入，得，解得， 故双曲线的方程为； （2）由（1）得，则， 则直线的方程为，设， 由，得， ，， 所以； （3）设， 则，两式相减得， 设，则，所以， 即，所以，即， 所以在直线上. 题型二、“相交弦”模型交点过定直线（外） 典例探究 【典型例题】已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线与相交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据数量积的坐标公式可求出，然后根据离心率求出，进而可得到椭圆的标准方程. （2）（i）设直线的方程，联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理，将直线的方程表示出来，进而可求得定直线的方程；（ii）根据直线的斜率将表示出来，然后利用基本不等式的性质求出最大值. 【详解】（1）由题意知，，， 所以，即. 又，所以，. 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）由于直线过点且斜率不为0，所以可设直线的方程为. 由，得， 设，，则，， 所以. 因为椭圆的左，右顶点分别为，， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 所以， 解得，所以点在定直线上. （ii）设直线的倾斜角分别为，则， 由（i）知， 所以， 所以 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 举一反三 【2-1】已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为.    (1)求椭圆的方程； (2)设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点. （i）求证点在定直线上； （ii）设，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）1 【分析】（1）由题意求出的值，即得答案； （2）（i）设直线方程为，联立椭圆方程可得根与系数关系，写出直线，的方程，联立化简，即可证明结论；（ii）由可得的表达式，化简，即可求得答案. 【详解】（1）依题意，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为， 椭圆方程为 （2）（i）证明：由（1）知可设直线方程为， 联立和， 得，直线l过椭圆焦点，必有， ， ，直线方程为， 直线方程为， 联立两方程得， ，即点在定直线上； （ii）依（i）有.设，若， 则，则， . 故当时，的最大值为1. 【2-2】如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，，过点作不与轴重合的直线，与椭圆交于点，，直线与直线交于点，试讨论点是否在某条定直线上．若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．    【答案】点在定直线上． 【分析】设直线的方程为，点，，联立得到，进而得到，代入通过计算可得，解. 【详解】由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，点，， 联立，得， 故， ，． 设直线，方程分别为，， 可得， 其中， 所以， 解得．因此，点在定直线上． 【2-3】已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题设条件建立的方程组，求解即得双曲线的方程； （2）设直线PQ的方程为，，，，利用韦达定理推得，，即有，由直线，直线，代入点，即得，进行联立，化简计算，即可求得定直线方程． 【详解】（1）由题意，，，， 联立解得， 双曲线的标准方程为． （2）因为直线PQ过右焦点，且与双曲线交于P，Q两点，故直线PQ不与x轴平行， 设直线方程为，设，， 由消去可得， 因,，， 则有（*） 由题知，，，设， 则直线，直线， 将代入两式，可得，， 两式相除得,将（*）代入，可得 , 即，解得， 所以点在定直线上． 题型三、“相交弦”模型交点过定直线（内） 典例探究 【典型例题】已知椭圆过点，短轴长为4． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)在定直线上，理由见详解. 【分析】（1）依题意可得，即可求出、，从而得解； （2）由对称性分析该定直线为平行于横轴的直线，将直线与椭圆联立消，设直线、的方程解出纵坐标，结合韦达定理化简计算即可. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）在定直线上，理由如下： 设点与直线联立消去整理得， 由，且， 所以， 易知，，则，， 两式作商得，解得， 故在定直线上. 举一反三 【3-1】已知椭圆：（）过点，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）利用椭圆过点，离心率，结合，即可得解； （2）由题意得直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求根公式可求得，联立直线的方程与直线的方程，化简可求得直线与的交点在定直线上． 【详解】（1）由椭圆过点，且离心率为，所以， 解得， 故所求的椭圆方程为． （2）由题意得，， 直线的方程，设， 联立，整理得， 由，即， 所以，. 由求根公式可知，不妨设，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立，得， 代入，得， 解得，即直线与的交点在定直线上.    【3-2】已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为A，B，G为C的上顶点，且的面积为2. (1)求椭圆C的方程； (2)过点的动直线与C交于M，N两点.证明：直线与的交点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆离心率以及的面积，列出关于的方程，求出，即可得答案； （2）设，设方程为，方程为， 分别联立椭圆方程，求出的表达式，结合化简可得的关系式，结合，的方程，即可求得交点的横坐标，即可证明结论. 【详解】（1）由题意知椭圆的离心率为，即， 则； 又， 联立解得， 故椭圆C的方程为； （2）证明：由（1）知，设， 结合题意知直线与斜率存在，设方程为，方程为， 联立，得，， 则，故，则； 联立，得，， 故，则， 由题意知，M，N三点共线且MN斜率存在，故， 故，化简得， 若，则，此时， 则重合（直线和x轴不平行且不和点重合），不合题意； 故， 则方程为，方程为，联立解得， 即直线与的交点横坐标为，故直线与的交点在一条定直线上. 【3-3】如图，已知双曲线的右焦点为，O为坐标原点，过点F作直线与双曲线的渐近线交于P，Q两.点，且点P在线段FQ上，，. (1)求C的方程； (2)设是C的左､右顶点，过点的直线l与C交于M，N两点，试探究直线与的交点S是否在某条定直线上，若是，求出该定直线方程，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，在定直线上 【分析】（1）计算得到，，得到，解得，，得到答案. （2）直线的方程为，，联立方程得到根与系数的关系，确定直线方程，计算交点坐标，得到，得到答案. 【详解】（1）双曲线右焦点为，故，渐近线方程为，则， ，故，即， ，故， 解得，，故，故， 故，，，解得，. 故双曲线方程为. （2），，设直线的方程为，， 联立，得. 故，故， 直线，直线， 联立两直线方程，解得 ， 故直线与直线的交点在定直线上. 题型四、“夹丸子”模型内心过定直线 典例探究 【典型例题】已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，代入点的坐标可得，求解可得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，由韦达定理可得，设直线的斜率分别为，计算可得恒成立，进而可得结论. 【详解】（1）因为椭圆两个焦点为，所以，则， 又点在椭圆上，所以.即， 两式联立，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为， 联立，得， 则，得， 设，则， 设直线的斜率分别为. 所以， 因为， 所以恒成立，则直线的倾斜角互补，即的平分线总垂直于轴， 所以的内心在定直线上. 举一反三 【4-1】已知椭圆C：（）过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，证明：△MAB的内心在一条定直线上． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意建立关于，的方程组，再求解即可得到椭圆C的标准方程； （2）设，，联立直线和椭圆C的标准方程，得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理证明，进而即可得出结论． 【详解】（1）依题意有，解得， 所以椭圆C的标准方程为． （2）设，， 联立，消整理得， 则，解得， 可得，， 所以， 所以， 所以， 又， 所以恒成立，则的平分线总垂直于x轴， 所以的内心在定直线上．    【4-2】如图，已知椭圆的上、右顶点分别为，，是椭圆的右焦点，是椭圆上的点，且（是坐标原点）． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）若不过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，试问：当点在直线的上、下方时，的内心是否分别位于某条定直线上？若是，请求出两条定直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）是；当点在直线的上方时，；当点在直线的下方时，. 【解析】（Ⅰ）由题意可得，结合椭圆性质可得，再代入点即可得解； （Ⅱ）由题意设直线，联立方程，结合韦达定理、直线的斜率可得，再由直线斜率的知识可得的平分线，即可得解. 【详解】（Ⅰ）设点， 因为，所以，所以， 又是椭圆上的点，所以即， 所以，， 所以，； （Ⅱ）由题意设直线，即， 设，，由（Ⅰ）得椭圆方程为， 则，消去x得， 由可得， 则，， 因为，， 所以 ； 所以当点在直线的上方时，的平分线为直线， 所以此时内心位于定直线上； 当点在直线的下方时，的平分线为直线， 所以此时内心位于定直线上. 