重难点18：破解圆锥曲线定点：圆锥曲线中过定点问题（上）讲义-2026届高三数学一轮复习

重难点18：破解圆锥曲线定点：圆锥曲线中过定点问题（上） （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 5 题型一、“手电筒”模型过定点 5 题型二、“切点弦”模型过定点 7 题型三、“相交弦”模型过定点之“模型1” 8 题型四、“相交弦”模型过定点之“模型2” 10 题型五、“相交弦”模型过定点之“模型3” 11 题型精析・方法突破提能力 12 知识网络・核心根基深扎牢 题型归纳 题型1：“手电筒”模型过定点 椭圆 抛物线 若P为圆锥曲线上一点，从P引出两条直线分别交圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）于A、B，若直线满足某种关系（比如等），则直线AB过定点。 题目特征：点P在椭圆上； 解题方法（以椭圆为例）：已知椭圆上一点斜率之和为，求证AB过定点。 步骤1：设直线，与椭圆联立得。 步骤2：由韦达定理。 步骤3：根据斜率和条件，代入及韦达定理结果，化简得的关系式。 步骤4：代入直线方程，其中即为定点坐标。 注意：斜率是否存在。 题型2：“切点弦”模型过定点 若P为圆锥曲线外一点，从P引出两条直线分别与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）于相切，切点为A、B，则直线AB过定点。 题目特征：点P在椭圆外，且P在定直线上（通常为垂直于x轴的直线）；必须是与于圆锥曲线连线所成的弦。 解题方法（以椭圆为例）：已知椭圆(a>b>c)，过直线Ax+By+C=0（C不为0）上一点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，求证AB过定点。 步骤1：求切线：设直线，联立， 得，由，故， 整理得 （1） 同理 （2） 步骤2：求切点弦方程：将点代入（1）、（2）得 （3） （4） 由（3）（4）可得直线。 步骤3：利用P在直线Ax+By+C=0，则A+B+C=0，联立（5）得到。 整理的：，令系数为0，则0； 步骤4：令系数为0，则0（6）；（7）；由（7）得，由（6）得：；则定点为(，)；常考情况直线垂直于轴，定点为(，)。 题型3：“相交弦”模型过定点之“变形1”（已知动点在定直线上） 若P为一定直线PT上一点，从P引出两条直线分别与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于，M和，N，则直线MN与过定点。 注意：高考中常考的情况如上图，其中一条直线（如）与x轴重合或垂直；或者看作四“定”问题1：条件是两定点，一定直线，求定点，其中三定点可任意变换证明。 题目特征：点P在椭圆外定直线上，从P引出两条直线与圆锥曲线有4个交点，对点连接后的交点（类似于四边形对角线交点）也是所在直线过的定点。 解题方法（以上图椭圆为例）：已知椭圆(a>b>c)，过直线x=t（t>a）上一点作P，P（，分别为椭圆左右顶点）与椭圆分别交于M，N两点，求证直线MN过定点。 步骤1：设直线，求斜率关系：设直线，直线，则：，，联立得到，所以，所以，（此处可求出斜率倍数关系，利用题型4求解） 步骤2：设点，求定点（这种情况下定点一定在x轴）：设M，N，则直线MN方程为：，令，则（1） 步骤3：联立直线与，利用韦达定理求出M坐标；同理求N。 步骤4：代入（1）得到定点横坐标，纵坐标为0，即可怎么直线MN过定点。 题型4：“相交弦”模型过定点之“变形2”（已知斜率倍数关系） 已知直线PQ与圆锥曲线交于P，Q两点，若圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）存在不同的A，B两点（异于P，Q）且已知直线AP，BQ斜率成倍数关系，则直线PQ过定点。 注意：高考中常考的情况如上图，其中往往是圆锥曲线的顶点（定点在x轴上）；或者看作四“定”问题2：条件是两定点，一定斜率定比值，求定点，其中三定点可任意变换证明。 题目特征：已知直线PQ与圆锥曲线交于P，Q两点且存在另外不同的A，B两点，则直线PQ过定点。 解题方法（以上图椭圆为例）：已知椭圆(a>b>c)，直线PQ与圆锥曲线交于P，Q两点，椭圆上存在不同的A，B两点（异于P，Q）且已知=(，求证直线MN过定点。 步骤1：设直线，求点关系：设P，Q，设直线，与1联立，利用韦达定理求出+，，+，。 步骤2：借B点求直线斜率乘积：因为P在椭圆上， 则：（1），（2）， 步骤3：利用斜率倍数关系转化条件:由=与（2）得：（3）。 而（4） 步骤4：在（4）中代入+，，与（3）相等得到n的值，即可求出定点。 题型5：“相交弦”模型过定点之“变形3”（已知一条直线过定点与含对称点） 已知直线AB过定点（一般这个定点是与x轴的交点）与圆锥曲线交于A，B两点，过A（或者B）点作x轴垂线与圆锥曲线交于R点，证明直线RB（或RA）过定点。 注意：高考中常考的情况如上图，其中直线AB过定点一般是与x轴的交点。或者看作两“定”一“对称”问题1：条件是一定点，一对称点，求定点，其中两定点可任意变换证明。 题目特征：已知直线AB过定点，点A关于x轴对称点为R。 解题方法（以上图椭圆为例）：已知直线AB过定点(t，0)与圆锥曲线交于A，B两点，过A点作x轴垂线与圆锥曲线交于R点，证明直线RB过定点。 步骤1：设直线，求点关系：设A，B，则R，设直线，与1联立，利用韦达定理求出+，。 步骤2：表示直线RB：，直线RB：，令0，则 步骤3：用直线方程转化:由得：，，则： （1）， 步骤4：在（1）中代入+，得到的值，即可求出定点。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、“手电筒”模型过定点 典例探究 【典型例题】已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由． 举一反三 【1-2】已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，，离心率的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆相交于点，则直线的斜率分别为，，且，则直线是否经过某个定点？若是，请求出的坐标. 【1-2】已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设斜率为且不经过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，，若，证明：直线过定点． 【1-3】如图，已知点是抛物线上两个动点，且，求证：直线过定点． 题型二、“切点弦”模型过定点 典例探究 【典型例题】已知椭圆的焦距为2，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、.求证：直线恒过定点. 举一反三 【2-1】已知椭圆的两个焦点为，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知为坐标原点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且弦的中点为，直线的斜率为，求； (3)直线与椭圆有两个不同的交点，椭圆在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.请你判断直线是否经过定点，并说明理由. 【2-2】已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线的左、右顶点分别为，点为第二象限内的动点，过点作双曲线左支的两条切线，分别与双曲线的左支相切于两点，已知的斜率之比为． (1)求双曲线的方程； (2)直线是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由； (3)设和的面积分别为和，求的取值范围． 【2-3】如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程． (2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点． ①求证：直线过定点； ②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型三、“相交弦”模型过定点之“变形1”（已知动点在定直线上） 典例探究 【典型例题】已知椭圆过点，两点. (1)求椭圆的的方程； (2)椭圆的左右顶点分别为A，B，当动点M在定值线上运动时，直线，分别交椭圆于两点和（不同于A，B）证明：直线过定点。 举一反三 【3-1】在平面直角坐标系中，为直线上一动点，椭圆：的左右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．若直线交于另一点，直线交于另一点． (1)求证：直线过定点，并求出定点坐标； (2)求四边形面积的最大值． 【3-2】已知为双曲线左右顶点，焦点到渐近线的距离为，直线上一点与点连线与双曲线右支交于另一点，点与点连线与双曲线右支交于另一点D. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线是否经过定点？若是，求出该定点. 【3-3】如图，椭圆的 右焦点为，右顶点为，满足，其中为坐标原点，为椭圆的离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆上的动点(异于左右顶点)，直线交椭圆于另一点，直线交直线于点，求证：直线过定点. 题型四、“相交弦”模型过定点之“变形2”（已知斜率成倍数关系） 典例探究 【典型例题】如图1所示，椭圆的离心率为是其左右顶点，是椭圆上位于轴两侧的点（点在轴上方），且四边形面积的最大值为4．    (1)求椭圆方程； (2)设直线的斜率分别为，若，求证直线过定点． 举一反三 【4-1】设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)动点、为椭圆上异于的两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点. 【4-2】已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，分别为的左、右顶点，且到的两条渐近线的距离之和为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设为上异于的不同的两点，且直线的斜率与直线的斜率满足，证明：直线恒过定点. 