【4-3】已知曲线，直线与曲线交于轴右侧不同的两点． (1)求的取值范围； (2)已知点的坐标为，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)的内心恒在一条定直线上，该直线为 【分析】（1）联立方程，根据题意结合韦达定理列式求解； （2）根据（1）中的韦达定理证明，即可得结果. 【详解】（1）设， 联立方程，消去y得：， 由题意可得，解得， 故的取值范围为. （2）内心恒在一条定直线上，该直线为， ∵，即点在椭圆上， 若直线过点，则，解得， 即直线不过点，故直线的斜率存在， 由（1）可得：， 设直线的斜率分别为，则， ∵ ， 即，则的角平分线为， 故的内心恒在直线上. 题型五、“糖葫芦”模型分点过定直线 3”（已知一直线过定点与对称点） 典例探究 【典型例题】已知椭圆的左、右焦点分别是为上一点，且在中，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，证明过定直线． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设椭圆的焦点为，由，求得，进而得，由椭圆定义求得，得解； （2）设，当直线的斜率存在时，设直线，由，可得，联立直线与椭圆的方程得到根与系数关系，求得，进而得点在直线上. 【详解】（1）设， 依题意，，解得，从而， 因此，由勾股定理可得． 所以，可得． 所以求椭圆的方程为. （2）设， 当直线的斜率存在时，， 由，可得，解得．（*） 设直线， 联立整理可得， 由， 整理可得：，解得或， 且， 代入（*）整理可得， 代入直线的方程，得， 可得． 当直线的斜率不存在时，，则， 由，得，也满足方程， 所以点在直线（在椭圆内部）上．    举一反三 【5-1】复数（）与复平面上的点一一对应： (1)复数（，），（，），若（），复平面上动点的轨迹为；若（），复平面上动点的轨迹为；判断并证明、的曲线类型. (2)复数、、、（，）满足（）且，复平面上动点的轨迹为曲线. （ⅰ）求的标准方程，并判断曲线类型； （ⅱ）平面上过的动直线交曲线于、两点，是线段上一点且满足，证明：点恒在某条定直线上. 【答案】(1)是圆，证明见解析；是直线，证明见解析 (2)（i），曲线为椭圆；（ii）证明见解析 【分析】（1）判断时将模长转化为对应坐标运算，化简后可得结果，判断时，根据横纵坐标的对应关系来进行判断即可； （2）（ⅰ）先根据（1）将复数之间的等量关系转化为几何关系，然后根据椭圆的定义作出判断并写出标准方程；（ii）设出直线的方程以及的坐标，联立直线方程与椭圆方程可得坐标的韦达定理形式，然后利用弦长公式转化条件，通过代入韦达定理形式的坐标关系求得横纵坐标的关系，则可完成证明. 【详解】（1）是圆心为，半径为的圆； 证明：因为，所以， 所以，所以， 表示圆心为，半径为的圆； 是经过和的一条直线； 证明：因为，所以，所以， 当时，，即，表示经过且斜率为的一条直线， 当时，，表示轴， 所以是经过和的一条直线. （2）（i）设在复平面内对应的点为， 由（1）可知，表示直线，表示的垂直平分线， 所以为的垂直平分线与直线的交点， 因为，所以，因为，所以， 因为，所以在以为圆心，半径为的圆上， 如下图所示，    由上可知，， 所以的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 所以，所以， 所以的标准方程为，曲线为椭圆； （ⅱ）设，不妨假设， 由题意可知，直线的斜率存在，设， 联立，可得， 所以，且， 因为， ， 所以， 化简可得， 所以， 所以，且， 所以，化简可得， 所以在定直线上.    【5-2】已知椭圆的焦点在轴，离心率，点在直线上． (1)求实数的值； (2)设是椭圆的右焦点，若是椭圆上一点，且满足，设直线和直线（为坐标原点）的斜率分别为，证明：； (3)若点的纵坐标为，过作直线交椭圆于不同的两点和，在线段上取点（异于两点）满是，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据离心率及椭圆的关系即可求出实数的值. （2）由（1）可设点，根据得出，再由点Q在椭圆上得出，用斜率公式即可求出的值； （3）设出的坐标，根据向量共线用坐标表示，解方程组即可得到点的横纵坐标所满足的线性关系. 【详解】（1）设椭圆E的半焦距为c， 由题意可得，解得， 故实数的值为. （2） 设 已知，所以 由在椭圆上有： 所以. （3） 设， 由题意知， 令，则有， 所以，， 则有，即， ①③得：⑤ ②④得：⑥， ⑤⑥： 又在椭圆上， 则有，， 所以的轨迹方程为：， 即点在定直线上． 【5-3】已知点在双曲线上． (1)双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：的面积是定值； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足，证明：点恒在一条定直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求出双曲线方程，设，则过点的切线方程为，联立与两条渐近线方程，得到点坐标，利用求出面积为定值； （2）考虑直线斜率不存在，不合题意，故直线斜率存在，设直线方程，与双曲线方程联立，设出，得到两根之和，两根之积，再设点的坐标为，由得到，，消去参数得到点恒在一条定直线上. 【详解】（1）将代入双曲线中，， 解得，故双曲线方程为， 下面证明上一点的切线方程为， 理由如下：当切线方程的斜率存在时， 设过点的切线方程为，与联立得， ， 由 化简得， 因为，代入上式得， 整理得， 同除以得，， 即， 因为，， 所以， 联立，两式相乘得，， 从而， 故， 即， 令，则，即， 解得，即， 当切线斜率不存在时，此时切点为，切线方程为，满足， 综上：上一点的切线方程为， 设，则过点的切线方程为， 故为过点的切线方程， 双曲线的两条渐近线方程为， 联立与，解得, 联立与，解得, 直线方程为，即， 故点到直线的距离为， 且， 故的面积为 ，为定值； （2）若直线斜率不存在，此时直线与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件， 故直线斜率存在，设直线方程， 与联立得， 由， 因为恒成立，所以， 故， 解得, 设，则， 设点的坐标为， 则由得，， 变形得到， 将代入，解得， 将代入中，解得， 则， 故点恒在一条定直线上. 题型六、“切点弦”模型交点过定直线 3”（已知一直线过定点与对称点） 典例探究 【典型例题】抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用给定的焦点坐标求出抛物线方程. （2）利用导数的几何意义求出抛物线在点处的切线方程，进而得直线方程即可推理得证. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设，直线的方程为，由，求导得， 抛物线在处的切线方程为，即， 依题意，直线过，则， 同理在处的切线过，则， 显然点在上，即直线与是同一直线， 因此，则，所以点在定直线上. 举一反三 【6-1】已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知直线：，联立抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦公式即可得解. （2）设，，首先将过点的两条切线方程求出来（分别用它们的坐标表示），然后联立两条切线方程可得的横坐标表达式为，由三点共线可得为定值，由此即可得证. 【详解】（1） 设，，由题意可得抛物线焦点，准线，直线：， 联立，得，所以， 所以. （2） 设，， 由题意，过点且与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，不妨设为， 则过点且与抛物线相切的直线方程为，① 联立，得， 所以，代入，得， 解得，带入①式即得， 即过点且与抛物线相切的直线方程为， 同理可得过点且与抛物线相切的直线方程为， 联立，可得， 由题意，直线斜率可能不存在但是一定不为0，设直线方程为， 联立，得，所以，即得， 所以点在定直线上. 【6-2】已知点，，动点满足，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知圆上任意一点处的切线方程为：，类比可知椭圆：上任意一点处的切线方程为：．记为曲线在任意一点处的切线，过点作的垂线，设与交于，试问动点是否在定直线上？若在定直线上，求出此直线的方程；若不在定直线上，请说明理由． 【答案】（1）；（2）动点在定直线上． 【分析】（1）根据椭圆的定义得到点的轨迹为以 ，为焦点，长轴长为4的椭圆，进而求得的值，即可求得椭圆的方程； （2）设，得到直线的方程，进而得到，联立方程组，求得动点在定直线上；当时，求得，即可得到动点在定直线上． 【详解】（1）由题意，点，，动点满足， 根据椭圆的定义知点的轨迹为以 ，为焦点，长轴长为4的椭圆 设椭圆方程为：，则，所以， 曲线的方程为：． （2）设，可得直线的方程为： 当时，， 所以的斜率为，可得， 由与的方程联立，消得， 可得，解得， 所以动点在定直线上， 当时，可得，此时，， 联立方程组，可得，此时在直线上， 综上所述，动点在定直线上． 【6-3】已知曲线上的点到的距离比它到轴的距离大1. （1）求曲线的方程； （2）过作斜率为的直线交曲线于､两点； ①若，求直线的方程； ②过､两点分别作曲线的切线､，求证：､的交点恒在一条定直线上. 【答案】（1）；（2）①；②证明见解析. 【分析】（1）由题意得点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，即可求得； （2）①过的斜率为的直线方程为：，由消可得，根据韦达定理和向量的关系即可求出，可得直线方程； ②根据导数的几何意义求出，切线与的方程，求出交点的坐标即可证明. 【详解】（1）设曲线上的点， 由题可知到的距离与到直线的距离相等， 所以，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 的方程为：. （2）设：过的斜率为的直线方程为：， ①由消可得. 令，， ，， 由题可知：若，即， 即得， 消去，得：， ， 所求直线的方程为：. 证明②由题知：，， 令，，设与相交于点. 方程为：， 方程为：， 相减得：， 代入相加得： ， ， ，， ､的交点恒在一条定直线上. 