【4-3】已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点.设A，B分别是的左、右顶点，M，N是的右支上异于点B的两点. (1)求的方程； (2)若直线过点，且的斜率为2，求的值； (3)设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点. 题型五、“相交弦”模型过定点之“变形3”（已知一直线过定点与对称点） 典例探究 【典型例题】已知椭圆的离心率为，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，的面积的最大值为1，、为椭圆上任意两个关于轴对称的点，直线与轴的交点为，直线交椭圆于另一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线过定点. 举一反三 【5-1】已知椭圆：的下、上焦点分别为、，直线恰经过椭圆的一个顶点和一个焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，求证：直线与轴相交于某定点. 【5-2】已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率等于，点在轴正半轴上，为直角三角形且面积等于2. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，当点关于轴的对称点在直线上时，直线是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由. 【5-3】已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：为直角三角形； (3)经过点且斜率不为零的直线与双曲线的两支分别交于点，.若点是点关于轴的对称点，试问，不论直线的斜率如何变化，直线是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由. 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点， ①若 ，且不过坐标原点，求三角形面积的最大值，并写出求得此最大值时的值 ②点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【突破提升训练・2】已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且经过点. (1)求的标准方程. (2)设是的左顶点，，是上异于点的不同两点，直线，的斜率分别为，且. （i）若点的坐标为，求； （ii）证明：直线过定点. 【突破提升训练・3】已知分别是双曲线的左､右焦点，是的右顶点，，且与椭圆有相同的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与的公共点个数为1，求的值； (3)已知是上不同的两点，直线的斜率分别为不在直线上，且，证明：直线过定点. 【突破提升训练・4】已知双曲线的离心率为为坐标原点，过点的直线交于，两点，其中点在第一象限. (1)求的标准方程. (2)设. ①求直线的方程. ②过点作斜率分别为的两条直线，且直线与交于另一点，直线与交于另一点.若，证明直线过定点，并求该定点坐标. 【突破提升训练・5】已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点． 【突破提升训练・6】已知椭圆 ，直线，是直线上的动点，过作椭圆的切线，，切点分别为， (1)当点坐标为时，求直线的方程； (2)求证：当点在直线上运动时，直线恒过定点； (3)是否存在点使得的重心恰好是椭圆的左顶点，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【突破提升训练・7】左、右焦点分别为的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为． (1)求椭圆的方程； (2)若为直线上一点，过点作椭圆的两条切线为切点，问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【突破提升训练・8】已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点. 【突破提升训练・9】已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)若直线与交于、两点，过、分别做的切线，两切线交于点.在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立. ①直线经过定点； ②点在定直线上. 【突破提升训练・10】已知抛物线的焦点到直线的距离为，直线与交于两点. (1)求的准线方程； (2)若直线的方程为，求； (3)过两点分别作的切线，且相交于点，若点的纵坐标为，证明：直线过定点. 【突破提升训练・11】已知抛物线（）的焦点F与椭圆的一个焦点重合. (1)求抛物线C的方程； (2)设点P为直线上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，分别与抛物线切于A，B两点，求抛物线C的焦点F到直线的最大距离. 【突破提升训练・12】已知椭圆的左右顶点分别为和，离心率为，且经过点，过点作垂直轴于点．在轴上存在一点（异于），使得．    (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作一条垂直于轴的直线，在上任取一点，直线和直线分别交椭圆于两点，证明：直线经过定点． 【突破提升训练・13】设椭圆的左､右顶点分别为，上顶点为，点是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的右焦点为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与直线交于点，直线与轴交于点，求证：直线恒过某定点，并求出该定点. 【突破提升训练・14】已知椭圆的左右顶点分别为、，为直线上的动点，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为. （1）若点的坐标为，求点的坐标； （2）若点的坐标为，求以为直径的圆的方程； （3）求证：直线过定点. 【突破提升训练・15】已知椭圆：过点且离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，分别为的左右顶点，为直线上的任意一点，直线，分别与相交于、两点，连接，试证明直线过定点，并求出该定点的坐标. 【突破提升训练・16】已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【突破提升训练・17】如图，已知双曲线的离心率为2，点在C上，A，B为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交C的右支于点Q． (1)求C的方程； (2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由； (3)设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围. 【突破提升训练・18】双曲线的左、右顶点分别为，，焦点到渐近线的距离为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，且，证明直线过定点. 【突破提升训练・19】已知椭圆的离心率为，经过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知A，B是椭圆C的长轴左右顶点，P，Q是椭圆C上的两点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，若，试判断直线PQ是否恒过定点?若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由． 【突破提升训练・20】已知椭圆的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，直线AP、BP、BQ的斜率分别记为. （1）求的值； （2）若，求证：，并判断直线PQ是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 【突破提升训练・21】如图，，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，直线的斜率是直线的斜率3倍． （1）若为椭圆上异于，的一点，证明：直线和的斜率之积为常数； （2）证明：直线过定点． 【突破提升训练・22】已知椭圆，左右焦点分别为，上下顶点分别为，左右顶点分别为，是上异于椭圆顶点的两点. (1)求的周长； (2)若点在第一象限且满足的面积比的面积大，求点的横坐标的取值范围； (3)记点在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点为坐标原点三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 【突破提升训练・23】已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点的直线与椭圆交于不同的两点. （i）当直线的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线分别与椭圆交于点，证明：直线过定点. 【突破提升训练・25】如图所示，在平面上，过椭圆内一定点（不妨设），任意作直线交椭圆于，过作与轴垂直的直线交椭圆于另一点，则直线必过定点． 【突破提升训练・26】已知双曲线的一条渐近线方程为，虚轴长为2. (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点. 【突破提升训练・27】已知焦点在轴上的双曲线过点，其焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与双曲线的右支交于，两点，点与点关于轴对称，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【突破提升训练・28】已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 【突破提升训练・29】已知椭圆，椭圆的短轴长的，离心率为.