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】如图，作斜率为的直线与椭圆交于 两点，且在直线的上方，则△内切圆的圆心所在的定直线方程为 ． 【答案】 【分析】作仿射变换，则椭圆变成圆，则可得，由垂径定理可得的方程，从而可求得的方程 【详解】如图，作仿射变换：，椭圆变为，直线的斜率变为直线的斜率，变为 ， 由垂径定理平分，其方程为， 平分， △内切圆的圆心所在的定直线方程为． 故答案为： 【突破提升训练・2】若直线AB与曲线交于A，B两点，过A，B分别作的切线，两切线交于点，若直线AB经过定点，则点在定直线 上． 【答案】 【分析】解法一：利用导数得出在和在的切线方程，从而得出交点的横坐标，再由证明点在定直线上； 解法二：利用阿基米德三角形的结论直接求解即可. 【详解】解法一：依题意得直线AB的斜率必不为0，设直线AB的方程为， 不妨设在第一象限，在第四象限， 因为，所以，则， 且，求导得，则， 所以在点的切线方程为， 即，即， 同理在点处的切线方程为， 由，得点的横坐标为， 又， 所以 ， 所以的横坐标为 ，即点在定直线上． 解法二：已知双曲线的弦， 过A，B分别作双曲线的切线，两切线交于点，则为双曲线中的阿基米德三角形， 当弦AB过点时，点落在直线上． 由题意知此处，则所求定直线为直线． 故答案为：. 【突破提升训练・3】若抛物线的方程为，焦点为，设是抛物线上两个不同的动点. (1)若，求直线的斜率； (2)设中点为，若直线斜率为，证明在一条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据焦半径公式得到，求出，从而求出斜率； （2）法一：，联立抛物线方程，设，得到两根之和，两根之积，得到，求出答案； 法二：设，得到，从而确定，得到，得到答案. 【详解】（1）， ，将代入得，， 所以； （2）法一：设， ，即， 代入，得， 由韦达定理，有， 故，在定直线上. 法二：设， 由题意，， 故， 故，在定直线上. 【突破提升训练・4】已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且. (1)求椭圆的方程； (2)假设平面中有一组平行直线的斜率是， （i）这组直线何时与椭圆有两个公共点？ （ii）当这组直线与椭圆有两个交点时，证明这些直线被椭圆截的线段的中点在同一条直线上. 【答案】(1) (2)（i）这组平行直线的纵截距在时，与椭圆有两个公共点；（ii）证明见解析. 【分析】（1）由椭圆定义及点在椭圆上，求得即可求解； （2）（i）设出平行直线的方程，代入椭圆方程，消去，由判别式大于0，可得的范围；（ii）运用中点坐标公式，消去参数，即可得证． 【详解】（1）由，可知，即， 将代入椭圆方程可得：，解得， 所以椭圆的方程； （2）（i）依题意，设这组平行直线的方程为， 代入椭圆方程，消去， 得， 由判别式大于0，可得，解得， 则这组平行直线的纵截距在时，与椭圆有两个公共点； （ii）由（i）知直线和椭圆方程联立，可得， 此时，则，则中点的横坐标为..， 代入直线方程可得截得弦的中点为， 由，消去，可得． 则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上． 【突破提升训练・5】已知椭圆，一组平行直线的斜率是． (1)求这组直线何时与椭圆有两个公共点？ (2)当它们与椭圆有两个公共点时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． 【答案】(1)这组平行直线的纵截距在时，与椭圆有两个公共点 (2)证明见解析 【分析】（1）设出平行直线的方程，代入椭圆方程，消去，由判别式大于0，可得的范围； （2）运用中点坐标公式，消去参数，即可得证． 【详解】（1）依题意，设这组平行直线的方程为， 代入椭圆方程，消去，得， 即，即， 由判别式大于0，可得，解得， 则这组平行直线的纵截距在时，与椭圆有两个公共点； （2）由（1）知直线和椭圆方程联立，可得， 此时，则，则中点的横坐标为， 代入直线方程可得截得弦的中点为， 由，消去，可得． 则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上． 【突破提升训练・6】已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由双曲线的离心率、焦距以及的关系式，建立方程组，可得答案； （2）（i）设出直线方程，联立写出韦达定理，根据三角形面积公式，结合题意可知三角形等底，面积之差等于纵坐标之差，根据整式化简，可得答案；（ii）由（i）所得韦达定理，整理等量关系，设出直线方程求得交点建立方程，化简整理，可得答案. 【详解】（1）由题意：，解得， 所以双曲线的方程为：. （2） （i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立得，设， 因为点在双曲线的左支上，所以，解得， 又，则， 即有，则，解得， 满足，所以，于是直线的方程为. （ii）由（i），则，故. ，则，所以直线的方程为， 同理，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：， 显然，由题意得：， 则， 则，故点在定直线上. 【突破提升训练・7】已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【答案】(1)过定点，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （2）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【详解】（1）抛物线Ω：的焦点， 互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得，， ，，弦MN的中点， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，当时，恒有， 所以直线过定点，其坐标为. （2）直线的斜率，同理得直线的斜率， 此时直线的方程为，即， 同理，直线的方程为，即，整理得， 由，消去解得， 所以直线ME与直线NP的交点在直线上. 【突破提升训练・8】如图所示，已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于点、和点、，直线、交于点．证明：点在定直线上． 【答案】证明见解析 【分析】设直线的方程，然后与抛物线联立方程组，消元，然后根据韦达定理即可求解. 【详解】证明：法一（常规证法） 由题意，设点，，，． 直线的方程为，直线的方程为． 由得， ∵恒成立，由韦达定理得，， 同理有，， ∴， ∴① 同理可得 ∵，∴，同理∵，∴， ∴， 即② 联立①②得 整理得 化简得，即点在直线上． 法二（参数方程）． 设，，，，（，）， 则， ∴， 同理可得， ∵，且，， ∴ 化简得，同理可得． 由整理得 即，∴点在直线上． 【突破提升训练・9】椭圆C的中心在坐标原点、对称轴是坐标轴，点和点Q在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)A、B是椭圆C的左、右顶点，过点的直线l与椭圆C相交于M、N两点（不与A、B重合），直线AM与直线BN相交于点G，求证：点G在一条定直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设椭圆方程为，将所过的点带入求参数，即可得方程； （2）设，且，联立椭圆并应用韦达定理得，，点斜式写出直线，的方程，并联立求其交点横坐标，即可证结论. 【详解】（1）令椭圆方程为，则，可得， 所以椭圆方程为； （2）由题意，设，且， 联立与椭圆，得， 所以，则，， 由，，联立可得， 所以，可得， 所以， 所以点G在一条定直线上，得证. 【突破提升训练・10】已知在平面直角坐标系中，两定点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求点的轨迹方程，并指出的形状. (2)若直线与点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的交点在定直线上. 【答案】(1)，焦点在轴上，长轴长为6，焦距为，除去，的椭圆. (2)证明见解析 【分析】（1）结合给定条件求出轨迹方程，再判断形状即可. （2）利用给定条件求出直线斜率，得到直线方程，联立求出交点横坐标，结合韦达定理求出定值，进而证明交点在定直线上即可. 【详解】（1）设点的坐标为， 因为，所以直线的斜率为， 因为，所以斜率为， 由已知得，整理得， 故形状为焦点在轴上，长轴长为6，焦距为，除去，的椭圆. （2）联立，消去整理得：， 如图，设，，，， 而， 直线，直线， 联立两直线得到， 整理得， 故直线与直线的交点在定直线上. 【突破提升训练・11】已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由椭圆定义得到，求出，结合焦点坐标，得到，得到椭圆方程； （2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，设，得到两根之和，两根之积，表达出直线和直线的方程，联立求出，解得，故点D在定直线上. 【详解】（1），由椭圆定义知 ， 所以，又， 所以椭圆C的标准方程为 （2）若直线l的斜率为0，此时两点与重合，不合题意，舍去， ，设直线l的方程为， 由，得．    显然恒成立，设， 所以有① 直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程可得，所以， ， 由①式可得， 代入上式可得， 即，解得，故点D在定直线上. 【突破提升训练・12】已知椭圆的左、右焦点分别为，，若到过椭圆左焦点、斜率为的直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的四边形面积为4． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，证明：直线的交点在垂直于轴的定直线上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出，即可得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出交点的坐标，从而可知其在定直线上． 