过点与轴不重合的直线交椭圆于不同的两点，点关于轴对称. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线过定点. 【突破提升训练・30】已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设的左，右顶点分别为，过点且斜率不为0的直线与交于两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 【突破提升训练・31】已知椭圆的离心率为，是椭圆上的一点.    （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于不同两点、，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点18：破解圆锥曲线定点：圆锥曲线中过定点问题（上） （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 5 题型一、“手电筒”模型过定点 5 题型二、“切点弦”模型过定点 10 题型三、“相交弦”模型过定点之“模型1” 20 题型四、“相交弦”模型过定点之“模型2” 25 题型五、“相交弦”模型过定点之“模型3” 34 题型精析・方法突破提能力 39 知识网络・核心根基深扎牢 题型归纳 题型1：“手电筒”模型过定点 椭圆 抛物线 若P为圆锥曲线上一点，从P引出两条直线分别交圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）于A、B，若直线满足某种关系（比如等），则直线AB过定点。 题目特征：点P在椭圆上； 解题方法（以椭圆为例）：已知椭圆上一点斜率之和为，求证AB过定点。 步骤1：设直线，与椭圆联立得。 步骤2：由韦达定理。 步骤3：根据斜率和条件，代入及韦达定理结果，化简得的关系式。 步骤4：代入直线方程，其中即为定点坐标。 注意：斜率是否存在。 题型2：“切点弦”模型过定点 若P为圆锥曲线外一点，从P引出两条直线分别与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）于相切，切点为A、B，则直线AB过定点。 题目特征：点P在椭圆外，且P在定直线上（通常为垂直于x轴的直线）；必须是与于圆锥曲线连线所成的弦。 解题方法（以椭圆为例）：已知椭圆(a>b>c)，过直线Ax+By+C=0（C不为0）上一点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，求证AB过定点。 步骤1：求切线：设直线，联立， 得，由，故， 整理得 （1） 同理 （2） 步骤2：求切点弦方程：将点代入（1）、（2）得 （3） （4） 由（3）（4）可得直线。 步骤3：利用P在直线Ax+By+C=0，则A+B+C=0，联立（5）得到。 整理的：，令系数为0，则0； 步骤4：令系数为0，则0（6）；（7）；由（7）得，由（6）得：；则定点为(，)；常考情况直线垂直于轴，定点为(，)。 题型3：“相交弦”模型过定点之“变形1”（已知动点在定直线上） 若P为一定直线PT上一点，从P引出两条直线分别与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于，M和，N，则直线MN与过定点。 注意：高考中常考的情况如上图，其中一条直线（如）与x轴重合或垂直；或者看作四“定”问题1：条件是两定点，一定直线，求定点，其中三定点可任意变换证明。 题目特征：点P在椭圆外定直线上，从P引出两条直线与圆锥曲线有4个交点，对点连接后的交点（类似于四边形对角线交点）也是所在直线过的定点。 解题方法（以上图椭圆为例）：已知椭圆(a>b>c)，过直线x=t（t>a）上一点作P，P（，分别为椭圆左右顶点）与椭圆分别交于M，N两点，求证直线MN过定点。 步骤1：设直线，求斜率关系：设直线，直线，则：，，联立得到，所以，所以，（此处可求出斜率倍数关系，利用题型4求解） 步骤2：设点，求定点（这种情况下定点一定在x轴）：设M，N，则直线MN方程为：，令，则（1） 步骤3：联立直线与，利用韦达定理求出M坐标；同理求N。 步骤4：代入（1）得到定点横坐标，纵坐标为0，即可怎么直线MN过定点。 题型4：“相交弦”模型过定点之“变形2”（已知斜率倍数关系） 已知直线PQ与圆锥曲线交于P，Q两点，若圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）存在不同的A，B两点（异于P，Q）且已知直线AP，BQ斜率成倍数关系，则直线PQ过定点。 注意：高考中常考的情况如上图，其中往往是圆锥曲线的顶点（定点在x轴上）；或者看作四“定”问题2：条件是两定点，一定斜率定比值，求定点，其中三定点可任意变换证明。 题目特征：已知直线PQ与圆锥曲线交于P，Q两点且存在另外不同的A，B两点，则直线PQ过定点。 解题方法（以上图椭圆为例）：已知椭圆(a>b>c)，直线PQ与圆锥曲线交于P，Q两点，椭圆上存在不同的A，B两点（异于P，Q）且已知=(，求证直线MN过定点。 步骤1：设直线，求点关系：设P，Q，设直线，与1联立，利用韦达定理求出+，，+，。 步骤2：借B点求直线斜率乘积：因为P在椭圆上， 则：（1），（2）， 步骤3：利用斜率倍数关系转化条件:由=与（2）得：（3）。 而（4） 步骤4：在（4）中代入+，，与（3）相等得到n的值，即可求出定点。 题型5：“相交弦”模型过定点之“变形3”（已知一条直线过定点与含对称点） 已知直线AB过定点（一般这个定点是与x轴的交点）与圆锥曲线交于A，B两点，过A（或者B）点作x轴垂线与圆锥曲线交于R点，证明直线RB（或RA）过定点。 注意：高考中常考的情况如上图，其中直线AB过定点一般是与x轴的交点。或者看作两“定”一“对称”问题1：条件是一定点，一对称点，求定点，其中两定点可任意变换证明。 题目特征：已知直线AB过定点，点A关于x轴对称点为R。 解题方法（以上图椭圆为例）：已知直线AB过定点(t，0)与圆锥曲线交于A，B两点，过A点作x轴垂线与圆锥曲线交于R点，证明直线RB过定点。 步骤1：设直线，求点关系：设A，B，则R，设直线，与1联立，利用韦达定理求出+，。 步骤2：表示直线RB：，直线RB：，令0，则 步骤3：用直线方程转化:由得：，，则： （1）， 步骤4：在（1）中代入+，得到的值，即可求出定点。 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、“手电筒”模型过定点 典例探究 【典型例题】已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由． 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）根据椭圆顶点坐标以及离心率列方程求解即可； （2）分情况讨论直线斜率是否存在并设出直线的方程并于椭圆方程联立，利用韦达定理并根据斜率之间的关系列方程计算得出或，可求出直线过定点. 【详解】（1）由顶点为可知， 又离心率为，即，可得， 因此， 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线：，，如下图所示： 联立，整理可得， 显然，即，可得； 且， 则直线与直线的斜率分别为； 即可得 ， 所以可得，所以； 解得或； 当时，直线为，此时直线恒过点， 当时直线为，恒过，与点重合，不合题意； 当直线的斜率不存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程可得， 不妨取， 则， 解得，即直线为，恒过点， 当时，直线过点，不合题意； 综上可知，直线过定点. 举一反三 【1-2】已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，，离心率的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆相交于点，则直线的斜率分别为，，且，则直线是否经过某个定点？若是，请求出的坐标. 【答案】(1) (2)直线经过定点 【分析】（1）根据三角形面积和离心率得到方程组，求出，求出椭圆方程； （2）联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出，，根据斜率之和得到方程，求出，代入直线方程，求出定点. 【详解】（1）因为的面积，且， 又， 故解得，则，则陏圆的标准方程为； （2）假设， 直线与椭圆联立得， 消去整理得， 则，又因为， 所以， 则， 即， 代入韦达定理得， 即，化简得， 因为，则， 即代入直线得， 即 所以直线经过定点. 【1-2】已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设斜率为且不经过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，，若，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线上的点及离心率求得，即可求解； （2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，韦达定理，根据斜率关系并化简得，即可判断定点. 【详解】（1）因为点在双曲线上，所以， 由离心率为可得，解得， 所以的方程为． （2）如图，设直线的方程为，， 联立得， 由题意可得，且， 化简得， 由韦达定理得． 因为， 所以， 整理得， 即， 化简得，因为直线不经过点，所以， 此处需要排除当直线经过点时满足的参数关系． 所以，即，满足， 所以直线的方程为，即直线过定点． 【1-3】如图，已知点是抛物线上两个动点，且，求证：直线过定点． 【答案】证明见解析 【分析】设，写出，再利用已知条件，化简即可得证. 【详解】证明：设，直线， 把代入抛物线方程得，即， 则. 由于，且， 可得， 从而， 整理得，即． 所以，从而． 所以直线过定点． 综上，即证得直线过定点. 题型二、“切点弦”模型过定点 典例探究 【典型例题】已知椭圆的焦距为2，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、.求证：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在 【分析】（1）根据椭圆的长轴长为，离心率为，由求解； （2）设，，，由，，且，经过点，得到求解；②设实数存在，则，分直线斜率不存在，斜率，斜率，利用弦长公式求解. 【详解】（1）由题意可知，所以， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）①设，，，由题设可知：，， 又因为，经过点，所以， 所以，均在直线上，即， 由，解得，所以直线过定点. 举一反三 【2-1】已知椭圆的两个焦点为，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知为坐标原点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且弦的中点为，直线的斜率为，求； (3)直线与椭圆有两个不同的交点，椭圆在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.请你判断直线是否经过定点，并说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)直线恒过定点，理由见解析 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标，列出方程组，求出，得到椭圆方程； （2）方法一：利用点差法进行求解；方法二：设，直线，表达出，结合，从而得到； 方法三：设，直线，联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到两根之和，从而，故，求出； （3）方法一：设，联立椭圆方程，由得到，由韦达定理得到，，故，得到，同理可得，，联立，求出，结合，求出，设，则，整理得，又，则，从而求出直线恒过定点. 方法二：点在时，求导，得到切线斜率，，求出，同理可得，联立，求出，结合，求出，设，则，整理得，又，则，从而求出直线恒过定点. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为：， ， 椭圆的标准方程为：. （2）方法一：点差法： 设，则①， 又在椭圆上，则，， 两式相减得：， 即：②， 由①②得，. 而. 方法二：椭圆方程代换： 设，直线， ①， ②， 又，即③， 由①②③得，； 方法三：联立方程： 设，直线， ①， 联立方程得，， ②， 由①②得，，则. 又， . （3）设，先求椭圆在点处的切线的方程. 方法一：根据判别式求解 椭圆在点处的切线，设， 联立方程得，， ， ， ， . ，即. 同理可得，. ，可得T点的横坐标，即， 又，可得，， 由题意可知直线的斜率不为0，设. ，整理得， ，即. 又，则. ，即直线恒过定点.    方法二：导数的几何意义： . 当点在时，. ，则切线斜率， ， 即.当点在时，同理可得. ，同理可得，. ，可得T点的横坐标，即， 又，可得，， 由题意可知直线的斜率不为0，设. ，整理得， ，即. 又，则. ，即直线恒过定点. 【2-2】已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线的左、右顶点分别为，点为第二象限内的动点，过点作双曲线左支的两条切线，分别与双曲线的左支相切于两点，已知的斜率之比为． (1)求双曲线的方程； (2)直线是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由； (3)设和的面积分别为和，求的取值范围． 【答案】(1) (2)直线过定点 (3) 【分析】（1）利用双曲线离心率和焦点坐标，求出的值，即得其标准方程； （2）设,由的斜率之比为求得，由分别写出切线和的方程，利用同构思想即得直线的方程，从而可得定点； （3）利用（2）直线过定点可推得，即得，设，与双曲线方程联立，消元得韦达定理，依题求得的范围，计算并化简得，通过换元，利用函数的单调性即可求得其范围. 【详解】（1）由题意知，双曲线的焦点在轴上，中心在原点，可设其方程为， 由双曲线的离心率为2，可得解得； 又双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的焦点坐标为， 即，故，双曲线的标准方程为； （2）由双曲线方程，可得，设， 所以， 因为的斜率之比为，即， 解得，所以点在直线上，设 ， 则切线方程为：，则切线方程为：，（此处两个切线方程在题后证明） 因点既在直线上又在直线上，则有， 故直线的方程为：，化简可得， 所以直线过定点： 【附】下证：过双曲线上的一点的切线方程为. 证明：对的两边分别求导，可得：， 则切线斜率为， 故过点的切线方程为：，即得，证毕. （3） 由（2）得直线过定点，所以，， 所以，点到直线的距离为点到直线的距离的3倍，所以，， 因为，所以，， 若直线的斜率为0，则直线与双曲线的左支的交点为与已知矛盾； 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 直线与双曲线的交点坐标为． 求得切线的方程为，切线的方程为， 此时点的坐标为，与点在第二象限矛盾； 设， 将代入双曲线中得， 由已知，其判别式为：， 则， 由已知，所以， 所以，化简可得，又， 所以或，即的取值范围为． 于是，， 令，则， 故， 函数在上单调递增，所以， 故的取值范围为． 【2-3】如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1的点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程． (2)已知是直线上的动点，为抛物线的两条切线，为切点． ①求证：直线过定点； ②抛物线上是否存在定点使得以为直径的圆恰过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在， 【分析】（1）由抛物线的性质求得抛物线方程． （2）①设，设过点的切线，与抛物线方程联立，由判别式等于，得，设的斜率分别为，由韦达定理及中点坐标公式求出的中点为，由点斜式写出直线的方程即可求解； ②设，得到直线与的斜率，由斜率乘积为,得，再将①问中的韦达定理代入上式化简得，即可求解. 【详解】（1）设抛物线方程为，由抛物线定义知，， 抛物线的方程． （2）①设，由于切线斜率一定存在， 故设过点的切线， 代入中，得：， ，． 设的斜率分别为， 则 ，，， 得 ， 的中点为． 又，直线的方程：， 即：，过定点． ②设，则．同理：． ，． 把代入中得：， 所以由， ， ，解得． 存在定点，使得以为直径的圆恰过点． 题型三、“相交弦”模型过定点之“变形1”（已知动点在定直线上） 典例探究 【典型例题】已知椭圆过点，两点. (1)求椭圆的的方程； (2)椭圆的左右顶点分别为A，B，当动点M在定值线上运动时，直线，分别交椭圆于两点和（不同于A，B）证明：直线过定点。 【答案】(1) (2)（i）证明见解析【分析】（1）把已知定点的坐标代入椭圆方程，求出、即可； （2）设出点的坐标，表示出直线、的方程，分别与椭圆方程联立求出点、的坐标，再借助向量数量积求解即可. 【详解】（1）依题意，将点和的坐标代入椭圆，得，解得，所以椭圆方程为； （2）由（1）知，，显然点不在轴上， 设，，，， 直线，斜率分别为，， 直线的方程为，的方程为， 由，消去得，显然， 于是，解得，则， 由，消去得，显然， 于是，解得，则， 则， 对于（ⅰ）问，直线的斜率为：， 直线的方程为：， 整理得：，故直线恒过定点； 举一反三 【3-1】在平面直角坐标系中，为直线上一动点，椭圆：的左右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．若直线交于另一点，直线交于另一点． (1)求证：直线过定点，并求出定点坐标； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）依题求出椭圆方程，设，由直线，方程分别与椭圆方程联立，求出点的坐标，由对称性知，定点在轴上，设为，由求出的值即得； （2）根据图形，可得四边形的面积，代入和，经过换元，运用基本不等式和函数的单调性即可求得面积最大值. 【详解】（1） 由题意知，，椭圆： 如图，设， 当时，直线的方程为：，代入， 得，则，从而，点 又直线的方程为：，代入， 得则，从而，点 由对称性知，定点在轴上，设为 由，即，化简得， 因故得，解得. 即直线过定点，而当时，直线也过定点． 综上，直线恒过定点． （2） 由图可知四边形的面积为 ， 令，当且仅当时等号成立， 因在上单调递增，而， 故当时，四边形面积有最大值． 【3-2】已知为双曲线左右顶点，焦点到渐近线的距离为，直线上一点与点连线与双曲线右支交于另一点，点与点连线与双曲线右支交于另一点D. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线是否经过定点？若是，求出该定点. 【答案】(1)； (2)经过定点，定点坐标为. 【分析】（1）由题意即可得到答案 （2）设出，直线，联立直线与双曲线方程得到关于的韦达定理，由三点共线得，三点共线，得，化简得到，即可得到答案. 【详解】（1）依题可知，双曲线的渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离为，即双曲线方程为. （2）设，直线， 由得，所以 又三点共线，则①， 三点共线，则②， 联立①②得，化简得， 即（*） 将，，代入（*）式化简得. 所以，即直线是否经过定点. 【3-3】如图，椭圆的 右焦点为，右顶点为，满足，其中为坐标原点，为椭圆的离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆上的动点(异于左右顶点)，直线交椭圆于另一点，直线交直线于点，求证：直线过定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题意，可得，又，从而求出，则可得椭圆的标准方程； (2) 设的左顶点为，，，，与椭圆方程联立，表示出韦达定理及，，即可表示出点坐标，设与交于，表示出点坐标，即可得到，从而得证； 【详解】解：（1）由，得 又，解得 所以椭圆标准方程是：. （2）设的左顶点为，，， 联立消并整理得 则，，故 又， 当时得 设与交于，则 而 即，即，故过定点； 题型四、“相交弦”模型过定点之“变形2”（已知斜率成倍数关系） 典例探究 【典型例题】如图1所示，椭圆的离心率为是其左右顶点，是椭圆上位于轴两侧的点（点在轴上方），且四边形面积的最大值为4．    (1)求椭圆方程； (2)设直线的斜率分别为，若，求证直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由离心率、椭圆中四边形面积列方程求椭圆参数，即可得方程； （2）设，，直线的方程为，联立椭圆方程并应用韦达定理、及斜率两点公式整理得，将韦达公式代入求参数，即可证. 