【详解】（1）斜率为的直线倾斜角为， 到过椭圆左焦点、斜率为的直线的距离为3，故 连接椭圆的四个顶点得到的四边形为对角线互相垂直的四边形， 故面积，则，结合 解得，故椭圆的方程为：. （2）由题意知，直线的斜率不为0， 故设过点的直线的方程为：，， 联立得：， 故，， 易知，故， 所以直线的方程为：， 同理可得，直线的方程为：， 联立得：， 即，化简得：， 因为， 故，即，故， 所以直线的交点在垂直于轴的定直线上.    【突破提升训练・13】已知圆和圆，动圆Q与圆、圆都外切或都内切，记点Q的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)过点作直线，使其被曲线E截得的弦恰被点P平分，求直线的方程； (3)记曲线E的左、右顶点为，，过点的直线与曲线E的左支交于C，D两点，点C在第二象限，直线与交于点G，证明点G在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用圆与圆的位置关系得出以及即可依据双曲线的定义写出方程； （2）利用点差法得出直线斜率，再利用点斜式可求； （3）设直线方程，联立方程组，求直线与的方程，联立直线方程计算为定值. 【详解】（1）设动圆的半径为，当动圆与圆、圆都外切时， 所以 当动圆与圆、圆都内切时，， 所以，所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，，所以， 所以曲线的方程为. （2）设直线交双曲线于点，并设，， 所以两式相减可得：， ，则， 因为为线段的中点，所以，， 所以，所以直线的方程为， 化简可得，经检验，该直线与曲线有两个交点，符合题意. （3），，设点，， 因为直线CD的斜率不为0，故设CD的方程为， 联立得， 直线的方程为， 直线的方程为， 联立直线与可得 ，则 又，得，故点在定直线上.    【突破提升训练・14】已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．    (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由直接求出双曲线方程即可； （2）设直线方程和设，直曲联立表示出韦达定理，利用点在双曲线上代入化简表示出直线方程，联立两方程化简即可； 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 依题意有， 所以双曲线方程为. （2）    (i)证明:设直线方程为:，设， 联立方程，消去得:， ， ， 是双曲线上的点， ， 直线，同理直线， 联立方程得 ， 解得，故点在定直线上. 【突破提升训练・15】已知点分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线于两点，当直线的斜率不存在时，. (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线的右焦点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，若的面积为，求该双曲线的方程； (3)在（2）的条件下，若点分别为双曲线的左､右顶点，直线与直线相交于点，证明：点在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题可得，据此可得离心率； （2）由（1）可设，然后由题可得 ，据此可得答案； （3）设，将直线，直线联立，可得，然后将直线方程和双曲线方程联立，由韦达定理可得，结合，可得，解方程可完成证明. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，点，所以， 所以，即，所以，即， 所以，即，解得（舍去. （2）由（1）可得，，所以可设，计算可得，点， 该双曲线的一条渐近线的方程为，即， 利用点到直线的距离公式可得， 又，所以，可得，所以 因此，可得该双曲线的方程为. （3）证明：由（2）可知，，设， 则直线，直线， 联立 两式相除可得，所以， 当直线的斜率为0时，不满足题意，所以设直线， 则， 代入可得， 联立整理得，所以 所以， 则 ，注意到， 所以，解得， 所以点在直线上. 【突破提升训练・16】在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为． (1)设点的轨迹为，求曲线的方程； (2)设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用斜率之积即可求动点轨迹方程； （2）利用直线与椭圆联立方程组，即可求中点坐标，从而可证明在直线上. 【详解】（1）设交点，则根据直线与两直线的斜率之积为可得， ，整理得：， 由于直线与两直线的斜率一定存在，则， 所以点的轨迹为的方程为：. （2）    设斜率为的直线与曲线相交于两个交点， 则由直线方程与椭圆方程联立方程组可得： ， 由韦达定理可得：， 而， 设中点，则， 从而有，即可证明这些平行直线的中点一定在直线上. 【突破提升训练・17】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的动点，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆短半轴长，结合离心率求出长半轴长即可. （2）设直线的方程为：，，联立直线与椭圆，再表示出直线与的方程，联立求出交点，即可计算推理得证. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，由短轴长为，得， 由离心率为，得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为：，，而， 由消去得：， ， 则，， 又直线的方程为：，即， 又直线的方程为：，即， 由，得， 所以当点运动时，点恒在定直线上.    【突破提升训练・18】已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点. (1)求的方程； (2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于. （i）证明：三点共线； （ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）根据圆过双曲线顶点求出，再由离心率即可得解； （2）（i）设出直线方程，联立双曲线方程，由根与系数的关系及斜率公式可证明，即可得证； （ii）设直线方程，联立圆的方程可得点坐标，求出，得出直线方程，联立方程求出点横坐标为定值得证. 【详解】（1）因为圆与恰有两个交点， 由双曲线及圆的对称性知，圆过双曲线的左右顶点， 所以， 又，所以，故， 所以双曲线的方程为. （2）（i）由（1）知，, 设过的直线方程为，，如图， 由，可得， ，其中， ， ， ，为圆的一条直径， 三点共线. （ii）不妨设直线，其中， 由（i）可知， 由，可得，解得, 故可得，即， ， 直线 ， 由，可解得， 点在定直线上. 【突破提升训练・19】已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，为的右支上一点，且． (1)求的方程； (2)设的左、右顶点分别为，直线与交于两点，与轴交于点，直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1)． (2)证明见解析 【分析】（1）由双曲线定义将条件转化为最小值，从而利用求最小值解即可； （2）由直线过设方程联立椭圆方程利用韦达定理得坐标关系式，再设直线与方程并联立求得点坐标的表达式，利用点横、纵坐标关系可证明点在定直线上. 【详解】（1）由题知，即， 又为的右支上一点，则， 所以 ， 故当最小时，最小， 而，故， 即，故，故的方程为． （2）    当直线的斜率为0时，不满足题意； 当直线的斜率不为0时，由过点，可设其方程为， 联立消去得， 设，， 则，，故（）， 由（1）知，， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立消去得， 将，代入上式得， 得，将（）代入化简得 ， 即，所以点在定直线上． 【突破提升训练・20】如图，已知椭圆的方程为，点、分别是椭圆的左、右顶点，点的坐标是，过点的动直线交椭圆于点、（点的横坐标小于点的横坐标）． (1)求椭圆焦点的坐标； (2)是否存在常数，使为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当设直线的斜率不为时，设直线与交于点．请提出一个与点有关的问题，并求解该问题． （备注：本小题将根据提出问题的质量及其解答情况进行分层计分．） 【答案】(1)和 (2)存在， (3)答案见解析 【分析】（1）根据椭圆方程求出，即可得到焦点坐标； （2）①当直线斜率不为时，设直线的方程为：，、，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，利用数量积运算求解；②当直线斜率为，直接求出点的坐标，再计算数量积，即可得解； （3）首先得到、的方程，联立消去，求出，即可得到点在直线上. 【详解】（1）椭圆的方程为，则，，所以， 则椭圆的焦点坐标为和. （2）①l必存在斜率，当直线斜率不为时，设直线的方程为：，、， 联立并化简得：， ∴，解得，∴，， 又，，，， ∴ ， ， 若使为定值， 只需，即，其定值为， ②当直线斜率为，直线的方程为，则有、， 又，，，， ∴，当时，也为定值， 综上，存在一个常数，使为定值. （3）问题：S是否在一条定直线上？ 点在定直线上，理由如下： 由（2）可知，，， 当直线的斜率不为时，，， 则直线的方程为， 直线的方程为， 则， 所以 ， 所以， 所以点的轨迹方程为，即点在定直线上. 【突破提升训练・21】已知椭圆经过两点.作斜率为的直线与椭圆交于两点（点在的左侧），且点在直线上方. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：的内切圆的圆心在一条定直线上. 【答案】(1) (2)解析见详解 【分析】（1）根据点坐标，可知，再将点坐标代入椭圆方程，可求的值，从而得到椭圆的标准方程. （2）分析出，得到的平分线就是过点且与轴垂直的直线，也就是所求三角形内切圆圆心所在的直线. 【详解】（1）因为椭圆焦点在轴上，且过点，所以，有椭圆过点， 所以 . 故椭圆：. （2）如图： 设直线的方程为，联立方程组：，消去得： ，整理得：. 由得： . 设，，则：，. 又，. 因为： 所以：的角平分线为：. 故的内切圆圆心一定在直线上. 