【详解】（1）由且，得，所以椭圆方程为． （2）设，，直线的方程为，    代入，得，， 所以，，， 由，得，所以， 所以，得，得，① ，， 代入①得，得，或（增根，舍）， 所以直线必过． 举一反三 【4-1】设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)动点、为椭圆上异于的两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）由抛物线方程可得焦点坐标，由椭圆离心率的值和它的一个顶点，可得的值，即求出椭圆方程； （2）设直线的方程，与椭圆方程联立，可得点坐标，同理可得点坐标，进而求得直线方程，可证得直线经过定点. 【详解】（1）易知抛物线的焦点， 由可得，由离心率，且， 解得； 所以椭圆的方程为； （2）证明：由（1）可知， 显然直线的斜率存在，且不为零，设直线的斜率为， 则直线的方程为，如下图所示： 联立，整理可得， 因为直线过点，所以，可得； 代入可得，即； 由可得直线的斜率为，所以直线的方程为； 联立，消去整理可得. 因为直线过点，所以，可得； 代入可得，即； 若，即，可得， 直线的斜率为； 直线的方程为， 令，解得 所以直线过定点， 若，则，此时，直线也过定点. 综上可得，直线过定点 【4-2】已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，分别为的左、右顶点，且到的两条渐近线的距离之和为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设为上异于的不同的两点，且直线的斜率与直线的斜率满足，证明：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)利用垂直关系求得渐近线方程，得出，再利用点到直线的距离得出，则方程可求； (2)分类讨论，先分析斜率存在时的情况，联立方程组，将转化为坐标关系，关键点在于利用将非对称韦达转化为对称性韦达，即可得出关于的一次关系式，即可得出直线的定点；而斜率不存在的情况，可利用对称性得出两点的坐标，得出直线方程，验证是否过定点即可. 【详解】（1）双曲线的一条渐近线方程为， 因为双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直， 所以双曲线的一条渐近线方程为，即， 则， ，由对称性可知，到的一条渐近线的距离为， 所以，解得， 所以， 故的标准方程为. （2）证明：由（1）可知，， ①当直线的斜率存在时，设方程为，， 由，整理得， 则， 得， 由得，，即， 由，则， 所以， 则 即， 所以， 整理得， 所以， 解得或， 若时，直线的方程为， 即，则直线过定点，不合题意，舍去； 若时，直线的方程为，即，则直线过定点. 当直线过定点， ②当斜率不存在时，， 得，故直线，满足题意. 综上可知，直线恒过定点. 【4-3】已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点.设A，B分别是的左、右顶点，M，N是的右支上异于点B的两点. (1)求的方程； (2)若直线过点，且的斜率为2，求的值； (3)设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由渐近线斜率及双曲线所过的点求双曲线参数，即可得方程； （2）由题意为，设，，联立双曲线，应用韦达定理及弦长公式求； （3）法一：设为，，，法二：讨论斜率的存在性，设为，，，或为，，，再联立双曲线，应用韦达定理及已知条件列方程求参数关系，即可得定点；法三：，分别为，，联立双曲线，结合用表示出的坐标，进而写出直线，即可证结论. 【详解】（1）由题意得，解得，所以的方程为. （2）由题意，为，设，， 由，得，所以. 因为M，N在P点的两侧，所以与异号， 所以 . （3） （方法一）由题意得，的斜率不为0， 设为，，. 由，得， 所以，且，. 因为，，，所以. 又，即，所以 ， 即， 整理得， 所以， 化简得，解得或2. 当时，的方程为，此时过点，不合题意， 当时，的方程为，此时过点，符合题意， 所以恒过定点. （方法二）①若的斜率不存在，设为，，. 因为，，，所以， 由对称性知，，则，解得， 所以的方程为，此时过点. ②若的斜率存在，设为，，. 由，得， 所以，且，. 因为，，，所以. 又，即，所以 ， 即， 整理得， 所以， 化简得，解得或. 当时，为，此时过点，不合题意， 当时，为，此时过点，符合题意. 综上，恒过定点. （方法三）因为，，，的斜率分别为，， 所以，分别为，. 由，得， 所以，又，所以， 所以，即. 由，得， 所以，又，所以， 又，即，所以， 所以，即. ①若的斜率不存在，则，即，解得， 则，所以为，此时过点. ②若的斜率存在，则， 所以为，即， 化简得，即，此时过点. 综上，恒过定点. 题型五、“相交弦”模型过定点之“变形3”（已知一直线过定点与对称点） 典例探究 【典型例题】已知椭圆的离心率为，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，的面积的最大值为1，、为椭圆上任意两个关于轴对称的点，直线与轴的交点为，直线交椭圆于另一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线过定点. 【答案】（1）；（2）见解析. 【详解】试题分析：（1）由离心率及的面积的最大值为1，即可求得，，从而求得椭圆的标准方程；（2）设，，且，由题意得且直线的斜率必存在，设：，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理，得，即可表示直线：，根据对称性可知直线过的定点必在轴上，从而求出定点坐标. 试题解析：（1）∵当M为椭圆C的短轴端点时，的面积的最大值为1 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴椭圆C标准方程为： （2）设，且， ∵ ∴      由题意知的斜率必存在，设：，代入得，由得，. ∵ ∴斜率必存在，： 由对称性易知直线过的定点必在轴上，则当时，得 ，即在的条件下，直线AE过定点（1，0）. 举一反三 【5-1】已知椭圆：的下、上焦点分别为、，直线恰经过椭圆的一个顶点和一个焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，求证：直线与轴相交于某定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据题意，由直线过焦点和顶点可直接确定b和c,从而可得椭圆方程. （2）根据题意，设直线的方程为,与椭圆方程联立，写出韦达定理，和直线BD方程，令x=0求出直线与y轴的交点，判断是否为定值． 【详解】（1）由题意知椭圆焦点在轴上，直线过点和，且直线恰经过椭圆的一个顶点和一个焦点，所以，， ∴椭圆的标准方程为 （2）由题意直线的斜率存在且不为0,设直线的方程为, 代入到中得：,设， 则， ∵与关于轴对称  ∴ ∴直线的方程为 令得 , 则直线与轴相交于定点. 【5-2】已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率等于，点在轴正半轴上，为直角三角形且面积等于2. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，当点关于轴的对称点在直线上时，直线是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点，定点为 【分析】（1）根据对称性得为等腰直角三角形，且，进而根据面积得，再结合离心率得，最后根据求解得答案； （2）由题知，设直线的方程为，，进而根据题意得，进而整理得，再联立并结合韦达定理整理求解即可. 【详解】（1）解：根据题意，由对称性得为等腰直角三角形，且， 因为的面积等于，所以，即， 因为椭圆的离心率等于，即，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为：. （2）解：由（1）得， 设直线的方程为，， 因为点关于轴的对称点在直线上， 所以直线与直线的斜率互为相反数，即， 因为，所以， 整理得 又因为，所以， 由消去得 所以，即， 所以， 整理得 由于，故解方程得， 此时直线的方程为，过定点 所以直线恒过定点. 【5-3】已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：为直角三角形； (3)经过点且斜率不为零的直线与双曲线的两支分别交于点，.若点是点关于轴的对称点，试问，不论直线的斜率如何变化，直线是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)过定点，坐标为. 【分析】（1）设，，运用点差法求解即可； （2）直曲联立，借助向量工具求解； （3）设方程为，，，，直曲联立，得到，，得到直线的方程为，在直线的方程中，令，求解即可. 【详解】（1）设，，则，， ∵，两点在双曲线上， ∴，由①－②得， 即，∴， ∴，即，∴， 又∵，∴， ∴双曲线的方程为：； （2）由已知可得，直线的方程为：，即， 联立，， 则，， ∵ ， ∴，∴为直角三角形； （3）设方程为，， 联立直线与的方程，消去得， 因为直线与的两支分别交于点，， 设，， 所以，得， 则，，， 因为，所以直线的方程为， 由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上， 在直线的方程中，令， 得 所以直线过定点，定点坐标为. 题型精析・方法突破提能力 【突破提升训练・1】已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点， ①若 ，且不过坐标原点，求三角形面积的最大值，并写出求得此最大值时的值 ②点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)①，；②证明见解析 【分析】（1）由题可得，据此可求得椭圆方程； （2）①由弦长公式及三角形面积公式确定三角形面积，再结合二次函数求最值即可；②将直线方程与椭圆方程联立，后由韦达定理结合，可得m与k的关系即可得直线恒过的定点. 【详解】（1）由题知，，，， 由的面积为，得， 又，代入可得，， ∴椭圆的方程为. （2）①设坐标原点到直线的距离为， 联立， 得， 可得， 设，， 则， 所以此时 当，即时， 三角形面积有最大值 ②联立得， 设，，可得，， 由题知， 即， 即，解得， ∴直线的方程为，故直线恒过定点. 