【突破提升训练・22】已知椭圆：，若点，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)点是的左焦点，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点，，求证：内切圆的圆心在定直线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据对称性，定在椭圆上，然后分别讨论，在椭圆上的情况，从而可求出椭圆方程， （2）设，，：，将问题转化为证明的角平分线为定直线，只要证，将直线方程代入椭圆方程消去，利用根与系数的关系，代入上式化简即可得结论. 【详解】（1）根据对称性，定在椭圆上， 若也在椭圆上，则，方程组无解， 所以为椭圆上第三个点， 所以，解得， 所以椭圆的方程为：； （2）由（1）得：，，设，，：． 要证明内切圆的圆心在定直线上，由对称性和内心的定义，即证明的角平分线为定直线， 即证，即，即证， 只要证， 由，得， ，得， 所以 所以成立， 即得证， 即内切圆的圆心在定直线上． 【突破提升训练・23】曲线上任意一点到点的距离与它到直线的距离之比等于，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点． （1）求的方程； （2）求证：内切圆的圆心在定直线上． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）设点，根据条件建立等式，化简即可； （2）设出直线和点，将代入C，消元后根据根与系数的关系得到两根间的关系，设出直线AF与BF的斜率然后求和，化为两根关系结合根与系数的关系化简，进而得到答案. 【详解】（1）设，由题意：， 化简得：，即C的方程为：. （2）设直线，，将代入C得：， ∴ 设直线AF与BF的斜率分别为，则 . ∴，则，∴直线平分，而三角形内心在的角平分线上，∴内切圆的圆心在定直线上. 【突破提升训练・24】已知椭圆，，分别为椭圆C的左，右焦点，过且与x轴不重合的直线l交C于P，Q两点，的周长为8，面积的最大值为2． （1）求C的方程； （2）点，证明：内切圆的圆心在x轴上． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据椭圆的定义可得，根据面积的最大值为2，可得，结合，可得，从而可得椭圆的方程； （2）设直线的方程为，代入，消去整理得：，设，，根据韦达定理和斜率公式可得，由此可证结论正确. 【详解】（1）的周长为8，， 面积的最大值为2，，即， 又∵，∴，， 故椭圆的方程为． （2）由（1）得，设直线的方程为， 代入，消去整理得：， 设，，则， 记直线，的斜率分别为，，则 ，因此内切圆的圆心在轴上． 【突破提升训练・25】已知双曲线过点，且焦距为. (1)求的方程； (2)已知过点的动直线交的右支于两点，为线段上的一点，且满足，证明：点总在某定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）设点、、，记，则，，利用平面向量的坐标运算结合点差法求出点Q的轨迹方程，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以，双曲线的方程为. （2）设点、、， 因为，即，记，    又A、P、B、Q四点共线，则，， 即，， 有，， 得，， 又因为，则，作差可得， 即， 得，即， 故点Q总在定直线上. 【突破提升训练・26】已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，点坐标为，且. (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线与的左､右两支分别交于两点，若点在线段上，满足，证明：在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率设，代入得到，得到答案. （2）设，联立方程得到根与系数的关系，根据得到，代入数据整理得到，得到答案. 【详解】（1）设，因为双曲线的离心率为， 设， 所以， 所以，解得或（舍）， 所以双曲线的方程为， （2）设，当直线斜率不存在时不成立，设， 即， 由，可得， 由于点在双曲线内部，易得，所以. 设，根据题意，，又，可得， 整理得：， 即，化简得 又，消去，得， 所以点在定直线上. 【突破提升训练・27】已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析， 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程得出，进而得出抛物线； （2）设， 求出直线的方程为，结合，化简计算可得 ，即可得到结论. （3）由（2）知，，设，设直线的方程为.代入抛物线联立方程组，将转化为，化简计算可得到结论. 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得（舍去）或，故抛物线的方程为. （2）由（1）可知点的坐标，设， 则. 由，得，所以， . .所以直线的方程为， 即，整理得. 又， 从而直线的方程为，化简得， 因此直线过定点. （3）由（2）知，设，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为.由消去. 得.则. 因为.所以. 即， 当时，，化简得， 与直线的斜率不为0矛盾，不合题意； 当时，化简得， . 即.又. 可得，所以，即， 所以点在直线上. 【突破提升训练・28】已知是圆上的动点，为定点，线段的垂直平分线交线段于点，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的动直线交曲线于不同的A，B两点，为线段上一点，满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析，. 【分析】（1）由中垂线的性质及椭圆定义可得结果； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理及两点间距离公式化简可得结果. 【详解】（1）如图，易知圆E的半径为4，线段的垂直平分线交线段于点， 由中垂线的性质可知：，所以， 即动点Q到定点的距离和为定值4，且, 根据椭圆定义可知：，所以， 即曲线C的方程为：. （2）由题意可得直线l的斜率存在．设直线l的方程为， 代入椭圆方程，整理得， 设，则，， 由， 得, 化简得， 当时，因，化简得，与直线l的斜率存在矛盾，不合题意； 当时，化简得 即，化简得， 又，所以，化简得， 所以点在直线上. 【突破提升训练・29】已知椭圆，过点的动直线交椭圆于两点，在线段上取点满足，求证：点在某条定直线上．    【答案】证明见解析 【详解】解法一：设，即，，设，，，由于，， 又，两式相减得③ ①②式代入③式，④ 又由于，， ⑤⑥式代入④式，，即点在定直线上． 解法二：设，即，，设，， ，则， 于是有由点在椭圆上，则于是有，即，故点在定直线上． 【突破提升训练・30】已知双曲线的左、右焦点分别为、，且双曲线经过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点作动直线，与双曲线的左、右支分别交于点、，在线段上取异于点、的点，满足，求证：点恒在一条定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出的值，利用双曲线的定义可求得的值，再根据可求得的值，即可得出双曲线的方程； （2）设点、、，设，可得出，根据向量的坐标运算结合化简可得出关于、所满足的一元二次方程，即可证得结论. 【详解】（1）解：因为，则， 由双曲线的定义可得， 所以，，则， 因此，双曲线的方程为. （2）证明：设点、、， 则，可得， 设，则，其中， 即，整理可得， 所以，，， 将代入可得， 将代入可得 ，即， 所以，点恒在直线上. 【突破提升训练・31】已知双曲线的中心为原点，左右焦点分别是，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. (1)求实数的值； (2)求证：直线与直线的斜率之积是定值，并求出此定值； (3)点的纵坐标为1，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点，满足，试问：点是否恒在一条定直线上，若是，请求出这条定直线，否则，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）根据双曲线关系即可. （2）根据已知条件表示出斜率化简整理即可. （3）设出的坐标，根据向量共线进行表示，解方程组即可得到点的横纵坐标所满足的线性关系. 【详解】（1）解：由已知离心率，又因为 所以，解得. （2）证明：由（1）可知，， 设，，因为 所以 所以 在双曲线上，所以 所以与直线的斜率之积是定值为 （3）过点过点的直线与双曲线右支交于不同的两点 设， ，因为在双曲线上. 所以， 故， 设，则 得 由，得 将，代入 得， 将带入得 恒在定直线上. 【突破提升训练・32】已知是椭圆的右焦点，椭圆离心率，且椭圆上任意一点与点距离的最大值为3.    (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点. ①求的最小值； ②设分别为椭圆的左､右顶点，不垂直轴的直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点，问直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②是，直线方程为，理由见解析 【分析】（1）由已知得到关于的方程，解得，然后求解，即可得椭圆方程； （2）①由已知可得，根据两点间距离公式可得，代入，由基本不等式即可求解；②设直线：，，与椭圆方程联立由韦达定理可得，由已知可得，的方程，联立可得，将直线的方程与直线联立即可求解. 【详解】（1）由已知，解得， 所以，所以椭圆方程为； （2）①因为切线交轴于点，所以，， 因为点在椭圆上，所以，即， 又， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为； ②由已知设直线：，， 由消元得， 则，， 所以， 因为，，所以， 因为，，所以， 所以 ， 即点，所以直线的方程为， 与直线联立，得， 因为，所以，代入上式可得 ， 即，解得， 即点在直线上. 【突破提升训练・33】已知双曲线：的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，（2，3）是双曲线C上的一个点. (1)求双曲线C的方程； (2)若过F且不与渐近线平行的直线（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点为直线与直线的交点，试判断点是否在一条定直线上，若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由.（注：若双曲线方程为，则该双曲线在点处的切线方程为） 【答案】(1) (2)在，定直线为 【分析】（1）由离心率得，从而，再把双曲线所过点的坐标代入可求得各双曲线方程； （2）设，，直线，代入双曲线方程应用韦达定理得，写出两条切线方程，记，代入两个切线方程相加，并代入可得的一个关系式，相减又得一个关系式，两者结合消去参数可得，从而得出结论． 【详解】（1）据题意， 则，，是双曲线上的一个点，则， 所以双曲线的方程为. （2）设，，直线， 联立直线与双曲线： ，， 由题知，切线，切线， 记，则 ①+②得， 将代入得③； ①−②得， 由得④，联立③和④得， 故，又，所以，则， 故点的轨迹方程为，所以点在定直线上. 【突破提升训练・34】已知抛物线C：（）与圆O：相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N. （1）求抛物线C的方程. （2）过点M，N作抛物线C的切线，，是，的交点，求证：点P在定直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）易得点A的坐标为，然后利用待定系数法即可求得抛物线的方程； （2）抛物线，则，设,，可分别求得切线PM的方程和切线PN的方程，联立解得点，设直线MN的方程为，代入抛物线的方程得，所以，进而可得点的纵坐标为，命题得证. 【详解】（1）点A的横坐标为，所以点A的坐标为， 代入解得，所以抛物线的方程为； （2）抛物线，则，设,， 所以切线PM的方程为 ，即, 同理切线PN的方程为， 联立解得点， 设直线MN的方程为，代入， 得，所以， 所以点P在上，结论得证. 【突破提升训练・35】如图，已知抛物线直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点. （1）证明：； （2）设抛物线C在点A处的切线为，在点B处的切线为，证明：与的交点M在一定直线上. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而得证； （2）对函数求导，利用导数的几何意义求出过点、的切线、的方程，即可得到，即可得证； 【详解】解：（1）设，， 把代入，得. 由韦达定理得，. . 所以 （2），， 故经过点的切线的方程为：， 即，① 同理，经过点的切线的方程为：，② ，得. 即点M在直线上. 【突破提升训练・36】过定点的动圆始终与直线相切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程， (2)过点的直线与曲线C交于两点，是曲线的两条切线，是切点. （i）证明：点P的轨迹是定直线； （ii）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）设动圆圆心坐标为，根据直线与圆的位置关系列出方程即可求出动圆圆心的轨迹方程；（2）（i）设直线，与轨迹方程联立，分别求出切线的方程，从而得到交点的轨迹；（ii）求出点到直线的距离，再由三角形面积公式即可求出面积关于的函数表达式，进而得到其最小值. 【详解】（1）设动圆圆心坐标为，因为过定点的动圆始终与直线相切，，化简得，即动圆圆心的轨迹方程. （2）（i）设，其中， 由题，直线斜率不为0，设直线， 联立，得：， 恒成立，， 由得：， 则，即即. 同理，， ， ， 即直线交点的轨迹为定直线：；    （ii）将代入 得：， 所以点的坐标为. 下面用两种方法进一步求解. 方法一：点到直线的距离， ， ， 时，面积最小为. 方法二：又中点 轴 . 时，面积最小为. 【突破提升训练・37】已知抛物线的方程为，过点的直线与抛物线相交于两点，分别过点作抛物线的两条切线和，记和相交于点. (1)证明：直线和的斜率之积为定值； (2)求证：点在一条定直线上. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，与抛物线联立得，设的坐标分别为，再根据求导得切线斜率，结合韦达定理即可证得； （2）由点斜式写出直线和的方程，联立这两个方程，消去得整理得，注意到，所以，进而可求得，从而得证. 【详解】（1）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为， 将其代入，消去整理得， 设的坐标分别为，则， 将抛物线的方程改写为，求导得， 所以过点A的切线的斜率是，过点的切线的斜率是， 故， 所以直线和的斜率之积为定值. （2）设， 因为直线的方程为，即， 同理，直线的方程为， 联立与的方程，消去得， 整理得，注意到，所以， 此时， 由（1）知，，所以，，即， 所以点在定直线上. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点20：破解圆锥曲线定直线：圆锥曲线中过定直线问题 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 6 题型一、“弦中点”模型中点过定直线 6 题型二、“相交弦”模型交点过定直线（外） 7 题型三、“相交弦”模型交点过定直线（内） 9 题型四、“夹丸子”模型内心过定直线 11 题型五、“糖葫芦”模型分点过定直线 12 题型六、“切点弦”模型交点过定直线 14 题型精析・方法突破提能力 15 知识网络・核心根基深扎牢 题型归纳 题型1：“弦中点”模型中点过定直线（弦所在直线斜率为定值） A B N x y 若直线AB斜率一定且与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于A和B，AB中点为N，证明点N过定直线。 注意：高考中常考的情况如上图，其中直线斜率为定值，AB中点N点过定直线。或者看作两“定”一中点问题：条件是一直线定斜率，N为AB中点，求中点在定直线上，其中两定点可任意变换证明。 题目特征：直线斜率为定值，弦AB中点为N，证明N在定直线上（它的变式情况可能为两平行直线的弦中点连线在定直线上）。 解题方法（以上图椭圆为例）：若直线AB斜率一定且与椭圆（0）交于A和B，AB中点为N，证明点N过定直线。 步骤1：设直线，找根与系数关系：设A，B，设直线（其中已知，为参数），与椭圆方程（0）联立得出：+，，步骤2：利用中点坐标公式求中点坐标：由，（这两个坐标都只含参数） 步骤3：根据中点N的坐标求定直线：消去参数即可得出定直线。 题型2：“相交弦”模型交点过定直线——定直线在圆锥曲线外（三定点） 若过定点P的直线与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于C,D两点，若过定点的直线AB与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于A,B两点，证明直线AC,BD的交点Q在定直线上。（该定点P处于圆锥曲线内部，定直线在圆锥曲线外部） 注意：高考中常考的情况如上图，其中一条直线过定点P，以及两定点A，B（通常为圆锥曲线顶点）。或者看作三“定”点问题：条件是过三定点的直线，求其中两条直线交点在定直线上，其中定直线与定点可任意变换证明（这种情况下的定直线与x轴或y轴垂直）。 题目特征：直线过定点，A，B为定点，AC,BD的交点在定直线上。 解题方法（以上图椭圆为例）：若过定点P（t，0）<a的直线与椭圆（0）交于C,D两点，已知A，B为椭圆左右顶点，证明直线AC,BD的交点Q在定直线上。 步骤1：设直线，找根与系数关系：设C，D，设直线，与椭圆方程（0）联立得出：+，，再得出+，之间的倍数关系（非对称韦达定理需要使用；这一步是重点步骤，后面需要用到这个关系） 步骤2：用点斜式写出直线AC,BD方程：直线AC：，直线BD：， 步骤3：联立直线AC,BD方程：消去，得到：，将，代入得到（1） 步骤4：消参得出定直线：将步骤1得出的+，之间的倍数关系代入（1）即可消去参数求出定直线。 题型3：“相交弦”模型交点过定直线——定直线在圆锥曲线内（三定点） 若过定点M的直线与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于P,Q两点，若过定点的直线AB与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于A,B两点，证明直线AQ,BP的交点N在定直线上。（该定点M处于圆锥曲线外部，定直线在圆锥曲线内部） 注意：高考中常考的情况如上图，其中一条直线过定点M，以及两定点A，B（通常为圆锥曲线顶点）。或者看作三“定”点问题：条件是过三定点的直线，求其中两条直线交点在定直线上，其中定直线与定点可任意变换证明（这种情况下的定直线与x轴或y轴垂直）。 题目特征：直线过定点，A，B为定点，AQ,BP的交点在定直线上。 解题方法（以上图椭圆为例）：若过定点M（t，0）<a的直线与椭圆（0）交于P,Q两点，已知A，B为椭圆左右顶点，证明直线AQ,BP的交点N在定直线上。 步骤1：设直线，找根与系数关系：设Q，P，设直线，与椭圆方程（0）联立得出：+，，再得出+，之间的倍数关系（非对称韦达定理需要使用；这一步是重点步骤，后面需要用到这个关系） 步骤2：用点斜式写出直线AQ,BP方程：直线AQ：，直线BP：， 步骤3：联立直线AQ,BP方程：消去，得到：，将，代入得到（1） 步骤4：消参得出定直线：将步骤1得出的+，之间的倍数关系代入（1）即可消去参数求出定直线。 题型4：“夹丸子”模型内心过定直线（弦过定点或斜率为定值） 过一定点E（或者斜率为定值）的直线与圆锥曲线交于M,N两点，且平面内存在一定点F，证明三角形MNF内接圆的圆心在定直线上（此类型题目主要是证明直线NF，MF的斜率之和为0，从而确定定直线）。 注意：高考中常考的情况如上图，直线MN过定点E点（一般在坐标轴上），与椭圆交于M，N两点，有一定点F，则三角形MNF内心过定点。 题目特征：一定点，一过定点直线（或一定点，一定斜率直线），一内切圆。 解题方法（以上图椭圆为例）：若过定点E（t，0）的直线与椭圆（0）交于M,N两点，已知F（c，0），证明三角形MNF内接圆的圆心在定直线上。 步骤1：设直线，找根与系数关系：设M，N，设直线，与椭圆方程（0）联立得出：+， 步骤2：写出直线NF,MF的斜率：，， 步骤3：求直线NF,MF的斜率和： 再化简分子部分：，再代入根与系数关系消参得出0 步骤4：判断对称性得出定直线：。