【突破提升训练・2】已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且经过点. (1)求的标准方程. (2)设是的左顶点，，是上异于点的不同两点，直线，的斜率分别为，且. （i）若点的坐标为，求； （ii）证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）;（ii）证明见解析 【分析】（1）根据题意，建立的方程组，求解即得椭圆方程； （2）（i）设，利用推得，与椭圆方程联立，求出点，利用两点间距离公式计算即得；（ii）依题设直线的方程为：，与椭圆方程联立，写出韦达定理，由化简可推得，即得或，代入直线方程分别检验，即得直线经过定点. 【详解】（1） 由题意，，解得， 则的标准方程为. （2）（i）设，由（1）可得，因， 则，由可得， 代入，整理得：，解得（不合题意，舍去）或， 故得，则. （ii）因，直线的斜率不能为0，可设其方程为：， 代入，整理得：， 则， 设，则（*）， 则，化简得， 因，代入整理得：， 将（*）代入，可得，去分母可得： ， 化简得：，解得或. 当时，直线的方程为，直线经过定点， 此时由解得，则， 因，符合题意； 当时，直线的方程为，经过定点，该点恰与点重合，不合题意，舍去. 故直线过定点. 【突破提升训练・3】已知分别是双曲线的左､右焦点，是的右顶点，，且与椭圆有相同的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与的公共点个数为1，求的值； (3)已知是上不同的两点，直线的斜率分别为不在直线上，且，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆焦点的定义，得双曲线的焦点，根据双曲线焦点，求出双曲线标准方程即可. （2）分类讨论双曲线与直线只有一个交点的情况，分别计算直线斜率的值. （3）根据直线与圆锥曲线的位置关系和韦达定理，根据已知条件列出参数的方程，证明直线过定点问题. 【详解】（1）椭圆的焦点为，所以双曲线的焦点也为，即. 因为，所以，所以， 故双曲线的方程为. （2）联立，得，即. ①当，即时，直线与的渐近线平行，只有1个交点； ②当，即时， 直线与相切，只有1个交点. 综上，当直线与的公共点个数为1时，或； （3）    易知，如图，设， 显然直线不与轴垂直，则设的方程为，且. 联立，消去得， 显然， 所以， 因为， 所以， 化简得，即， 又，化简得，所以直线过定点. 【突破提升训练・4】已知双曲线的离心率为为坐标原点，过点的直线交于，两点，其中点在第一象限. (1)求的标准方程. (2)设. ①求直线的方程. ②过点作斜率分别为的两条直线，且直线与交于另一点，直线与交于另一点.若，证明直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析， 【分析】（1）根据双曲线的离心率可得结果. （2）①根据条件可知点在以为圆心，5为半径的圆上，联立圆方程与双曲线方程可得结果. ②设直线，与双曲线方程联立，借助韦达定理得到的关系式可得结果. 【详解】（1）因为的离心率为，所以，解得， 所以的标准方程为. （2） ①由，得点在以为圆心，5为半径的圆上. 设，则解得即， 所以直线的斜率为，直线的方程为，即. ②当直线的斜率不存在时，点关于轴对称，设， 由，得，即，解得，不符合题意， 所以直线的斜率存在. 设直线，由得， 则，即. 设，则， 因为，所以，即， 得， 所以，即， 所以或. 当时，直线的方程为，经过定点，不符合题意； 当时，直线的方程为，经过定点. 综上，直线过定点，且定点坐标为. 【突破提升训练・5】已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据抛物线焦点坐标，直接求得，则抛物线方程得解； （2）设出直线的方程，利用韦达定理，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】（1）根据题意，，则，故抛物线方程为：. （2）显然直线的斜率不为零，且不过原点，故设其方程为， 联立抛物线方程可得：，时， 设两点的坐标分别为，则，， 由题可知，，即，解得，此时满足， 故直线恒过轴上的定点. 10．已知抛物线M：，若O为坐标原点，A、B为抛物线上异于O的两点． (1)若，P在抛物线上，求的最小值； (2)若．求证：直线AB必过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设抛物线上的点，由两点间的距离公式可求解； （2）设直线方程，和抛物线方程联立，借助一元二次方程根与系数的关系表示条件，可得直线过定点. 【详解】（1） 设， ∵P在抛物线上，∴． ∴． ∴当，即时，的最小值为． （2） 显然直线斜率不为零，设直线AB的方程为，， 如图： 联立得， 有两个交点故． ∴，． ∵， ∴． ∴，得， ∴或（舍）． ∴直线AB过定点． 【突破提升训练・6】已知椭圆 ，直线，是直线上的动点，过作椭圆的切线，，切点分别为， (1)当点坐标为时，求直线的方程； (2)求证：当点在直线上运动时，直线恒过定点； (3)是否存在点使得的重心恰好是椭圆的左顶点，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)点存在，理由见详解 【分析】（1）设，由椭圆的切线方程，可得直线的方程是，点坐标为时，即可写出直线的方程； （2）由直线的方程是，点在直线上，满足，可得，可得直线恒过定点； （3）联立的方程与椭圆方程，因为的重心为，所以，由韦达定理表示出代入，再与联立，即可解得，进而得到，即可得点存在，坐标为. 【详解】（1） 设，已知椭圆为， 由椭圆的切线方程，切线的方程为， 又点在该直线上，所以， 切线的方程为， 又点在该直线上，所以， 则点，都在直线上，即直线的方程是， 当点坐标为时，， 所以直线的方程是，即. （2）由（1）知直线的方程是， 又点在直线上，所以， 得，代入的方程得， 即，所以， 解得，直线恒过定点. （3）因为直线的方程是，所以， 代入得， 整理得， 因为的重心为，所以，， 所以，得， 解得，则，此时轴，成立， 所以点存在，坐标为. 【突破提升训练・7】左、右焦点分别为的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为． (1)求椭圆的方程； (2)若为直线上一点，过点作椭圆的两条切线为切点，问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点， 【分析】（1）设点的坐标为，根据重心性质和可得，结合三角形面积公式求解可得； （2）设切线方程为，根据切线过点可求得的方程，由直线系方程即可确定所过定点. 【详解】（1）因为椭圆焦点在轴上，且过点， 所以， 设内切圆的半径为，点的坐标为， 则重心的坐标为， 因为，所以． 由面积可得， 即，结合，解得， 即所求的椭圆方程为则椭圆方程为．    （2）设， 则切线的方程分别为， 因为点在两条切线上，所以， 故直线的方程为． 又因为点为直线上， 所以，即直线的方程可化为， 整理得， 由解得， 因此，直线过定点． 【突破提升训练・8】已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义即可求解， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据相切得判别式为0，可得，进而可得坐标，根据两点坐标可得直线的方程，即可根据交点在直线化简求解. 【详解】（1）因为， 所以曲线是以为焦点，以2为实轴长的双曲线， 所以实半轴长，半焦距，虚半轴长， 所以曲线的方程为. （2）由题知切线斜率均存在，所以设过点所作的切线分别为， 由题意知且，由得， 因为与相切， 所以，且，整理得. 此时可得，即. 同理. 由得. 直线的斜率为， 所以的方程为， 令，得， 即经过定点. 【突破提升训练・9】已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)若直线与交于、两点，过、分别做的切线，两切线交于点.在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立. ①直线经过定点； ②点在定直线上. 【答案】(1)() (2)答案见解析 【分析】（1）由双曲线的定义得出曲线的方程； （2）若选择①证明②成立：利用导数得出过和过的方程，从而得出交点的横坐标，再由证明点在定直线上；若选择②证明①成立：利用导数得出过和过的方程，从而得出，再由直线的方程证明直线经过定点. 【详解】（1）因为， 所以曲线是以、为焦点，以为实轴长的双曲线的右支, 所以，即， 又因为，所以，得， 所以曲线的方程为(). （2）若选择①证明②成立. 依题意，在双曲线右支上，此时直线的斜率必不为， 设直线方程为，，不妨设在第一象限，在第四象限. 因为，所以，且，求导得， 所以过点的直线方程为， 化简为①，同理②， 联立方程①②得,交点的横坐标为， 因为、点在直线上，所以， 所以， 所以的横坐标. 即点在定直线上. 若选择②证明①成立. 不妨设在第一象限，在第四象限.设， 因为，所以，且， 求导得，所以过点的直线方程为， 化简为①，同理② 联立方程①②得交点的横坐标为， 由题意，， 即③. 因为， 所以过直线的方程为， 化简， 整理得 由③式可得, 易知，即直线过定点.    【突破提升训练・10】已知抛物线的焦点到直线的距离为，直线与交于两点. (1)求的准线方程； (2)若直线的方程为，求； (3)过两点分别作的切线，且相交于点，若点的纵坐标为，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用点到直线的距离公式，结合抛物线焦点坐标列方程求解，即可得准线方程. （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合弦长公式即可计算弦长. （3）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到根与系数的关系，再利用导数得出切线的方程， 联立切线的方程得到交点的坐标，最后结合点纵坐标条件推导直线过定点，即可得证. 【详解】（1）根据题意作图如下：    由题意知.因为点到直线的距离为，所以， 解得或，又因为，所以， 所以抛物线的准线方程为. （2）根据题意作图如下：    将代入，得， 则， 所以. （3）证明：根据题意作图如下：    由已知，直线与抛物线有两个交点，则其斜率一定存在. 设. 由，得， 所以. 由，得，则， 所以过点的切线方程为，即， 同理过点的切线方程为， 由，得，即， 又点的纵坐标为，所以，又， 所以， 解得，所以直线过定点. 