根据斜率和为0知两直线倾斜角互补，从而IF垂直x轴，则三角形MNF内接圆的圆心过定直线 题型5：“糖葫芦”模型分点过定直线（距离“乘积型”或“比值型”） 过椭圆外一定点P的直线AB交圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）于A、B两点，在弦AB之间存在一点Q使得（或），则Q在定直线上。 题目特征：直线AB过定点圆锥曲线外一定点，弦AB上存在点Q使得（或，注意能够化简为这样形式的也是“糖葫芦”模型）。 解题方法（以椭圆为例）：过椭圆外一定点P(m,n)的直线AB交椭圆（0）于A、B两点，在弦AB之间存在一点Q使得，证明Q在定直线上。 步骤1：设直线，找根与系数关系：设A，B，设直线，与椭圆方程（0）联立得出：+， 步骤2：利用距离比值表示Q点横坐标：设Q，则，，根据则，进一步化简得到 步骤3：代入根与系数关系化简：代入+，化简（化简后只含一个参数） 步骤4：将化简后的代入直线AB求出Q纵坐标：将化简的代入直线得到（注意，都只含一个参数），最后利用+f=0，求出，f的值，即可求出定直线。 题型6：“切点弦”模型交点过定直线（切点弦所在直线过定点） 若定点M的直线与圆锥曲线交于A、B两点，过A、B引出两条直线分别与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）于相切，切点为A、B，则N过在定直线上。 题目特征：直线AB过定点，过A,B的切线交于T点（此题型高考常考题型为抛物线） 解题方法（以抛物线为例）：已知抛物线(p>0)，若定点M的直线与圆锥曲线交于A、B两点，过A、B引出两条直线分别与抛物线于相切，切点为A、B，则N过在定直线上。 步骤1：设直线，找根与系数关系：设A，B，设直线，与抛物线(p>0)联立得出：+，（焦点在y轴，找+，） 步骤2：表示切线方程：直线（用化简）；直线（用化简）。 （注意：这里求切线方程可以设直线，与抛物线联立，利用判别式为0求切线方程。） 步骤3：联立切线方程化简：联立：与得出N点横坐标为（抛物线焦点在y轴，则需要求N点纵坐标）：（注意这里得出的是定值），即可得出定直线 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、“弦中点”模型中点过定直线 典例探究 【典型例题】已知椭圆，一组平行直线的斜率为，经计算当这些平行线与椭圆相交时，被椭圆截得的线段的中点在定直线l上，则直线l的方程为 . 举一反三 【1-1】动点到定点的距离与到定直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，为的中点． ①求实数的取值范围； ②证明：点在定直线上． 【1-2】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，其离心率为，焦距为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线：与椭圆交于，两点，为弦的中点，证明：点在定直线上； (3)求椭圆的内接菱形边长的最大值． 【1-3】已知双曲线的实轴长为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求； (3)若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上. 题型二、“相交弦”模型交点过定直线（外） 典例探究 【典型例题】已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线与相交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）求的最大值. 举一反三 【2-1】已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为.    (1)求椭圆的方程； (2)设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点. （i）求证点在定直线上； （ii）设，求的最大值. 【2-2】如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，，过点作不与轴重合的直线，与椭圆交于点，，直线与直线交于点，试讨论点是否在某条定直线上．若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．    【2-3】已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 题型三、“相交弦”模型交点过定直线（内） 典例探究 【典型例题】已知椭圆过点，短轴长为4． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 举一反三 【3-1】已知椭圆：（）过点，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程. 【3-2】已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为A，B，G为C的上顶点，且的面积为2. (1)求椭圆C的方程； (2)过点的动直线与C交于M，N两点.证明：直线与的交点在一条定直线上. 【3-3】如图，已知双曲线的右焦点为，O为坐标原点，过点F作直线与双曲线的渐近线交于P，Q两.点，且点P在线段FQ上，，. (1)求C的方程； (2)设是C的左､右顶点，过点的直线l与C交于M，N两点，试探究直线与的交点S是否在某条定直线上，若是，求出该定直线方程，若不是，请说明理由. 题型四、“夹丸子”模型内心过定直线 典例探究 【典型例题】已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上． 举一反三 【4-1】已知椭圆C：（）过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，证明：△MAB的内心在一条定直线上． 【4-2】如图，已知椭圆的上、右顶点分别为，，是椭圆的右焦点，是椭圆上的点，且（是坐标原点）． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）若不过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，试问：当点在直线的上、下方时，的内心是否分别位于某条定直线上？若是，请求出两条定直线的方程；若不是，请说明理由． 【4-3】已知曲线，直线与曲线交于轴右侧不同的两点． (1)求的取值范围； (2)已知点的坐标为，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由． 题型五、“糖葫芦”模型分点过定直线 3”（已知一直线过定点与对称点） 典例探究 【典型例题】已知椭圆的左、右焦点分别是为上一点，且在中，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，证明过定直线． 举一反三 【5-1】复数（）与复平面上的点一一对应： (1)复数（，），（，），若（），复平面上动点的轨迹为；若（），复平面上动点的轨迹为；判断并证明、的曲线类型. (2)复数、、、（，）满足（）且，复平面上动点的轨迹为曲线. （ⅰ）求的标准方程，并判断曲线类型； （ⅱ）平面上过的动直线交曲线于、两点，是线段上一点且满足，证明：点恒在某条定直线上. 【5-2】已知椭圆的焦点在轴，离心率，点在直线上． (1)求实数的值； (2)设是椭圆的右焦点，若是椭圆上一点，且满足，设直线和直线（为坐标原点）的斜率分别为，证明：； (3)若点的纵坐标为，过作直线交椭圆于不同的两点和，在线段上取点（异于两点）满是，证明：点在定直线上． 【5-3】已知点在双曲线上． (1)双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：的面积是定值； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足，证明：点恒在一条定直线上． 题型六、“切点弦”模型交点过定直线 3”（已知一直线过定点与对称点） 典例探究 【典型例题】抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 举一反三 【6-1】已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【6-2】已知点，，动点满足，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知圆上任意一点处的切线方程为：，类比可知椭圆：上任意一点处的切线方程为：．记为曲线在任意一点处的切线，过点作的垂线，设与交于，试问动点是否在定直线上？若在定直线上，求出此直线的方程；若不在定直线上，请说明理由． 【6-3】已知曲线上的点到的距离比它到轴的距离大1. （1）求曲线的方程； （2）过作斜率为的直线交曲线于､两点； ①若，求直线的方程； ②过､两点分别作曲线的切线､，求证：､的交点恒在一条定直线上. 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】如图，作斜率为的直线与椭圆交于 两点，且在直线的上方，则△内切圆的圆心所在的定直线方程为 ． 【突破提升训练・2】若直线AB与曲线交于A，B两点，过A，B分别作的切线，两切线交于点，若直线AB经过定点，则点在定直线 上． 【突破提升训练・3】若抛物线的方程为，焦点为，设是抛物线上两个不同的动点. (1)若，求直线的斜率； (2)设中点为，若直线斜率为，证明在一条定直线上. 【突破提升训练・4】已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且. (1)求椭圆的方程； (2)假设平面中有一组平行直线的斜率是， （i）这组直线何时与椭圆有两个公共点？ （ii）当这组直线与椭圆有两个交点时，证明这些直线被椭圆截的线段的中点在同一条直线上. 【突破提升训练・5】已知椭圆，一组平行直线的斜率是． (1)求这组直线何时与椭圆有两个公共点？ (2)当它们与椭圆有两个公共点时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． 【突破提升训练・6】已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 【突破提升训练・7】已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【突破提升训练・8】如图所示，已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于点、和点、，直线、交于点．证明：点在定直线上． 【突破提升训练・9】椭圆C的中心在坐标原点、对称轴是坐标轴，点和点Q在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)A、B是椭圆C的左、右顶点，过点的直线l与椭圆C相交于M、N两点（不与A、B重合），直线AM与直线BN相交于点G，求证：点G在一条定直线上. 【突破提升训练・10】已知在平面直角坐标系中，两定点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求点的轨迹方程，并指出的形状. (2)若直线与点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的交点在定直线上. 【突破提升训练・11】已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 【突破提升训练・12】已知椭圆的左、右焦点分别为，，若到过椭圆左焦点、斜率为的直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的四边形面积为4． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，证明：直线的交点在垂直于轴的定直线上． 【突破提升训练・13】已知圆和圆，动圆Q与圆、圆都外切或都内切，记点Q的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)过点作直线，使其被曲线E截得的弦恰被点P平分，求直线的方程； (3)记曲线E的左、右顶点为，，过点的直线与曲线E的左支交于C，D两点，点C在第二象限，直线与交于点G，证明点G在定直线上. 【突破提升训练・14】已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．    (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 【突破提升训练・15】已知点分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线于两点，当直线的斜率不存在时，. (1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线的右焦点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，若的面积为，求该双曲线的方程； (3)在（2）的条件下，若点分别为双曲线的左､右顶点，直线与直线相交于点，证明：点在一条定直线上. 【突破提升训练・16】在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为． (1)设点的轨迹为，求曲线的方程； (2)设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上． 【突破提升训练・17】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的动点，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上． 【突破提升训练・18】已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点. (1)求的方程； (2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于. （i）证明：三点共线； （ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上. 【突破提升训练・19】已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，为的右支上一点，且． (1)求的方程； (2)设的左、右顶点分别为，直线与交于两点，与轴交于点，直线与交于点，证明：点在定直线上． 【突破提升训练・20】如图，已知椭圆的方程为，点、分别是椭圆的左、右顶点，点的坐标是，过点的动直线交椭圆于点、（点的横坐标小于点的横坐标）． (1)求椭圆焦点的坐标； (2)是否存在常数，使为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当设直线的斜率不为时，设直线与交于点．请提出一个与点有关的问题，并求解该问题． （备注：本小题将根据提出问题的质量及其解答情况进行分层计分．） 【突破提升训练・21】已知椭圆经过两点.作斜率为的直线与椭圆交于两点（点在的左侧），且点在直线上方. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：的内切圆的圆心在一条定直线上. 【突破提升训练・22】已知椭圆：，若点，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)点是的左焦点，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点，，求证：内切圆的圆心在定直线上． 【突破提升训练・23】曲线上任意一点到点的距离与它到直线的距离之比等于，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点． （1）求的方程； （2）求证：内切圆的圆心在定直线上． 【突破提升训练・24】已知椭圆，，分别为椭圆C的左，右焦点，过且与x轴不重合的直线l交C于P，Q两点，的周长为8，面积的最大值为2． （1）求C的方程； （2）点，证明：内切圆的圆心在x轴上． 【突破提升训练・25】已知双曲线过点，且焦距为. (1)求的方程； (2)已知过点的动直线交的右支于两点，为线段上的一点，且满足，证明：点总在某定直线上. 【突破提升训练・26】已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，点坐标为，且. (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线与的左､右两支分别交于两点，若点在线段上，满足，证明：在定直线上. 【突破提升训练・27】已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. (1)求抛物线的方程. (2)证明：直线过定点. (3)记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【突破提升训练・28】已知是圆上的动点，为定点，线段的垂直平分线交线段于点，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的动直线交曲线于不同的A，B两点，为线段上一点，满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【突破提升训练・29】已知椭圆，过点的动直线交椭圆于两点，在线段上取点满足，求证：点在某条定直线上．    【突破提升训练・30】已知双曲线的左、右焦点分别为、，且双曲线经过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点作动直线，与双曲线的左、右支分别交于点、，在线段上取异于点、的点，满足，求证：点恒在一条定直线上． 【突破提升训练・31】已知双曲线的中心为原点，左右焦点分别是，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. (1)求实数的值； (2)求证：直线与直线的斜率之积是定值，并求出此定值； (3)点的纵坐标为1，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点，满足，试问：点是否恒在一条定直线上，若是，请求出这条定直线，否则，请说明理由 【突破提升训练・32】已知是椭圆的右焦点，椭圆离心率，且椭圆上任意一点与点距离的最大值为3.    (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点. ①求的最小值； ②设分别为椭圆的左､右顶点，不垂直轴的直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点，问直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 【突破提升训练・33】已知双曲线：的离心率为2，F为双曲线C的右焦点，（2，3）是双曲线C上的一个点. (1)求双曲线C的方程； (2)若过F且不与渐近线平行的直线（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点为直线与直线的交点，试判断点是否在一条定直线上，若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由.（注：若双曲线方程为，则该双曲线在点处的切线方程为） 【突破提升训练・34】已知抛物线C：（）与圆O：相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N. （1）求抛物线C的方程. （2）过点M，N作抛物线C的切线，，是，的交点，求证：点P在定直线上. 【突破提升训练・35】如图，已知抛物线直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点. （1）证明：； （2）设抛物线C在点A处的切线为，在点B处的切线为，证明：与的交点M在一定直线上. 【突破提升训练・36】过定点的动圆始终与直线相切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程， (2)过点的直线与曲线C交于两点，是曲线的两条切线，是切点. （i）证明：点P的轨迹是定直线； （ii）求面积的最小值. 【突破提升训练・37】已知抛物线的方程为，过点的直线与抛物线相交于两点，分别过点作抛物线的两条切线和，记和相交于点. (1)证明：直线和的斜率之积为定值； (2)求证：点在一条定直线上. 1 学科网（北京）股份有限公司 $