【突破提升训练・11】已知抛物线（）的焦点F与椭圆的一个焦点重合. (1)求抛物线C的方程； (2)设点P为直线上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，分别与抛物线切于A，B两点，求抛物线C的焦点F到直线的最大距离. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据椭圆方程求其焦点坐标，由抛物线方程求抛物线焦点坐标，列方程求可得结论； （2）设点，，，结合导数几何意义求方程，证明A，B都在直线上，由此证明直线恒过定点，由此可求抛物线C的焦点F到直线的最大距离. 【详解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 则，，∴， ∴，∴椭圆的焦点为， ∵抛物线C的焦点，，∴，∴， ∴抛物线C的方程为. （2）设点，，.由得， ∴抛物线C在A处的切线方程为， 同理抛物线C在B处的切线方程为， ∵切线，均过点，∴， ∴A，B都在直线上，即， ∴直线恒过定点， 由（1）知焦点， ∴F到直线的最大距离为. 【突破提升训练・12】已知椭圆的左右顶点分别为和，离心率为，且经过点，过点作垂直轴于点．在轴上存在一点（异于），使得．    (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作一条垂直于轴的直线，在上任取一点，直线和直线分别交椭圆于两点，证明：直线经过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意列出含的方程组解出即可. （2）设，由三点共线得出，设出直线方程，得到，直线方程和椭圆方程联立得出代入即可. 【详解】（1）由题意得，将代入椭圆方程得， 联立方程组，解得，所以椭圆的方程为. （2）设，由，得，解得， 此时，如图：设，由三点共线， 得，    由三点共线，得，得， 又，得， 得， 即． 设直线的方程为， 即，① 联立直线与椭圆：，消得， 则有，② 将②式代入①式，得，解得（舍）或. 直线经过定点． 【突破提升训练・13】设椭圆的左､右顶点分别为，上顶点为，点是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的右焦点为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与直线交于点，直线与轴交于点，求证：直线恒过某定点，并求出该定点. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点为 【分析】（1）利用待定系数法，结合椭圆右焦点坐标与过点，得到关于的方程，解之即可； （2）设直线和直线的方程，并求出直线的方程，从而求出点、的坐标，再联立直线与椭圆的方程得到的关系式，进而求得直线的方程，由此证得直线MN恒过某定点. 【详解】（1）因为椭圆右焦点为，所以， 因为椭圆经过点，所以， 又，所以，解得（负值舍去）， 所以，故椭圆的方程为. （2）依题意，，则， 设直线的方程为（且），直线的方程为（且）， 则直线与x轴的交点为， 易得直线的方程为，联立，解得， 则直线与直线的交点为， 联立，消去，得， 解得或，此时， 则点P的横坐标为，故点P的纵坐标为， 将点P的坐标代入直线的方程，整理得， 因为，所以，即， 因为， 所以直线的方程为： ， 即， 所以直线过定点. . 【突破提升训练・14】已知椭圆的左右顶点分别为、，为直线上的动点，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为. （1）若点的坐标为，求点的坐标； （2）若点的坐标为，求以为直径的圆的方程； （3）求证：直线过定点. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【解析】（1）首先求直线的方程，再令求点的坐标；（2）首先求直线的方程，与椭圆方程联立，求点的坐标，直接写出以为直径的圆的方程；（3）首先设，分别写出直线的方程，并求点的坐标，定点设为，则三点共线，列方程求定点坐标. 【详解】（1）因为，所以直线的方程为， 令，得，所以； （2）因为，所以直线的方程为， 由得，所以， 所以以为直径的圆的方程为，即； （3）设，因为，直线的方程为， 由得， 由韦达定理得，所以， 所以，同理，直线的方程为， 由得， 由韦达定理得，所以，所以， 由椭圆的对称性知这样的定点在轴上，设为，则三点共线， 所以共线， 所以恒成立， 整理得恒成立，所以，故直线过定点. 【突破提升训练・15】已知椭圆：过点且离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，分别为的左右顶点，为直线上的任意一点，直线，分别与相交于、两点，连接，试证明直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）；（2）证明见解析；定点（4，0）. 【解析】（1）将点代入椭圆，再联立，求出即可； （2）直线方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理建立相关关系，求出的关系，即可证明. 【详解】（1）由题可知，，解得：，，， 椭圆的标准程为：； （2）由题知有斜率，设直线方程为，，， 联立椭圆得， ， 设，∵、、三点共线， ，∴， 同理、、三点共线，，∴， ∴，两式相除得： ， 化简得，即， ，解得或 当时，直线的方程为，恒过点（1，0），当点不在轴时，，故不满足，舍去； 当时，直线的方程为，恒过点（4，0），符合题意， 综上，直线恒过定点. 【突破提升训练・16】已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组求解即可； （2）设，由已知条件分别求出点的坐标，设定点为，再由共线向量的坐标表示列式计算即得. 【详解】（1）由题意得，，，， 解得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的左顶点，右顶点， 设直线上的动点， 于是直线的斜率，直线的方程为， 由得，，， 设，则，则，， 故， 直线的斜率，直线的方程为， 由，得，， 设，则，， ， 则， 由双曲线的对称性知，若直线过定点，则定点必在轴上， 不妨设这个定点为， 则，， 因，则， 当时，整理得，解得，则直线过点， 当时，直线与轴重合，直线也过点， 所以直线经过定点. 【突破提升训练・17】如图，已知双曲线的离心率为2，点在C上，A，B为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交C的右支于点Q． (1)求C的方程； (2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由； (3)设，分别为和的外接圆面积，求的取值范围. 【答案】(1) (2)直线PQ过定点，理由见解析 (3) 【分析】（1）因为离心率，将点代入双曲线方程得，又，解得a，b，即可得出答案； （2）设，直线PQ的方程为，联立双曲线的方程，结合韦达定理可得，，写出直线AP的方程，进而可得N点的坐标，又N，B，Q三点共线，则，解得，即可得出答案； （3）设和的外接圆半径分别为，由正弦定理可得，又，可得，设直线PQ的方程为，与双曲线C的方程联立，可得，，由韦达定理得m的范围，结合弦长公式及函数性质进而可得答案. 【详解】（1）因为离心率，所以，双曲线的方程为， 将点代入双曲线方程得， 所以， 所以双曲线C的方程为； （2）直线PQ过定点，理由如下： 设， 直线PQ的方程为， 联立， 整理得， 则， 所以， 所以，所以， 直线，所以， 又N，B，Q三点共线， 所以，即，即， 所以， 即， 因为， 所以， 所以， 整理可得， 所以，所以PQ过定点； （3）设和的外接圆半径分别为 由正弦定理可得， 又， 所以，即， 设直线PQ的方程为x＝my+4， 与C的方程联立， 整理得， 则， 又，即， 所以，所以， 所以，即， 解得， 又因为， ， 所以， 因为，所以， 即. 【突破提升训练・18】双曲线的左、右顶点分别为，，焦点到渐近线的距离为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，且，证明直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)根据双曲线过点和焦点到渐近线的距离为列出方程组，解之即可； (2)设直线的斜率为，由题意直线的斜率为，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出，两点的坐标，再求出，两点所在的直线方程即可求解. 【详解】（1）由双曲线可得渐近线为， 不妨取渐近线即 由焦点到渐近线的距离为可得，即 由题意得，得， 从而双曲线的方程为. （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为， 由题意可知：直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与双曲线方程得， 于是，从而，从而， 联立直线与双曲线方程得， 于是，从而，从而， 于是， 从而， 化简得，从而过定点. 【突破提升训练・19】已知椭圆的离心率为，经过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知A，B是椭圆C的长轴左右顶点，P，Q是椭圆C上的两点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，若，试判断直线PQ是否恒过定点?若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，. 【分析】（1）由题意，利用离心率公式及待定系数法即可求得和的值，求得椭圆的方程； （2）设，的方程为，联立椭圆方程，求得的坐标；设，同理可得的坐标，讨论是否垂直于轴，结合直线的斜率公式和三点共线的性质可得所求定点． 【详解】(1)因为，所以，即，……① 又由已知，……② 解①②联立方程组得， 故椭圆方程为． (2)设点P的坐标为， 由已知可得，直线AP的方程为， 代入椭圆方程中得， 即，解得(舍)，或， 从而，故点P的坐标为， 设点Q的坐标为， 同理可得，， 故点P的坐标为， 当轴，即时，易得， 此时直线PQ的方程为，交轴于点，记该点为； 当不垂直于轴，即时， 直线的斜率， 直线的斜率 可知三点共线，即直线恒过点． 综上所述，直线PQ恒过定点． 【突破提升训练・20】已知椭圆的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，直线AP、BP、BQ的斜率分别记为. （1）求的值； （2）若，求证：，并判断直线PQ是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 【答案】（1）（2）证明见解析；直线PQ是过定点，该定点为 【分析】（1）设，根据，然后由点在椭圆上，由求解. （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，根据，结合（1），得到，将韦达定理代入得到k，b的关系，再代入直线方程求解即可. 【详解】（1）设， ∵， 则， 又， 则， 代入上式，得. （2）， 又由（1）知，， ， ， 即... 设直线的方程为：， 设， 联立， 得：， 由>0得： ， 由韦达定理：，，.. ， ， 则， 即：， 所以：， 解得：或，.. 当时，直线，则直线过B（2，0），不合题意， 当时，直线，则直线过定点， ∴直线PQ是过定点，该定点为 【突破提升训练・21】如图，，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，直线的斜率是直线的斜率3倍． （1）若为椭圆上异于，的一点，证明：直线和的斜率之积为常数； （2）证明：直线过定点． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）设 ，而，，则，结合为椭圆上即可确定是否为定值. （2）由（1）结合题设有，联立直线与椭圆方程并整理有，应用韦达定理得到、、，即可列方程求m、k之间的关系，进而判断是否过定点. 【详解】（1）由题意，设点的坐标则，而，， ∴，故为定值，得证. （2）设点坐标，设点坐标， 由（1）可得：，又， ∴ 联立直线与椭圆方程，整理得， ∴，，则， ∴ ， 整理得，即，可得或， 当时，直线，直线过定点（舍）， 当时，直线，直线过定点，得证. 【突破提升训练・22】已知椭圆，左右焦点分别为，上下顶点分别为，左右顶点分别为，是上异于椭圆顶点的两点. (1)求的周长； (2)若点在第一象限且满足的面积比的面积大，求点的横坐标的取值范围； (3)记点在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点为坐标原点三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是定圆 【分析】（1）求出，结合椭圆的定义即可得解； （2）设，由，可得，再根据点在椭圆上即可得解； （3）设直线的方程为，直线的方程为，分布于椭圆方程联立，利用韦达定理求出两点的坐标，进而可求出的方程，进而可得出答案. 【详解】（1）由椭圆， 得，所以， 所以的周长为； （2）设， 由，得， 所以，即， 又因为，所以， 解得， 即点的横坐标的取值范围为； （3）， 设直线的方程为，直线的方程为， 联立，消得， 则，所以，所以， 故， 联立，消得， 则，所以，所以， 故， 当，即时， ， 则直线的方程为， 即，过定点， 当，即时， 此时，直线过定点， 设，因为， 所以过点为坐标原点三点的圆即为过点为坐标原点三点的圆， 因为过原点，点，点， 所以过点为坐标原点三点的圆是定圆. 【突破提升训练・23】已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点的直线与椭圆交于不同的两点. （i）当直线的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线分别与椭圆交于点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题意可得，即可得到椭圆的标准方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程即可得到坐标，再结合椭圆的性质即可得到三角形的周长；（ii）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，然后分别联立直线与椭圆方程，表示出的纵坐标，再由代入计算，即可得到的关系，即可得到结果. 【详解】（1）依题意可得，则，因为焦点，则， 所以椭圆方程为. （2）（i）当直线的斜率为时，则直线方程为， 与椭圆方程联立，解得， 不妨设点，， 则， 设椭圆的左焦点为， 由椭圆的性质可得， 所以的周长为， 又， 所以的周长为， 所以当直线的斜率为1时，求的周长为. （ii）依题意可设直线， 与椭圆方程联立可得，整理可得， 设， 则， 设直线，与椭圆方程联立可得， 整理可得， 设， 则， 又，所以， 同理可得， 由题意与关于原点对称，所以， 即， 整理可得， 即， ， 将代入上式可得， 又不恒为，故， 所以直线恒过点. 【突破提升训练・25】如图所示，在平面上，过椭圆内一定点（不妨设），任意作直线交椭圆于，过作与轴垂直的直线交椭圆于另一点，则直线必过定点． 【答案】证明见解析 【分析】做变换，将椭圆还原为圆，设弧对应圆心角为，弧对应圆心角为，由几何知识可得，即可得，据此可完成证明. 【详解】做变换，则. 即可将椭圆还原成圆后，.设弧对应圆心角为，弧对应圆心角为， 因为轴，所以弧对应圆心角为，由对称性可得点在轴上， ，， 所以． 又，， 则，所以，所以， 则，即直线必过定点． 【突破提升训练・26】已知双曲线的一条渐近线方程为，虚轴长为2. (1)求双曲线的方程； (2)设直线与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由渐近线方程和虚轴长，列方程组解出，可得双曲线的方程； （2）直线与双曲线联立方程组，设，两点和点坐标，由对称性可知，直线所过定点必在轴上，设定点为，由恒成立，结合韦达定理求出. 【详解】（1）由已知得，，解得，. 双曲线的方程为：. （2）将代入，得，. 因与有两个交点，所以，，且. 设，， 则，， 从而. 根据对称性可知，如果直线过定点，则所过定点必在轴上， 不妨设为，则，. 过定点，即对恒成立. 即， 即. 因为，， 所以. 所以. 代入上式得，，. 上式对恒成立，当且仅当， 即直线恒过定点. 【突破提升训练・27】已知焦点在轴上的双曲线过点，其焦点到渐近线的距离为1. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与双曲线的右支交于，两点，点与点关于轴对称，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）设双曲线方程为，双曲线右焦点为，列方程组即可求解； （2）设，则将直线和双曲线联立可求得关于的方程，根据韦达定理可求得，可解出，，，用两点式表达出直线的方程，将已知代入即可求解. 【详解】（1）由题意可设双曲线方程为，双曲线右焦点为， 双曲线过点，且焦点到渐近线的距离为1， 根据题意可知渐近线方程为， 根据右焦点为到直线距离， 又因点在双曲线上，所以代入可得，解之可得， 故双曲线方程为. （2）设，则， 将直线与双曲线联立可得，消去可得 根据韦达定理可知，， 所以， 则， ，所以 解之可得， 直线方程为， 将已知代入， 化简可得，所以直线过定点，定点为. 【突破提升训练・28】已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由两点坐标代入待定系数求出双曲线方程，进而得离心率； （2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理表示出，，坐标表示直线的方程，由对称性知直线若过定点必在轴上，直线方程中令，代入韦达定理化简可得横坐标为定值即得证. 【详解】（1）由双曲线经过点， 则有，解得， 即双曲线的标准方程为，则， 所以离心率， 故的离心率为； （2）由（1）知的右焦点为，直线， 设，，由点N关于x轴的对称点为点P，则， 联立，得， 由题可知，即， 且， 则， 则直线的直线方程为， 由对称性可知，直线若过定点，则必在轴上， 令，得 当，且时， ， 所以直线过定点. 【突破提升训练・29】已知椭圆，椭圆的短轴长的，离心率为.过点与轴不重合的直线交椭圆于不同的两点，点关于轴对称. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由椭圆短轴长的，离心率为，列方程组即可求得椭圆方程； （2）设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程得到韦达定理，结合椭圆的对称性，可知定点在轴上，利用韦达定理化简即可求得直线恒过定点； 【详解】（1）因为椭圆的短轴长的，离心率为， 所以解得 所以椭圆的方程为． （2）设直线的方程为，，则， 联立整理得，则，，，所以， 直线的方程为， 由椭圆的对称性知，若存在定点，则必在轴上． 当时， ， 即直线恒过定点． 【突破提升训练・30】已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设的左，右顶点分别为，过点且斜率不为0的直线与交于两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 【答案】(1) (2)直线恒过轴上的一个定点 【分析】（1）根据双曲线方程求焦点坐标，根据椭圆上的点列式解出的值，即可得方程； （2）设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理得出的关系.设直线与轴交于点，有，代入求解得出的值，即可得出定点坐标. 【详解】（1）由双曲线可得， 可知所求椭圆的焦点坐标为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，， 且点在椭圆内部，直线与椭圆必有两交点. 设直线方程为，，则， 联立方程化简整理得， 则. 设直线与轴交于点，则三点共线， 于是，即，则， 可得 ， 即，解得， 所以直线恒过轴上的定点. 【突破提升训练・31】已知椭圆的离心率为，是椭圆上的一点.    （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于不同两点、，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是，. 【分析】（1）由离心率为得， 将代入椭圆，联解得椭圆方程； （2）设直线方程，与椭圆联解得，求得.，，设出直线方程化简得解. 【详解】（1）∵，，∴，∴， 将代入椭圆，∴，∴. （2）显然斜率存在，设方程 为：，， ，∴. 设，，，∴，， ∵，∴时 ， ∴直线过定点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $